华师大版八年级数学下19.2.1菱形的判定同步跟踪训练(考点+分析+点评)
文档属性
| 名称 | 华师大版八年级数学下19.2.1菱形的判定同步跟踪训练(考点+分析+点评) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 174.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-03-16 21:12:00 | ||
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文档简介
19.2.1菱形的判定
农安县合隆中学 徐亚惠
一．选择题（共6小题）
1．平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣3，0）、B（0，2）、C（3，0）、D（0，﹣2），四边形ABCD是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
2．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC中点，连接AF，BE，CE，DF分别交于点M，N，四边形EMFN是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．无法确定
3．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形是菱形
B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
C．对角线相互垂直的四边形是菱形
D．有一个角是直角的平行四边形是菱形
4．如图，在平行四边形ABCD中，添加下列条件不能判定平行四边形ABCD是菱形的是（ ）
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A．AB=BC B．AC⊥BD C．BD平分∠ABC D．AC=BD
5．下列说法中，正确的是（ ）
A．同位角相等 B．对角线相等的四边形是平行四边形
C．矩形的对角线一定互相垂直 D．四条边相等的四边形是菱形
6．下列说法中，正确的是（ ）
A．同位角相等 B．对角线相等的四边形是平行四边形
C．四条边相等的四边形是菱形 D．矩形的对角线一定互相垂直
二．填空题（共7小题）
7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC， ( http: / / www.21cnjy.com )BD交于点O，OA=OC，OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是 _________ （写出一个即可）．
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8．已知 ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使 ABCD成为一个菱形，你添加的条件是 _________ ．
9．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF．给出下列条件：
①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB=AC；
从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是 _________ （只填写序号）．
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10．如图在Rt△ABC中，∠ACB=90 ( http: / / www.21cnjy.com )°，AC=4，BC=3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD= _________ ，平行四边形CDEB为菱形．
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11．如图，在平行四边形ABCD中，请再添加一个条件，使它成为菱形，则该条件可以是 _________ ． ( http: / / www.21cnjy.com )
12．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四种说法：
①四边形AEDF是平行四边形；
②如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形；
③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；
④如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形．
其中，正确的有 _________ （只填写序号）．
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13．在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，那么再加上条件 _________ ，此四边形就成为菱形（填上一个正确的条件即可）．
三．解答题（共7小题）
14．如图：在 ABCD中，AC为其对角线，过点D作AC的平行线与BC的延长线交于E．
（1）求证：△ABC≌△DCE；
（2）若AC=BC，求证：四边形ACED为菱形．
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15．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于点O，点E在AO上，且OE=OC．
（1）求证：∠1=∠2；
（2）连结BE、DE，判断四边形BCDE的形状，并说明理由．
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16．如图，在三角形纸片A ( http: / / www.21cnjy.com )BC中，AD平分∠BAC，将△ABC折叠，使点A与点D重合，展开后折痕分别交AB、AC于点E、F，连接DE、DF．求证：四边形AEDF是菱形．
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17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N，若∠BAD=∠BCD，AM=AN，求证：四边形ABCD是菱形．
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18如图所示，已知：矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过点O的直线EF与AB、CD的延长线分别交于点E、F．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是菱形？并证明你的结论．
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19.如图，在 ABCD中，EF过AC的中点O，与边AD、BC分别相交于点E、F．
（1）试说明四边形AECF是平行四边形；
（2）当EF过AC的中点，且与AC垂直时，试说明四边形AECF是菱形．
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13．如图，在矩形ABCD中，E，F分 ( http: / / www.21cnjy.com )别为AD，BC的中点，连结AF，DF，BE，CE，AF与BE交于G，DF与CE交于H．求证：四边形EGFH为菱形．
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19.2.1菱形的判定
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣3，0）、B（0，2）、C（3，0）、D（0，﹣2），四边形ABCD是（ ）
A． 矩形 B． 菱形 C． 正方形 D． 梯形
考点： 菱形的判定；坐标与图形性质．
分析： 在平面直角坐标系中，根据点的坐标画出四边形ABCD，再根据图形特点进行判断．
解答： 解：图象如图所示：
∵A（﹣3，0）、B（0，2）、C（3，0）、D（0，﹣2），
∴OA=0C，OB=OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵BD⊥AC，
∴四边形ABCD为菱形，
故选：B．
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点评： 本题考查了点的坐标的表示方法，及菱形的判定定理．
2．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC中点，连接AF，BE，CE，DF分别交于点M，N，四边形EMFN是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． 正方形 B．菱形 C．矩形 D． 无法确定
考点： 菱形的判定；矩形的性质．
分析： 求出四边形ABFE为平行四 ( http: / / www.21cnjy.com )边形，四边形BFDE为平行四边形，根据平行四边形的性质得出BE∥FD，即GE∥FH，同理可证EH∥GF，得出四边形EGFH为平行四边形，求出GE=GF，根据菱形的判定得出即可．
解答： 解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
又∵E，F分别为AD，BC中点，
∴AE∥BF，AE=BF，ED∥CF，DE=CF，
∴四边形ABFE为平行四边形，四边形BFDE为平行四边形，
∴BE∥FD，即GE∥FH，
同理可证EH∥GF，
∴四边形EGFH为平行四边形，
∵四边形ABFE为平行四边形，∠ABC为直角，
∴ABFE为矩形，
∴AF，BE互相平分于G点，
∴GE=GF，
∴四边形EGFH为菱形．
故选B．
点评： 本题考查了矩形的性质和判定 ( http: / / www.21cnjy.com )，菱形的判定，平行四边形的性质和判定的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目比较好，综合性比较强．
3．下列说法正确的是（ ）
A． 对角线相等的平行四边形是菱形
B． 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
C． 对角线相互垂直的四边形是菱形
D． 有一个角是直角的平行四边形是菱形
考点： 菱形的判定．
分析： 利用菱形的判定定理对各个选项逐一判断后即可确定正确的选项．
解答： 解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故A选项错误；
B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故B选项正确；
C、对角线相互垂直的平行四边形是菱形，故C选项错误；
D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故D选项错误，
故选：B．
点评： 本题考查了菱形的判定，牢记菱形的判定定理是解答本题的关键，难度不大．
4．如图，在平行四边形ABCD中，添加下列条件不能判定平行四边形ABCD是菱形的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． AB=BC B． AC⊥BD C． BD平分∠ABC D． AC=BD
考点： 菱形的判定；平行四边形的性质．
分析： 根据菱形的判定定理，即可求得答案．注意排除法的应用．
解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴A、当AB=BC时，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得 ABCD是菱形，故本选项正确；
B、当AC⊥BD时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得 ABCD是菱形，故本选项正确；
C、当BD平分∠ABC时，易证得AB=AD，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得 ABCD是菱形，故本选项正确；
由排除法可得D选项错误．
故选D．
点评： 此题考查了菱形的判定．熟记判定定理是解此题的关键．
5．下列说法中，正确的是（ ）
A． 同位角相等 B． 对角线相等的四边形是平行四边形
C． 矩形的对角线一定互相垂直 D． 四条边相等的四边形是菱形
考点： 菱形的判定；同位角、内错角、同旁内角；平行四边形的判定；矩形的性质．
分析： A、根据平行线的性质进行判断；
B、由平行线的判定定理进行判断；
C、由矩形的性质进行判断；
D、由菱形的判定定理进行判断．
解答： 解：A、两直线平行时，同位角才相等．故本选项错误；
B、对角线相等的四边形不一定是平行四边形．例如：等腰梯形的对角线相等．故本选项错误；
C、矩形的对角线不一定互相垂直，菱形的对角线一定垂直．故本选项错误；
D、根据菱形的定义知，四条边相等的四边形是菱形．故本选项正确；
故选：D．
点评： 本题考查了菱形、平行四边形的判定，矩形的性质等．熟记四边形的性质和定义是解题的关键．
6．下列说法中，正确的是（ ）
A． 同位角相等 B． 对角线相等的四边形是平行四边形
C． 四条边相等的四边形是菱形 D． 矩形的对角线一定互相垂直
考点： 菱形的判定；同位角、内错角、同旁内角；平行四边形的判定；矩形的性质．
分析： 根据平行线的性质判断A即可；根据平行四边形的判定判断B即可；根据菱形的判定判断C即可；根据矩形的性质判断D即可．
解答： 解：A、如果两直线平行，同位角才相等，故A选项错误；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故B选项错误；
C、四边相等的四边形是菱形，故C选项正确；
D、矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故D选项错误；
故选C．
点评： 本题考查了平行线的性质，平行四边形、菱形的判定、矩形的性质的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力．
二．填空题（共7小题）
7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，B ( http: / / www.21cnjy.com )D交于点O，OA=OC，OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是 AB=AD （写出一个即可）．
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考点： 菱形的判定．
专题： 开放型．
分析： 利用菱形的判定定理添加邻边相等或对角线垂直即可判定该四边形是菱形．
解答： 解：∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵邻边相等的平行四边形是菱形，
∴添加的条件是AB=AD（答案不唯一），
故答案为：AB=AD．
点评： 本题考查了菱形的判定，牢记菱形的判定定理是解答本题的关键．
8．已知 ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使 ABCD成为一个菱形，你添加的条件是 AD=DC ．
考点： 菱形的判定；平行四边形的性质．
专题： 开放型．
分析： 根据菱形的定义得出答案即可．
解答： 解：∵邻边相等的平行四边形是菱形，
∴平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件：可以为：AD=DC；
故答案为：AD=DC．
点评： 此题主要考查了菱形的判定以及平行四边形的性质，根据菱形的定义得出是解题关键．
9．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF．给出下列条件：
①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB=AC；
从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是 ③ （只填写序号）．
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考点： 菱形的判定．
专题： 推理填空题．
分析： 首先利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定该四边形为平行四边形，然后结合菱形的判定得到答案即可．
解答： 解：由题意得：BD=CD，ED=FD，
∴四边形EBFC是平行四边形，
①BE⊥EC，根据这个条件只能得出四边形EBFC是矩形，
②BF∥CE，根据EBFC是平行四边形已可以得出BF∥CE，因此不能根据此条件得出菱形，
③AB=AC，
∵，
∴△ADB≌△ADC，
∴∠BAD=∠CAD
∴△AEB≌△AEC（SAS），
∴BE=CE，
∴四边形BECF是菱形．
故答案为：③．
点评： 本题考查了菱形的判定，解题的关键是了解菱形的判定定理，难度不是很大．
10．如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD= ，平行四边形CDEB为菱形．
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考点： 菱形的判定．
分析： 首先根据勾股定理求得AB=5；然后利用菱形的对角线互相垂直平分、邻边相等推知OD=OB，CD=CB；最后Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB的值，则AD=AB﹣2OB．
解答： 解：如图，连接CE交AB于点O．
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB==5（勾股定理）．
若平行四边形CDEB为菱形时，CE⊥BD，且OD=OB，CD=CB．
∵AB OC=AC BC，
∴OC=．
∴在Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB===，
∴AD=AB﹣2OB=．
故答案是：．
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点评： 本题考查了菱形的判定与性质．菱形的对角线互相垂直平分．
11．如图，在平行四边形ABCD中，请再添加一个条件，使它成为菱形，则该条件可以是 AC⊥BD，AB=BC ． ( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 菱形的判定；平行四边形的性质．
专题： 开放型．
分析： 在平行四边形ABCD的基础上，邻边相等或对角线互相垂直均可判定．
解答： 解：在平行四边形ABCD的基础上
①∵菱形ABCD是一组邻边相等的平行四边形，
∴平行四边形ABCD中，只需添一个条件：邻边AB=AD或AD=CD；
②∵菱形ABCD的对角线互相垂直平分，
∴平行四边形ABCD中，只需添一个条件：AC⊥BD．
故答案是：AC⊥BD，AB=BC等．
点评： 本题主要考查的是平行四边形和菱形的判定定理．但需要注意的是本题的知识点是关于平行四边形、菱形之间的关系．
12．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四种说法：
①四边形AEDF是平行四边形；
②如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形；
③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；
④如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形．
其中，正确的有 ①②③④ （只填写序号）．
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考点： 菱形的判定；平行四边形的判定；矩形的判定．
专题： 压轴题．
分析： 根据平行四边形、矩形、菱形的判定方法进行解答．
解答： 解：①∵DE∥CA，DF∥BA，
∴四边形AEDF是平行四边形；故①正确；
②若∠BAC=90°，则平行四边形AEDF是矩形；故②正确；
③若AD平分∠BAC，则DE=DF；
所以平行四边形是菱形；故③正确；
④若AD⊥BC，AB=AC；
根据等腰三角形三线合一的性质知：DA平分∠BAC；
由③知：此时平行四边形AEDF是菱形；故④正确；
所以正确的结论是①②③④．
点评： 此题主要考查了平行四边形、菱形、矩形的判定方法：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
有一个角是直角的平行四边形是矩形；
一组邻边相等的平行四边形是菱形．
13．在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，那么再加上条件 AB=AD ，此四边形就成为菱形（填上一个正确的条件即可）．
考点： 菱形的判定．
专题： 开放型．
分析： 根据两组对边相等的 ( http: / / www.21cnjy.com )四边形是平行四边形，可知四边形ABCD是平行四边形；根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可补充条件AB=AD．此题属开放性题目，答案不唯一．
解答： 解：可添加的条件为AB=AD，
∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=AD，
∴四边形ABCD为菱形．
故答案为：AB=AD．
点评： 此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定方法：
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②四条边都相等的四边形是菱形．
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
三．解答题（共7小题）
14．如图：在 ABCD中，AC为其对角线，过点D作AC的平行线与BC的延长线交于E．
（1）求证：△ABC≌△DCE；
（2）若AC=BC，求证：四边形ACED为菱形．
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考点： 菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
专题： 证明题．
分析： （1）利用AAS判定两三角形全等即可；
（2）首先证得四边形ACED为平行四边形，然后证得AC=AD，利用邻边相等的平行四边形是菱形判定即可．
解答： 证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠B=∠1，
又∵DE∥AC
∴∠2=∠E，
在△ABC与△DCE中，
，
∴△ABC≌△DCE；
（2）∵平行四边形ABCD中，
∴AD∥BC，
即AD∥CE，
由DE∥AC，
∴ACED为平行四边形，
∵AC=BC，
∴∠B=∠CAB，
由AB∥CD，
∴∠CAB=∠ACD，
又∵∠B=∠ADC，
∴∠ADC=∠ACD，
∴AC=AD，
∴四边形ACED为菱形．
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点评： 本题考查了菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定定理，难度不大．
15．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于点O，点E在AO上，且OE=OC．
（1）求证：∠1=∠2；
（2）连结BE、DE，判断四边形BCDE的形状，并说明理由．
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考点： 菱形的判定；线段垂直平分线的性质．
专题： 证明题．
分析： （1）证明△ADC≌△ABC后利用全等三角形的对应角相等证得结论；
（2）首先判定四边形BCDE是平行四边形，然后利用对角线垂直的平行四边形是菱形判定菱形即可．
解答： （1）证明：∵在△ADC和△ABC中，
，
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴∠1=∠2；
（2）四边形BCDE是菱形；
证明：∵∠1=∠2，
∴AC垂直平分BD，
∵OE=OC，
∴四边形DEBC是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形DEBC是菱形．
点评： 本题考查了菱形的判定及线段的垂直平分线的性质，解题的关键是了解菱形的判定方法，难度不大．
16．如图，在三角形纸片 ( http: / / www.21cnjy.com )ABC中，AD平分∠BAC，将△ABC折叠，使点A与点D重合，展开后折痕分别交AB、AC于点E、F，连接DE、DF．求证：四边形AEDF是菱形．
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考点： 菱形的判定；翻折变换（折叠问题）．
专题： 证明题．
分析： 由∠BAD=∠CAD，AO=A ( http: / / www.21cnjy.com )O，∠AOE=∠AOF=90°证△AEO≌△AFO，推出EO=FO，得出平行四边形AEDF，根据EF⊥AD得出菱形AEDF．
解答： 证明：∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD
又∵EF⊥AD，
∴∠AOE=∠AOF=90°
∵在△AEO和△AFO中
，
∴△AEO≌△AFO（ASA），
∴EO=FO
又∵A点与D点重合，
∴AO=DO，
∴EF、AD相互平分，
∴四边形AEDF是平行四边形
又EF⊥AD，
∴平行四边形AEDF为菱形．
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点评： 本题考查了平行四边形的判定，菱 ( http: / / www.21cnjy.com )形的判定，线段垂直平分线，全等三角形的性质和判定等知识点，注意：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
17．如图，在四边形ABCD中，A ( http: / / www.21cnjy.com )D∥BC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N，若∠BAD=∠BCD，AM=AN，求证：四边形ABCD是菱形．
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考点： 菱形的判定．
专题： 证明题．
分析： 首先证明∠B=∠D，可得四边形ABCD是平行四边形，然后再证明△ABM≌△ADN可得AB=AD，再根据菱形的判定定理可得结论．
解答： 证明：∵AD∥BC，
∴∠B+∠BAD=180°，∠D+∠C=180°，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠B=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AM⊥BC，AN⊥DC，
∴∠AMB=∠AND=90°，
在△ABM和△ADN中，
，
∴△ABM≌△ADN（AAS），
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形．
点评： 此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形．
18．如图所示，已知：矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过点O的直线EF与AB、CD的延长线分别交于点E、F．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是菱形？并证明你的结论．
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考点： 菱形的判定；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．
专题： 证明题．
分析： （1）由矩形的性质：OB=OD，AE∥CF证得△BOE≌△DOF；
（2）当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形．根据已知条件可证明四边形AECF是平行四边形，当EF⊥AC，可根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定．
解答： 证明：（1）∵四边形ABCD是矩形
∴OB=OD（矩形的对角线互相平分）
AE∥CF（矩形的对边平行）
∴∠E=∠F，∠OBE=∠ODF
∴△BOE≌△DOF（AAS）；
（2）当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形．
证明：∵四边形ABCD是矩形
∴OA=OC（矩形的对角线互相平分）
又∵△BOE≌△DOF
∴OE=OF
∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．
点评： 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质和菱形的判定．解答此题的关键是熟知矩形、菱形、全等三角形的判定与性质定理．
19．如图，在 ABCD中，EF过AC的中点O，与边AD、BC分别相交于点E、F．
（1）试说明四边形AECF是平行四边形；
（2）当EF过AC的中点，且与AC垂直时，试说明四边形AECF是菱形．
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考点： 菱形的判定；平行四边形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： （1）要说明四边形AECF是平行四边形，我们可以通过说明AE=CF、AE∥CF或AO=CO、EO=FO．
证△AOE≌△COF可得；
（2）运用对角线互相垂直的平行四边形是菱形来加以说明．
解答： 解：（1）∵在平行四边形ABCD中，
∴AD∥BC，
∴∠EAC=∠FCA，∠AEF=∠CFE．
又AO=OC，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF．
∴四边形AECF是平行四边形；（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
（2）∵四边形AECF是平行四边形，AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）
点评： 菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：
①定义；
②四边相等；
③对角线互相垂直平分．具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定．
20．如图，在矩形ABCD中，E，F分别 ( http: / / www.21cnjy.com )为AD，BC的中点，连结AF，DF，BE，CE，AF与BE交于G，DF与CE交于H．求证：四边形EGFH为菱形．
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考点： 菱形的判定；矩形的性质．
专题： 证明题．
分析： 根据一组对边平行且相等的四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形式平行四边形，可证明四边形AECF、BEDF是平行四边形，根据平行四边形的性质，可得GF与EH、EG与FH的关系，根据平行四边形的判定，可得EGFH的形状，根据三角形全等，可得EG与FG的关系，根据菱形的定义，可得证明结论．
解答： 证明：∵在矩形ABCD中AD=BC，且E、F分别是AD、BC的中点，
∴AE=DE=BF=CF
又∵AD∥BC，
∴四边形AECF、BEDF是平行四边形．
∴GF∥EH、EG∥FH．
∴四边形EGFH是平行四边形．
在△AEG和△FBG中，
，
∴△AEG≌△FBG（AAS）
∴EG=GB，AG=GF，
在△ABE和△BAF中
∵，
∴△ABE≌△BAF（SAS），
∴AF=BE，
∵EG=GB=BE，AG=GF=AF，
∴EG=GF，
∴四边形EGFH是菱形．
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点评： 考查了菱形的判定，牢记有关菱形的判定定理是解答本题的关键，难度不大．
农安县合隆中学 徐亚惠
一．选择题（共6小题）
1．平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣3，0）、B（0，2）、C（3，0）、D（0，﹣2），四边形ABCD是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
2．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC中点，连接AF，BE，CE，DF分别交于点M，N，四边形EMFN是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．无法确定
3．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形是菱形
B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
C．对角线相互垂直的四边形是菱形
D．有一个角是直角的平行四边形是菱形
4．如图，在平行四边形ABCD中，添加下列条件不能判定平行四边形ABCD是菱形的是（ ）
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A．AB=BC B．AC⊥BD C．BD平分∠ABC D．AC=BD
5．下列说法中，正确的是（ ）
A．同位角相等 B．对角线相等的四边形是平行四边形
C．矩形的对角线一定互相垂直 D．四条边相等的四边形是菱形
6．下列说法中，正确的是（ ）
A．同位角相等 B．对角线相等的四边形是平行四边形
C．四条边相等的四边形是菱形 D．矩形的对角线一定互相垂直
二．填空题（共7小题）
7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC， ( http: / / www.21cnjy.com )BD交于点O，OA=OC，OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是 _________ （写出一个即可）．
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8．已知 ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使 ABCD成为一个菱形，你添加的条件是 _________ ．
9．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF．给出下列条件：
①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB=AC；
从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是 _________ （只填写序号）．
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10．如图在Rt△ABC中，∠ACB=90 ( http: / / www.21cnjy.com )°，AC=4，BC=3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD= _________ ，平行四边形CDEB为菱形．
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11．如图，在平行四边形ABCD中，请再添加一个条件，使它成为菱形，则该条件可以是 _________ ． ( http: / / www.21cnjy.com )
12．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四种说法：
①四边形AEDF是平行四边形；
②如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形；
③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；
④如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形．
其中，正确的有 _________ （只填写序号）．
( http: / / www.21cnjy.com )．
13．在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，那么再加上条件 _________ ，此四边形就成为菱形（填上一个正确的条件即可）．
三．解答题（共7小题）
14．如图：在 ABCD中，AC为其对角线，过点D作AC的平行线与BC的延长线交于E．
（1）求证：△ABC≌△DCE；
（2）若AC=BC，求证：四边形ACED为菱形．
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15．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于点O，点E在AO上，且OE=OC．
（1）求证：∠1=∠2；
（2）连结BE、DE，判断四边形BCDE的形状，并说明理由．
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16．如图，在三角形纸片A ( http: / / www.21cnjy.com )BC中，AD平分∠BAC，将△ABC折叠，使点A与点D重合，展开后折痕分别交AB、AC于点E、F，连接DE、DF．求证：四边形AEDF是菱形．
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17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N，若∠BAD=∠BCD，AM=AN，求证：四边形ABCD是菱形．
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18如图所示，已知：矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过点O的直线EF与AB、CD的延长线分别交于点E、F．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是菱形？并证明你的结论．
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19.如图，在 ABCD中，EF过AC的中点O，与边AD、BC分别相交于点E、F．
（1）试说明四边形AECF是平行四边形；
（2）当EF过AC的中点，且与AC垂直时，试说明四边形AECF是菱形．
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13．如图，在矩形ABCD中，E，F分 ( http: / / www.21cnjy.com )别为AD，BC的中点，连结AF，DF，BE，CE，AF与BE交于G，DF与CE交于H．求证：四边形EGFH为菱形．
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19.2.1菱形的判定
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣3，0）、B（0，2）、C（3，0）、D（0，﹣2），四边形ABCD是（ ）
A． 矩形 B． 菱形 C． 正方形 D． 梯形
考点： 菱形的判定；坐标与图形性质．
分析： 在平面直角坐标系中，根据点的坐标画出四边形ABCD，再根据图形特点进行判断．
解答： 解：图象如图所示：
∵A（﹣3，0）、B（0，2）、C（3，0）、D（0，﹣2），
∴OA=0C，OB=OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵BD⊥AC，
∴四边形ABCD为菱形，
故选：B．
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点评： 本题考查了点的坐标的表示方法，及菱形的判定定理．
2．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC中点，连接AF，BE，CE，DF分别交于点M，N，四边形EMFN是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． 正方形 B．菱形 C．矩形 D． 无法确定
考点： 菱形的判定；矩形的性质．
分析： 求出四边形ABFE为平行四 ( http: / / www.21cnjy.com )边形，四边形BFDE为平行四边形，根据平行四边形的性质得出BE∥FD，即GE∥FH，同理可证EH∥GF，得出四边形EGFH为平行四边形，求出GE=GF，根据菱形的判定得出即可．
解答： 解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
又∵E，F分别为AD，BC中点，
∴AE∥BF，AE=BF，ED∥CF，DE=CF，
∴四边形ABFE为平行四边形，四边形BFDE为平行四边形，
∴BE∥FD，即GE∥FH，
同理可证EH∥GF，
∴四边形EGFH为平行四边形，
∵四边形ABFE为平行四边形，∠ABC为直角，
∴ABFE为矩形，
∴AF，BE互相平分于G点，
∴GE=GF，
∴四边形EGFH为菱形．
故选B．
点评： 本题考查了矩形的性质和判定 ( http: / / www.21cnjy.com )，菱形的判定，平行四边形的性质和判定的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目比较好，综合性比较强．
3．下列说法正确的是（ ）
A． 对角线相等的平行四边形是菱形
B． 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
C． 对角线相互垂直的四边形是菱形
D． 有一个角是直角的平行四边形是菱形
考点： 菱形的判定．
分析： 利用菱形的判定定理对各个选项逐一判断后即可确定正确的选项．
解答： 解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故A选项错误；
B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故B选项正确；
C、对角线相互垂直的平行四边形是菱形，故C选项错误；
D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故D选项错误，
故选：B．
点评： 本题考查了菱形的判定，牢记菱形的判定定理是解答本题的关键，难度不大．
4．如图，在平行四边形ABCD中，添加下列条件不能判定平行四边形ABCD是菱形的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． AB=BC B． AC⊥BD C． BD平分∠ABC D． AC=BD
考点： 菱形的判定；平行四边形的性质．
分析： 根据菱形的判定定理，即可求得答案．注意排除法的应用．
解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴A、当AB=BC时，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得 ABCD是菱形，故本选项正确；
B、当AC⊥BD时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得 ABCD是菱形，故本选项正确；
C、当BD平分∠ABC时，易证得AB=AD，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得 ABCD是菱形，故本选项正确；
由排除法可得D选项错误．
故选D．
点评： 此题考查了菱形的判定．熟记判定定理是解此题的关键．
5．下列说法中，正确的是（ ）
A． 同位角相等 B． 对角线相等的四边形是平行四边形
C． 矩形的对角线一定互相垂直 D． 四条边相等的四边形是菱形
考点： 菱形的判定；同位角、内错角、同旁内角；平行四边形的判定；矩形的性质．
分析： A、根据平行线的性质进行判断；
B、由平行线的判定定理进行判断；
C、由矩形的性质进行判断；
D、由菱形的判定定理进行判断．
解答： 解：A、两直线平行时，同位角才相等．故本选项错误；
B、对角线相等的四边形不一定是平行四边形．例如：等腰梯形的对角线相等．故本选项错误；
C、矩形的对角线不一定互相垂直，菱形的对角线一定垂直．故本选项错误；
D、根据菱形的定义知，四条边相等的四边形是菱形．故本选项正确；
故选：D．
点评： 本题考查了菱形、平行四边形的判定，矩形的性质等．熟记四边形的性质和定义是解题的关键．
6．下列说法中，正确的是（ ）
A． 同位角相等 B． 对角线相等的四边形是平行四边形
C． 四条边相等的四边形是菱形 D． 矩形的对角线一定互相垂直
考点： 菱形的判定；同位角、内错角、同旁内角；平行四边形的判定；矩形的性质．
分析： 根据平行线的性质判断A即可；根据平行四边形的判定判断B即可；根据菱形的判定判断C即可；根据矩形的性质判断D即可．
解答： 解：A、如果两直线平行，同位角才相等，故A选项错误；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故B选项错误；
C、四边相等的四边形是菱形，故C选项正确；
D、矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故D选项错误；
故选C．
点评： 本题考查了平行线的性质，平行四边形、菱形的判定、矩形的性质的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力．
二．填空题（共7小题）
7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，B ( http: / / www.21cnjy.com )D交于点O，OA=OC，OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是 AB=AD （写出一个即可）．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 菱形的判定．
专题： 开放型．
分析： 利用菱形的判定定理添加邻边相等或对角线垂直即可判定该四边形是菱形．
解答： 解：∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵邻边相等的平行四边形是菱形，
∴添加的条件是AB=AD（答案不唯一），
故答案为：AB=AD．
点评： 本题考查了菱形的判定，牢记菱形的判定定理是解答本题的关键．
8．已知 ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使 ABCD成为一个菱形，你添加的条件是 AD=DC ．
考点： 菱形的判定；平行四边形的性质．
专题： 开放型．
分析： 根据菱形的定义得出答案即可．
解答： 解：∵邻边相等的平行四边形是菱形，
∴平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件：可以为：AD=DC；
故答案为：AD=DC．
点评： 此题主要考查了菱形的判定以及平行四边形的性质，根据菱形的定义得出是解题关键．
9．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF．给出下列条件：
①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB=AC；
从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是 ③ （只填写序号）．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 菱形的判定．
专题： 推理填空题．
分析： 首先利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定该四边形为平行四边形，然后结合菱形的判定得到答案即可．
解答： 解：由题意得：BD=CD，ED=FD，
∴四边形EBFC是平行四边形，
①BE⊥EC，根据这个条件只能得出四边形EBFC是矩形，
②BF∥CE，根据EBFC是平行四边形已可以得出BF∥CE，因此不能根据此条件得出菱形，
③AB=AC，
∵，
∴△ADB≌△ADC，
∴∠BAD=∠CAD
∴△AEB≌△AEC（SAS），
∴BE=CE，
∴四边形BECF是菱形．
故答案为：③．
点评： 本题考查了菱形的判定，解题的关键是了解菱形的判定定理，难度不是很大．
10．如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD= ，平行四边形CDEB为菱形．
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考点： 菱形的判定．
分析： 首先根据勾股定理求得AB=5；然后利用菱形的对角线互相垂直平分、邻边相等推知OD=OB，CD=CB；最后Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB的值，则AD=AB﹣2OB．
解答： 解：如图，连接CE交AB于点O．
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB==5（勾股定理）．
若平行四边形CDEB为菱形时，CE⊥BD，且OD=OB，CD=CB．
∵AB OC=AC BC，
∴OC=．
∴在Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB===，
∴AD=AB﹣2OB=．
故答案是：．
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点评： 本题考查了菱形的判定与性质．菱形的对角线互相垂直平分．
11．如图，在平行四边形ABCD中，请再添加一个条件，使它成为菱形，则该条件可以是 AC⊥BD，AB=BC ． ( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 菱形的判定；平行四边形的性质．
专题： 开放型．
分析： 在平行四边形ABCD的基础上，邻边相等或对角线互相垂直均可判定．
解答： 解：在平行四边形ABCD的基础上
①∵菱形ABCD是一组邻边相等的平行四边形，
∴平行四边形ABCD中，只需添一个条件：邻边AB=AD或AD=CD；
②∵菱形ABCD的对角线互相垂直平分，
∴平行四边形ABCD中，只需添一个条件：AC⊥BD．
故答案是：AC⊥BD，AB=BC等．
点评： 本题主要考查的是平行四边形和菱形的判定定理．但需要注意的是本题的知识点是关于平行四边形、菱形之间的关系．
12．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四种说法：
①四边形AEDF是平行四边形；
②如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形；
③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；
④如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形．
其中，正确的有 ①②③④ （只填写序号）．
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考点： 菱形的判定；平行四边形的判定；矩形的判定．
专题： 压轴题．
分析： 根据平行四边形、矩形、菱形的判定方法进行解答．
解答： 解：①∵DE∥CA，DF∥BA，
∴四边形AEDF是平行四边形；故①正确；
②若∠BAC=90°，则平行四边形AEDF是矩形；故②正确；
③若AD平分∠BAC，则DE=DF；
所以平行四边形是菱形；故③正确；
④若AD⊥BC，AB=AC；
根据等腰三角形三线合一的性质知：DA平分∠BAC；
由③知：此时平行四边形AEDF是菱形；故④正确；
所以正确的结论是①②③④．
点评： 此题主要考查了平行四边形、菱形、矩形的判定方法：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
有一个角是直角的平行四边形是矩形；
一组邻边相等的平行四边形是菱形．
13．在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，那么再加上条件 AB=AD ，此四边形就成为菱形（填上一个正确的条件即可）．
考点： 菱形的判定．
专题： 开放型．
分析： 根据两组对边相等的 ( http: / / www.21cnjy.com )四边形是平行四边形，可知四边形ABCD是平行四边形；根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可补充条件AB=AD．此题属开放性题目，答案不唯一．
解答： 解：可添加的条件为AB=AD，
∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=AD，
∴四边形ABCD为菱形．
故答案为：AB=AD．
点评： 此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定方法：
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②四条边都相等的四边形是菱形．
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
三．解答题（共7小题）
14．如图：在 ABCD中，AC为其对角线，过点D作AC的平行线与BC的延长线交于E．
（1）求证：△ABC≌△DCE；
（2）若AC=BC，求证：四边形ACED为菱形．
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考点： 菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
专题： 证明题．
分析： （1）利用AAS判定两三角形全等即可；
（2）首先证得四边形ACED为平行四边形，然后证得AC=AD，利用邻边相等的平行四边形是菱形判定即可．
解答： 证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠B=∠1，
又∵DE∥AC
∴∠2=∠E，
在△ABC与△DCE中，
，
∴△ABC≌△DCE；
（2）∵平行四边形ABCD中，
∴AD∥BC，
即AD∥CE，
由DE∥AC，
∴ACED为平行四边形，
∵AC=BC，
∴∠B=∠CAB，
由AB∥CD，
∴∠CAB=∠ACD，
又∵∠B=∠ADC，
∴∠ADC=∠ACD，
∴AC=AD，
∴四边形ACED为菱形．
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点评： 本题考查了菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定定理，难度不大．
15．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于点O，点E在AO上，且OE=OC．
（1）求证：∠1=∠2；
（2）连结BE、DE，判断四边形BCDE的形状，并说明理由．
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考点： 菱形的判定；线段垂直平分线的性质．
专题： 证明题．
分析： （1）证明△ADC≌△ABC后利用全等三角形的对应角相等证得结论；
（2）首先判定四边形BCDE是平行四边形，然后利用对角线垂直的平行四边形是菱形判定菱形即可．
解答： （1）证明：∵在△ADC和△ABC中，
，
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴∠1=∠2；
（2）四边形BCDE是菱形；
证明：∵∠1=∠2，
∴AC垂直平分BD，
∵OE=OC，
∴四边形DEBC是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形DEBC是菱形．
点评： 本题考查了菱形的判定及线段的垂直平分线的性质，解题的关键是了解菱形的判定方法，难度不大．
16．如图，在三角形纸片 ( http: / / www.21cnjy.com )ABC中，AD平分∠BAC，将△ABC折叠，使点A与点D重合，展开后折痕分别交AB、AC于点E、F，连接DE、DF．求证：四边形AEDF是菱形．
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考点： 菱形的判定；翻折变换（折叠问题）．
专题： 证明题．
分析： 由∠BAD=∠CAD，AO=A ( http: / / www.21cnjy.com )O，∠AOE=∠AOF=90°证△AEO≌△AFO，推出EO=FO，得出平行四边形AEDF，根据EF⊥AD得出菱形AEDF．
解答： 证明：∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD
又∵EF⊥AD，
∴∠AOE=∠AOF=90°
∵在△AEO和△AFO中
，
∴△AEO≌△AFO（ASA），
∴EO=FO
又∵A点与D点重合，
∴AO=DO，
∴EF、AD相互平分，
∴四边形AEDF是平行四边形
又EF⊥AD，
∴平行四边形AEDF为菱形．
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点评： 本题考查了平行四边形的判定，菱 ( http: / / www.21cnjy.com )形的判定，线段垂直平分线，全等三角形的性质和判定等知识点，注意：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
17．如图，在四边形ABCD中，A ( http: / / www.21cnjy.com )D∥BC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N，若∠BAD=∠BCD，AM=AN，求证：四边形ABCD是菱形．
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考点： 菱形的判定．
专题： 证明题．
分析： 首先证明∠B=∠D，可得四边形ABCD是平行四边形，然后再证明△ABM≌△ADN可得AB=AD，再根据菱形的判定定理可得结论．
解答： 证明：∵AD∥BC，
∴∠B+∠BAD=180°，∠D+∠C=180°，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠B=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AM⊥BC，AN⊥DC，
∴∠AMB=∠AND=90°，
在△ABM和△ADN中，
，
∴△ABM≌△ADN（AAS），
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形．
点评： 此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形．
18．如图所示，已知：矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过点O的直线EF与AB、CD的延长线分别交于点E、F．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是菱形？并证明你的结论．
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考点： 菱形的判定；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．
专题： 证明题．
分析： （1）由矩形的性质：OB=OD，AE∥CF证得△BOE≌△DOF；
（2）当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形．根据已知条件可证明四边形AECF是平行四边形，当EF⊥AC，可根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定．
解答： 证明：（1）∵四边形ABCD是矩形
∴OB=OD（矩形的对角线互相平分）
AE∥CF（矩形的对边平行）
∴∠E=∠F，∠OBE=∠ODF
∴△BOE≌△DOF（AAS）；
（2）当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形．
证明：∵四边形ABCD是矩形
∴OA=OC（矩形的对角线互相平分）
又∵△BOE≌△DOF
∴OE=OF
∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．
点评： 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质和菱形的判定．解答此题的关键是熟知矩形、菱形、全等三角形的判定与性质定理．
19．如图，在 ABCD中，EF过AC的中点O，与边AD、BC分别相交于点E、F．
（1）试说明四边形AECF是平行四边形；
（2）当EF过AC的中点，且与AC垂直时，试说明四边形AECF是菱形．
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考点： 菱形的判定；平行四边形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： （1）要说明四边形AECF是平行四边形，我们可以通过说明AE=CF、AE∥CF或AO=CO、EO=FO．
证△AOE≌△COF可得；
（2）运用对角线互相垂直的平行四边形是菱形来加以说明．
解答： 解：（1）∵在平行四边形ABCD中，
∴AD∥BC，
∴∠EAC=∠FCA，∠AEF=∠CFE．
又AO=OC，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF．
∴四边形AECF是平行四边形；（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
（2）∵四边形AECF是平行四边形，AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）
点评： 菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：
①定义；
②四边相等；
③对角线互相垂直平分．具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定．
20．如图，在矩形ABCD中，E，F分别 ( http: / / www.21cnjy.com )为AD，BC的中点，连结AF，DF，BE，CE，AF与BE交于G，DF与CE交于H．求证：四边形EGFH为菱形．
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考点： 菱形的判定；矩形的性质．
专题： 证明题．
分析： 根据一组对边平行且相等的四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形式平行四边形，可证明四边形AECF、BEDF是平行四边形，根据平行四边形的性质，可得GF与EH、EG与FH的关系，根据平行四边形的判定，可得EGFH的形状，根据三角形全等，可得EG与FG的关系，根据菱形的定义，可得证明结论．
解答： 证明：∵在矩形ABCD中AD=BC，且E、F分别是AD、BC的中点，
∴AE=DE=BF=CF
又∵AD∥BC，
∴四边形AECF、BEDF是平行四边形．
∴GF∥EH、EG∥FH．
∴四边形EGFH是平行四边形．
在△AEG和△FBG中，
，
∴△AEG≌△FBG（AAS）
∴EG=GB，AG=GF，
在△ABE和△BAF中
∵，
∴△ABE≌△BAF（SAS），
∴AF=BE，
∵EG=GB=BE，AG=GF=AF，
∴EG=GF，
∴四边形EGFH是菱形．
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点评： 考查了菱形的判定，牢记有关菱形的判定定理是解答本题的关键，难度不大．