19.1.1矩形的判定
农安县合隆中学 徐亚惠
一．选择题（共8小题）
1．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，已知下列6个条件：
①AB∥DC；②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°；⑤OA=OC；⑥OB=OD．
则不能使四边形ABCD成为矩形的是（ ）
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A．①②③ B．②③④ C．②⑤⑥ D．④⑤⑥
2．对角线互相平分且相等的四边形是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形
3．下列关于四边形是矩形的判断中，正确的是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分且垂直 D．对角线互相平分且相等
4．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )A．AB=CD B．AD=BC C．AC=BD D．AB=BC
5．如果四边形对角线互相垂直，则顺次连接这个四边形各边中点所得的四边形是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
6．平行四边形ABCD的两条对角线相等，则 ABCD一定是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形
7．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是（ ）
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A．AB=BC B．AC⊥BD C．∠ABC=90° D．∠1=∠2
8．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，则下面条件能判定平行四边形ABCD是矩形的是（ ）
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A．AC=BD B．AC⊥BD C．AC=BD且AC⊥BD D．AB=AD
二．填空题（共7小题）
9．如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是 _________ （只填一个）．
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10．对角线 _________ 的平行四边形是矩形．
11．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥ ( http: / / www.21cnjy.com )DC，AB=DC．在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是 _________ ．（填上你认为正确的一个答案即可）
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12．如图， ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件 _________ （只添一个即可），使 ABCD是矩形．
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13．如图，四边形ABCD是平行四边形，添加一个条件 _________ ，可使它成为矩形．
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14．如图所示，已知 ABCD，下列条件： ( http: / / www.21cnjy.com )①AC=BD，②AB=AD，③∠1=∠2，④AB⊥BC中，能说明 ABCD是矩形的有（填写序号） _________ ．
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15．如图，在△ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )AB=AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE、BF．当∠ACB为 _________ 度时，四边形ABFE为矩形．
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三．解答题（共7小题）
16．如图，在△ABC中，AB=AC， ( http: / / www.21cnjy.com )点D（不与点B重合）在BC上，点E是AB的中点，过点A作AF∥BC交DE延长线于点F，连接AD，BF．
（1）求证：△AEF≌△BED．
（2）若BD=CD，求证：四边形AFBD是矩形．
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17．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．
（1）求证：BD=CD；
（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
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18．如图，在△ABC中，点O在AB边上，过点O作BC的平行线交∠ABC的平分线于点D，过点B作BE⊥BD交直线OD于点E．
（1）求证：OE=OD；
（2）当点O在AB的什么位置时，四边形BDAE是矩形？说明理由．
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19．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是BC的中点，连接AC，DE，AC=AB，DE∥AB．求证：四边形AECD是矩形．
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20．如图，将平行四边形ABCD的边DC延长至点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．
（1）求证：△ABF≌△ECF；
（2）连接AC、BE，则当∠AFC与∠D满足什么条件时，四边形ABEC是矩形？请说明理由．
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21．如图，在△ABC中，D是BC ( http: / / www.21cnjy.com )边上的一点，E是AD的中点，过A点作BF的平行线，交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
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22．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．
（1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
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19.1.1矩形的判定
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，已知下列6个条件：
①AB∥DC；②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°；⑤OA=OC；⑥OB=OD．
则不能使四边形ABCD成为矩形的是（ ）
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A． ①②③ B．②③④ C．②⑤⑥ D． ④⑤⑥
考点： 矩形的判定．
分析： 根据矩形的判定方法：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形分别进行分析即可．
解答： 解：A、①AB∥DC；②AB=DC可判定四边形是平行四边形，再加上③AC=BD可根据对角线相等的平行四边形是矩形进行判定，故此选项不合题意；
B、②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°，可根据题意判断出全等三角形，进而得出四边形是矩形进行判定，故此选项不合题意；
C、⑤OA=OC；⑥OB=OD可判定四边形是平行四边形，再加②AB=DC也不能判定是矩形，故此选项符合题意；
D、⑤OA=OC；⑥OB=OD可判 ( http: / / www.21cnjy.com )定四边形是平行四边形，再加④∠ABC=90°可根据有一个角为直角的平行四边形是矩形进行判定，故此选项不符合题意；
故选：C．
点评： 此题主要考查了矩形的判定，关键是掌握矩形的判定方法．
2．对角线互相平分且相等的四边形是（ ）
A． 菱形 B．矩形 C．正方形 D． 等腰梯形
考点： 矩形的判定．
分析： 根据对角线互相平分得出平行四边形，再加上对角线相等即可得出矩形．
解答： 解： ( http: / / www.21cnjy.com )
∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形．
故选B．
点评： 本题考查了矩形和平行四边形的判定，主要考查学生的推理能力，题目比较好，难度不大．
3．下列关于四边形是矩形的判断中，正确的是（ ）
A． 对角线互相平分 B． 对角线互相垂直 C．对角线互相平分且垂直 D． 对角线互相平分且相等
考点： 矩形的判定．
分析： 根据矩形的判定方法：①矩形的定义：有 ( http: / / www.21cnjy.com )一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”），针对每一个选项进行分析，可选出答案．
解答： 解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故此选项错误；
B、对角线互相垂直不一定是矩形，菱形对角线也互相垂直，故此选项错误；
C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，不是矩形，故此选项错误；
D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故此选项正确；
故选：D．
点评： 此题主要考查了矩形的判定，关键是熟练掌握矩形的判定方法．
4．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
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A． AB=CD B．AD=BC C．AC=BD D． AB=BC
考点： 矩形的判定．
专题： 存在型．
分析： 四边形ABCD的对角线互相平分，则说明四边形是平行四边形，由矩形的判定定理知，只需添加条件是对角线相等．
解答： 解：可添加AC=BD，
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，
∴四边形ABCD是矩形，
故选：C．
点评： 此题主要考查了矩形的判定，关键是矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形．
5．如果四边形对角线互相垂直，则顺次连接这个四边形各边中点所得的四边形是（ ）
A． 平行四边形 B．矩形 C．菱形 D． 正方形
考点： 矩形的判定；三角形中位线定理．
分析： 根据三角形中位线的性质，可得到这个四边形是平行四边形，再由对角线垂直，能证出有一个角等于90°，则这个四边形为矩形．
解答： 解：
在四边形ABCD中，AC⊥BD，连接各边的中点E，F，G，H，
则形成中位线EG∥AC，FH∥AC，EF∥BD，GH∥BD，
又因为对角线AC⊥BD，
所以GH⊥EG，EG⊥EF，EF⊥FH，FH⊥HG，
根据矩形的定义可以判定该四边形为矩形．
故选B．
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点评： 本题考查矩形的判定，根据中位线定理判定邻边垂直，并掌握根据矩形定义判定矩形的方法．
6．平行四边形ABCD的两条对角线相等，则 ABCD一定是（ ）
A． 菱形 B．矩形 C．正方形 D． 等腰梯形
考点： 矩形的判定；平行四边形的性质．
专题： 证明题．
分析： 对角线相等的平行四边形是矩形．
解答： 解：对角线相等的平行四边形是矩形．
故选B．
点评： 本题考查特殊平行四边形的判定，需熟练掌握各特殊平行四边形的特点．
7．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是（ ）
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A． AB=BC B．AC⊥BD C．∠ABC=90° D． ∠1=∠2
考点： 矩形的判定；平行四边形的性质．
分析： 根据一个角是90度的平行四边形是矩形进行选择即可．
解答： 解：A、是邻边相等，可判定平行四边形ABCD是菱形；
B、是对角线互相垂直，可判定平行四边形ABCD是菱形；
C、是一内角等于90°，可判断平行四边形ABCD成为矩形；
D、是对角线平分对角，可判定平行四边形ABCD是菱形．
故选C．
点评： 本题主要应用的知识点为：矩形的判定． ①对角线相等且相互平分的四边形为矩形．②一个角是90度的平行四边形是矩形．
8．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，则下面条件能判定平行四边形ABCD是矩形的是（ ）
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A． AC=BD B．AC⊥BD C．AC=BD且AC⊥BD D． AB=AD
考点： 矩形的判定；平行四边形的性质．
分析： 矩形的判定定理有：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）有三个角是直角的四边形是矩形；
（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．据此分析判断．
解答： 解：A选项是对角线相等，可判定平行四边形ABCD是矩形．而B、C、D不能．
故选A．
点评： 本题用到的知识点为：对角线相等的平行四边形是矩形．
二．填空题（共7小题）
9．如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是 ∠ABC=90°或AC=BD（不唯一） （只填一个）．
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考点： 矩形的判定；平行四边形的性质．
专题： 开放型．
分析： 根据矩形的判定定理：①对角线相等的平行四边形是矩形，②有一个角是直角的平行四边形是矩形，直接添加条件即可．
解答： 解：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形
故添加条件：∠ABC=90°或AC=BD．
故答案为：∠ABC=90°或AC=BD．
点评： 本题主要应用的知识点为：矩形的判定． ①对角线相等且相互平分的四边形为矩形．②一个角是90度的平行四边形是矩形．
10．对角线 相等 的平行四边形是矩形．
考点： 矩形的判定；平行四边形的性质．
分析： 根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形．
解答： 解：根据矩形的判定：对角线相等的平行四边形是矩形，
故填“相等”．
点评： 本题考查的是矩形的判定定理，常用的有三种：
①一个角是直角的平行四边形是矩形．
②三个角是直角的四边形是矩形．
③对角线相等的平行四边形是矩形．
11．如图，在四边形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D中，已知AB∥DC，AB=DC．在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是 ∠A=90° ．（填上你认为正确的一个答案即可）
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考点： 矩形的判定；平行四边形的判定．
专题： 证明题；开放型．
分析： 根据平行四边形的判定先推出四边形是平行四边形，再根据矩形的定义即可得出答案．
解答： 解：添加的条件是∠A=90°，
理由是：∵AB∥DC，AB=DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠A=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：∠A=90°．
点评： 本题考查了平行四边形的判定和矩形的判定的应用，能熟练地运用判定定理进行推理是解此题的关键，此题是一道比较好的题目．
12．如图， ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件 AC=BD （只添一个即可），使 ABCD是矩形．
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考点： 矩形的判定；平行四边形的性质．
专题： 开放型．
分析： 根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）推出即可．
解答： 解：添加的条件是AC=BD，
理由是：∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：AC=BD．
点评： 本题考查了矩形的判定定理的应用，注意：对角线相等的平行四边形是矩形，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．
13．如图，四边形ABCD是平行四边形，添加一个条件 ∠ABC=90°或AC=BD ，可使它成为矩形．
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考点： 矩形的判定；平行四边形的性质．
专题： 开放型．
分析： 根据矩形的判定定理：①对角线相等的平行四边形是矩形，②有一个角是直角的平行四边形是矩形，直接添加条件即可．
解答： 解：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形
故添加条件：∠ABC=90°或AC=BD．
故答案为：∠ABC=90°或AC=BD．
点评： 此题主要考查了矩形的判定定理，熟练掌握判定定理是解题的关键．
14．如图所示，已知 A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD，下列条件：①AC=BD，②AB=AD，③∠1=∠2，④AB⊥BC中，能说明 ABCD是矩形的有（填写序号） ①④ ．
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考点： 矩形的判定；平行四边形的性质．
分析： 矩形是特殊的平行四边形，矩形有 ( http: / / www.21cnjy.com )而平行四边形没有的特征是：矩形的四个内角是直角；矩形的对角线相等且互相平分；可根据这些特点来选择条件．
解答： 解：能说明 ABCD是矩形的有：
①对角线相等的平行四边形是矩形；
④有一个角是直角的平行四边形是矩形．
点评： 此题主要考查的是矩形的判定方法．
15．如图，在△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE、BF．当∠ACB为 60 度时，四边形ABFE为矩形．
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考点： 矩形的判定．
专题： 计算题．
分析： 根据矩形的性质和判定．
解答： 解：如果四边形ABFE为矩形，根据矩形的性质，
那么AF=BE，AC=BC，
又因为AC=AB，
那么三角形ABC是等边三角形，
所以∠ACB=60°．
故答案为60．
点评： 本题主要考查了矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分．
三．解答题（共7小题）
16．如图，在△ABC中，AB=AC， ( http: / / www.21cnjy.com )点D（不与点B重合）在BC上，点E是AB的中点，过点A作AF∥BC交DE延长线于点F，连接AD，BF．
（1）求证：△AEF≌△BED．
（2）若BD=CD，求证：四边形AFBD是矩形．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 矩形的判定；全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： （1）AAS或ASA证全等；
（2）根据对角线互相平分的证明四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形AFBD是平行四边形，再根据等腰三角形三线合一证明∠ADB=90°，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得证．
解答： 证明：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠EDB，
∵E为AB的中点，
∴EA=EB，
在△AEF和△BED中，
，
∴△AEF≌△BED（ASA）；
（2）∵△AEF≌△BED，
∴AF=BD，
∵AF∥BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BD，
∴四边形AFBD是矩形．
点评： 本题考查了矩形的判定，三角形全等的判定及性质，能够了解矩形的判定定理是解答本题的关键，难度不大．
17.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．
（1）求证：BD=CD；
（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
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考点： 矩形的判定；全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题；探究型．
分析： （1）先由AF∥BC，利用平行线 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质可证∠AFE=∠DCE，而E是AD中点，那么AE=DE，∠AEF=∠DEC，利用AAS可证△AEF≌△DEC，那么有AF=DC，又AF=BD，从而有BD=CD；
（2）四边形AFBD是矩形．由于AF ( http: / / www.21cnjy.com )平行等于BD，易得四边形AFBD是平行四边形，又AB=AC，BD=CD，利用等腰三角形三线合一定理，可知AD⊥BC，即∠ADB=90°，那么可证四边形AFBD是矩形．
解答： 证明：
（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF=DC，
∵AF=BD，
∴BD=CD；
（2）四边形AFBD是矩形．
理由：
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°
∵AF=BD，
∵过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，即AF∥BC，
∴四边形AFBD是平行四边形，
又∵∠ADB=90°，
∴四边形AFBD是矩形．
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点评： 本题利用了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、等量代换、平行四边形的判定、等腰三角形三线合一定理、矩形的判定等知识．
18．如图，在△ABC中，点O在AB边上，过点O作BC的平行线交∠ABC的平分线于点D，过点B作BE⊥BD交直线OD于点E．
（1）求证：OE=OD；
（2）当点O在AB的什么位置时，四边形BDAE是矩形？说明理由．
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考点： 矩形的判定；等腰三角形的判定与性质．
专题： 常规题型．
分析： （1）根据角平分线和等腰三角形腰长相等性质证明OB=OD，再根据直角三角形中线的性质即可判定O点为DE的中点，即OE=OD；
（2）设定四边形BDAE为矩形，可求出Rt△AEB中，O点为斜边AB的中点．
解答： 解：（1）∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBC；
∵ED∥BC，
∴∠ODB=∠DBC=∠ABD，
∴△OBD为等腰三角形，
∴OB=OD，
在Rt△EBD中，OB=OD，那么O就是斜边ED的中点．
∴OE=OD；
（2）∵四边形BDAE为矩形，
∴∠AEB为直角，
△AEB为直角三角形；
∵四边形BDAE为矩形，
∴OA=OB=OE=OD，
∵Rt△AEB中，OE=OA=OB，
∴O为斜边AB的中点，
答：O为AB的中点时，四边形BDAE为矩形．
点评： 考查了矩形的判定和等腰三角形的 ( http: / / www.21cnjy.com )判定与性质，用等腰三角形腰长相等和直角三角形斜边中线是斜边的一半可解本题，熟练掌握直角三角形和等腰三角形的性质就可解题．
19．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是BC的中点，连接AC，DE，AC=AB，DE∥AB．求证：四边形AECD是矩形．
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考点： 矩形的判定．
专题： 证明题．
分析： 先判断四边形AECD为平行四边形，然后由∠AEC=90°即可判断出四边形AECD是矩形．
解答： 证明：∵AD∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABED是平行四边形．
∴AD=BE．
∵点E是BC的中点，
∴EC=BE=AD．
∴四边形AECD是平行四边形．
∵AB=AC，点E是BC的中点，
∴AE⊥BC，即∠AEC=90°．
∴ AECD是矩形．
点评： 本题考查了梯形和矩形的判定，难度适中，解题关键是掌握平行四边形和矩形的判定定理．
20．如图，将平行四边形ABCD的边DC延长至点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．
（1）求证：△ABF≌△ECF；
（2）连接AC、BE，则当∠AFC与∠D满足什么条件时，四边形ABEC是矩形？请说明理由．
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考点： 矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
分析： （1）由四边形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )是平行四边形，CE=DC，易证得∠ABF=∠ECF，∠AFB=∠EFC，AB=EC，则可证得△ABF≌△ECF；
（2）首先根据四边形ABCD是平行四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形，得到四边形ABEC是平行四边形，然后证得FC=FE，利用对角线互相相等的四边形是矩形判定四边形ABEC是矩形．
解答： 解：（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，
∴∠BAE=∠AEC，
又∵CE=CD，
∴AB=CE，
在△ABF和△ECF中，
，
∴△ABF≌△ECF（AAS）；
（2）当∠AFC=2∠D时，四边形ABEC是矩形．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，∠BCE=∠D，
由题意易得AB∥EC，AB∥EC，
∴四边形ABEC是平行四边形．
∵∠AFC=∠FEC+∠BCE，
∴当∠AFC=2∠D时，则有∠FEC=∠FCE，
∴FC=FE，
∴四边形ABEC是矩形．
点评： 此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
21．如图，在△ABC中，D是BC边上的一 ( http: / / www.21cnjy.com )点，E是AD的中点，过A点作BF的平行线，交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
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考点： 矩形的判定；全等三角形的判定与性质．
分析： 因为AF∥BC，E为 ( http: / / www.21cnjy.com )AD的中点，即可根据AAS证明△AEF≌△DEC，故有BD=DC，AF=DC且AF∥DC，可得四边形AFDC是平行四边形，又因为AD=CF，故可有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定．
解答： 答：四边形AFBD是矩形，
证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，∠FAE=∠CDE．
又∵点E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AFE与△DCE中，
∴△AFE≌△DCE（AAS），
∴AF=CD，
又∵AF=BD，
∴BD=CD．
又∵AB=AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵AF∥BD，AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
又∵∠ADB=90°，
∴四边形AFBD是矩形．
点评： 本题考查矩形的判定和全等三角形的判定与性质．要熟知这些判定定理才会灵活运用，根据性质才能得到需要的相等关系．
22．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．
（1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
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考点： 矩形的判定；全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： （1）根据两直线平行，内错角相 ( http: / / www.21cnjy.com )等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CD，再利用等量代换即可得证；
（2）先利用一组对边平行且相等的四边形 ( http: / / www.21cnjy.com )是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知∠ADB=90°，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB=AC．
解答： 解：（1）BD=CD．
理由如下：依题意得AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF=CD，
∵AF=BD，
∴BD=CD；
（2）当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形．
理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB=AC，BD=CD（三线合一），
∴∠ADB=90°，
∴ AFBD是矩形．
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点评： 本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．19.1.2矩形的判定与性质
农安县合隆中学 徐亚惠
一．选择题（共9小题）
1．如图，在△ABC中，AB=6， ( http: / / www.21cnjy.com )AC=8，BC=10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．则EF的最小值为（ ）
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A．4 B．4.8 C．5.2 D．6
2．下列命题错误的是（ ）
A．平行四边形的对边相等
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．矩形的对角线相等
3．如图，在Rt△ABC中，∠A ( http: / / www.21cnjy.com )=90°，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是（ ）
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A．一直增大 B．一直减小 C．先减小后增大 D．先增大后减少
4．已知下列命题中：（1）矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；（2）两条对角线相等的四边形是矩形；（3）有两个角相等的平行四边形是矩形；（4）两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．下列关于矩形的说法中正确的是（ ）
A．矩形的对角线互相垂直且平分 B．矩形的对角线相等且互相平分
C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相平分的四边形是矩形
6．下列关于矩形的说法，正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．矩形的对角线互相垂直且平分 D．矩形的对角线相等且互相平分
7．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（ ）
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A．2 B．2.2 C．2.4 D．2.5
8．在四边形ABCD中，∠A=60°，AB⊥BC，CD⊥AD，AB=4cm，CD=2cm，求四边形ABCD的周长（ ）
A．10+2 B．8+2 C．8+3 D．10+2
9．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（ ）
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A．2 B．2.2 C．2.4 D．2.5
二．填空题（共5小题）
10．如图，在Rt△ABC中，∠C=9 ( http: / / www.21cnjy.com )0°，AC=3，BC=4，P为AB边上（不与A、B重合的一动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，则线段EF的最小值是 _________ ．
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11．如图，在Rt△ABC中，∠C ( http: / / www.21cnjy.com )=90°，AC=8，BC=6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连结DE，则DE的最小值为 _________ ．
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12．（如图，在△ABC中，∠ACB ( http: / / www.21cnjy.com )=90°．D是AC的中点，DE⊥AC，AE∥BD，若BC=4，AE=5，则四边形ACBE的周长是 _________ ．
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13．如图，△ABC是以AB为斜边的直 ( http: / / www.21cnjy.com )角三角形，AC=4，BC=3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值是 _________ ．
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14．如图．△ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是 _________ ．
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三．解答题（共6小题）
15．如图，△ABC中，AB=AC，AD、AE分别是∠BAC与∠BAC的外角的平分线，BE⊥AE．求证：AB=DE．
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16．如图，四边形ABCD为平行四 ( http: / / www.21cnjy.com )边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm．
（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；
（2）求BF的长；
（3）求折痕AF长．
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17．如图：在矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、P分别在AD、BC上，且DE=BP=1．
求证：四边形EFPH为矩形．
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18．已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形．
（1）求证：四边形ADBE是矩形；
（2）求矩形ADBE的面积．
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19．如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上且AE=CG，AH=CF．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）如果AB=AD，且AH=AE，求证：四边形EFGH是矩形．
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20．在矩形ABCD中，AD=12cm，点P在AD边以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q从C点出发，以4cm/s的速度在CB间做往返运动，两点同时出发，直到点P到达点D时，P、Q都停止运动，设运动时间为t秒，当t为多少时，四边形ABQP为矩形？
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19.1.2矩形的判定与性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．如图，在△ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．则EF的最小值为（ ）
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A． 4 B．4.8 C．5.2 D． 6
考点： 矩形的判定与性质；垂线段最短；勾股定理的逆定理．
分析： 先由矩形的判定定理推知四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形PEAF是矩形；连接PA，则PA=EF，所以要使EF，即PA最短，只需PA⊥CB即可；然后根据三角形的等积转换即可求得PA的值．
解答： 解：如图，连接PA．
∵在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，
∴BC2=AB2+AC2，
∴∠A=90°．
又∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F．
∴∠AEP=∠AFP=90°，
∴四边形PEAF是矩形．
∴AP=EF．
∴当PA最小时，EF也最小，
即当AP⊥CB时，PA最小，
∵AB AC=BC AP，即AP===4.8，
∴线段EF长的最小值为4.8；
故选：B．
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点评： 本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短．利用“两点之间垂线段最短”找出PA⊥BC时，PA取最小值是解答此题的关键．
2．下列命题错误的是（ ）
A． 平行四边形的对边相等
B． 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C． 对角线相等的四边形是矩形
D． 矩形的对角线相等
考点： 矩形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．
专题： 推理填空题．
分析： 根据平行四边形的性质即可判断A；根据平行四边形的判定即可判断B；根据矩形的判定即可判断C；根据矩形的性质即可判断D．
解答： 解：平行四边形的性质有平行四边形的对边相等，故A选项错误；
平行四边形的判定定理有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故B选项错误；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项正确；
D、矩形的性质有矩形的对角线相等，故D选项错误；
故选：C．
点评： 本题考查了矩形、平行四边形的性质和判定的应用，主要培养学生的判断能力，题型较好，但是一道比较容易出错的题目．
3．如图，在Rt△ABC中，∠A ( http: / / www.21cnjy.com )=90°，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是（ ）
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A． 一直增大 B．一直减小 C．先减小后增大 D． 先增大后减少
考点： 矩形的判定与性质；垂线段最短．
分析： 连接CP，先判断出四边形C ( http: / / www.21cnjy.com )FPE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF=CP，再根据垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，即可判断出动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，线段EF的值大小变化情况．
解答： 解：如图，连接AP．
∵∠A=90°，PE⊥AB，PF⊥AC
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF=AP，
由垂线段最短可得AP⊥BC时，AP最短，则线段EF的值最小，
∴动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是先减小后增大．
故选C．
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点评： 本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CP⊥AB时，线段EF的值最小是解题的关键．
4．已知下列命题中：（1） ( http: / / www.21cnjy.com )矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；（2）两条对角线相等的四边形是矩形；（3）有两个角相等的平行四边形是矩形；（4）两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形．其中正确的有（ ）
A． 4个 B．3个 C．2个 D． 1个
考点： 矩形的判定与性质．
分析： 根据矩形的轴对称性、矩形的判定和矩形的性质逐项分析即可得到正确命题的个数．
解答： 解：已知如图：
（1）矩形是轴对称图形，对边中点连线所在的直线是它的对称轴，并且有两条，故该选项正确；
（2）只有两条对角线相等的平行四边形是矩形；故该选项错误；
（3）所有的平行四边形对角都相等，但不一定是矩形，故该选项错误；
（4）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，再加对角线相等则为矩形，故该选项正确；
所以其中正确的有（1）和（4）．
故选C．
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点评： 本题考查了矩形的轴对称性以及矩形的性质和矩形的判定，准确掌握其性质和判定是解题的关键．
5．下列关于矩形的说法中正确的是（ ）
A． 矩形的对角线互相垂直且平分 B． 矩形的对角线相等且互相平分
C． 对角线相等的四边形是矩形 D． 对角线互相平分的四边形是矩形
考点： 矩形的判定与性质．
专题： 计算题．
分析： 根据矩形的性质得到：矩形的对角线相等且互相平分．
解答： 解：A、矩形的对角线互相平分，且相等，但不一定互相垂直，本选项错误；
B、矩形的对角线相等且互相平分，本选项正确；
C、对角线相等的四边形不一定为矩形，例如等腰梯形对角线相等，但不是矩形，本选项错误；
D、对角线互相平分的四边形为平行四边形，不一定为矩形，本选项错误．
故选B．
点评： 此题考查了矩形的判定与性质，是一道概念性试题，熟练掌握矩形的判定与性质是解本题的关键．
6．下列关于矩形的说法，正确的是（ ）
A． 对角线相等的四边形是矩形 B． 对角线互相平分的四边形是矩形
C． 矩形的对角线互相垂直且平分 D． 矩形的对角线相等且互相平分
考点： 矩形的判定与性质．
专题： 推理填空题．
分析： 根据定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．矩形的性质：
1．矩形的四个角都是直角
2．矩形的对角线相等
3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等
4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线）．
5．对边平行且相等
6．对角线互相平分，对各个选项进行分析即可．
解答： 解：A、因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以本选项错误；
B、因为对角线互相平分且相等的四边形是矩形，所以本选项错误；
C、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项错误；
D、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项正确．
故选D．
点评： 本题主要考查学生对矩形的判定与性质这一知识点的理解和掌握，都是一些基础知识，要求学生应熟练掌握．
7．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（ ）
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A． 2 B．2.2 C．2.4 D． 2.5
考点： 矩形的判定与性质；垂线段最短；勾股定理的逆定理．
专题： 压轴题．
分析： 根据三个角都是直角的四 ( http: / / www.21cnjy.com )边形是矩形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．
解答： 解：∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
∴AB2+AC2=BC2，
即∠BAC=90°．
又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF=AP．
因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4，
∴EF的最小值为2.4，
故选C．
点评： 此题综合运用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质、直角三角形的性质，要能够把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段．
8．在四边形ABCD中，∠A=60°，AB⊥BC，CD⊥AD，AB=4cm，CD=2cm，求四边形ABCD的周长（ ）
A． 10+2 B．8+2 C．8+3 D． 10+2
考点： 矩形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．
分析： 延长BC、AD交于O，求出OA、OD、OC、OB的值，求出BC、AD，即可求出答案．
解答： 解： ( http: / / www.21cnjy.com )
延长BC、AD交于O，
∵∠A=60°，AB⊥BC，CD⊥AD，
∴∠B=∠CDO=90°，∠O=30°，
∵AB=4cm，CD=2cm，
∴OA=2AB=8cm，CO=2CD=4cm，
由勾股定理得：OB==4（cm），OD==2（cm），
∴BC=（4﹣4）cm，AD=（8﹣2）cm，
∴AB+AD+DC+BC=4cm+（8﹣2）cm+2cm+（4﹣4）cm=（10+2）cm，
故选A．
点评： 本题考查了含30度角的直角三角形性质，垂直定义，勾股定理的应用，关键是求出BC、AD的长．
9．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（ ）
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A． 2 B．2.2 C．2.4 D． 2.5
考点： 矩形的判定与性质；垂线段最短；勾股定理．
分析： 根据已知得出四边形AEPF是矩形，得出EF=AP，要使EF最小，只要AP最小即可，根据垂线段最短得出即可．
解答： 解：连接AP，
∵∠A=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠A=∠AEP=∠AFP=90°，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF=AP，
要使EF最小，只要AP最小即可，
过A作AP⊥BC于P，此时AP最小，
在Rt△BAC中，∠A=90°，AC=4，AB=3，由勾股定理得：BC=5，
由三角形面积公式得：×4=×5×AP，
∴AP=2.4，
即EF=2.4，
故选C．
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点评： 本题利用了矩形的性质和判定、勾股定理、垂线段最短的应用，解此题的关键是确定出何时，EF最短，题目比较好，难度适中．
二．填空题（共5小题）
10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， ( http: / / www.21cnjy.com )AC=3，BC=4，P为AB边上（不与A、B重合的一动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，则线段EF的最小值是 2.4 ．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 矩形的判定与性质；垂线段最短；勾股定理．
分析： 连接CP，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFPE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF=CP，再根据垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．
解答： 解：如图，连接CP．
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB===5，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C=90°，
∴四边形CFPE是矩形，
∴EF=CP，
由垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，
此时，S△ABC=BC AC=AB CP，
即×4×3=×5 CP，
解得CP=2.4．
故答案为：2.4．
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点评： 本题考查了矩形的判定与性质， ( http: / / www.21cnjy.com )垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CP⊥AB时，线段EF的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程．
11.如图，在Rt△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连结DE，则DE的最小值为 4.8 ．
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考点： 矩形的判定与性质；垂线段最短；勾股定理．
分析： 连接CP，根据矩 ( http: / / www.21cnjy.com )形的性质可知：DE=CP，当DE最小时，则CP最小，根据垂线段最短可知当CP⊥AB时，则CP最小，再根据三角形的面积为定值即可求出CP的长．
解答： 解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10，
连接CP，
∵PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，
∴四边形DPEC是矩形，
∴DE=CP，
当DE最小时，则CP最小，根据垂线段最短可知当CP⊥AB时，则CP最小，
∴DE=CP==4.8，
故答案为：4.8．
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点评： 本题考查了勾股定理的运用、矩 ( http: / / www.21cnjy.com )形的判定和性质以及直角三角形的面积的不同求法，题目难度不大，设计很新颖，解题的关键是求DE的最小值转化为其相等线段CP的最小值．
12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°．D是AC的中点，DE⊥AC，AE∥BD，若BC=4，AE=5，则四边形ACBE的周长是 18 ．
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考点： 矩形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质．
分析： 求出∠CDB=∠DAE，∠C= ( http: / / www.21cnjy.com )∠ADE=90°，AD=DC，证△ADE≌△DCB，推出DE=BC，得出平行四边形DEBC，推出BE=DC，根据勾股定理求出DC，即可得出答案．
解答： 解：∵AE∥BD，
∴∠CDB=∠DAE，
∵∠ACB=90°，DE⊥AC，
∴∠C=∠ADE=90°，
∴DE∥BC，
∵D为AC中点，
∴AD=CD，
在△ADE和△DCB中
∵，
∴△ADE≌△DCB（ASA），
∴DE=BC=4，
在Rt△DCB中，BC=4，BD=5，由勾股定理得：DC=3，
∴AD=DC=3，
∵ED=BC，DE∥BC，
∴四边形DEBC是平行四边形，
∴CD=BE=3，
∴四边形ACBE的周长是AC+BC+BE+AE=3+3+4+3+5=18，
故答案为：18．
点评： 本题考查了矩形的性质，平行四边形 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点，关键是求出各个边的长度，本题综合性比较强，有一定的难度．
13．如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC=4，BC=3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值是 ．
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考点： 矩形的判定与性质；垂线段最短；勾股定理．
专题： 压轴题．
分析： 先由矩形的判定定理推知四边形P ( http: / / www.21cnjy.com )ECF是矩形；连接PC，则PC=EF，所以要使EF，即PC最短，只需PC⊥AB即可；然后根据三角形的等积转换即可求得PC的值．
解答： 解：连接PC．
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°；
又∵∠ACB=90°，
∴四边形ECFP是矩形，
∴EF=PC，
∴当PC最小时，EF也最小，
即当CP⊥AB时，PC最小，
∵AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∴AC BC=AB PC，
∴PC=．
∴线段EF长的最小值为；
故答案是：．
( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短．利用“两点之间垂线段最短”找出PC⊥AB时，PC取最小值是解答此题的关键．
14．如图．△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是 2 ．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 矩形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．
专题： 计算题．
分析： 由AF=BF得到F为AB的中点，又DF垂直平分AC，得到D为AC的中点，可得出DF为三角形ABC的中位线，根据三角形中位线定理得到DF平行于CB，且DF等于BC的一半，由BC的长求出DF的长，由两直线平行同旁内角互补得到∠C=90°，同时由DE与EB垂直，ED与DC垂直，根据垂直的定义得到两个角都为直角，利用三个角为直角的四边形为矩形得到四边形BCDE为矩形，在直角三角形ADF中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值，由∠A=30°，DF的长，求出AD的长，即为DC的长，由矩形的长BC于宽CD的乘积即可求出矩形BCED的面积．
解答： 解：∵AF=BF，即F为AB的中点，又DE垂直平分AC，即D为AC的中点，
∴DF为三角形ABC的中位线，
∴DE∥BC，DF=BC，
又∠ADF=90°，
∴∠C=∠ADF=90°，
又BE⊥DE，DE⊥AC，
∴∠CDE=∠E=90°，
∴四边形BCDE为矩形，
∵BC=2，∴DF=BC=1，
在Rt△ADF中，∠A=30°，DF=1，
∴tan30°=，即AD=，
∴CD=AD=，
则矩形BCDE的面积S=CD BC=2．
故答案为：2
点评： 此题考查了矩形的判定与性质，线段垂直 ( http: / / www.21cnjy.com )平分线的性质，锐角三角函数定义，三角形的中位线定理，以及平行线的性质，是一道多知识的综合性题，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
三．解答题（共6小题）
15．如图，△ABC中，AB=AC，AD、AE分别是∠BAC与∠BAC的外角的平分线，BE⊥AE．求证：AB=DE．
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考点： 矩形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 先由角平分线和等腰三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的性质证明AE∥BD，再由AD、AE分别是∠BAC与∠BAC的外角的平分线可证得DA⊥AE，可得AD∥BE，可证得四边形ADBE为矩形，可得结论．
解答： 证明：∵AD、AE分别是∠BAC与∠BAC的外角的平分线，
∴∠BAD+∠EAB=（∠BAC+∠FAB）=90°，
∵BE⊥AE，
∴DA∥BE，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠FAB=∠ABC+∠ACB=2∠ABC，且∠FAB=2∠EAB，
∴∠ABC=∠EAB，
∴AE∥BD，
∴四边形AEBD为平行四边形，且∠BEA=90°，
∴四边形AEBD为矩形，
∴AB=DE．
点评： 本题主要考查矩形的判定和性质，由角平分线及等腰三角形的性质证明AE∥BD是解题的关键．
16．如图，四边形ABCD为平行四 ( http: / / www.21cnjy.com )边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm．
（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；
（2）求BF的长；
（3）求折痕AF长．
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考点： 矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．
专题： 证明题．
分析： （1）根据翻折变换的 ( http: / / www.21cnjy.com )对称性可知AE=AB，在△ADE中，利用勾股定理逆定理证明三角形为直角三角形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可；
（2）设BF为x，分别表示出EF、EC、FC，然后在△EFC中利用勾股定理列式进行计算即可；
（3）在Rt△ABF中，利用勾股定理求解即可．
解答： （1）证明：∵把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，
∴AE=AB=10，AE2=102=100，
又∵AD2+DE2=82+62=100，
∴AD2+DE2=AE2，
∴△ADE是直角三角形，且∠D=90°，
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；
（2）解：设BF=x，则EF=BF=x，EC=CD﹣DE=10﹣6=4cm，FC=BC﹣BF=8﹣x，
在Rt△EFC中，EC2+FC2=EF2，
即42+（8﹣x）2=x2，
解得x=5，
故BF=5cm；
（3）解：在Rt△ABF中，由勾股定理得，AB2+BF2=AF2，
∵AB=10cm，BF=5cm，
∴AF==5cm．
点评： 本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定，勾股定理，以及翻折变换前后的两个图形全等的性质，是综合题，但难度不大．
17．如图：在矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、P分别在AD、BC上，且DE=BP=1．
求证：四边形EFPH为矩形．
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考点： 矩形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 求出平行四边形APCE、DEBP，推出HP∥EF，HE∥FP，求出∠BEC=90°，根据矩形的判定推出即可．
解答： 证明：∵在矩形ABCD中，
∴AB=DC，AD∥BC，
∵ED=BP，
∴四边形DEBP是平行四边形，
∴BE∥DP，
∵AD=BC，AD∥BC，DE=BP，∴AE=CP，
∴四边形AECP是平行四边形，
∴AP∥CE，
∴四边形EFPH是平行四边形，
∵在矩形ABCD中，
∴∠ADC=∠ABP=90°，AD=BC=5，AB=CD=2，
∴CE=，同理BE=2，
∴BE2+CE2=BC2
∴∠BEC=90°，
∴四边形EFPH是矩形．
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点评： 本题考查了矩形的性质和判定，平行四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形的性质和判定，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是求出四边形HPFE是平行四边形和求出∠BEC=90°．
18．已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形．
（1）求证：四边形ADBE是矩形；
（2）求矩形ADBE的面积．
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考点： 矩形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．
分析： （1）利用三线合一定理可以证得∠ADB=90°，根据矩形的定义即可证得；
（2）利用勾股定理求得BD的长，然后利用矩形的面积公式即可求解．
解答： 解：（1）∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵四边形ADBE是平行四边形．
∴平行四边形ADBE是矩形；
（2）∵AB=AC=5，BC=6，AD是BC的中线，
∴BD=DC=6×=3，
在直角△ACD中，
AD===4，
∴S矩形ADBE=BD AD=3×4=12．
点评： 本题考查了三线合一定理以及矩形的判定，理解三线合一定理是关键．
19．如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上且AE=CG，AH=CF．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）如果AB=AD，且AH=AE，求证：四边形EFGH是矩形．
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考点： 矩形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： （1）易证得△AEH≌△CGF，从 ( http: / / www.21cnjy.com )而证得BE=DG，DH=BF．故有，△BEF≌△DGH，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形而得证．
（2）由题意知，平行四边形ABCD是菱形，连接AC，BD，则有AC⊥BD，由AB=AD，且AH=AE可证得HE∥BD，同理可得到HG∥AC，故HG⊥HE，又由1知四边形HGFE是平行四边形，故四边形HGFE是矩形．
解答： 证明：（1）在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，（1分）
又∵AE=CG，AH=CF，
∴△AEH≌△CGF．（2分）
∴EH=GF．（1分）
在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，
∴AB﹣AE=CD﹣CG，AD﹣AH=BC﹣CF，
即BE=DG，DH=BF．
又∵在平行四边形ABCD中，∠B=∠D，∴△BEF≌△DGH．（1分）
∴GH=EF．（1分）
∴四边形EFGH是平行四边形．（1分）
（2）解法一：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD．
设∠A=α，则∠D=180°﹣α．
∵AE=AH，∴∠AHE=∠AEH=．（1分）∵AD=AB=CD，AH=AE=CG，
∴AD﹣AH=CD﹣CG，即DH=DG．（1分）
∴∠DHG=∠DGH=．（1分）
∴∠EHG=180°﹣∠DHG﹣∠AHE=90°．（1分）
又∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是矩形．（1分）
解法二：连接BD，AC．
∵AH=AE，AD=AB，
∴，∴HE∥BD，（1分）
同理可证，GH∥AC，（1分）
∵四边形ABCD是平行四边形且AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，（1分）
∴AC⊥BD，∴∠EHG=90°．（1分）
又∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是矩形．（1分）
点评： 本题利用了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，矩形的判定求解．
20．在矩形ABCD中，AD=12cm，点P ( http: / / www.21cnjy.com )在AD边以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q从C点出发，以4cm/s的速度在CB间做往返运动，两点同时出发，直到点P到达点D时，P、Q都停止运动，设运动时间为t秒，当t为多少时，四边形ABQP为矩形？
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 矩形的判定与性质．
专题： 动点型．
分析： 当四边形ABQP为矩形时，则AP=BQ，列式可求得t的值．
解答： 解：∵在矩形ABCD中，AD=12cm，
∴AD=BC=12cm．
当四边形ABQP为矩形时，AP=BQ．
①当0＜t＜3时，t=12﹣4t，
解得，t=；
②当3≤t＜6时，t=4t﹣12，
解得 t=4；
③当6≤t＜9时，t=36﹣4t，
解得 t=；
④当9≤t≤12时，t=4t﹣36，
解得，t=12．
综上所述，当t为或4或或12时，四边形ABQP为矩形．
点评： 本题考查了矩形的性质和平行线的性质．解决本题的关键是理解平行的次数就是Q在BC上往返运动的次数．
