2018-2019学年数学北师大版九年级上册4.1 成比例线段 同步练习
一、选择题：
1．若 = ，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．
2．已知 ，那么下列等式一定成立的是（ ）
A．x＝2，y＝3 B． C． D．
3．下列四条线段中，不能成比例的是（ ）
A．a＝3，b＝6，c＝2，d＝4
B．a＝1，b＝ ，c＝ ，d＝
C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10
D．a＝2，b＝ ，c＝ ，d＝2
4．如果a＝3，b＝2，且b是a和c的比例中项，那么c＝（ ）
A． B． C． D．
5．某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某同学的身高是1.5米，影长是1米，且旗杆的影长为8米，则旗杆的高度是（ ）
A．12米 B．11米 C．10米 D．9米
二、填空题：
6．如果 ，且 ，那么k＝ ．
7．如图，已知 ，AD＝6.4 cm，DB＝4.8 cm，EC＝4.2 cm，则AC＝ cm.
8．若 ＝ ，则 ＝ ．
9．已知三条线段的长分别为1cm，2cm， cm，如果另外一条线段与它们是成比例线段，则另外一条线段的长为 ．
10．有一块三角形的草地，它的一条边长为25m．在图纸上，这条边的长为5cm，其他两条边的长都为4cm，则其他两边的实际长度都是 m．
三、解答题
11．在Rt △ABC中，斜边AB＝205， ，试求AC，BC的值。
12．在△ABC中，AB＝12，点E在AC上，点D在AB上，若AE＝6，EC＝4， 。
（1）求AD的长；
（2）试问 能成立吗？请说明理由。
13．（2017九上·萧山月考）已知线段a、b、c满足a：b：c=3：2：6，且a+2b+c=26．
（1）求a、b、c的值；
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
14．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，已知AC＝3，BC＝4.
（1）线段AD，CD，CD，BD是不是成比例线段？写出你的理由；
（2）在这个图形中，能否再找出其他成比例的四条线段？如果能，请至少写出两组．
15．如图，一个矩形剪去一个以宽为边长的正方形后，剩下的矩形长与宽的比与原矩形长与宽的比相等，求原矩形的长与宽的比．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵ = ，
∴ = = ．
故选D．
【分析】首先将变为，然后再将代入求值即可.
2．【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】A，x＝2，y＝3时， ，符合题意；
B， 可得3y=2x，不符合题意；
C，当y＝0时， 无意义，不符合题意；
D， 可得3x=-2y，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】（1）当x＝2，y＝3时，计算可得左右两边都等于6，所以x＝2，y＝3时，等式3x=2y一定成立；
（2）将乘积式化为比例式得，；
（3）将乘积式化为比例式得，，但当y＝0时，分式无意义；
（4）将等式移项得：3x-2y=0.
3．【答案】C
【知识点】比例线段
【解析】【解答】A、∵ ，A中的线段成比例；
B∵ ， ，B中的线段成比例；
C∵ ，C中的线段不成比例；
D∵ ， ，中的线段成比例；
故答案为：C．
【分析】通过计算可得：线段长为4、6、5、10的四条线段不能成比例。
4．【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：根据题意，可知
，
，
当a＝3，b＝2时
，
，
．
故答案为：C
【分析】由b是a和c的比例中项，可得出b2=ac，代入建立关于c的方程，解方程求出c的值。
5．【答案】A
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：设旗杆的高度为x，
根据在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比值是相同的，得： = ，
∴x= =12m，
∴旗杆的高度是12m．
故答案为：A．
【分析】根据影长：物长可列比例式求解。
6．【答案】3
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】由等比性质，得 .
【分析】由等比性质可得k=，将已知条件a+c+e=3(b+d+f)变形得=3，于是整体代换可得k=3.
7．【答案】9.8
【知识点】比例线段
【解析】【解答】已知 ，AD＝6.4 cm，DB＝4.8 cm，EC＝4.2 cm，所以 ，解得AE=5.6cm，即可得AC=AE+EC=4.2+5.6=9.8cm.
【分析】将已知的线段AD、DB、EC代入比例式可求得AE的长，由题意可得AC=AE+EC，将AE、EC代入计算即可求解。
8．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】已知 ＝ ，根据比例的性质可得 ，即可得 .
【分析】根据比例的性质可得，代入已知的比例式即可求解。
9．【答案】2 cm或 cm或 cm
【知识点】比例线段
【解析】【解答】设另外一条线段的长为acm，因四条线段成比例，可得 或 或 ，解得a= 或a= 或a= ，所以加外一条线段的长为 cm，或 或
【分析】由比例线段的意义可得，结合所求线段的位置，可分三种情况求解。
10．【答案】20
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：设其他两边的实际长度分别为xm、ym，
由题意得， ，
解得x＝y＝20．
即其他两边的实际长度都是20m
【分析】设其他两边的实际长度分别为xm、ym，再根据相似三角形的对应边成比例，列式求解即可。
11．【答案】解：设AC=9x，BC=40x，
根据勾股定理可得 ，即 ，
解得x=5.
∴AC=45，BC=200.
【知识点】比例线段
【解析】【分析】由已知的比例式可设AC=9x，BC=40x，用勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求得x的值，把x的值代入AC=9x，BC=40x计算即可求解。
12．【答案】（1）解：设AD=x，则BD=AB-AD=（12-x）cm，
x：12-x=6：4，
解得x=7.2，
∴AD=7.2
（2）解：能，
由AB＝12，AD＝ ，
故DB＝ .
于是 ，
又 ，
故 .
【知识点】比例线段
【解析】【分析】（1）由题意设AD=x，则BD=AB-AD=（12-x）cm，将AD、DB、AE、EC代入已知的比例式计算即可求解；
（2）由（1）中计算的AD可求得BD的长，分别计算DB：AB和EC：AC的值即可判断。
13．【答案】（1）解：∵a：b：c=3：2：6，∴设a=3k，b=2k，c=6k，又∵a+2b+c=26，
∴3k+2×2k+6k=26，∴k=2，∴a=6，b=4，c=12，
（2）解：∵x是a、b的比例中项，∴x2=ab，∴x2=4×6，
∴x= （负值舍去）
∴x的值为 .
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】（1）根据已知条件a：b：c=3：2：6，设a=3k，b=2k，c=6k，将其代入a+2b+c=26，建立关于k的方程，解方程求出k的值，即可解答。
（2）由线段x是线段a、b的比例中项，得出x2=ab，再将a、b的值代入可求出x的值。
14．【答案】（1）解：由勾股定理得AB＝ ＝5，∴ ×5·CD＝ ×3×4，∴CD＝ ，由勾股定理得AD＝ ，BD＝ ， ＝ ，即AD，CD，CD，BD是成比例线段．
（2）解：能，如 ＝ ， ＝ ， ＝ 等．
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用；比例线段
【解析】【分析】（1）因为∠ACB＝90°，CD⊥AB，所以用勾股定理可求得斜边AB的长，再用面积法可求得CD的长，再用勾股定理可求得AD、BD的长，计算AD：CD和CD：BD的比值，即可判断AD，CD，CD，BD是成比例线段；
（2）能再找出其他成比例的四条线段，通过计算可得AC：BC=AD：CD；AC：BC=CD：BD等。
15．【答案】解：设原矩形的长是a，宽是b，则DE＝CF＝a－b，已知 ＝ ，即 ＝ ，整理，得a2－ab－b2＝0，两边同除以b2，得( )2－ －1＝0，解得 ＝ 或 (舍去)．∴长与宽的比为 .
【知识点】矩形的性质；比例线段
【解析】【分析】由题意可得比例式：，设原矩形的长是a，宽是b，由矩形的性质和题意可得DE＝CF＝a－b，将AB、BC、CD、CF代入比例式，解方程即可求解。
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一、选择题：
1．若 = ，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵ = ，
∴ = = ．
故选D．
【分析】首先将变为，然后再将代入求值即可.
2．已知 ，那么下列等式一定成立的是（ ）
A．x＝2，y＝3 B． C． D．
【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】A，x＝2，y＝3时， ，符合题意；
B， 可得3y=2x，不符合题意；
C，当y＝0时， 无意义，不符合题意；
D， 可得3x=-2y，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】（1）当x＝2，y＝3时，计算可得左右两边都等于6，所以x＝2，y＝3时，等式3x=2y一定成立；
（2）将乘积式化为比例式得，；
（3）将乘积式化为比例式得，，但当y＝0时，分式无意义；
（4）将等式移项得：3x-2y=0.
3．下列四条线段中，不能成比例的是（ ）
A．a＝3，b＝6，c＝2，d＝4
B．a＝1，b＝ ，c＝ ，d＝
C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10
D．a＝2，b＝ ，c＝ ，d＝2
【答案】C
【知识点】比例线段
【解析】【解答】A、∵ ，A中的线段成比例；
B∵ ， ，B中的线段成比例；
C∵ ，C中的线段不成比例；
D∵ ， ，中的线段成比例；
故答案为：C．
【分析】通过计算可得：线段长为4、6、5、10的四条线段不能成比例。
4．如果a＝3，b＝2，且b是a和c的比例中项，那么c＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：根据题意，可知
，
，
当a＝3，b＝2时
，
，
．
故答案为：C
【分析】由b是a和c的比例中项，可得出b2=ac，代入建立关于c的方程，解方程求出c的值。
5．某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某同学的身高是1.5米，影长是1米，且旗杆的影长为8米，则旗杆的高度是（ ）
A．12米 B．11米 C．10米 D．9米
【答案】A
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：设旗杆的高度为x，
根据在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比值是相同的，得： = ，
∴x= =12m，
∴旗杆的高度是12m．
故答案为：A．
【分析】根据影长：物长可列比例式求解。
二、填空题：
6．如果 ，且 ，那么k＝ ．
【答案】3
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】由等比性质，得 .
【分析】由等比性质可得k=，将已知条件a+c+e=3(b+d+f)变形得=3，于是整体代换可得k=3.
7．如图，已知 ，AD＝6.4 cm，DB＝4.8 cm，EC＝4.2 cm，则AC＝ cm.
【答案】9.8
【知识点】比例线段
【解析】【解答】已知 ，AD＝6.4 cm，DB＝4.8 cm，EC＝4.2 cm，所以 ，解得AE=5.6cm，即可得AC=AE+EC=4.2+5.6=9.8cm.
【分析】将已知的线段AD、DB、EC代入比例式可求得AE的长，由题意可得AC=AE+EC，将AE、EC代入计算即可求解。
8．若 ＝ ，则 ＝ ．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】已知 ＝ ，根据比例的性质可得 ，即可得 .
【分析】根据比例的性质可得，代入已知的比例式即可求解。
9．已知三条线段的长分别为1cm，2cm， cm，如果另外一条线段与它们是成比例线段，则另外一条线段的长为 ．
【答案】2 cm或 cm或 cm
【知识点】比例线段
【解析】【解答】设另外一条线段的长为acm，因四条线段成比例，可得 或 或 ，解得a= 或a= 或a= ，所以加外一条线段的长为 cm，或 或
【分析】由比例线段的意义可得，结合所求线段的位置，可分三种情况求解。
10．有一块三角形的草地，它的一条边长为25m．在图纸上，这条边的长为5cm，其他两条边的长都为4cm，则其他两边的实际长度都是 m．
【答案】20
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：设其他两边的实际长度分别为xm、ym，
由题意得， ，
解得x＝y＝20．
即其他两边的实际长度都是20m
【分析】设其他两边的实际长度分别为xm、ym，再根据相似三角形的对应边成比例，列式求解即可。
三、解答题
11．在Rt △ABC中，斜边AB＝205， ，试求AC，BC的值。
【答案】解：设AC=9x，BC=40x，
根据勾股定理可得 ，即 ，
解得x=5.
∴AC=45，BC=200.
【知识点】比例线段
【解析】【分析】由已知的比例式可设AC=9x，BC=40x，用勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求得x的值，把x的值代入AC=9x，BC=40x计算即可求解。
12．在△ABC中，AB＝12，点E在AC上，点D在AB上，若AE＝6，EC＝4， 。
（1）求AD的长；
（2）试问 能成立吗？请说明理由。
【答案】（1）解：设AD=x，则BD=AB-AD=（12-x）cm，
x：12-x=6：4，
解得x=7.2，
∴AD=7.2
（2）解：能，
由AB＝12，AD＝ ，
故DB＝ .
于是 ，
又 ，
故 .
【知识点】比例线段
【解析】【分析】（1）由题意设AD=x，则BD=AB-AD=（12-x）cm，将AD、DB、AE、EC代入已知的比例式计算即可求解；
（2）由（1）中计算的AD可求得BD的长，分别计算DB：AB和EC：AC的值即可判断。
13．（2017九上·萧山月考）已知线段a、b、c满足a：b：c=3：2：6，且a+2b+c=26．
（1）求a、b、c的值；
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
【答案】（1）解：∵a：b：c=3：2：6，∴设a=3k，b=2k，c=6k，又∵a+2b+c=26，
∴3k+2×2k+6k=26，∴k=2，∴a=6，b=4，c=12，
（2）解：∵x是a、b的比例中项，∴x2=ab，∴x2=4×6，
∴x= （负值舍去）
∴x的值为 .
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】（1）根据已知条件a：b：c=3：2：6，设a=3k，b=2k，c=6k，将其代入a+2b+c=26，建立关于k的方程，解方程求出k的值，即可解答。
（2）由线段x是线段a、b的比例中项，得出x2=ab，再将a、b的值代入可求出x的值。
14．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，已知AC＝3，BC＝4.
（1）线段AD，CD，CD，BD是不是成比例线段？写出你的理由；
（2）在这个图形中，能否再找出其他成比例的四条线段？如果能，请至少写出两组．
【答案】（1）解：由勾股定理得AB＝ ＝5，∴ ×5·CD＝ ×3×4，∴CD＝ ，由勾股定理得AD＝ ，BD＝ ， ＝ ，即AD，CD，CD，BD是成比例线段．
（2）解：能，如 ＝ ， ＝ ， ＝ 等．
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用；比例线段
【解析】【分析】（1）因为∠ACB＝90°，CD⊥AB，所以用勾股定理可求得斜边AB的长，再用面积法可求得CD的长，再用勾股定理可求得AD、BD的长，计算AD：CD和CD：BD的比值，即可判断AD，CD，CD，BD是成比例线段；
（2）能再找出其他成比例的四条线段，通过计算可得AC：BC=AD：CD；AC：BC=CD：BD等。
15．如图，一个矩形剪去一个以宽为边长的正方形后，剩下的矩形长与宽的比与原矩形长与宽的比相等，求原矩形的长与宽的比．
【答案】解：设原矩形的长是a，宽是b，则DE＝CF＝a－b，已知 ＝ ，即 ＝ ，整理，得a2－ab－b2＝0，两边同除以b2，得( )2－ －1＝0，解得 ＝ 或 (舍去)．∴长与宽的比为 .
【知识点】矩形的性质；比例线段
【解析】【分析】由题意可得比例式：，设原矩形的长是a，宽是b，由矩形的性质和题意可得DE＝CF＝a－b，将AB、BC、CD、CF代入比例式，解方程即可求解。
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