第二十七章圆章末测试（一）
总分120分120分钟 农安县合隆中学 徐亚惠
一．选择题（共8小题，每题3分）
1．如图，在⊙O中，OD⊥BC，∠BOD=60°，则∠CAD的度数等于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．15° B．20° C．25° D．30°
2．从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（ ）
A． B． C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D．
3．两圆的半径分别为2cm，3cm，圆心距为2cm，则这两个圆的位置关系是（ ）
A．外切 B．相交 C．内切 D．内含
4．如图，当半径分别是5和r的两圆⊙O1和⊙O2外切时，它们的圆心距O1O2=8，则⊙O2的半径r为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．12 B．8 C．5 D．3
5．圆锥体的底面半径为2，侧面积为8π，则其侧面展开图的圆心角为（ ）
A．90° B．120° C．150° D．180°
6．已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．20πcm2 B．20cm2 C．40πcm2 D．40cm2
7．如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
8．如图，某同学用一扇形纸板为一个玩偶制 ( http: / / www.21cnjy.com )作一个圆锥形帽子，已知扇形半径OA=13cm，扇形的弧长为10πcm，那么这个圆锥形帽子的高是（ ）cm．（不考虑接缝）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．5 B．12 C．13 D．14
二．填空题（共6小题，每题3分）
9．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平， ( http: / / www.21cnjy.com )得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r=2cm，扇形的圆心角θ=120°，则该圆锥的母线长l为 _________ cm．
( http: / / www.21cnjy.com )
10．如图，在一张正方形纸片上剪下一个半径 ( http: / / www.21cnjy.com )为r的圆形和一个半径为R的扇形，使之恰好围成图中所示的圆锥，则R与r之间的关系是 _________ ．
( http: / / www.21cnjy.com )
11．已知⊙O1与⊙2外切，圆心距为7cm，若⊙O1的半径为4cm，则⊙O2的半径是 _________ cm．
12．如图，⊙A与⊙B外切于⊙O的圆心O，⊙O的半径为1，则阴影部分的面积是 _________ ．
( http: / / www.21cnjy.com )
13．如图，已知A、B、C三点都在⊙O上，∠AOB=60°，∠ACB= _________ ．
( http: / / www.21cnjy.com )
14．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，如果∠AOC=100°，那么∠B= _________ 度．
( http: / / www.21cnjy.com )
三．解答题（共10小题）
15．（6分）如图，在半径为5cm的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=50°，∠APD=80°．
（1）求∠ABD的大小；
（2）求弦BD的长．
( http: / / www.21cnjy.com )
16（6分）．如图，已知⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，AB⊥CD，⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F．
（1）求证：CD∥BF；
（2）若⊙O的半径为5，cos∠BCD=0.8，求线段AD与BF的长．
( http: / / www.21cnjy.com )
17．（6分）如图，平面直角坐标系中，以点C（2，）为圆心，以2为半径的圆与x轴交于A，B两点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A，B，试确定此二次函数的解析式．
( http: / / www.21cnjy.com )
18．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，OF⊥AC于点F，
（1）请探索OF和BC的关系并说明理由；
（2）若∠D=30°，BC=1时，求圆中阴影部分的面积．（结果保留π）
( http: / / www.21cnjy.com )
19（8分）．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，AO=1．
（1）求∠C的大小；
（2）求阴影部分的面积．
( http: / / www.21cnjy.com )
20．（8分）已知：AB是⊙O的直径，直线CP切⊙O于点C，过点B作BD⊥CP于D．
（1）求证：△ACB∽△CDB；
（2）若⊙O的半径为1，∠BCP=30°，求图中阴影部分的面积．
( http: / / www.21cnjy.com )
21．（8分）如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点恰好为BC的中点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若AB=3DE，求tan∠ACB的值．
( http: / / www.21cnjy.com )
22（8分）．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D点，连接CD．
（1）求证：∠A=∠BCD；
（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com )
23（10分）．如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP=CB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为，OP=1，求BC的长．
( http: / / www.21cnjy.com )
24．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠AOC=60°，OC=2．
（1）求OE和CD的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
( http: / / www.21cnjy.com )
第二十七章圆章末测试（一）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．如图，在⊙O中，OD⊥BC，∠BOD=60°，则∠CAD的度数等于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． 15° B．20° C．25° D． 30°
考点： 圆周角定理；垂径定理．
专题： 计算题．
分析： 由在⊙O中，OD⊥BC，根据垂径定理的即可求得：=，然后利用圆周角定理求解即可求得答案．
解答： 解：∵在⊙O中，OD⊥BC，
∴=，
∴∠CAD=∠BOD=×60°=30°．
故选：D．
点评： 此题考查了圆周角定理以及垂径定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
2．从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（ ）
A． B． C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D．
考点： 圆周角定理．
分析： 根据圆周角定理（直径所对的圆周角是直角）求解，即可求得答案．
解答： 解：∵直径所对的圆周角等于直角，
∴从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是B．
故选：B．
点评： 此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
3．两圆的半径分别为2cm，3cm，圆心距为2cm，则这两个圆的位置关系是（ ）
A． 外切 B．相交 C．内切 D． 内含
考点： 圆与圆的位置关系．
分析： 由两个圆的半径分别 ( http: / / www.21cnjy.com )是3cm和2cm，圆心距为2cm，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
解答： 解：∵两个圆的半径分别是3cm和2cm，圆心距为2cm，
又∵3+2=5，3﹣2=1，1＜2＜5，
∴这两个圆的位置关系是相交．
故选：B．
点评： 此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．
4．如图，当半径分别是5和r的两圆⊙O1和⊙O2外切时，它们的圆心距O1O2=8，则⊙O2的半径r为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． 12 B．8 C．5 D． 3
考点： 圆与圆的位置关系．
分析： 根据两圆外切时，圆心距=两圆半径的和求解．
解答： 解：根据两圆外切，圆心距等于两圆半径之和，得该圆的半径是8﹣5=3．
故选：D．
点评： 本题考查了圆与圆的位置关系，注意：两圆外切，圆心距等于两圆半径之和．
5．圆锥体的底面半径为2，侧面积为8π，则其侧面展开图的圆心角为（ ）
A． 90° B．120° C．150° D． 180°
考点： 圆锥的计算．
专题： 计算题．
分析： 设圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，母线长为R，先根据锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式得到 2π 2 R=8π，解得R=4，然后根据弧长公式得到=2 2π，再解关于n的方程即可．
解答： 解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，母线长为R，
根据题意得 2π 2 R=8π，解得R=4，
所以=2 2π，解得n=180，
即圆锥的侧面展开图的圆心角为180°．
故选：D．
点评： 本题考查了圆锥的计算：锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
6．已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A． 20πcm2 B．20cm2 C．40πcm2 D． 40cm2
考点： 圆锥的计算．
专题： 计算题．
分析： 圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
解答： 解：圆锥的侧面积=2π×4×5÷2=20π．
故选：A．
点评： 本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．
7．如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
考点： 正多边形和圆．
专题： 压轴题．
分析： 由于六边形ABCDEF是正六边 ( http: / / www.21cnjy.com )形，所以∠AOB=60°，故△OAB是等边三角形，OA=OB=AB=2，设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，OG=OA sin60°，再根据S阴影=S△OAB﹣S扇形OMN，进而可得出结论．
解答： 解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=60°，
∴△OAB是等边三角形，OA=OB=AB=2，
设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，
∴OG=OA sin60°=2×=，
∴S阴影=S△OAB﹣S扇形OMN=×2×﹣=﹣．
故选A．
( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 本题考查的是正多边形和圆，根据正六边形的性质求出△OAB是等边三角形是解答此题的关键．
8．如图，某同学用一扇形纸板为一个 ( http: / / www.21cnjy.com )玩偶制作一个圆锥形帽子，已知扇形半径OA=13cm，扇形的弧长为10πcm，那么这个圆锥形帽子的高是（ ）cm．（不考虑接缝）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． 5 B．12 C．13 D． 14
考点： 圆锥的计算．
专题： 几何图形问题．
分析： 首先求得圆锥的底面半径，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可．
解答： 解：先求底面圆的半径，即2πr=10π，r=5cm，
∵扇形的半径13cm，
∴圆锥的高==12cm．
故选：B．
点评： 此题主要考查圆锥的侧面展开图和勾股定理的应用，牢记有关公式是解答本题的关键，难度不大．
二．填空题（共6小题）
9．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开 ( http: / / www.21cnjy.com )并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r=2cm，扇形的圆心角θ=120°，则该圆锥的母线长l为 6 cm．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 圆锥的计算．
分析： 易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．
解答： 解：圆锥的底面周长=2π×2=4πcm，
设圆锥的母线长为R，则：=4π，
解得R=6．
故答案为：6．
点评： 本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为：．
10．如图，在一张正方形纸片上剪下一个半径为r的圆形和一个半径为R的扇形，使之恰好围成图中所示的圆锥，则R与r之间的关系是 R=4r ．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 圆锥的计算．
专题： 几何图形问题．
分析： 利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算．
解答： 解：扇形的弧长是：=，
圆的半径为r，则底面圆的周长是2πr，
圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到：=2πr，
∴=2r，
即：R=4r，
r与R之间的关系是R=4r．
故答案为：R=4r．
点评： 本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算 ( http: / / www.21cnjy.com )．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
11．已知⊙O1与⊙2外切，圆心距为7cm，若⊙O1的半径为4cm，则⊙O2的半径是 3 cm．
考点： 圆与圆的位置关系．
分析： 根据两圆外切时，圆心距=两圆半径的和求解．
解答： 解：根据两圆外切，圆心距等于两圆半径之和，得该圆的半径是7﹣4=3cm．
故答案为：3．
点评： 本题考查了圆与圆的位置关系，注意：两圆外切，圆心距等于两圆半径之和．
12．如图，⊙A与⊙B外切于⊙O的圆心O，⊙O的半径为1，则阴影部分的面积是 ﹣ ．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 圆与圆的位置关系；扇形面积的计算．
专题： 压轴题．
分析： 阴影部分的面积等于⊙O的面积减去4个弓形ODF的面积即可．
解答： 解：如图，连接DF、DB、FB、OB，
∵⊙O的半径为1，
∴OB=BD=BF=1，
∴DF=，
∴S弓形ODF=S扇形BDF﹣S△BDF=﹣××=﹣，
∴S阴影部分=S⊙O﹣4S弓形ODF=π﹣4×（﹣）=﹣．
故答案为：．
( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是明确不规则的阴影部分的面积如何转化为规则的几何图形的面积．
13．如图，已知A、B、C三点都在⊙O上，∠AOB=60°，∠ACB= 30° ．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 圆周角定理．
分析： 由∠ACB是⊙O的圆周角，∠AOB是圆心角，且∠AOB=60°，根据圆周角定理，即可求得圆周角∠ACB的度数．
解答： 解：如图，∵∠AOB=60°，
∴∠ACB=∠AOB=30°．
故答案是：30°．
点评： 此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
14．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，如果∠AOC=100°，那么∠B= 50 度．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 圆周角定理．
专题： 计算题．
分析： 直接根据圆周角定理求解．
解答： 解：∠B=∠AOC=×100°=50°．
故答案为：50．
点评： 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
三．解答题（共10小题）
15．如图，在半径为5cm的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=50°，∠APD=80°．
（1）求∠ABD的大小；
（2）求弦BD的长．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 圆周角定理；垂径定理．
分析： （1）先根据三角形外角的性质求出∠C的度数，由圆周角定理即可得出结论；
（2）过点O作OE⊥BD于点E，由垂径定理可知BD=2BE，再根据直角三角形的性质可求出BE的长，进而得出结论．
解答： 解：（1）∵∠APD是△APC的外角，∠CAB=50°，∠APD=80°，
∴∠C=80°﹣50°=30°，
∴∠ABD=∠C=30°；
（2）过点O作OE⊥BD于点E，则BD=2BE，
∵∠ABD=30°，OB=5cm，
∴BE=OB cos30°=5×=cm，
∴BD=2BE=5cm．
( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解答此题的关键．
16．如图，已知⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，AB⊥CD，⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F．
（1）求证：CD∥BF；
（2）若⊙O的半径为5，cos∠BCD=0.8，求线段AD与BF的长．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 圆周角定理；解直角三角形．
分析： （1）由BF是圆O的切线，AB是圆O的直径，可得BF⊥AB，又由AB⊥CD，即可证得CD∥BF；
（2）由圆周角定理可证得∠BAD=∠BCD，然后利用三角函数的性质求得答案．
解答： （1）证明：∵BF是圆O的切线，AB是圆O的直径，
∴BF⊥AB．
∵CD⊥AB，
∴CD∥BF；
（2）解：∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠BAD=∠BCD，
∴cos∠BAD=cos∠BCD=0.8，
在Rt△ABD中，AB=10，cos∠BAD=，
∴AD=AB cos∠BAD=10×0.8=8，
在Rt△ABF中，AB=10，cos∠BAF=，
∴，
．
点评： 此题考查了圆周角定理、切线的性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
17．如图，平面直角坐标系中，以点C（2，）为圆心，以2为半径的圆与x轴交于A，B两点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A，B，试确定此二次函数的解析式．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 垂径定理；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理．
专题： 计算题．
分析： （1）连接AC，过点C作CM⊥x轴于点M，根据垂径定理得MA=MB；由C点坐标得到OM=2，CM=，再根据勾股定理可计算出AM，可计算出OA、OB，然后写出A，B两点的坐标；
（2）利用待定系数法求二次函数的解析式．
解答： 解：（1）过点C作CM⊥x轴于点M，则MA=MB，连结AC，如图
∵点C的坐标为（2，），
∴OM=2，CM=，
在Rt△ACM中，CA=2，
∴AM==1，
∴OA=OM﹣AM=1，OB=OM+BM=3，
∴A点坐标为（1，0），B点坐标为（3，0）；
（2）将A（1，0），B（3，0）代入y=x2+bx+c得
，
解得．
所以二次函数的解析式为y=x2﹣4x+3．
( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理和待定系数法求二次函数的解析式．
18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，OF⊥AC于点F，
（1）请探索OF和BC的关系并说明理由；
（2）若∠D=30°，BC=1时，求圆中阴影部分的面积．（结果保留π）
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 垂径定理；三角形中位线定理；圆周角定理；扇形面积的计算．
分析： （1）先根据垂径定理得出AF=CF，再根据AO=BO得出OF是△ABC的中位线，由三角形的中位线定理即可得出结论；
（2）连接OC，由（1）知OF=，再根据直角三角形的性质得出AB及AC的长，根据扇形的面积公式求出扇形AOC的度数，根据S阴影=S扇形AOC﹣S△AOC即可得出结论．
解答： 解：（1）OF∥BC，OF=BC．
理由：由垂径定理得AF=CF．
∵AO=BO，
∴OF是△ABC的中位线．
∴OF∥BC，OF=BC．
（2）连接OC．由（1）知OF=．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∵∠D=30°，
∴∠A=30°．
∴AB=2BC=2．
∴AC=．
∴S△AOC=×AC×OF=．
∵∠AOC=120°，OA=1，
∴S扇形AOC==．
∴S阴影=S扇形AOC﹣S△AOC=﹣．
( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
19．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，AO=1．
（1）求∠C的大小；
（2）求阴影部分的面积．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；扇形面积的计算．
分析： （1）根据垂径定理可得=，∠C=∠AOD，然后在Rt△COE中可求出∠C的度数．
（2）连接OB，根据（1） ( http: / / www.21cnjy.com )可求出∠AOB=120°，在Rt△AOF中，求出AF，OF，然后根据S阴影=S扇形OAB﹣S△OAB，即可得出答案．
解答： 解：（1）∵CD是圆O的直径，CD⊥AB，
∴=，
∴∠C=∠AOD，
∵∠AOD=∠COE，
∴∠C=∠COE，
∵AO⊥BC，
∴∠C=30°．
（2）连接OB，
由（1）知，∠C=30°，
∴∠AOD=60°，
∴∠AOB=120°，
在Rt△AOF中，AO=1，∠AOF=60°，
∴AF=，OF=，
∴AB=，
∴S阴影=S扇形OADB﹣S△OAB=﹣××=π﹣．
( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 本题考查了垂径定理及扇形的面积计算，解答本题的关键是利用解直角三角形的知识求出∠C、∠AOB的度数，难度一般．
20．已知：AB是⊙O的直径，直线CP切⊙O于点C，过点B作BD⊥CP于D．
（1）求证：△ACB∽△CDB；
（2）若⊙O的半径为1，∠BCP=30°，求图中阴影部分的面积．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 切线的性质；扇形面积的计算；相似三角形的判定与性质．
专题： 几何综合题．
分析： （1）由CP是⊙ ( http: / / www.21cnjy.com )O的切线，得出∠BCD=∠BAC，AB是直径，得出∠ACB=90°，所以∠ACB=∠CDB=90°，得出结论△ACB∽△CDB；
（2）求出△OCB是正三角形，阴影部分的面积=S扇形OCB﹣S△OCB=π﹣．
解答： （1）证明：如图，连接OC，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵直线CP是⊙O的切线，
∴∠BCD+∠OCB=90°，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°
∴∠BCD=∠ACO，
又∵∠BAC=∠ACO，
∴∠BCD=∠BAC，
又∵BD⊥CP
∴∠CDB=90°，
∴∠ACB=∠CDB=90°
∴△ACB∽△CDB；
（2）解：如图，连接OC，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵直线CP是⊙O的切线，∠BCP=30°，
∴∠COB=2∠BCP=60°，
∴△OCB是正三角形，
∵⊙O的半径为1，
∴S△OCB=，S扇形OCB==π，
故阴影部分的面积=S扇形OCB﹣S△OCB=π﹣．
点评： 本题主要考查了切线的性质及扇形面积，三角形的面积，解题的关键是利用弦切角找角的关系．
21．如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点恰好为BC的中点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若AB=3DE，求tan∠ACB的值．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 切线的性质．
专题： 几何综合题．
分析： （1）连接OD，可以证得DE⊥OD，然后证明OD∥AC即可证明DE⊥AC；
（2）利用△DAE∽△CDE，求出DE与CE的比值即可．
解答： （1）证明：连接OD，
∵D是BC的中点，OA=OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴DE⊥AC；
（2）解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADC=∠DEC=∠AED=90°，
∴∠ADE=∠DCE
在△ADE和△CDE中，
∴△CDE∽△DAE，
∴，
设tan∠ACB=x，CE=a，则DE=ax，AC=3ax，AE=3ax﹣a，
∴，整理得：x2﹣3x+1=0，
解得：x=，
∴tan∠ACB=或．
( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 本题主要考查了切线的性质的综合应用，解答本题的关键在于如何利用三角形相似求出线段DE与CE的比值．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D点，连接CD．
（1）求证：∠A=∠BCD；
（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 切线的判定．
专题： 几何综合题．
分析： （1）根据圆周角定理可得∠ADC=90°，再根据直角三角形的性质可得∠A+∠DCA=90°，再由∠DCB+∠ACD=90°，可得∠DCB=∠A；
（2）当MC=MD时，直线DM与⊙O相 ( http: / / www.21cnjy.com )切，连接DO，根据等等边对等角可得∠1=∠2，∠4=∠3，再根据∠ACB=90°可得∠1+∠3=90°，进而证得直线DM与⊙O相切．
解答： （1）证明：∵AC为直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠A+∠DCA=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠DCB+∠ACD=90°，
∴∠DCB=∠A；
（2）当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切；
解：连接DO，
∵DO=CO，
∴∠1=∠2，
∵DM=CM，
∴∠4=∠3，
∵∠2+∠4=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴直线DM与⊙O相切，
故当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切．
( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 此题主要考查了切线的判定，以及圆周角定理，关键是掌握切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
23如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP=CB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为，OP=1，求BC的长．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 切线的判定．
专题： 几何图形问题．
分析： （1）由垂直定义得∠A+∠AP ( http: / / www.21cnjy.com )O=90°，根据等腰三角形的性质由CP=CB得∠CBP=∠CPB，根据对顶角相等得∠CPB=∠APO，所以∠APO=∠CBP，而∠A=∠OBA，所以∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90°，然后根据切线的判定定理得到BC是⊙O的切线；
（2）设BC=x，则PC=x，在Rt△OBC中，根据勾股定理得到（）2+x2=（x+1）2，然后解方程即可．
解答： （1）证明：连接OB，如图，
∵OP⊥OA，
∴∠AOP=90°，
∴∠A+∠APO=90°，
∵CP=CB，
∴∠CBP=∠CPB，
而∠CPB=∠APO，
∴∠APO=∠CBP，
∵OA=OB，
∴∠A=∠OBA，
∴∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：设BC=x，则PC=x，
在Rt△OBC中，OB=，OC=CP+OP=x+1，
∵OB2+BC2=OC2，
∴（）2+x2=（x+1）2，
解得x=2，
即BC的长为2．
( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了勾股定理．
24．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠AOC=60°，OC=2．
（1）求OE和CD的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 扇形面积的计算；垂径定理．
分析： （1）在△OCE中，利用三角函数即可求得CE，OE的长，再根据垂径定理即可求得CD的长；
（2）根据半圆的面积减去△ABC的面积，即可求解．
解答： 解：（1）在△OCE中，
∵∠CEO=90°，∠EOC=60°，OC=2，
∴OE=OC=1，
∴CE=OC=，
∵OA⊥CD，
∴CE=DE，
∴CD=；
（2）∵S△ABC=AB EC=×4×=2，
∴．
点评： 本题主要考查了垂径定理以及三角函数，一些不规则的图形的面积可以转化为规则图形的面积的和或差求解．第二十七章圆章末测试（二）
总分120分120分钟 农安县合隆中学 徐亚惠
一．选择题（共8小题，每题 3分）
1．如图，BC是⊙O的直径，AD⊥BC，若∠D=36°．则∠BAD的度数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．72° B．54° C．45° D．36°
2．将沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD=4，DB=5，则BC的长是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．3 B．8 C． D．2
3．如图，AB是⊙O的直径，点C、D ( http: / / www.21cnjy.com )在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连结AD、OD、OC．若∠AOC=70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．70° B．60° C．50° D．40°
4．如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，连接AO1并延长交⊙O1于点C，则∠ACO2的度数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．60° B．45° C．30° D．20°
5．关于半径为5的圆，下列说法正确的是（ ）
A．若有一点到圆心的距离为5，则该点在圆外
B．若有一点在圆外，则该点到圆心的距离不小于5
C．圆上任意两点之间的线段长度不大于10
D．圆上任意两点之间的部分可以大于10π
6．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，联结BC，若∠A=36°，则∠C等于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．36° B．54° C．60° D．27°
7．如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线与⊙O交于点C，若⊙O的半径为3，PA=4．弦AC的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．5 B． C． D．
8．如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，如果∠APB=60°，⊙O半径是3，则劣弧AB的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B．π C．2π D．4π
二．填空题（共6小题，每题3分）
9．在边长为1的3×3的方格中，点B、O都在格点上，则劣弧BC的长是 _________ ．
( http: / / www.21cnjy.com )
10．已知扇形弧长为2π，半径为3cm，则此扇形所对的圆心角为 _________ 度．
11．已知⊙A的半径为5，圆心A（3，4），坐标原点O与⊙A的位置关系是 _________ ．
12．如图，⊙O的半径OC=5cm，直 ( http: / / www.21cnjy.com )线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线向下平移 _________ cm时与⊙O相切．
( http: / / www.21cnjy.com )
13．如图，∠APB=30° ( http: / / www.21cnjy.com )，点O是射线PB上的一点，OP=5cm，若以点O为圆心，半径为1.5cm的⊙O沿BP方向移动，当⊙O与PA相切时，圆心O移动的距离为 _________ cm．
( http: / / www.21cnjy.com )
14．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，若∠D=30°，CH=1cm，则AB= _________ cm．
( http: / / www.21cnjy.com )
三．解答题（共10小题）
15．（6分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠ADC=60°，C是弧AB的中点．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若BC=6cm，求图中阴影部分的面积．
( http: / / www.21cnjy.com )
16．（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD为△ABC的高，以AD为直径的⊙0与AB、AC两边分别交于点E、F．连接DE、DF．
（1）求证：BE=CF；
（2）若AD=BC=2．求ED的长．
( http: / / www.21cnjy.com )
17．（6分）如图，已知在△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧AC上的点（不与A，C重合），延长BD至E．
（1）求证：AD的延长线平分∠CDE；
（2）若∠BAC=30°，且△ABC底边BC边上高为1，求△ABC外接圆的周长．
( http: / / www.21cnjy.com )
18．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．
( http: / / www.21cnjy.com )
19．（8分）如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E．
（1）求证：△ADE∽△BCE；
（2）如果AD2=AE AC，求证：CD=CB．
( http: / / www.21cnjy.com )
20．（8分）如图，以AB为直径的⊙O交∠BAD的角平分线于C，过C作CD⊥AD于D，交AB的延长线于E．
（1）求证：CD为⊙O的切线．
（2）若=，求cos∠DAB．
( http: / / www.21cnjy.com )
21．（8分）如图，AC= ( http: / / www.21cnjy.com )BC，∠C=90°，点E在AC上，点F在BC上，CE=CF，连结AF和BE，点O在BE上，⊙O经过点B、F，交BE于点G．
（1）求证：△ACF≌△BCE；
（2）求证：AF是⊙O的切线．
( http: / / www.21cnjy.com )
22．（8分）如图，在△ABC中，∠C=60°，⊙O是△ABC的外接圆，点P在直径BD的延长线上，且AB=AP．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若AB=2，求图中阴影部分的面积．（结果保留π和根号）
( http: / / www.21cnjy.com )
23．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠AOC=60°，OC=2．
（1）求OE和CD的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
( http: / / www.21cnjy.com )
24．（10分）如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD=120°，四边形ABCD的周长为15．
（1）求此圆的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．
( http: / / www.21cnjy.com )
第二十七章圆章末测试（二）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．如图，BC是⊙O的直径，AD⊥BC，若∠D=36°．则∠BAD的度数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． 72° B．54° C．45° D． 36°
考点： 圆周角定理．
分析： 先根据圆周角定理求出∠B的度数，再根据AD⊥BC求出∠AEB的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论．
解答： 解：∵∠B与∠D是同弧所对的圆周角，∠D=36°，
∴∠B=36°．
∵AD⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∴∠BAD=90°﹣36°=54°．
故选B．
( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解答此题的关键．
2．将沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD=4，DB=5，则BC的长是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． 3 B．8 C． D． 2
考点： 圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；射影定理．
专题： 计算题．
分析： 若连接CD、AC，则根据同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，求得AC=CD；过C作AB的垂线，设垂足为E，则DE=AD，由此可求出BE的长，进而可在Rt△ABC中，根据射影定理求出BC的长．
解答： 解：连接CA、CD；
根据折叠的性质，知所对的圆周角等于∠CBD，
又∵所对的圆周角是∠CBA，
∵∠CBD=∠CBA，
∴AC=CD（相等的圆周角所对的弦相等）；
∴△CAD是等腰三角形；
过C作CE⊥AB于E．
∵AD=4，则AE=DE=2；
∴BE=BD+DE=7；
在Rt△ACB中，CE⊥AB，根据射影定理，得：
BC2=BE AB=7×9=63；
故BC=3．
故选A．
( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 此题考查的是折叠的性质、圆周角定理、以及射影定理；能够根据圆周角定理来判断出△ACD是等腰三角形，是解答此题的关键．
3．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O ( http: / / www.21cnjy.com )上，且点C、D在AB的异侧，连结AD、OD、OC．若∠AOC=70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． 70° B．60° C．50° D． 40°
考点： 圆的认识；平行线的性质．
分析： 首先由AD∥OC可以得到∠BOC=∠DAO，又由OD=OA得到∠ADO=∠DAO，由此即可求出∠AOD的度数．
解答： 解：∵AD∥OC，
∴∠AOC=∠DAO=70°，
又∵OD=OA，
∴∠ADO=∠DAO=70°，
∴∠AOD=180﹣70°﹣70°=40°．
故选D．
点评： 此题比较简单，主要考查了平行线的性质、等腰三角形的性质，综合利用它们即可解决问题．
4．如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，连接AO1并延长交⊙O1于点C，则∠ACO2的度数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． 60° B．45° C．30° D． 20°
考点： 相交两圆的性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理．
分析： 利用等圆的性质进而得出△AO1O2是等边三角形，再利用圆周角定理得出∠ACO2的度数．
解答： 解：连接O1O2，AO2，
∵等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，连接AO1并延长交⊙O1于点C，
∴AO1=AO2=O1O2，
∴△AO1O2是等边三角形，
∴∠AO1O2=60°，
∴∠ACO2的度数为；30°．
故选：C．
( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 此题主要考查了相交两圆的性质以及等边三角形的判定和圆周角定理等知识，得出△AO1O2是等边三角形是解题关键．
5．关于半径为5的圆，下列说法正确的是（ ）
A． 若有一点到圆心的距离为5，则该点在圆外
B． 若有一点在圆外，则该点到圆心的距离不小于5
C． 圆上任意两点之间的线段长度不大于10
D． 圆上任意两点之间的部分可以大于10π
考点： 点与圆的位置关系．
分析： 根据点与圆的位置关系进而分别判断得出即可．
解答： 解：A、关于半径为5的圆，有一点到圆心的距离为5，则该点在圆上，故此选项错误；
B、关于半径为5的圆，若有一点在圆外，则该点到圆心的距离大于5，故此选项错误；
C、圆上任意两点之间的线段长度不大于10，此选项正确；
D、圆上任意两点之间的部分不可以大于10π，故此选项错误；
故选：C．
点评： 此题主要考查了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：
①点P在圆外 d＞r，②点P在圆上 d=r，③点P在圆内 d＜r．
6．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，联结BC，若∠A=36°，则∠C等于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． 36° B．54° C．60° D． 27°
考点： 切线的性质．
分析： 根据题目条件易求∠BOA，根据圆周角定理求出∠C=∠BOA，即可求出答案．
解答： ∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠ABO=90°，
∵∠A=36°，
∴∠BOA=54°，
∴由圆周角定理得：∠C=∠BOA=27°，
故选D．
点评： 本题考查了三角形内角和定理，切线的性质，圆周角定理的应用，关键是求出∠BOA度数．
7．如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线与⊙O交于点C，若⊙O的半径为3，PA=4．弦AC的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． 5 B． C． D．
考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质．
专题： 压轴题．
分析： 连接AO，AB，因为PA是切线，所以 ( http: / / www.21cnjy.com )∠PAO=90°，在Rt△PAO中，PA=4，OA=3，故PO=5，所以PB=2；BC是直径，所以∠BAC=90°，∠PAB和∠CAO都是∠BAO的余角，
进而证明△PAB∽△PCA，利用相似三角形的性质即可求出BA和AC的比值，进一步利用勾股定理即可求出AC的长．
解答： 解：连接AO，AB，因为PA是切线，所以∠PAO=90°，在Rt△PAO中，PA=4，OA=3，故PO=5，
所以PB=2；
∵BC是直径，
∴∠BAC=90°，
因为∠PAB和∠CAO都是∠BAO的余角，
所以∠PAB=∠CAO，
又因为∠CAO=∠ACO，
所以∠PAB=∠ACO，
又因为∠P是公共角，
所以△PAB∽△PCA，
故，
所以，
在Rt△BAC中，AB2+（2AB）2=62；
解得：AB=，
所以AC=
故选：D．
( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 本题考查了切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，题目的综合性很强，难度中等．
8．如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，如果∠APB=60°，⊙O半径是3，则劣弧AB的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B．π C．2π D． 4π
考点： 弧长的计算；切线的性质．
分析： 连接OA，OB，根据切线的性质，以及四边形的内角和定理求得∠AOB的度数，利用弧长的计算公式即可求解．
解答： 解：连接OA，OB．
则OA⊥PA，OB⊥PB
∵∠APB=60°
∴∠AOB=120°
∴劣弧AB的长是：=2π．
故选C．
( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 本题主要考查了切线的性质定理以及弧长的计算公式，正确求得∠AOB的度数是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
9．在边长为1的3×3的方格中，点B、O都在格点上，则劣弧BC的长是 ．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 弧长的计算．
分析： 根据网格得出BO的长，再利用弧长公式计算得出即可．
解答： 解：如图所示：∠BOC=45°，BO=2，
∴劣弧BC的长是：=．
故答案为：．
点评： 此题主要考查了弧长公式的应用，熟练记忆弧长公式是解题关键．
10．已知扇形弧长为2π，半径为3cm，则此扇形所对的圆心角为 120 度．
考点： 弧长的计算．
分析： 直接利用扇形弧长公式代入求出即可．
解答： 解：∵扇形弧长为2π，半径为3cm，
∴l==2π，即=2π，
解得：n=120°，
∴此扇形所对的圆心角为：120°．
故答案为：120．
点评： 此题主要考查了弧长公式的应用，正确利用弧长公式是解题关键．
11．已知⊙A的半径为5，圆心A（3，4），坐标原点O与⊙A的位置关系是 在⊙A上 ．
考点： 点与圆的位置关系；坐标与图形性质．
分析： 先根据两点间的距离公式计算出OA，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点O与⊙A的位置关系．
解答： 解：∵点A的坐标为（4，3），
∴OA==5，
∵半径为5，
而5=5，
∴点O在⊙A上．
故答案为：在⊙A上．
点评： 本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的 ( http: / / www.21cnjy.com )位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，当点P在圆外 d＞r；当点P在圆上 d=r；当点P在圆内 d＜r．
12．如图，⊙O的半径OC= ( http: / / www.21cnjy.com )5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线向下平移 2 cm时与⊙O相切．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 直线与圆的位置关系；垂径定理．
分析： 根据直线和圆相切，则只需满足OH=5．又由垂径定理构造直角三角形可求出此时OH的长，从而计算出平移的距离．
解答： 解：∵直线和圆相切时，OH=5，
又∵在直角三角形OHA中，HA==4，OA=5，
∴OH=3．
∴需要平移5﹣3=2cm．故答案为：2．
点评： 本题考查垂径定理及直线和圆的位置关系．注意：直线和圆相切，则应满足d=R．
13．如图，∠APB=30°，点 ( http: / / www.21cnjy.com )O是射线PB上的一点，OP=5cm，若以点O为圆心，半径为1.5cm的⊙O沿BP方向移动，当⊙O与PA相切时，圆心O移动的距离为 2或8 cm．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 直线与圆的位置关系．
分析： 首先根据题意画出图形，然后由切线的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质，可得∠O′CP=90°，又由∠APB=30°，O′C=1cm，即可求得O′P的长，继而求得答案．
解答： 解：①如图1，当⊙O平移到⊙O′位置时，⊙O与PA相切时，且切点为C，
连接O′C，则O′C⊥PA，
即∠O′CP=90°，
∵∠APB=30°，O′C=1.5cm，
∴O′P=2O′C=3cm，
∵OP=5cm，
∴OO′=OP﹣O′P=2（cm）；
②如图2：同理可得：O′P=3cm，
∴O′O=8cm．
故答案为：2或8．
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 此题考查了切线的性质与含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
14．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，若∠D=30°，CH=1cm，则AB= 2 cm．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 垂径定理．
专题： 推理填空题．
分析： 连接AC、BC．利用圆周角定理知∠D=∠B，然后根据已知条件“CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H”，利用垂径定理知BH=AB；最后再由直角三角形CHB的正切函数求得BH的长度，从而求得AB的长度．
解答： 解：连接AC、BC．
∵∠D=∠B（同弧所对的圆周角相等），∠D=30°，
∴∠B=30°；
又∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，
∴BH=AB；
在Rt△CHB中，∠B=30°，CH=1cm，
∴BH=，即BH=；
∴AB=2cm．
故答案是：2．
( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 本题考查了垂径定理和直角三角形的性质，解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算．
三．解答题（共10小题）
15．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠ADC=60°，C是弧AB的中点．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若BC=6cm，求图中阴影部分的面积．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 圆周角定理；等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；扇形面积的计算．
分析： （1）先由C是弧AB的中点可得出=，由圆周角定理可知∠ADC=∠ABC=∠BAC=∠BDC=60°，再由三角形内角和定理可知∠ACB=60°，故可得出结论；
（2）连接BO、OC，过O作OE⊥BC ( http: / / www.21cnjy.com )于E，由垂径定理可得出BE的长，根据圆周角定理可得出∠BOC的度数，在Rt△BOE中由锐角三角函数的定义求出OB的长，根据S阴影=S扇形﹣S△BOC即可得出结论．
解答： 解：（1）△ABC是等边三角形．
∵C是弧AB的中点，
∴=，
∴∠ADC=∠ABC=∠BAC=∠BDC=60°
∴∠ACB=60°，
∴AC=AB=BC，
∴△ABC是等边三角形；
（2）连接BO、OC，过O作OE⊥BC于E，
∵BC=6cm，
∴BE=EC=3cm，
∵∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°，
∴∠BOE=60°，在Rt△BOE中，sin60°=，
∴OB=6cm，
∴S扇形==12πcm2，
∵S△BOC=×6×3=9cm2，
∴S阴影=12π﹣9cm2，
答：图中阴影部分的面积是（12π﹣9）cm2．
( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 本题考查的是圆周角定理、垂径定理及扇形的面积等相关知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
16．如图，在△ABC中，AB=AC，AD为△ABC的高，以AD为直径的⊙0与AB、AC两边分别交于点E、F．连接DE、DF．
（1）求证：BE=CF；
（2）若AD=BC=2．求ED的长．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 圆周角定理；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理．
分析： （1）根据等腰三角形“三合 ( http: / / www.21cnjy.com )一”的性质推知∠1=∠2．由“直径所对的圆周角是直角”得到∠AED=∠AFD=90°．则根据角平分线的性质证得结论；
（2）在直角△ABD中利用勾股定理求得斜边AB的长度，然后根据面积法来求ED的长度．
解答： （1）证明：如图，∵在△ABC中，AB=AC，AD为△ABC的高，
∴∠1=∠2．
又∵AD为直径，
∴∠AED=∠AFD=90°，即DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF；
（2）如图，∵在△ABC中，AB=AC，AD为△ABC的高，AD=BC=2．
∴BD=CD=BC=．
∴由勾股定理得到AB==5．
∵由（1）知DE⊥AB，
∴AD BD=AB ED，
∴ED===2．
故ED的长为2．
( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理．注意，勾股定理应用于直角三角形中．
17．如图，已知在△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧AC上的点（不与A，C重合），延长BD至E．
（1）求证：AD的延长线平分∠CDE；
（2）若∠BAC=30°，且△ABC底边BC边上高为1，求△ABC外接圆的周长．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 圆周角定理；勾股定理；垂径定理．
分析： （1）要证明AD的延长线 ( http: / / www.21cnjy.com )平分∠CDE，即证明∠EDF=∠CDF，转化为证明∠ADB=∠CDF，再根据A，B，C，D四点共圆的性质，和等腰三角形角之间的关系即可得到．
（2）求△ABC外接圆的面积，只需解出 ( http: / / www.21cnjy.com )圆半径，故作等腰三角形底边上的垂直平分线即过圆心，再连接OC，根据角之间的关系在三角形内即可求得圆半径，可得到外接圆面积．
解答： （1）证明：如图，设F为AD延长线上一点，
∵A，B，C，D四点共圆，
∴∠CDF=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ADB=∠CDF，
∵∠ADB=∠EDF（对顶角相等），
∴∠EDF=∠CDF，
即AD的延长线平分∠CDE．
（2）解：设O为外接圆圆心，连接AO比延长交BC于H，连接OC，
∵AB=AC，
∴=，
∴AH⊥BC，
∴∠OAC=∠OAB=∠BAC=×30°=15°，
∴∠COH=2∠OAC=30°，
设圆半径为r，
则OH=OC cos30°=r，
∵△ABC中BC边上的高为1，
∴AH=OA+OH=r+r=1，
解得：r=2（2﹣），
∴△ABC的外接圆的周长为：4π（2﹣）．
( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 此题主要考查圆内接多边形的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质、圆周角定理、等腰三角形的性质以及三角形的外接圆的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．
18．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 圆周角定理；含30度角的直角三角形；垂径定理．
专题： 证明题；压轴题．
分析： （1）由OD⊥AC OD为半径，根据垂径定理，即可得=，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可证得BD平分∠ABC；
（2）首先由OB=OD，易求得∠AO ( http: / / www.21cnjy.com )D的度数，又由OD⊥AC于E，可求得∠A的度数，然后由AB是⊙O的直径，根据圆周角定理，可得∠ACB=90°，继而可证得BC=OD．
解答： 证明：（1）∵OD⊥AC OD为半径，
∴=，
∴∠CBD=∠ABD，
∴BD平分∠ABC；
（2）∵OB=OD，
∴∠OBD=∠0DB=30°，
∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°，
又∵OD⊥AC于E，
∴∠OEA=90°，
∴∠A=180°﹣∠OEA﹣∠AOD=180°﹣90°﹣60°=30°，
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，BC=AB，
∵OD=AB，
∴BC=OD．
点评： 此题考查了圆周角定理、垂径定理以及直角三角形的性质等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
19．如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E．
（1）求证：△ADE∽△BCE；
（2）如果AD2=AE AC，求证：CD=CB．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： （1）由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠A=∠B，又由对顶角相等，可证得：△ADE∽△BCE；
（2）由AD2=AE AC，可得，又由∠A是公共角，可证得△ADE∽△ACD，又由AC是⊙O的直径，以求得AC⊥BD，由垂径定理即可证得CD=CB．
解答： 证明：（1）如图，∵∠A与∠B是对的圆周角，
∴∠A=∠B，
又∵∠1=∠2，
∴△ADE∽△BCE；
（2）如图，
∵AD2=AE AC，
∴，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACD，
∴∠AED=∠ADC，
又∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
即∠AED=90°，
∴直径AC⊥BD，
∴=，
∴CD=CB．
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 此题考查了圆周角定理、垂径定理一相似三角形的判定与性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．
20．如图，以AB为直径的⊙O交∠BAD的角平分线于C，过C作CD⊥AD于D，交AB的延长线于E．
（1）求证：CD为⊙O的切线．
（2）若=，求cos∠DAB．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 切线的判定；角平分线的性质；勾股定理；解直角三角形．
专题： 几何综合题．
分析： （1）连接OC，推出∠DAC= ( http: / / www.21cnjy.com )∠CAB，∠OAC=∠OCA，求出∠DAC=∠OCA，得出OC∥AD，推出OC⊥DC，根据切线的判定判断即可；
（2）连接BC，可证明△ACD∽△ABC，得出比例式，求出BC，求出圆的直径AB，再根据勾股定理得出CE，即可求出答案．
解答： （1）证明：连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∵OC为⊙O半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接BC，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAD=∠CAB，
∵=，
∴令CD=3，AD=4，得AC=5，
∴=，
=，
∴BC=，
由勾股定理得AB=，
∴OC=，
∵OC∥AD，
∴=，
∴=，
解得AE=，
∴cos∠DAB===．
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 本题考查了切线的判定以及角平分线的定义、勾股定理和解直角三角形，是中学阶段的重点内容．
21．如图，AC=BC， ( http: / / www.21cnjy.com )∠C=90°，点E在AC上，点F在BC上，CE=CF，连结AF和BE，点O在BE上，⊙O经过点B、F，交BE于点G．
（1）求证：△ACF≌△BCE；
（2）求证：AF是⊙O的切线．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 切线的判定；全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： （1）利用“SAS”证明△ACF≌△BCE；
（2）连结OF，如图，根据全等三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的性质，由△ACF≌△BCE得到∠A=∠B，则∠B+∠AFC=90°，加上∠B=∠OFB，所以∠OFB+∠AFC=90°，则∠AFO=90°，然后根据切线的判定定理即可得到AF是⊙O的切线．
解答： 证明：（1）在△ACF和△BCE中，
，
∴△ACF≌△BCE（SAS）；
（2）连结OF，如图，
∵△ACF≌△BCE，
∴∠A=∠B，
而∠A+∠AFC=90°，
∴∠B+∠AFC=90°，
∵OB=OF，
∴∠B=∠OFB，
∴∠OFB+∠AFC=90°，
∴∠AFO=90°，
∴OF⊥AF，
∴AF是⊙O的切线．
( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 本题考查了切线的 ( http: / / www.21cnjy.com )判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．也考查了全等三角形的判定与性质．
22．如图，在△ABC中，∠C=60°，⊙O是△ABC的外接圆，点P在直径BD的延长线上，且AB=AP．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若AB=2，求图中阴影部分的面积．（结果保留π和根号）
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 切线的判定；扇形面积的计算．
分析： （1）如图，连接OA；证明∠OAP=90°，即可解决问题．
（2）如图，作辅助线；求出OM=1，OA=2；求出△AOB、扇形AOB的面积，即可解决问题．
解答： 解：（1）如图，连接OA；
∵∠C=60°，
∴∠AOB=120°；而OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°；而AB=AP，
∴∠P=∠ABO=30°；
∵∠AOB=∠OAP+∠P，
∴∠OAP=120°﹣30°=90°，
∴PA是⊙O的切线．
（2）如图，过点O作OM⊥AB，则AM=BM=，
∵tan30°=，sin30°=，
∴OM=1，OA=2；
∴=××1=，
=，
∴图中阴影部分的面积=．
( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 该题主要考查了切线的判定、 ( http: / / www.21cnjy.com )扇形的面积公式及其应用问题；解题的关键是作辅助线；灵活运用圆周角定理及其推论、垂径定理等几何知识点来分析、判断、解答．
23．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠AOC=60°，OC=2．
（1）求OE和CD的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 扇形面积的计算；垂径定理．
分析： （1）在△OCE中，利用三角函数即可求得CE，OE的长，再根据垂径定理即可求得CD的长；
（2）根据半圆的面积减去△ABC的面积，即可求解．
解答： 解：（1）在△OCE中，
∵∠CEO=90°，∠EOC=60°，OC=2，
∴OE=OC=1，
∴CE=OC=，
∵OA⊥CD，
∴CE=DE，
∴CD=；
（2）∵S△ABC=AB EC=×4×=2，
∴．
点评： 本题主要考查了垂径定理以及三角函数，一些不规则的图形的面积可以转化为规则图形的面积的和或差求解．
24．如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD=120°，四边形ABCD的周长为15．
（1）求此圆的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 扇形面积的计算；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
分析： （1）根据条件可以证得四 ( http: / / www.21cnjy.com )边形ABCD是等腰梯形，且AB=AD=DC，∠BDC=90°，在直角△BDC中，BC是圆的直径，BC=2DC，根据四边形ABCD的周长为15，即可求得BC，即可得到圆的半径；
（2）根据S阴影=S扇形AOD﹣S△AOD即可求解．
解答： 解：（1）∵AD∥BC，∠BAD=120°，
∴∠ABC=∠DCB=180°﹣∠BAD=180°﹣120°=60°，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=30°，
∴∠DBC+∠DCB=90°，
∴∠BDC=90°
∴BC是圆的直径．
∵∠ABC=60°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=∠ADB=30°
∴==，∠BCD=60°
∴AB=AD=DC，
∵BC是直径，
∴∠BDC=90°，
在直角△BDC中，BC是圆的直径，BC=2DC．
∴BC+BC=15，
解得：BC=6
故此圆的半径为3．
（2）设BC的中点为O，由（1）可知O即为圆心．
连接OA，OD，过O作OE⊥AD于E．
在直角△AOE中，∠AOE=30°
∴OE=OA cos30°=
S△AOD=×3×=．
∴S阴影=S扇形AOD﹣S△AOD=﹣=﹣=．
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 本题主要考查了扇形的面积的计算，正确证得四边形ABCD是等腰梯形，是解题的关键．
