3.3.2抛物线的简单几何性质 课件（共22张PPT）

(共22张PPT)
3.3.2 抛物线的简单几何性质(2)
复习引入
2.直线与抛物线的位置关系
相交、相切和相离．
相切
1个公共点
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
相离
0个公共点
相交
2个公共点
相交
1个公共点
复习引入
新知探究
连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径.
焦半径公式：
1.焦半径
x
l
F
M
y
O
(x0,y0)
过抛物线的焦点的线段，叫做抛物线的焦点弦.
焦点弦公式：
2.焦点弦
x
l
F
A
y
O
B
(x1,y1)
(x2,y2)
与韦达定理或弦中点坐标有关
抛物线的简单几何性质
若AB中点为P(x0,y0)
A
B
y2=2px
2p
过焦点且垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径.
|AB|=2p
2p越大，抛物线张口越大
3.通径
利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图.
x
l
F
y
O
抛物线的简单几何性质
新知探究
抛物线的简单几何性质
例1 斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A,B两点，求线段AB的长.
典型例题
例1 斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A,B两点，求线段AB的长.
弦长公式
直线y=kx+m与抛物线相交于A、B两点，则|AB|=
抛物线y2=2px 两点，则|AB|=|x1+x2+p|;
抛物线x2=2py 两点，则|AB|=|y1+y2+p|.
归纳总结
特别地:当焦点弦垂直于轴时,抛物线的焦点弦长(即通径)
直线l与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点
练习1 如图，O为坐标原点，过点P(2,0)且斜率为k的直线l交抛物线y2=2x与M(x1,y1)，N(x2,y2)两点.(1)求x1x2的值；(2)求证：OM⊥ON.
P(2,0)
O
N
M
l
x
y
(2)证明: ，
所以
又∵y1y2<0，∴y1y2=-4
则 ，所以OM⊥ON
(1)解:直线l的方程为y=k(x-2) (k≠0)，
直线与抛物线联立消去y，可得k2x2-2(2k2+1)x+4k2=0
其中Δ=4(2k2+1)2-4·k2·4k2=16k2+4>0,
由韦达定理得 x1x2= = 4.
F
O
B
A
l
x
y
例2 经过抛物线焦点的直线交抛物线于，经过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，求证：直线平行于抛物线的对称轴.
所以，直线DB平行于抛物线的对称轴．
A
B
F
K
x
y
A
B
F
K
x
y
A
B
F
K
x
y
归纳总结
练习3 经过抛物线()焦点的直线交抛物线于 两点，经过点作垂直准线于点，求证： 三点共线.
设点 (,)(≠0)，则(,) (≠0).
证明：如图，以抛物线的对称轴为轴，抛物线
的顶点为原点，建立平面直角坐标系.
当 ≠ 时，直线的方程为
.
所以= (,) (≠0).
当= 时，易知结论成立.
将代入，得=
所以= (,).
所以 ，即= ，
因为×() × = =0
所以∥ ，因此 三点共线.
得.
1、以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，
|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长.
所以M(3,0).
故设A(3，m)，代入y2＝8x得：m2＝24，
巩固练习
解　如图所示，由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，
垂足为点M，又焦点F是△OAB的重心，
因为F(2,0)，
2、已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB的方程.
解　如图，设点A(x0，y0)，
由题意可知点B(x0，－y0)，
∴AF⊥OB，∴kAF·kOB＝－1，
已知抛物线过焦点的直线交抛物线于,两点,则弦长称为焦点弦,其表达式为:
(1)焦半径：
(2)
(强调:通径为焦点弦的最小值,是斜率不存在时的焦点弦长)
课堂小结
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