四川省成都市彭州市2023-2024学年高三上学期期中教学质量调研数学(理科)试题（含答案）

彭州市2023~2024学年度上期高三期中教学质量调研
理科数学
考试时间120分钟，满分150分
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名 座位号和考号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上 试卷上答题无效.
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.
一 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知命题不是素数，则为（ ）
A.是素数 B.是素数
C.是素数 D.是素数
4.已知等差数列的前项和为，则数列的公差为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
5.已知向量，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.2023年“三月三”期间，四川交通部门统计了2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量（单位：万车次），并与2022年比较，得到同比增长率[同比增长率（今年车流量-去年同期车流量）去年同期车流量）]数据，绘制了如图所示的统计图，则下列结论错误的是（ ）
A.2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量的极差为23
B.2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量的中位数为17
C.2023年4月19日至4月21日的高速公路车流量的标准差小于2023年4月23日至4月25日的高速公路车流量的标准差
D.2022年4月23日的高速公路车流量为20万车次
7.已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A. B. C.1 D.-1
8.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为，则下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：）
A. B. C. D.
9.已知双曲线的左 右焦点分别为，过斜率为的直线与的右支交于点，若线段与轴的交点恰为的中点，则的离心率为（ ）
A. B. C.2 D.3
10.已知定义在上的奇函数满足，当时，.若函数在区间上有10个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
11.已知，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
12.已知，对任意，都存在，使得成立，则下列选项中，可能的值为（ ）
A. B. C. D.
二 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.的展开式中常数项为__________.
14.已知数列满足，且，则__________.
15.抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则__________.
16.已知正数满足（e为自然对数的底数），有下列四个关系式：
① ② ③ ④
其中正确的是__________（填序号）.
三 解答题：共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.第题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22 23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（12分）
记的内角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若，求的面积.
18.（12分）
如图，在四棱锥中，底面，分别为的中点.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值.
19.（12分）
某地区对某次考试成绩进行分析，随机抽取100名学生的两门学科成绩作为样本.将他们的学科成绩整理得到如图所示的频率分布直方图，且规定成绩不小于70分为良好.已知他们中学科良好的有50人，两门学科均良好的有40人.
（1）根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表，判断是否有的把握认为这次考试学生的学科良好与学科良好有关；
学科良好 学科不够良好 合计
学科良好
学科不够良好
合计
（2）用样本频率估计总体概率，从该地区参加考试的全体学生中随机抽取3人，记这3人中学科均良好的人数为随机变量，求的分布列与数学期望.
附：，其中.
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
20.（12分）
已知椭圆的左 右顶点分别为，点在椭圆上，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的右焦点为，过点斜率不为0的直线交椭圆于两点，记直线与直线的斜率分别为，当时，求的面积.
21.（12分）
已知函数，其中.
（1）当时，证明：；
（2）设函数，若为的极大值点，求的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生在22 23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.（10分）
在平面直角坐标系中，曲线，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）在极坐标系中，射线与曲线分别交于两点（异于极点），求的长度.
23.（10分）
已知.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.
彭州市2023~2024学年度上期高三期中教学质量调研
理科数学参考答案及评分标准
一 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A A D B B C D D D A B C
二 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.24 14. 15. 16.①②③④
解析：
16.由题意得，
令，则恒成立，
所以在上单调递增，
故，
所以，②正确，
，①正确，
，④正确，
，
，
又在上单调递增，，
故，从而，
设，
，又恒成立，
在上单调递增.从而.
三 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（12分）
解：（1），
由正弦定理得，
，可得，即.
，所以；
（2）解法1：由正弦定理，
，
可得，
，所以，
的面积为.
解法2：因为，且，
，
可得，
，
，
，可得，
，
，由余弦定理得，即，
解得，即，
的面积为.
18.（12分）
解：（1）方法一：综合法——平行平面的性质
取的中点，连结（如图），
由分别为的中点及中位线定理得，，
平面平面，
平面平面.
又平面，
平面平面.
平面，
平面
方法二：综合法——直线与平面平行的判定
连结延长交的延长线于，连结，
，即，又，
，
又，
平面平面，
平面.
方法三：空间向量方法
底面底面，
，
又，
故两两垂直，
以为原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图：
由知：
，
，
，
设平面的一个法向量为
由得，取得，
，又平面，
平面
（2）方法一：由（1）方法三可得：，
，
设平面的一个法向量为，
由，得，取，得，
设平面的一个法向量为，
由，得，取，得，
，
由几何体的空间结构知，二面角为锐角，
故二面角的余弦值为
方法二：连结，由得：，
，
，
在中，，由余弦定理得：
，
则，
底面底面，
平面，
平面.
又平面，
为二面角的平面角，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
在三角形中，由余弦定理得：，
二面角的余弦值为
19.（12分）
解：（1）由直方图可得学科良好的人数为（人），
所以列联表如下：
学科良好 学科不够良好 合计
学科良好 40 30 70
学科不够良好 10 20 30
合计 50 50 100
假设学科良好与学科良好无关，
，
所以有把握认为学科良好与学科良好有关；
（2）学科均良好的概率，
的可能取值为，且.
所以，
，
所以的分布列为
0 1 2 3
因为，所以.
20.（12分）
解：（1）由题意知，
又，则，
，解得（负值舍去），
由在椭圆上及得，解得，
椭圆的方程为；
（2）由（1）知，右焦点为，
据题意设直线的方程为，
则，
于是由得，化简得
由，消去整理得，
，
由根与系数的关系得：，
代入式得：，解得，
直线的方程为，
方法一：，
由求根公式与弦长公式得：，
设点到直线的距离为，则，
方法二：由题意可知
，
代入消去得，
，
.
21.（12分）
解：（1）证明：若，则，且，则，
令，得.
在上，单调递减；
在上，单调递增；
故；
（2）.
当时，易得，
若，则，
在上单调递增，
这与为函数的极大值点相矛盾.
若，令，则，
又令，则对恒成立，
在上单调递增.
又，
，
存在唯一，使得，
在上，单调递减，
又，
在上，，故单调递增，
在上，，故单调递减，
为函数的极大值点，满足题意，
综上，的取值范围为.
22.（10分）
解：（1）曲线的极坐标方程为：，
曲线的普通方程为：，
曲线的极坐标方程为；
（2）由（1）得：点的极坐标为，点的极坐标为，
，
23.（10分）
解：（1）方法一：当时，，
①，无解；
②，解得
③，解得；
综上：原不等式的解集为；
方法二：原不等式等价于：，
由绝对值的几何意义知的几何意义为：
数轴上实数对应的点到-2所对点的距离与其到原点的距离之差大于1，
又的解为，
原不等式的解集为；
（2）当时，，
原不等式等价于：，即，则
，故，解得，
的取值范围为.