江苏省南京市2023-2024学年高三上学期期中模拟数学试题（含解析）

南京市2023-2024学年高三上学期期中模拟数学试题
本卷共150分 时间：120分钟
一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.设复数，其中是虚数单位，是的共轭复数，则下列结论中错误的是（ ）
A. B.
C.是方程的一个根 D.满足的最小正整数为3
3.20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有（ ）
A.120种 B.240种 C.360种 D.720种
4.已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5.已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6.已知等比数列的公比为，其前项和为，若对任意的恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7.设函数在上的导函数为，且，则当时，下列结论正确的是 （ ）
A. B.
C. D.
8.已知椭圆的左顶点和右焦点分别为，直线与椭圆交于两点，，若，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
二．多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.如图，在正四面体中，分别是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A.直线与所成角为
B.直线与所成角为
C.直线与平面所成角的正弦值为
D.直线与平面所成角的正弦值为
10.英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件存在如下关系：.某同学连续两天在甲、乙两家餐厅就餐，第一天去甲、乙两家餐厅就餐的概率分别为和.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为；如果他第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为，则该同学 （ ）
A.第二天去甲餐厅的概率为 B.第二天去乙餐厅的概率为
C.第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为
D.第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为
11.声音中包含着正弦函数、周期函数产生了美妙的音乐.若我们听到的声音的函数是
，则下列结论正确的是（ ）
A.的最小正周期是 B.的最小值是
C.是的零点 D.在上有极值
12.已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，抛物线的动弦过点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线与点，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的标准方程为
B．的最小值为
C．过两点分别作与准线垂直，则为直角三角形
D．的面积为定值
三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知二次函数的值域为，则的最小值为________．
14.已知的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则 .
15.已知是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为.若,则该双曲线的离心率为_________.
16.已知定义在上函数满足，，是的导函数，当时，，则不等式的解集为 .
四．解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
己知数列的前n项和为，且，_______．
请在①；②；成等比数列；③，这三个条件中任选一个补充在上而题干中，并解答下面问题．
⑴求数列的通项公式；
⑵求数列的前n项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18.（本小题满分12分）
已知函数只能同时满足以下三个条件中的两个．
① 函数的最大值是；
② 函数的图象可由函数左右平移得到；
③ 函数的对称中心与的对称轴之间的最短距离是；
⑴写出这两个条件的序号（不必说明理由）并求出函数的单调递增区间；
⑵已知的内角、、所对的边分别为、、，满足，点为的中点，且，求的值．
19.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，平面，，点分别为线段和的中点．
⑴求证：平面；
⑵求平面与平面夹角的正弦值；
⑶在线段(不包括端点)上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线身的长：若不存在，请说明理由.
20.（本小题满分12分）
甲、乙两人进行射击比赛，一局比赛中，先射击的一方最多可射击3次，一旦未击中目标即停止，然后换另一方射击，一旦未击中目标或两方射击总次数达5次均停止，本局比赛结束，各方击中目标的次数即为其本局比赛得分，已知甲、乙每次射击击中目标的概率分别为和，两人的各次射击是否击中目标相互独立，一局比赛中，若甲先射击.
⑴求甲、乙得分相同的概率；
⑵设乙的得分为，求的分布列及数学期望.
21.（本小题满分12分）
已知函数（为自然对数的底数）.
⑴若函数在上为增函数，求实数的取值范围；
⑵证明：对意实数，函数有且只有一个零点．
22.（本小题满分12分）
已知椭圆的左 右焦点分别为，，满足，且线段为直径的圆过点
⑴求椭圆的标准方程；
⑵为坐标原点，若直线与椭圆交于，两点，直线的斜率为，直线的斜率为，当的面积为定值1时，是否为定值？若是，求出的值；若不是，请说明理由.
参考答案
一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：由题意知，集合为数集，集合为点集，所以.故选D.
2.设复数，其中是虚数单位，是的共轭复数，则下列结论中错误的是（ ）
A. B.
C.是方程的一个根 D.满足的最小正整数为3
答案：B
解析：A选项中，，所以A正确；B选项中，，
，则，所以B错误；C选项中，将代入方程成立，所以C正确；D选项中，由得，，所以D正确.故选B.
3.20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有（ ）
A.120种 B.240种 C.360种 D.720种
答案：A
解析：首先按每个盒子的编号放入1个、2个、3个小球，然后将剩余的14个小球排成一排，如图，|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|，有15个空档，其中“O”表示小球，“|”表示空档.将求小球装入盒中的方案数，可转化为将三个小盒插入15个空档的排列数.对应关系是：以插入两个空档的小盒之间的“O”个数，表示右侧空档上的小盒所装有小球数.最左侧的空档可以同时插入两个小盒.而其余空档只可插入一个小盒，最右侧空档必插入小盒，于是，若有两个小盒插入最左侧空档，有C种；若恰有一个小盒插入最左侧空档，有种；若没有小盒插入最左侧空档，有C种.由加法原理，有N==120种排列方案，即有120种放法.故选A.
4.已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：因为，与的夹角为，所以在上的投影向量为
.
故选C.
5.已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
答案：C
解析：令，则，令，解得
；令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，则，所以
；令，则，令，解得，所以上单调递增，在上单调递减，所以，则，所以
，所以.故选C.
6.已知等比数列的公比为，其前项和为，若对任意的恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：B
解析：因为对任意的恒成立，所以，且当时，满足题意；当时，，因为，所以，当时，，即；当时，，即，综上可得，.故选B.
7.设函数在上的导函数为，且，则当时，下列结论正确的是 （ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：对于A，B选项，不妨设，易判断得A，B均错误；对于C，D选项，令，则，因为，所以，即在上单调递减，所以当时，，则由得，
，所以D错误；由得，，所以C正确.故选C.
8.已知椭圆的左顶点和右焦点分别为，直线与椭圆交于两点，，若，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：由题意知，，两点关于原点对称，设，则，所
以①，因为点在椭圆上，所以②，由①②可得，，则，所以，所以，即，与联立得，，所以
.故选B.
二．多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.如图，在正四面体中，分别是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A.直线与所成角为
B.直线与所成角为
C.直线与平面所成角的正弦值为
D.直线与平面所成角的正弦值为
答案：ABC
解析：A选项中，连接，因为为中点，则由正四面体可知，，又为中点，所以，即直线与所成角为，所以A正确；B选项中，取中点，连接,则，所以直线与所成角即为直线与所成角，设正四面体棱长为，所以在中，，所以为等腰直角三角形，即直线与所成角为，所以B正确；C选项中，由，所以直线与平面所成角的平面角即为，在中，，则，即直线与平面所成角的正弦值为，所以C正确；D选项中，由C选项可得，直线与平面所成角的正弦值为，所以D错误.故选ABC.
10.英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件存在如下关系：.某同学连续两天在甲、乙两家餐厅就餐，第一天去甲、乙两家餐厅就餐的概率分别为和.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为；如果他第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为，则该同学 （ ）
A.第二天去甲餐厅的概率为 B.第二天去乙餐厅的概率为
C.第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为
D.第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为
答案：AC
解析：设事件：第一天去甲餐厅，事件：第二天去甲餐厅，事件：第一天去乙餐厅，事件：第二天去乙餐厅，则,因为
，所以
,，则，
，所以A正确，B错误；，
，所以C正确，D错误.故选AC.
11.声音中包含着正弦函数、周期函数产生了美妙的音乐.若我们听到的声音的函数是
，则下列结论正确的是（ ）
A.的最小正周期是 B.的最小值是
C.是的零点 D.在上有极值
答案：ACD
解析：由，易得的最小正周期是，所以A正确；因为，所以B错误；因为
，所以C正确；因为
，由，得，所以，令，得，解得，所以在上有极值，即D正确.故选ACD.
12.已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，抛物线的动弦过点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线与点，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的标准方程为
B．的最小值为
C．过两点分别作与准线垂直，则为直角三角形
D．的面积为定值
答案：ABC
解析：由椭圆的方程可知椭圆的右焦点坐标为，即抛物线的右焦点为，
，抛物线的标准方程为．
①当直线的斜率不存在时，易得，，；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
，，由，得，
，，，
，
易知直线的方程为，由，得，
，，
综上所得，的最小值为．
由抛物线定义知，，，，
又，，，
，
为直角三角形．
当直线的斜率不存在时，易得，，
，
当直线的斜率存在时，，
显然不为定值.故选ABC.
三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知二次函数的值域为，则的最小值为________．
答案：
解析：由题意可得，，则，所以
，又，当且仅当，等号成立，所以当
时，取最小值为.
14.已知的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则 .
答案：14或23
解析：由题意得，成等差数列，则，即
，即，即，解得.
15.已知是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为.若,则该双曲线的离心率为_________.
答案：
解析：不妨设点在第一象限，延长交于，由题意可得，，则为中点.因为点在双曲线的第一象限上，所以，又为中点，所以
，即，又因为，所以，所以该双曲线的离心率为.
16.已知定义在上函数满足，，是的导函数，当时，，则不等式的解集为 .
答案：
解析：设，由，得，则
，所以为偶函数.因为，所以由当时，，得，即在上单调递减，又为偶函数，所以在上单调递增.因为，则.又不等式
可化为，即，所以，解得或
，即不等式的解集为.
四．解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
己知数列的前n项和为，且，_______．
请在①；②；成等比数列；③，这三个条件中任选一个补充在上而题干中，并解答下面问题．
⑴求数列的通项公式；
⑵求数列的前n项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解析：因为，所以，即，
所以数列是首项为，公差为1的等差数列，其公差．
⑴选①．由，得，即，
所以，解得．所以，
即数列的通项公式为．
选②．由，成等比数列，得，
则，所以，
所以．
选③．因为，
所以，所以，
所以．
⑵由题可知，所以，
所以，
两式相减，得
，
所以．
18.（本小题满分12分）
已知函数只能同时满足以下三个条件中的两个．
① 函数的最大值是；
② 函数的图象可由函数左右平移得到；
③ 函数的对称中心与的对称轴之间的最短距离是；
⑴写出这两个条件的序号（不必说明理由）并求出函数的单调递增区间；
⑵已知的内角、、所对的边分别为、、，满足，点为的中点，且，求的值．
解析：⑴函数只能同时满足①③ . 由①知，由③知,则.
故. 由,解得，.
所以的单调递增区间为，.
⑵.
因为. 所以
作线段的中点,因为，故．
因为， 即. 由正弦定理知
19.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，平面，，点分别为线段和的中点．
⑴求证：平面；
⑵求平面与平面夹角的正弦值；
⑶在线段(不包括端点)上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线身的长：若不存在，请说明理由.
解析：⑴因为，且，所以∥，且=，所以四边形是平行四边形，所以，
因为，则，又平面，平面，
所以，又，所以平面，又平面，
所以，因为，是的中点，
所以，又，平面，
所以平面.
⑵以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系．则．
则，．设平面的法向量为，
则，即，取，则，，则，
又，，设平面PDC的法向量为，
则，则，取，则，，则，
设平面与平面的夹角为，则，
所以，所以平面PDM与平面PDC夹角的正弦值为.
⑶假设存在点E，设，，，，
则，设直线BE与平面PDC所成角为，
由⑵知平面PDC的一个法向量为，
则，
化简得，即，
因为，所以，故，因为，则，
所以，所以线段PE的长为．
20.（本小题满分12分）
甲、乙两人进行射击比赛，一局比赛中，先射击的一方最多可射击3次，一旦未击中目标即停止，然后换另一方射击，一旦未击中目标或两方射击总次数达5次均停止，本局比赛结束，各方击中目标的次数即为其本局比赛得分，已知甲、乙每次射击击中目标的概率分别为和，两人的各次射击是否击中目标相互独立，一局比赛中，若甲先射击.
⑴求甲、乙得分相同的概率；
⑵设乙的得分为，求的分布列及数学期望.
解析：⑴由题意可知，甲、乙得分相同有如下情况：①甲0，乙0，其概率为
②甲1，,1，其概率为
③甲2，乙2，其概率为
所以甲、乙得分相同的概率为.
⑵由题意知，的可能值为：.
则,
所以的分布列为：
0 1 2 3 4
则数学期望为：.
21.（本小题满分12分）
已知函数（为自然对数的底数）.
⑴若函数在上为增函数，求实数的取值范围；
⑵证明：对意实数，函数有且只有一个零点．
解析：⑴，则，
即设，，，
当时，，单调增，，
当时，令，，列表略，
，则；
综上，.
⑵由题意可知，当，，
，；，，则单调减，
又，，所以在时，恰有一个零点；
当时，，恰有一个；
当，时，；，，，则，，所以在时，恰有一个零点.
综上，恰有一个零点.
22.（本小题满分12分）
已知椭圆的左 右焦点分别为，，满足，且线段为直径的圆过点
⑴求椭圆的标准方程；
⑵为坐标原点，若直线与椭圆交于，两点，直线的斜率为，直线的斜率为，当的面积为定值1时，是否为定值？若是，求出的值；若不是，请说明理由.
解：⑴设，因为线段为直径的圆过点，所以.
所以
所以所以将代人
解得所以椭圆的标准方程为
⑵当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，
设则①.又所以②.
由①②得所以
当直线的斜率存在时，设直线的方程为
联立得，
所以，
所以
所以③.又
，因为点到直线的距离，
所以=
即
解得，代入③式，得
综上可知，当的面积为定值1时，是定值.