人教版九年级数学上册 24.1.4 圆周角（二） 同步练习
一、选择题
1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为4，∠B=135°，则劣弧 的长等于（ ）
A．π B．2π C．3π D．6π
2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是CB的延长线上一点，∠EBA=125°，则∠D=（ ）
A．65° B．120° C．125° D．130°
3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F，∠DCE=80°，∠F=25°，则∠E的度数为（ ）
A．55° B．50° C．45° D．40°
4．若四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A：∠B：∠C=1：3：8，则∠D的度数是（ ）
A．10° B．30° C．80° D．120°
5．如果圆内接四边形ABCD的对角线交点恰好是该圆的圆心，则四边形ABCD一定是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
6．下列命题是真命题的是（ ）
A．平行四边形的对角线相等
B．三角形的重心是三条边的垂直平分线的交点
C．五边形的内角和是540°
D．圆内接四边形的对角相等
7．如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD=120°，AB=AD=2，则⊙O的半径长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD=110°，则∠BAD= 度．
9．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C=∠D，则AB与CD的位置关系是 ．
10．（2017·靖远模拟）如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=115°，则∠BOD等于 ．
11．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点D是 的中点，点E是 上的一点，若∠CED=40°，则∠ADC= 度．
12．（2016·龙湾模拟）如图，A，B，C三点都在⊙O上，点D是AB延长线上一点，∠AOC=144°，则∠CBD= 度．
13．如图，已知四边形ABCD内接于半径为4的⊙O中，且∠C=2∠A，则BD= ．
14．（2018·曲靖）如图：四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A=n°，则∠DCE= °．
三、解答题
15．如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E．若BC＝BE．
求证：△ADE是等腰三角形.
16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．
（1）求证：∠A=∠AEB．
（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD．求证：△ABE是等边三角形．
17．在△ABC中，CE，BD分别是边AB，AC上的高，F是BC边上的中点．
（1）指出图中的一个等腰三角形，并说明理由．
（2）若∠A=x°，求∠EFD的度数（用含x的代数式表达）．
（3）猜想∠ABC和∠EDA的数量关系，并证明．
18．如图，⊙ 的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E、F。
（1）若∠E=∠F时，求证：∠ADC=∠ABC；
（2）若∠E=∠F=42°时，求∠A的度数；
（3）若∠E=α，∠F=β，且。α≠β.请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=135°，
∴∠D=45°，
∴劣弧 的度数是90°，
又∵⊙O的半径为4，
∴ = ，
故答案为：B．
【分析】先在圆中求得∠D，进而求得劣弧的度数，最后求得劣弧的长。
2．【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠EBA=125°，
∴∠ABC=180°﹣125°=55°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D+∠ABC=180°，
∴∠D=180°﹣55°=125°，
故选C．
【分析】先求出∠ABC，根据圆内接四边形的对角互补求出即可．
3．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∠B=∠DCE﹣∠F=55°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠EDC=∠B=55°，
∴∠E=180°﹣∠DCE﹣∠EDC=45°，
故选：C．
【分析】根据三角形的外角的性质求出∠B，根据圆内接四边形的性质和三角形内角和定理计算即可．
4．【答案】D
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】设∠A=x，则∠B=3x，∠C=8x，
因为四边形ABCD为圆内接四边形，
所以∠A+∠C=180°，
即：x+8x=180，
∴x=20°，
则∠A=20°，∠B=60°，∠C=160°，
所以∠D=120°，
故选D．
【分析】本题可设∠A=x，则∠B=3x，∠C=8x；利用圆内接四边形的对角互补，可求出∠A.∠C的度数，进而求出∠B和∠D的度数，由此得解．
5．【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵圆内接四边形ABCD的对角线交点恰好是该圆的圆心，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴四边形ABCD一定是矩形．
故答案为：B．
【分析】根据直径所对的圆周角是90°，可得∠A=∠B=∠C=∠D=90°，根据矩形的判定定理可得四边形ABCD一定是矩形。
6．【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】平行四边形的对角线互相平分，A是假命题；
三角形的重心是三条边的中线的交点，B是假命题；
正五边形的内角和=（5﹣2）×180°=540°，C是真命题；
圆内接四边形的对角互补，D是假命题.
故答案为：C．
【分析】平行四边形的对角线不一定相等；三角形的重心是三条边的中线的交点；五边形的内角和=（5﹣2）×180°=540°；圆内接四边形的对角互补。
7．【答案】D
【知识点】垂径定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接BD，作OE⊥AD，连接OD，
∵⊙O为四边形ABCD的外接圆，∠BCD=120°，
∴∠BAD=60°．
∵AD=AB=2，
∴△ABD是等边三角形．
∴DE= AD=1，∠ODE= ∠ADB=30°，
∴OD= = ．
答案为：D．
【分析】通过连半径，作弦心距，构造出直角三角形，利用三角函数、圆内接四边形性质，求出半径.
8．【答案】70
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD=180°（圆内接四边形的对角互补）；
又∵∠BCD=110°，
∴∠BAD=70°．
故答案为：70．
【分析】根据“圆内接四边形的对角互补”，根据∠BCD=110°，易求∠BAD。
9．【答案】AB∥CD
【知识点】平行线的判定；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°
又∵∠C=∠D，
∴∠A+∠D=180°．
∴AB∥CD．
故答案为：AB∥CD．
【分析】根据圆内接四边形对角互补可得∠A+∠C=180°，再由∠C=∠D，可得∠A+∠D=180°，从而判定AB∥CD。
10．【答案】130°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠A=115°
∴∠C=180°﹣∠A=65°
∴∠BOD=2∠C=130°．
故答案为：130°．
【分析】根据圆内接四边形的对角互补求得∠C的度数，再根据圆周角定理求解即可．
11．【答案】100
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
连接AE，
∵点D是 的中点，
∴∠AED=∠CED，
∵∠CED=40°，
∴∠AEC=2∠CED=80°，
∵四边形ADCE是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠AEC=180°，
∴∠ADC=180°﹣∠AEC=100°，
故答案为：100．
【分析】连接AE，先求得∠CED，再求得∠AEC，最后根据圆内接四边形对角互补求得∠ADC即可。
12．【答案】72
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：在优弧AC上取点E，连接AE，CE，
∵∠AOC=144°，
∴∠E= ∠AOC=72°，
∵∠ABC=180°﹣∠E，∠ABC=180°﹣∠CBD，
∴∠CBD=∠E=72°．
故答案为：72°．
【分析】首先在优弧AC上取点E，连接AE，CE，由圆周角定理可求得∠E的度数，又由圆的内接四边形的性质，可得∠CBD=∠E．
13．【答案】
【知识点】垂径定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接OD、OB，过点O作OF⊥BD，垂足为F，
∵OF⊥BD，
∴DF=BF，∠DOF=∠BOF．
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C=180°．
∵∠C=2∠A，
∴∠A=60°，
∴∠BOD=120°，
∴∠BOF=60°．
∵OB=4，
∴BF=OB sin∠BOF=4×sin60°=2 ，
∴BD=2BF=4 ．
故答案为：4 ．
【分析】连接OD、OB，过点O作OF⊥BD，垂足为F，根据垂径定理易得DF=BF，∠DOF=∠BOF．再根据圆内接四边形对角互补求得∠A、∠BOD，最后在Rt△OBF中，通过解直角三角形求得BF，最后求得BD即可。
14．【答案】n
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠DCB=180°，
又∵∠DCE+∠DCB=180°
∴∠DCE=∠A=n°
故答案为：n
【分析】根据圆内接四边形的一个外角等于它的内对角即可得出答案。
15．【答案】证明：∵BC＝BE，
∴∠E＝∠BCE.
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A＋∠DCB＝180°
∵∠BCE＋∠DCB＝180°，
∴∠A＝∠BCE.
∴∠A＝∠E.
∴AD＝DE.
∴△ADE是等腰三角形.
【知识点】等腰三角形的判定；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】根据 BC＝BE ，易证得 ∠E＝∠BCE. 再根据圆内接四边形对角互补可得 ∠A＋∠DCB＝180° ，再根据 ∠BCE＋∠DCB＝180°， 等量代换得出 ∠A＝∠BCE进一步可得∠A＝∠E，最后根据等角对等边可得 △ADE是等腰三角形 。
16．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠DCE+∠BCD=180°，∴∠A=∠DCE，∵DC=DE，∴∠DCE=∠AEB，∴∠A=∠AEB
（2）解：∵∠A=∠AEB，∴△ABE是等腰三角形，∵EO⊥CD，∴CF=DF，∴EO是CD的垂直平分线，∴ED=EC，∵DC=DE，∴DC=DE=EC，∴△DCE是等边三角形，∴∠AEB=60°，∴△ABE是等边三角形．
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补可得∠A+∠BCD=180°，再由∠DCE+∠BCD=180°等量代换得出∠A=∠DCE，再由等边对等角得出
∠DCE=∠AEB，最后得出∠A=∠AEB。
（2）先证得△ABE是等腰三角形，再由垂径定理得出CF=DF，易得EO是CD的垂直平分线，ED=EC，再分别证△DCE、△ABE是等边三角形即可。
17．【答案】（1）解：△DEF是等腰三角形．
∵CE，BD分别是边AB，AC上的高，F是BC边上的中点，
∴EF= BC，DF= BC，
∴EF=DF，
∴△DEF是等腰三角形。
（2）解：∵FE=FB，FD=FC，
∴∠FEB=∠FBE，∠FDC=∠FCD，
∴∠FEB+∠FDC=∠FBE+∠FCD=180°﹣∠A=180°﹣x°，
∠AED+∠ADE=180°﹣∠A=180°﹣x°，
∴∠FED+∠FDE=360°﹣（180°﹣x°）﹣（180°﹣x°）=2x°，
∴∠EFD=180°﹣2x°
（3）解：∠ABC=∠EDA．
∵∠BEC=∠BDC=90°，
∴B、E、D、C四点共圆，
∴∠ABC=∠EDA.
【知识点】等腰三角形的判定；确定圆的条件
【解析】【分析】（1）根据“在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半”可得 EF= BC，DF= BC， 等量代换可得 EF=DF， 最后证得 △DEF是等腰三角形。
（2）根据等边对等角 FE=FB，FD=FC， 可得 ∠FEB=∠FBE，∠FDC=∠FCD， 用含x的代数式表示 ∠FEB+∠FDC 、 ∠AED+∠ADE ，最后求得 ∠EFD 。
（3）根据 ∠BEC=∠BDC=90° ，90度的圆周角所对的弦为直径可得 B、E、D、C四点共圆， 可得 ∠ABC=∠EDA.。
18．【答案】（1）解：∠E=∠F，∵∠DCE=∠BCF，∴∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠F+∠BCF，∴∠ADC=∠ABC.
（2）解：由（1）知∠ADC=∠ABC，∵∠EDC=∠ABC，∴∠EDC=∠ADC，∴∠ADC=90°，∴∠A=90°﹣42°=48°
（3）解：连结EF，如图，∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴∠ECD=∠A，∵∠ECD=∠1+∠2，∴∠A=∠1+∠2，∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，∴2∠A+α+β=180°，∴∠A=90°﹣ ．
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）由三角形外角知识可得∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠F+∠BCF，再由∠E=∠F，∠EDC=∠ABC，等量代换可得∠ADC=∠ABC。
（2）由（1）知∠ADC=∠ABC，再由∠EDC=∠ABC，等量代换得出∠EDC=∠ADC，最后得出∠A。
（3）连结EF，由四边形ABCD为圆的内接四边形，可得∠ECD=∠A，再由三角形外角可得∠ECD=∠1+∠2，等量代换得出∠A=∠1+∠2，最后由三角形内角和定理可得∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，等量代换得出∠A的度数 .
1 / 1人教版九年级数学上册 24.1.4 圆周角（二） 同步练习
一、选择题
1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为4，∠B=135°，则劣弧 的长等于（ ）
A．π B．2π C．3π D．6π
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=135°，
∴∠D=45°，
∴劣弧 的度数是90°，
又∵⊙O的半径为4，
∴ = ，
故答案为：B．
【分析】先在圆中求得∠D，进而求得劣弧的度数，最后求得劣弧的长。
2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是CB的延长线上一点，∠EBA=125°，则∠D=（ ）
A．65° B．120° C．125° D．130°
【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠EBA=125°，
∴∠ABC=180°﹣125°=55°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D+∠ABC=180°，
∴∠D=180°﹣55°=125°，
故选C．
【分析】先求出∠ABC，根据圆内接四边形的对角互补求出即可．
3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F，∠DCE=80°，∠F=25°，则∠E的度数为（ ）
A．55° B．50° C．45° D．40°
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∠B=∠DCE﹣∠F=55°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠EDC=∠B=55°，
∴∠E=180°﹣∠DCE﹣∠EDC=45°，
故选：C．
【分析】根据三角形的外角的性质求出∠B，根据圆内接四边形的性质和三角形内角和定理计算即可．
4．若四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A：∠B：∠C=1：3：8，则∠D的度数是（ ）
A．10° B．30° C．80° D．120°
【答案】D
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】设∠A=x，则∠B=3x，∠C=8x，
因为四边形ABCD为圆内接四边形，
所以∠A+∠C=180°，
即：x+8x=180，
∴x=20°，
则∠A=20°，∠B=60°，∠C=160°，
所以∠D=120°，
故选D．
【分析】本题可设∠A=x，则∠B=3x，∠C=8x；利用圆内接四边形的对角互补，可求出∠A.∠C的度数，进而求出∠B和∠D的度数，由此得解．
5．如果圆内接四边形ABCD的对角线交点恰好是该圆的圆心，则四边形ABCD一定是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵圆内接四边形ABCD的对角线交点恰好是该圆的圆心，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴四边形ABCD一定是矩形．
故答案为：B．
【分析】根据直径所对的圆周角是90°，可得∠A=∠B=∠C=∠D=90°，根据矩形的判定定理可得四边形ABCD一定是矩形。
6．下列命题是真命题的是（ ）
A．平行四边形的对角线相等
B．三角形的重心是三条边的垂直平分线的交点
C．五边形的内角和是540°
D．圆内接四边形的对角相等
【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】平行四边形的对角线互相平分，A是假命题；
三角形的重心是三条边的中线的交点，B是假命题；
正五边形的内角和=（5﹣2）×180°=540°，C是真命题；
圆内接四边形的对角互补，D是假命题.
故答案为：C．
【分析】平行四边形的对角线不一定相等；三角形的重心是三条边的中线的交点；五边形的内角和=（5﹣2）×180°=540°；圆内接四边形的对角互补。
7．如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD=120°，AB=AD=2，则⊙O的半径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】垂径定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接BD，作OE⊥AD，连接OD，
∵⊙O为四边形ABCD的外接圆，∠BCD=120°，
∴∠BAD=60°．
∵AD=AB=2，
∴△ABD是等边三角形．
∴DE= AD=1，∠ODE= ∠ADB=30°，
∴OD= = ．
答案为：D．
【分析】通过连半径，作弦心距，构造出直角三角形，利用三角函数、圆内接四边形性质，求出半径.
二、填空题
8．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD=110°，则∠BAD= 度．
【答案】70
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD=180°（圆内接四边形的对角互补）；
又∵∠BCD=110°，
∴∠BAD=70°．
故答案为：70．
【分析】根据“圆内接四边形的对角互补”，根据∠BCD=110°，易求∠BAD。
9．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C=∠D，则AB与CD的位置关系是 ．
【答案】AB∥CD
【知识点】平行线的判定；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°
又∵∠C=∠D，
∴∠A+∠D=180°．
∴AB∥CD．
故答案为：AB∥CD．
【分析】根据圆内接四边形对角互补可得∠A+∠C=180°，再由∠C=∠D，可得∠A+∠D=180°，从而判定AB∥CD。
10．（2017·靖远模拟）如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=115°，则∠BOD等于 ．
【答案】130°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠A=115°
∴∠C=180°﹣∠A=65°
∴∠BOD=2∠C=130°．
故答案为：130°．
【分析】根据圆内接四边形的对角互补求得∠C的度数，再根据圆周角定理求解即可．
11．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点D是 的中点，点E是 上的一点，若∠CED=40°，则∠ADC= 度．
【答案】100
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
连接AE，
∵点D是 的中点，
∴∠AED=∠CED，
∵∠CED=40°，
∴∠AEC=2∠CED=80°，
∵四边形ADCE是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠AEC=180°，
∴∠ADC=180°﹣∠AEC=100°，
故答案为：100．
【分析】连接AE，先求得∠CED，再求得∠AEC，最后根据圆内接四边形对角互补求得∠ADC即可。
12．（2016·龙湾模拟）如图，A，B，C三点都在⊙O上，点D是AB延长线上一点，∠AOC=144°，则∠CBD= 度．
【答案】72
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：在优弧AC上取点E，连接AE，CE，
∵∠AOC=144°，
∴∠E= ∠AOC=72°，
∵∠ABC=180°﹣∠E，∠ABC=180°﹣∠CBD，
∴∠CBD=∠E=72°．
故答案为：72°．
【分析】首先在优弧AC上取点E，连接AE，CE，由圆周角定理可求得∠E的度数，又由圆的内接四边形的性质，可得∠CBD=∠E．
13．如图，已知四边形ABCD内接于半径为4的⊙O中，且∠C=2∠A，则BD= ．
【答案】
【知识点】垂径定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接OD、OB，过点O作OF⊥BD，垂足为F，
∵OF⊥BD，
∴DF=BF，∠DOF=∠BOF．
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C=180°．
∵∠C=2∠A，
∴∠A=60°，
∴∠BOD=120°，
∴∠BOF=60°．
∵OB=4，
∴BF=OB sin∠BOF=4×sin60°=2 ，
∴BD=2BF=4 ．
故答案为：4 ．
【分析】连接OD、OB，过点O作OF⊥BD，垂足为F，根据垂径定理易得DF=BF，∠DOF=∠BOF．再根据圆内接四边形对角互补求得∠A、∠BOD，最后在Rt△OBF中，通过解直角三角形求得BF，最后求得BD即可。
14．（2018·曲靖）如图：四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A=n°，则∠DCE= °．
【答案】n
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠DCB=180°，
又∵∠DCE+∠DCB=180°
∴∠DCE=∠A=n°
故答案为：n
【分析】根据圆内接四边形的一个外角等于它的内对角即可得出答案。
三、解答题
15．如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E．若BC＝BE．
求证：△ADE是等腰三角形.
【答案】证明：∵BC＝BE，
∴∠E＝∠BCE.
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A＋∠DCB＝180°
∵∠BCE＋∠DCB＝180°，
∴∠A＝∠BCE.
∴∠A＝∠E.
∴AD＝DE.
∴△ADE是等腰三角形.
【知识点】等腰三角形的判定；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】根据 BC＝BE ，易证得 ∠E＝∠BCE. 再根据圆内接四边形对角互补可得 ∠A＋∠DCB＝180° ，再根据 ∠BCE＋∠DCB＝180°， 等量代换得出 ∠A＝∠BCE进一步可得∠A＝∠E，最后根据等角对等边可得 △ADE是等腰三角形 。
16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．
（1）求证：∠A=∠AEB．
（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD．求证：△ABE是等边三角形．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠DCE+∠BCD=180°，∴∠A=∠DCE，∵DC=DE，∴∠DCE=∠AEB，∴∠A=∠AEB
（2）解：∵∠A=∠AEB，∴△ABE是等腰三角形，∵EO⊥CD，∴CF=DF，∴EO是CD的垂直平分线，∴ED=EC，∵DC=DE，∴DC=DE=EC，∴△DCE是等边三角形，∴∠AEB=60°，∴△ABE是等边三角形．
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补可得∠A+∠BCD=180°，再由∠DCE+∠BCD=180°等量代换得出∠A=∠DCE，再由等边对等角得出
∠DCE=∠AEB，最后得出∠A=∠AEB。
（2）先证得△ABE是等腰三角形，再由垂径定理得出CF=DF，易得EO是CD的垂直平分线，ED=EC，再分别证△DCE、△ABE是等边三角形即可。
17．在△ABC中，CE，BD分别是边AB，AC上的高，F是BC边上的中点．
（1）指出图中的一个等腰三角形，并说明理由．
（2）若∠A=x°，求∠EFD的度数（用含x的代数式表达）．
（3）猜想∠ABC和∠EDA的数量关系，并证明．
【答案】（1）解：△DEF是等腰三角形．
∵CE，BD分别是边AB，AC上的高，F是BC边上的中点，
∴EF= BC，DF= BC，
∴EF=DF，
∴△DEF是等腰三角形。
（2）解：∵FE=FB，FD=FC，
∴∠FEB=∠FBE，∠FDC=∠FCD，
∴∠FEB+∠FDC=∠FBE+∠FCD=180°﹣∠A=180°﹣x°，
∠AED+∠ADE=180°﹣∠A=180°﹣x°，
∴∠FED+∠FDE=360°﹣（180°﹣x°）﹣（180°﹣x°）=2x°，
∴∠EFD=180°﹣2x°
（3）解：∠ABC=∠EDA．
∵∠BEC=∠BDC=90°，
∴B、E、D、C四点共圆，
∴∠ABC=∠EDA.
【知识点】等腰三角形的判定；确定圆的条件
【解析】【分析】（1）根据“在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半”可得 EF= BC，DF= BC， 等量代换可得 EF=DF， 最后证得 △DEF是等腰三角形。
（2）根据等边对等角 FE=FB，FD=FC， 可得 ∠FEB=∠FBE，∠FDC=∠FCD， 用含x的代数式表示 ∠FEB+∠FDC 、 ∠AED+∠ADE ，最后求得 ∠EFD 。
（3）根据 ∠BEC=∠BDC=90° ，90度的圆周角所对的弦为直径可得 B、E、D、C四点共圆， 可得 ∠ABC=∠EDA.。
18．如图，⊙ 的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E、F。
（1）若∠E=∠F时，求证：∠ADC=∠ABC；
（2）若∠E=∠F=42°时，求∠A的度数；
（3）若∠E=α，∠F=β，且。α≠β.请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小.
【答案】（1）解：∠E=∠F，∵∠DCE=∠BCF，∴∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠F+∠BCF，∴∠ADC=∠ABC.
（2）解：由（1）知∠ADC=∠ABC，∵∠EDC=∠ABC，∴∠EDC=∠ADC，∴∠ADC=90°，∴∠A=90°﹣42°=48°
（3）解：连结EF，如图，∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴∠ECD=∠A，∵∠ECD=∠1+∠2，∴∠A=∠1+∠2，∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，∴2∠A+α+β=180°，∴∠A=90°﹣ ．
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）由三角形外角知识可得∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠F+∠BCF，再由∠E=∠F，∠EDC=∠ABC，等量代换可得∠ADC=∠ABC。
（2）由（1）知∠ADC=∠ABC，再由∠EDC=∠ABC，等量代换得出∠EDC=∠ADC，最后得出∠A。
（3）连结EF，由四边形ABCD为圆的内接四边形，可得∠ECD=∠A，再由三角形外角可得∠ECD=∠1+∠2，等量代换得出∠A=∠1+∠2，最后由三角形内角和定理可得∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，等量代换得出∠A的度数 .
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