4.4.1对数函数的概念 课件(共20张PPT)

(共20张PPT)
第4章 指数函数与对数函数
4.4 对数函数
4.4.1 对数函数的概念
人教A版（2019)
教学目标
学习目标 数学素养
1.理解对数函数的概念. 1.数学类比、数学抽象素养.
2.会求与对数函数有关的定义域问题. 2.数学运算素养
3.了解对数函数在生产实际中的简单应用. 3.数学建模素养.
温故知新
1.对数的定义
一般地, 如果ax=N(a>0, 且a≠1), 那么数x叫做以a为底N的对数, 记作 其中a叫做对数的底数, N叫做真数.
x = logaN ,
注意：0和负数没有对数;
2.对数与指数之间的关系
ax =N logaN = x
温故知新
3. 指数函数y=ax分的图象和性质
图象
定义域 值域 性质
y=ax
0a>1
R
(0,+∞)
过定点(0, 1)
在R上单调递增
在R上单调递减
x>0 , 0x<0 , y>1 .
x>0 , y>1;
x<0 , 0新知导入
在4.2.1的问题2中，我们已经研究了死亡生物体内碳14的含量y随死亡时间x的变化而衰减的规律. 反过来，已知死亡生物体内碳14的含量，如何得知它死亡了多长时间呢？进一步地，死亡时间x是碳14的含量y的函数吗？
根据指数与对数的关系，


如右图，过y轴正半轴上任意一点(0，y0)（0＜y0≤1）作x轴的平行线，与y=的图象有且只有一个交点(x0 , y0).
新知探究
这说明对任意一个y∈(0，1]，通过对应关系在[0，＋∞)上都有唯一确定的数x和它对应．
所以x也是y的函数，也就是说，函数 (y∈(0,1])刻画了时间x随碳14含量y的衰减而变化的规律.
同样地，根据指数与对数的关系，由y=ax (a>0, 且a≠1)可以得到 x=logay (a>0, 且a≠1),x也是y的函数.
通常我们用x表示自变量，y表示函数.
为此将x=logay (a>0, 且a≠1)中的字母x和y对调，写成y=logax (a>0, 且a≠1).
对数函数定义：一般地，函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数（logarithmic function），其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)．
新知探究
想一想
(1)对数函数的定义域为什么是(0，＋∞)
(2)对数函数的解析式有何特征？
(1)ax＝N logaN＝x，真数为幂值N，而N>0，故式子logax中，x>0.
(2)①a>0，且a≠1；②logax的系数为1；③自变量x的系数为1.
注意:在对数函数y＝logax中，
①a>0，且a≠1；
②x∈(0,＋∞)；
③必须符合对数函数的三个特征.
新知讲授
概念辨析：下列函数表达式中，是对数函数的有(　　)
①y＝logx2； ②y＝logax(a∈R)； ③y＝log8x； ④y＝lnx；
⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝2log4x； ⑦y＝log2(x＋1)．
A．1个　 B．2个　 C．3个　 D．4个
解析：
①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数；
②中底数a∈R不能保证a>0且a≠1；
⑤、⑦的真数分别为(x＋2)，(x＋1)；
⑥中log4x系数为2；
只有③、④符合对数函数的定义．故选B.
B
新知讲解
【例1】求下列函数的定义域:
(1) y=log3x2; (2) y=loga(4-x) (a>0, 且a≠1);
解：
(1)∵即
∴函数的定义域是
(2)∵即
∴的定义域是
新知讲解
求对数型函数定义域的原则：
(1)分母不能为0；
(2)根指数为偶数时，被开方数非负；
(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1；
(4)若需对函数进行变形，则需先求出定义域，再对函数进行恒等变形.
初试身手
1.求下列函数的定义域:
解：
(2)∵,解得.
(3)∵,解得.
(1) y=ln(1-x);
⑵y=;
⑶ .
∴函数y=ln(1-x)的定义域是
(1)∵1-x>0 , 即x<1,
∴函数y=的定义域是
∴函数的定义域是
新知讲解
【例2】假设某地初始物价为1, 每年以5%的增长率递增，经过y年后的物价为x．
(1)该地的物价经过几年后会翻一番？
(2)填写下表,并根据表中的数据, 说明该地物价的变化规律．
解：
物价x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
年数y 0
(1)由题意可知，经过y年后物价x为
x=(1+5%)y ,
即x＝1.05y (y∈[0,+∞))
由对数与指数间的关系，可得
y=log1.05x (x∈[1, +∞)).
由计算工具可得，当x=2时，y≈14．
所以，该地区的物价大约经过14年后会翻一番．
新知讲解
【例2】假设某地初始物价为1, 每年以5%的增长率递增，经过y年后的物价为x．
(1)该地的物价经过几年后会翻一番？
(2)填写下表,并根据表中的数据, 说明该地物价的变化规律．
解：
物价x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
年数y 0
(2)根据函数y=log1.05x (x∈[1, +∞)),利用计算工具,可得
数据表明该地区的物价随时间增长而增长,但大约每增加1倍所需要的时间在逐渐缩小.
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初试身手
解析：当时，，当λ时，，
∴=1+0.6，∴λ=1579.故选C.
2.我国的5G通信技术领先世界，5G技术的数学原理之一是著名的香农(Shannon)公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率C的公式 C= ,其中W是信道带宽(赫兹)，S是信道内所传信号的平均功率(瓦)，N是信道内部的高斯噪声功率(瓦)，其中叫做信噪比.根据此公式，在不改变W的前提下,将信噪比从99提升至λ，使得C大约增加了60%，则λ的值大约为( ) (参考数据：100.2≈1.58)
A.1 559 　　 B.3 943 　　 C.1 579 　　 D.2 512
C
拓展延申
求下列函数的定义域：
⑴f(x)= ; ⑵f(x)=;
⑶f(x)=.
解：
解得x>0且x≠1,
所以此函数的定义域为{x|x>0且x≠1}.
⑴要使函数有意义，必有,
⑵要使函数有意义，必有(3-x)(3+x)>0,
解得-3所以此函数的定义域为(-3,3).
⑶要使函数有意义，必有,
解得0所以此函数的定义域为(0,2].
课堂小结
2.求与对数函数有关的函数的定义域.
3.对数函数模型问题的求解.
1.对数函数定义：一般地，函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数（logarithmic function），其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)．
注意：对数函数与指数函数的关系.
作业布置
作业：p140. 习题4.4 1，3.
补充题：
1.已知对数函数f(x)=(m2-3m+3)·logmx,则m=　　　.
2.(多选题)下列各个函数中，是对数函数的是( )
A.y=log5x B.y=2log5 (x+3) C.y=log3|x| D.y=
3.求下列函数定义域：
⑴y=; ⑵y=log2x-1(3x2-8x+4);
⑶y=.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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