15.2.2分式的加减 学案（知识清单+典型例题+巩固提升）

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人教版八年级数学上册 15.2.2 分式的加减 导学案
【知识清单】
1.加减运算
；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.
；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
2.分式的混合运算顺序
　先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.
【典型例题】
考点1：同分母分式加减法
例1．已知，，其中，则P、Q的大小关系是（　　）
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【分析】作差比较，将化简之后，结合即可判断．
【详解】∵，，
∴
，
∵，
∴，，
∴，
即，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查分式的化简，作差比较两个数的大小等，正确对分式进行化简是解题的关键．
考点2：异分母分式加减法
例2．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】．D
【分析】根据异分母分式加法计算法则求解即可．
【详解】解：
，
故选D．
【点睛】本题主要考查了异分母分式加法计算，正确把分母进行通分是解题的关键．
考点3：整式与分式相加减
例3．已知．则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】．A
【分析】先把等式变形为，然后两边平方，即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
两边除以，得：，
∴，
两边平方，得：，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查分式的混合运算，求代数式的值，应用了恒等变形的思想．掌握完全平方公式是解题的关键．
考点4：分式加减混合运算及应用
例4．为整数，符合条件的整数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】．B
【分析】当时，去掉绝对值后利用分离常数法得到，再根据题意可得为整数，由此可得或；同理当时，可得为整数，求出（舍去）；由此即可得到答案．
【详解】解：当时，
，
∵为整数，
∴为整数，
∴或，
∴或；
当时，
，
∵为整数，
∴为整数，
∴，
∴（舍去）；
综上所述，或；
故选B．
【点睛】本题主要考查了根据分式值的情况求未知数，熟知分离常数法和分式的运算法则是解题的关键．
考点5：分式加减乘除混合运算
例5．计算的结果是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】．A
【分析】根据分式的混合运算法则进行计算，先算乘除，后算加减，如果有小括号先算小括号里面的．
【详解】解：原式
．
故选：A．
【点睛】本题考查分式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则准确计算是解题关键．
考点6：分式化简求值
6．如果，那么代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】．D
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，结合已知条件即可求解．
【详解】解：原式
，
，即，
原式，
故选：．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
【巩固提升】
选择题
1．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．对于任意的值都有，则，值为（ ）
A．， B．， C．， D．，
5．若代数式，都有意义，比较二者的数量关系，下列说法正确的为（ ）
A．不相等 B．相等 C．前者较大 D．后者较大
6．某轮船在静水中的速度为30千米/时，港、港之间的航行距离为千米，水流速度为千米/时．如果该轮船从港驶往港，接着返回港，航行所用时间为小时，假设该轮船在静水中航行千米所用时间为小时，那么与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不确定
7．小明在化简分式时，发现最终结果是整式，则表示的式子可以是（ ）
A． B． C．m D．
8．若，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
二、填空题
9．化简的结果是 ．
10．照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．若已知f、v，则 ．
11．计算： ．
12．甲、乙两港口分别位于长江的上、下游，相距50千米，一艘轮船在静水中的速度为a千米/时，水流的速度为b千米/时，轮船往返两个港口一次共需 小时.
13．若，则= ．
三、解答题
14．计算：
(1)；
(2)．
15．计算：
(1)
(2)
16．计算：
(1)；
(2)．
17．已如是恒等式，请分别求的a、b的值．
18．观察下列式子，并探索它们的规律：
；
．
(1)填空：
①________；②________；
(2)当取哪些正整数时，分式的值为整数？
19．数学来源于生活，生活离不开数学．开水中加入适量的糖冲泡成甜糖水很受一些人的喜爱，人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度．
(1)若在a克糖水里面含糖b克，则该糖水的甜度为______；
(2)现向（1）中的糖水中再加入适量的糖，充分搅匀后，感觉糖水更甜了．请用所学的数学知识解释这一现象．
20．化简：．
21．先化简，再求值：，其中．
参考答案
1．A
【分析】根据同分母的分式相加减的法则求出即可．
【详解】解：
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了同分母分式减法计算，能灵活运用法则进行化简是解此题的关键．
2．C
【分析】已知等式左边两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，变形后即可得到结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，化简求值的方法有直接代入法，整体代入法等常用的方法，解题时可根据题目具体条件选择合适的方法，当未知的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式的各分式都有意义，且除数不能为0．
3．C
【分析】根据分式的基本性质和运算法则，逐一判断，即可解答．
【详解】解：，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的基本性质和运算法则，熟知该法则是解题的关键．
4．B
【分析】对等式右边通分并进行加法运算，再根据对应项系数相等列方程组求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得：．
故选：B．
【点睛】本题考查分式的加法，二元一次方程组．掌握分式的加减运算法则是解题的关键．
5．A
【分析】通过作差法比较即可．
【详解】解：
，
故二者不相等；
当时，，前者较大；
当时，，后者较大．
故选：A．
【点睛】本题考查了分式运算，掌握作差法，分式的加减运算是解题的关键．
6．B
【分析】利用速度公式求差法比较大小即可．
【详解】解：由题意可得：，，,
，
故选：B．
【点睛】本题考查了列代数式，分式的加减运算，把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． 解决本题的关键是表示轮船顺水和逆水中的速度．
7．A
【分析】设里的式子为，然后代入进行计算，最后根据整式的定义结合选项，确定和的值即可．
【详解】解：设里的式子为
∴
令为整式，则有，即
令，则
∴里的式子为
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的运算和整式的定义，设里的式子为，根据整式的定义结合选项确定和的值是解答本题的关键．
8．B
【分析】先根据异分母分式减法计算法则将所求式子化简为，再推出，然后代入求解即可．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴原式，
故选B．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，正确将所求式子进行化简是解题的关键．
9．/
【分析】先进行分式加减运算，然后利用完全平方公式对分子部分进行变形后约分即可．
【详解】解：．
【点睛】本题主要考查了分式的化简，解题关键是熟练运用分式加减法则以及完全平方公式．
10．
【分析】利用分式的基本性质，把等式变形即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的加减，掌握异分母分式的加减是解题的关键．
11．/
【分析】根据分式的加减法进行计算即可求解．
【详解】解：原式＝
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式与整式的加减运算，掌握分式的运算法则是解题的关键．
12．
【分析】分别求出顺流和逆流时的速度，利用路程、时间、速度之间的关系即可列式求解．
【详解】解：轮船在静水中的速度为a千米/时，水流的速度为b千米/时，
顺流速度为千米/时，逆流速度为千米/时，
甲、乙两港口分别位于长江的上、下游，相距50千米，
轮船往返两个港口一次共需时间为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式加减的应用，解题的关键是计算出轮船顺流和逆流时的速度，根据路程、时间、速度之间的关系列出分式．
13．
【分析】根据已知条件可得，代入代数式，即可求解．
【详解】解：∵，
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的加减与化简求值，熟练掌握分式的加减法是解题的关键．
14．(1)；
(2)
【分析】（1）根据同分母分式的减法法则计算即可；
（2）先将分子、分母因式分解，再将除法化为乘法，最后再约分即可；
【详解】（1）原式
；
（2）原式
【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．(1)
(2)
【分析】根据分式的加减运算法则，先通分，然后再把分子部分合并同类项．
【详解】（1）
（2）
【点睛】本题考查了分式的加减运算，解题的关键是用最简公分母进行“通分”．
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据同分母分式的加减法运算法则进行运算即可．
（2）利用分式的除法法则进行运算再进行加减运算，注意要先因式分解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是正确使用分式的运算法则，如同分母分式相减，分母不变，分子相减，除以一个分式等于乘以这个分式的倒数．
17．
【分析】先把分式恒等式去分母可得，再利用恒等建立方程组即可．
【详解】解：，
∴去分母可得：，
∴，
由恒等式可得：
，
解得：．
【点睛】本题考查的是分式的恒等，掌握“分式的恒等的含义”是解本题的关键．
18．(1)①；②
(2)为1或3
【分析】（1）①先把原式化为，再根据分式的除法计算；
②先把原式化为，再根据分式的除法计算；
（2）先把原式化为，再根据分式的除法计算得，根据分式的值为整数得，或，计算即可．
【详解】（1）；
；
故答案为：①；②；
（2），
当为正整数，且为5的约数时，的值为整数，
即或时，的值为整数．
或，
即当为1或3时，的值为整数．
【点睛】本题考查了分式的加减法、规律型数字的变化类、整式的加减，掌握分式的加减法运算方法，其中数字的变化规律是解题关键．
19．(1)
(2)理由见解析
【分析】（1）用糖水中糖与糖水的比表示即可；
（2）设往杯中加入克糖，则此时糖水的甜度为：，再利用作差法比较与的大小即可．
【详解】（1）解：∵糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度，
∴在a克糖水里面含糖b克，则该糖水的甜度为；
（2）设往杯中加入克糖，则此时糖水的甜度为：，
∵
，
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∴向（1）中的糖水中再加入适量的糖，充分搅匀后，糖水更甜．
【点睛】本题考查的是列代数式，分式的加减运算，分式的值的大小比较，理解题意，选择合适的方法解题是关键．
20．
【分析】先计算括号内分式的减法运算，再把除法化为乘法运算，约分后可得答案．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查的是分式的混合运算，熟记混合运算的运算顺序是解本题的关键．
21．，
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
【详解】解∶
，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，分式的混合运算，正确掌握分式的混合运算是解题的关键．
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