2018-2019学年数学北师大版九年级上册4.7 相似三角形的性质 同步练习
一、选择题：
1．若△ABC∽△A`B`C`，则相似比k等于（ ）
A．A′B′：AB B．∠A： ∠A′
C．S△ABC：S△A′B′C′ D．△ABC周长：△A′B′C′周长
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】根据相似三角形对应线段的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比即可求解．∵△ABC∽△A′B′C′，∴相似比k=AB：A′B′=△ABC周长：△A′B′C′周长， = .
故答案为：D．
【分析】由题意根据相似三角形对应线段的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比即可求解。
2．把一个三角形改成和它相似的三角形，如果面积扩大到原来的100倍，那么边长扩大到原来的（ ）
A．10000倍 B．10倍 C．100倍 D．1000倍
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】设三角形原来的一边长为a，变化后对应的边长为b，
由相似三角形的面积比等于对应边的平方比得( )2=100.
∵a、b均为正数，
∴ =10，
∴如果面积扩大到原来的100倍，那么边长扩大到原来的10倍.
故答案为：B.
【分析】由题意根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方可求解。
3．有一块直角边AB=3cm，BC=4cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．
∵S△ABC=AB BC=AC BP，
∴BP= ．
∵DE∥AC，
∴∠BDE=∠A，∠BED=∠C，
∴△BDE∽△BAC，
∴．
设DE=x，则有： ，
解得x=，
故选：D．
【分析】过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q，三角形的面积公式求出BP的长度，由相似三角形的判定定理得出△BDE∽△BAC，设边长DE=x，根据相似三角形的对应边成比例求出x的长度可得．
4．如图所示，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形对应边不成比例的一组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】相似图形；相似三角形的性质
【解析】【解答】根据题意得，选项A中两个三角形相似，三角形对应角相等，对应边成比例；
选项B、C中，正方形、菱形分别相似，四条边均相等，故对应边成比例；
选项D中矩形四个角相等，但对应边不一定成比例．
故选：D．
【分析】此题考查相似多边形的性质及判定．即对应角相等，对应边成比例．
5．一张等腰三角形纸片，底边长15cm，底边上的高长22.5cm，现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（ ）
A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是3，
所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为x，
则 ，解得x=4.5，
所以另一段长为22.5-4.5=18，
因为18÷3=6，所以是第六张．
故答案为：C．
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用．根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张．
二、填空题：
6．已知△ABC∽△DEF ， 且它们的面积之比为4：9，则它们的相似比为 ．
【答案】2：3
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】因为S△ABC：S△DEF=4：9= ，
所以△ABC与△DEF的相似比为2：3，
故答案为：2：3．
【分析】由题意根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方可得：相似比=面积的比的算术平方根。
7．顺次连接三角形三边上的中点所构成的三角形的高与原三角形对应高的比 ．
【答案】1：2
【知识点】相似三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】新三角形每个边都是原三角形的一半，所以两个三角形相似，相似比是1：2，所以高的比是1：2.
【分析】根据三角形的中位线定理可求得相似比，再根据两个相似三角形对应高的比等于相似比可求解。
8．两个相似三角形面积之比为2：7，较大三角形一边上的高为 ，则较小三角形的对应边上的高为 .
【答案】
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】设较小三角形对应边上的高为x
∵ 两个相似三角形的面积比为2：7
∴ 两个相似三角形的相似比为 ： ，即为对应边之比 (两个相似三角形的面积之比等于两对应边之比的平方的值)
∵ 两个相似三角形的相似比为 ： 且较大三角形一边上的高为
∴
解得
故较小三角形对应边上的高为 .
故答案为：
【分析】根据两个相似三角形对应高的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方可求解。
9．两个相似三角形一组对应角平分线的长分别是2 cm和5 cm，那么这两个三角形的相似比是 ， 如果在这两个三角形的一组对应中线中，较短的中线是3 cm，那么较长的中线是 cm.
【答案】2：5；7.5
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵两个相似三角形一组对应高的长分别是2cm和5cm，
∴两个相似三角形的相似比为2：5，
∴两个相似三角形的对应中线的比为2：5.
设较长的中线是xcm，
则
解得x=7.5cm
【分析】根据两个相似三角形对应高的比等于相似比、两个相似三角形对应中线的比等于相似比可求解。
10．已知△ABC与△A1B1C1的相似比为2：3，△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为3：5，那么△ABC与△ A2B2C2的相似比为 。
【答案】2：5
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵△ABC与△A1B1C1的相似比为2：3，△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为3：5，
∴AB：A1B1=2：3，A1B1：A2B2=3：5，
∴AB：A2B2=2：5，
即△ABC与△ A2B2C2的相似比为2：5，
故答案为：2：5.
【分析】根据△ABC与△A1B1C1的相似比为2：3可得对应边的比AB：A1B1=2：3；根据△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为3：5可得对应边的比A1B1：A2B2=3：5，于是变形整理可得AB：A2B2=2：5，即为△ABC与△ A2B2C2的相似比。
三、解答题
11．如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN， 矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB=4．
（1）求AD的长；
（2）求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．
【答案】（1）解：若设AD＝x(x＞0)，则DM＝ .
∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，
∴ .
∴ ，即x＝4 (舍负)．
∴AD的长为4 .
（2）解：矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为： ＝
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】（1）由题意根据相似多边形的对应边的比相等可得比例式：，将已知的线段代入比例式计算即可求解；
（2）根据相似多边形的对应边的比等于相似比即可求解。
12．已知：如图，△ABC∽△ADE ， AE：EC=5：3，BC=6cm，∠A=40°，∠C=45°．
（1）求∠ADE的大小；
（2）求DE的长．
【答案】（1）解：在△ABC中，∠A=40°，∠C=45°，
∴∠ABC=180°-40°-45°=95°；
又∵△ABC∽△ADE ，
∴∠ADE=∠ABC（相似三角形的对应角相等），
∴∠ADE =95°
（2）解：∵AE：EC=5：3，
∴AE：AC=5：8；
又∵△ABC∽△ADE ， BC=6cm，
∴ ，即
∴DE= cm
【知识点】比例的性质；相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和定理求出∠ABC的度数，再利用相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，可求出∠ADE的度数。
（2）由AE：EC=5：3，利用比例的性质求出AE：AC的值，再利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，将相关的线段的值代入可求出DE的长。
13．有一块三角形铁片ABC，BC=12．高AH=8，按图(1)、(2)两种设计方案把它加工成一块矩形铁片DEFG，且要求矩形的长是宽的2倍，为了减少浪费，加工成的矩形铁片的面积应尽量大些．请你通过计算判断(1)、(2)两种设计方案哪个更好．
【答案】解：(1)种方案更好一些．设方案(1)中DE=x．根据题意，得 ．解得 ， ，面积为 ；设方案(2)中DE=2y．根据题意，得 ．解得y=3，面积为18．∵ ，∴(1)种方案更好一些
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由矩形的性质可得：DG∥BC，于是可得 ADG∽ ABC，根据相似三角形的性质相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比可得比例式求得矩形边长，并求得矩形的面积；
（2）同理可求得矩形的面积，比较两个矩形的面积的大小即可判断设计方案（1）更好。
14．如图，光源L距地面（LN）8m，距正方体大箱顶站（LM）2m，已知，在光源照射下，箱子在左侧的影子BE长5m，求箱子在右侧的影子CF的长．（箱子边长为6m）
【答案】解：由△BDE∽△BLN得， = ，
即 = ，
解得EN= ，
所以，NF=6- = ，
由△CFG∽△CNL得， = ，
即 = ，
解得CF=13
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】由题意易得DE∥LN∥GF，DG∥BC；根据平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似可得△BDE∽△BLN和△CFG∽△CNL，于是可得比例式；；将已知的线段代入比例式即可求解。
15．△ABC∽△A`B`C`， ，边上的中线CD＝4cm，△ABC的周长为20cm，△A`B`C`的面积是64 cm2，求：
（1）A`B`边上的中线C`D`的长；
（2）△A`B`C`的周长
（3）△ABC的面积
【答案】（1）解：∵△ABC∽△A′B′C′， ，AB边上的中线CD=4cm，
∴ = ，
∴C′D′=4cm×2=8cm，
∴A′B′边上的中线C′D′的长为8cm
（2）解：∵△ABC∽△A′B′C′， ，△ABC的周长为20cm，
∴ ，
∴C△A′B′C′=20cm×2=40cm，
∴△A′B′C′的周长为40cm
（3）解：∵△ABC∽△A′B′C′， ，△A′B′C′的面积是64cm2，
∴ ，
∴S△ABC=64cm2÷4=16cm2，
∴△ABC的面积是16cm2.
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据相似三角形对应边的中线的比等于相似比可得方程求解；
（2）根据相似三角形周长的比等于相似比可得方程求解；
（3）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求解。
1 / 12018-2019学年数学北师大版九年级上册4.7 相似三角形的性质 同步练习
一、选择题：
1．若△ABC∽△A`B`C`，则相似比k等于（ ）
A．A′B′：AB B．∠A： ∠A′
C．S△ABC：S△A′B′C′ D．△ABC周长：△A′B′C′周长
2．把一个三角形改成和它相似的三角形，如果面积扩大到原来的100倍，那么边长扩大到原来的（ ）
A．10000倍 B．10倍 C．100倍 D．1000倍
3．有一块直角边AB=3cm，BC=4cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形对应边不成比例的一组是（ ）
A． B．
C． D．
5．一张等腰三角形纸片，底边长15cm，底边上的高长22.5cm，现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（ ）
A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
二、填空题：
6．已知△ABC∽△DEF ， 且它们的面积之比为4：9，则它们的相似比为 ．
7．顺次连接三角形三边上的中点所构成的三角形的高与原三角形对应高的比 ．
8．两个相似三角形面积之比为2：7，较大三角形一边上的高为 ，则较小三角形的对应边上的高为 .
9．两个相似三角形一组对应角平分线的长分别是2 cm和5 cm，那么这两个三角形的相似比是 ， 如果在这两个三角形的一组对应中线中，较短的中线是3 cm，那么较长的中线是 cm.
10．已知△ABC与△A1B1C1的相似比为2：3，△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为3：5，那么△ABC与△ A2B2C2的相似比为 。
三、解答题
11．如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN， 矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB=4．
（1）求AD的长；
（2）求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．
12．已知：如图，△ABC∽△ADE ， AE：EC=5：3，BC=6cm，∠A=40°，∠C=45°．
（1）求∠ADE的大小；
（2）求DE的长．
13．有一块三角形铁片ABC，BC=12．高AH=8，按图(1)、(2)两种设计方案把它加工成一块矩形铁片DEFG，且要求矩形的长是宽的2倍，为了减少浪费，加工成的矩形铁片的面积应尽量大些．请你通过计算判断(1)、(2)两种设计方案哪个更好．
14．如图，光源L距地面（LN）8m，距正方体大箱顶站（LM）2m，已知，在光源照射下，箱子在左侧的影子BE长5m，求箱子在右侧的影子CF的长．（箱子边长为6m）
15．△ABC∽△A`B`C`， ，边上的中线CD＝4cm，△ABC的周长为20cm，△A`B`C`的面积是64 cm2，求：
（1）A`B`边上的中线C`D`的长；
（2）△A`B`C`的周长
（3）△ABC的面积
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】根据相似三角形对应线段的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比即可求解．∵△ABC∽△A′B′C′，∴相似比k=AB：A′B′=△ABC周长：△A′B′C′周长， = .
故答案为：D．
【分析】由题意根据相似三角形对应线段的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比即可求解。
2．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】设三角形原来的一边长为a，变化后对应的边长为b，
由相似三角形的面积比等于对应边的平方比得( )2=100.
∵a、b均为正数，
∴ =10，
∴如果面积扩大到原来的100倍，那么边长扩大到原来的10倍.
故答案为：B.
【分析】由题意根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方可求解。
3．【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．
∵S△ABC=AB BC=AC BP，
∴BP= ．
∵DE∥AC，
∴∠BDE=∠A，∠BED=∠C，
∴△BDE∽△BAC，
∴．
设DE=x，则有： ，
解得x=，
故选：D．
【分析】过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q，三角形的面积公式求出BP的长度，由相似三角形的判定定理得出△BDE∽△BAC，设边长DE=x，根据相似三角形的对应边成比例求出x的长度可得．
4．【答案】D
【知识点】相似图形；相似三角形的性质
【解析】【解答】根据题意得，选项A中两个三角形相似，三角形对应角相等，对应边成比例；
选项B、C中，正方形、菱形分别相似，四条边均相等，故对应边成比例；
选项D中矩形四个角相等，但对应边不一定成比例．
故选：D．
【分析】此题考查相似多边形的性质及判定．即对应角相等，对应边成比例．
5．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是3，
所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为x，
则 ，解得x=4.5，
所以另一段长为22.5-4.5=18，
因为18÷3=6，所以是第六张．
故答案为：C．
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用．根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张．
6．【答案】2：3
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】因为S△ABC：S△DEF=4：9= ，
所以△ABC与△DEF的相似比为2：3，
故答案为：2：3．
【分析】由题意根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方可得：相似比=面积的比的算术平方根。
7．【答案】1：2
【知识点】相似三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】新三角形每个边都是原三角形的一半，所以两个三角形相似，相似比是1：2，所以高的比是1：2.
【分析】根据三角形的中位线定理可求得相似比，再根据两个相似三角形对应高的比等于相似比可求解。
8．【答案】
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】设较小三角形对应边上的高为x
∵ 两个相似三角形的面积比为2：7
∴ 两个相似三角形的相似比为 ： ，即为对应边之比 (两个相似三角形的面积之比等于两对应边之比的平方的值)
∵ 两个相似三角形的相似比为 ： 且较大三角形一边上的高为
∴
解得
故较小三角形对应边上的高为 .
故答案为：
【分析】根据两个相似三角形对应高的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方可求解。
9．【答案】2：5；7.5
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵两个相似三角形一组对应高的长分别是2cm和5cm，
∴两个相似三角形的相似比为2：5，
∴两个相似三角形的对应中线的比为2：5.
设较长的中线是xcm，
则
解得x=7.5cm
【分析】根据两个相似三角形对应高的比等于相似比、两个相似三角形对应中线的比等于相似比可求解。
10．【答案】2：5
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵△ABC与△A1B1C1的相似比为2：3，△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为3：5，
∴AB：A1B1=2：3，A1B1：A2B2=3：5，
∴AB：A2B2=2：5，
即△ABC与△ A2B2C2的相似比为2：5，
故答案为：2：5.
【分析】根据△ABC与△A1B1C1的相似比为2：3可得对应边的比AB：A1B1=2：3；根据△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为3：5可得对应边的比A1B1：A2B2=3：5，于是变形整理可得AB：A2B2=2：5，即为△ABC与△ A2B2C2的相似比。
11．【答案】（1）解：若设AD＝x(x＞0)，则DM＝ .
∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，
∴ .
∴ ，即x＝4 (舍负)．
∴AD的长为4 .
（2）解：矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为： ＝
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】（1）由题意根据相似多边形的对应边的比相等可得比例式：，将已知的线段代入比例式计算即可求解；
（2）根据相似多边形的对应边的比等于相似比即可求解。
12．【答案】（1）解：在△ABC中，∠A=40°，∠C=45°，
∴∠ABC=180°-40°-45°=95°；
又∵△ABC∽△ADE ，
∴∠ADE=∠ABC（相似三角形的对应角相等），
∴∠ADE =95°
（2）解：∵AE：EC=5：3，
∴AE：AC=5：8；
又∵△ABC∽△ADE ， BC=6cm，
∴ ，即
∴DE= cm
【知识点】比例的性质；相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和定理求出∠ABC的度数，再利用相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，可求出∠ADE的度数。
（2）由AE：EC=5：3，利用比例的性质求出AE：AC的值，再利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，将相关的线段的值代入可求出DE的长。
13．【答案】解：(1)种方案更好一些．设方案(1)中DE=x．根据题意，得 ．解得 ， ，面积为 ；设方案(2)中DE=2y．根据题意，得 ．解得y=3，面积为18．∵ ，∴(1)种方案更好一些
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由矩形的性质可得：DG∥BC，于是可得 ADG∽ ABC，根据相似三角形的性质相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比可得比例式求得矩形边长，并求得矩形的面积；
（2）同理可求得矩形的面积，比较两个矩形的面积的大小即可判断设计方案（1）更好。
14．【答案】解：由△BDE∽△BLN得， = ，
即 = ，
解得EN= ，
所以，NF=6- = ，
由△CFG∽△CNL得， = ，
即 = ，
解得CF=13
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】由题意易得DE∥LN∥GF，DG∥BC；根据平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似可得△BDE∽△BLN和△CFG∽△CNL，于是可得比例式；；将已知的线段代入比例式即可求解。
15．【答案】（1）解：∵△ABC∽△A′B′C′， ，AB边上的中线CD=4cm，
∴ = ，
∴C′D′=4cm×2=8cm，
∴A′B′边上的中线C′D′的长为8cm
（2）解：∵△ABC∽△A′B′C′， ，△ABC的周长为20cm，
∴ ，
∴C△A′B′C′=20cm×2=40cm，
∴△A′B′C′的周长为40cm
（3）解：∵△ABC∽△A′B′C′， ，△A′B′C′的面积是64cm2，
∴ ，
∴S△ABC=64cm2÷4=16cm2，
∴△ABC的面积是16cm2.
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据相似三角形对应边的中线的比等于相似比可得方程求解；
（2）根据相似三角形周长的比等于相似比可得方程求解；
（3）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求解。
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