课件23张PPT。二元一次方程组的解法1.2——1.2.1 代入消元法 现在我们来解决1月份的天然气费和水费各是多少元的问题. 首先，想一想如何解二元一次方程组 我会解一元一次方程，可是现在方程①和②都有两个未知数……方程①和②中的x都表示小亮家1月份的天然气费，y都表示水费，因此方程②中的x，y分别与方程①中的x，y相同.由②式可得
x=y+20, ③
于是可以把③代入①式得
(y+20)+y=60. ④ 天然气费水费啊！这个一元一次方程我会解.解方程④，得y= .
把y的值代入③，得x= . 2040因此原方程组的解是 同桌同学讨论，解二元一次方程组的基本
思路是什么？例1 解方程组：举
例??解得 x = -1.把x=-1代入③ ，得
y = 4.每位同学把x=-1，y=4代入例1的方程①和②中，检验上面算得对不对.解
答??因此原方程组的解是例2 解方程组：举
例把y=2代入③式 ，得 x = 3因此原方程组的解是把③代入 ② 式，得解
答 解二元一次方程组的基本思路是：消去一个未知数(简称为消元)，得到一个一元一次方程，然后解这个一元一次方程. 在上面的几个例子中，消去一个未知数的方法是：把其中一个方程的某一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，然后把它代入到另一个方程中，便得到一个一元一次方程. 这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称为代入法.用代入消元法解下列方程组：解: 由②式得， x=4+y ③把③式代入①式，得 (4+y)+y=128 y = 62．把y=62代入③式 ，得
x = 66．因此原方程组的解是解
答解：把②式代入 ①式，得3x+2(2x-1)= 5. ③解得 x = 1.把x=1代入②式 ，得
y = 1.因此原方程组的解是解
答解: 由②式得， y=7-3x. ③5x+2(7-3x)=11, 把③式代入①式，得把x=3代入③式 ，得x = 3.y = -2.因此原方程组的解是解
答解: 由①式得， y=3x+1. ③把③式代入②式 ，得2x+3(3x+1)-3=0, x =0.把x=0代入③式 ，得 y = 1.因此原方程组的解是解
答例1 方程组 的解是 . 方程组 的解是 .例2回顾本节课的学习过程，并回答以下问题：（1）代入法解二元一次方程组大致有哪些步骤？答：步骤包括变形、代入、解方程、回代、写成解的形式等等．（2）解二元一次方程组的核心思想是什么？答：核心思想是“消元思想”．（3）在探究解法的过程中用到了什么思想方法，你还有哪些收获？答：用到了转化、划归的思想，即把“二元”化归为“一元” ．1、教科书第12页习题1.2A组第1题：
解下列二元一次方程组：2、教科书第13页习题1.2A组第3题：
当 x=2，-2时，代数式 kx+b的值分别是-2，-4. 求 k、b的值.3、教科书第13页习题1.2B组第2题：
有一个两位数，个位上的数比十位上的数大 5， 如果把这两个数的位置进行对换，那么所得的新数与原数的和是143. 求这个两位数.4、教科书第13页习题1.2B组第5题：从 A 城到 B 城的航线长1200 km，一架飞机从 A 城飞往 B 城，需要 2 h，从 B城飞往 A 城，需要 2.5 h. 假设飞机保持匀速，风速的大小和方向不变．求飞机的速度与风速.课件33张PPT。二元一次方程组的解法1.2——1.2.2 加减消元法 如何解下述二元一次方程组？我们可以用学过的代入消元法解这个方程组，得
还有没有更简单的解法呢？分析方程①和②，可以发现未知数x的系数相同，因此只要把这两个方程的两边分别相减，就可以消去其中一个未知数x，得到一个一元一次方程.分析方程①和②，可以发现未知数x的系数相同，因此只要把这两个方程的两边分别相减，就可以消去其中一个未知数x，得到一个一元一次方程.①-②，得 6y= -6 ，
解得 y= -1 .
把y=-1代入①，得
2x+3(-1)= -1 ，
解得 x= 1 .
因此原方程组的解是 解上述方程组时，如果把方程①与方程②相加，可以消去一个未知数吗？例3 解方程组：举
例因为方程①、②中y 的系数相反，用① + ②即可消去未知数 y. 9x = 9 , 解得 x = 1 .把x=1代入① , 得
7×1+3y = 1 ,因此原方程组的解是7x+3y+(2x-3y)=1+8解得 y = -2 . 两个方程中的未知数y的系数互为相反数，可以消去y.例3 解方程组： 在上面的两个方程组中，把方程①减去②，或
者把方程①与②相加，便消去了一个未知数，被消
去的未知数的系数有什么特点？ 被消去的未知数系数相等或互为相反数.例4 如何较简便地解下述二元一次方程组？ 要是①、②两式中，x的系数相等或者互为相反数就好办了！ 把①式两边乘以3，不就行了么！解 ①×3，得 6x+9y=-33 . ③ ②-③，得 -14y = 42 ,解得 y= -3 .把y =-3代入① , 得
2x+3×(-3)= -11 ,解得 x= -1 .因此原方程组的解是例4 在例4中，如果先消去 应如何解？会与上述结果一致吗？解 ①×5，得 10x+15y=-55 . ③ ③+④，得 28x= -28 ,解得 x= -1 .把x= -1代入① , 得
2×(-1) +3y= -11 ,解得 y= -3 .因此原方程组的解是 ②×3，得 18x-15y=27 . ④例4 上面三个方程组中，是如何消去一个未知数的？ 消去一个未知数的方法是：如果两个方程中有一个未知数的系数相等(或互为相反数)，那么把这两个方程相减(或相加)； 否则，先把其中一个方程乘以适当的数，将所得方程与另一个方程相减(或相加)，或者先把两个方程分别乘以适当的数，再把所得到的方程相减(或相加). 两个二元一次方程中同一未知数的系数相同或相反时，把这两个方程相减或相加，就能消去这个未知数，从而得到一个一元一次方程，这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法.例5 解方程组：举
例 能不能使两个方程中x(或y)的系数相等(或互为相反数)呢？ 在方程①两边乘以4，在方程②两边乘以3，然后将这两个方程相减，就
可将 x 消去.解得 y = 5 .把y=5代入①，得 3x+4×5=8 ，因此原方程组的解是将两个方程中的x的系数变为相等.解得 x = -4 .②×3 ，得
12x+9y=-3 . ④③-④ ，得 7y=35 . 例5 解方程组：举
例例6 解方程组：在方程 中， 当 时， ； 当 时， . 试求 和 的值.把 ， 的两组值分别代入 中，可得到一个关于 ， 的二元一次方程组.①+②，得 2= 2b，
解得 b= 1 .
把b= 1代入①，得
k= -2 .
所以 k= -2 ，b= 1 .用加减消元法解下列方程组：解: ①+② ，得 4y=16 ,解得 y=4 .把y=4代入①，得
2x+4=-2 ,解得 x=-3 .因此原方程组的解是解: ①-② ，得 -5b=15 ,解得 b=-3 .把b=-3代入①，得
5a-2×(-3)=11 ,解得 a=1 .因此原方程组的解是解: ①×2, 得 6m+4n=16 ③③-②，得 9n=63 ,解得 n=7 .把n=7代入①, 得
3m+2×7= 8 ,解得 m =-2 .因此原方程组的解是解: ②×2， 得 10x+4y=62 ③解得 x=8把x=8 代入①，得 解得因此原方程组的解是①+③，得 12x=962×8-4y=34 解方程组解：由①+②得：
4x=20，x=5 .例1把x=5代入①式得：
5-y =8 ,
y =-3 .原方程组的解为 解方程组解：①×3，得
6x+3y=15. ③例2②+③,得
7x =21， x=3，把x=3代入① ，得
2×3+y=5. y=-1.∴原方程组的解为加减消元法和代入消元法是解二元一次方程组的两种方法，它们都是通过消去其中一个未知数 （消元），使二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求解，只是消元的方法不同。我们可以根据方程组的具体情况来灵活选择适合它的消元方法。数学与文化：高斯消去法 当今信息时代，由于计算机的迅猛发展，使得实际问题中含有成千上万个未知数的一次方程组有可能求解． 为此需要使消元法有规律可循，让计算机能够机械地执行命令，解一次方程组. 现在我们以下面的二元一次方程组为例，说明这种统一的方法．第一步：把方程组写成如下的标准形式：统一按标准形式把数据输入到计算机中.第二步：把标准形式的方程组化成阶梯形：①× ，加到②上，得 由③、④组成的方程组叫做阶梯形方程组，其中第二个方程(即方程③)已经不含未知数x.第三步：解方程④，得 y=3.往回代入③，解得 x=-1.因此原方程组的一个解是 上述这种解一次方程组的方法叫做高斯消去法，其中第二步叫做消去算法，第三步叫做回代算法. 高斯消去法不仅可以用来解任意一个二元一次方程组，而且可以用来解任意一个三元一次方程组，以及解任意一个n元一次方程组，其中n是任一正整数. (注：有n个未知数，并且含未知数的每一项都是1次的方程叫做n元一次方程. 含有相同未知数的若干个n元一次方程联立起来，组成的方程组叫做n元一次方程组.)高斯消去法可以用下述框图表示：二元一次方程组的标准形式阶梯形方程组出现“0=d”?
其中d是一个数无解或者有
无穷多个解求出唯一解 高斯消去法的实质在我国《九章算术》的“方程”章中就已经具备了.
