人教版九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径（一） 同步练习
一、选择题
1．（人教版九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径（一） 同步练习）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE=2，那么AB的长是（ ）
A．4 B．8 C．6 D．10
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，
∵半径OC⊥AB，
∴AE=BE= AB，
∵OC=5，CE=2，
∴OE=3，
在Rt△AOE中，AE= = =4，
∴AB=2AE=8，
故答案为：B．
【分析】连接OA，在Rt△AOE中借助勾股定理可得AE，再由垂径定理即可得AB长。
2．（2017九上·宁波期中）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD=20°，则下列说法中正确的是（ ）
A．AD=2OB B．CE=EO
C．∠OCE=40° D．∠BOC=2∠BAD
【答案】D
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】∵AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，∴ ，
∵∠BAD是 所对的圆周角，∠COB是 所对的圆心角，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】根据垂径定理得到BC弧=BD弧，再根据圆周角定理求出∠BOC与∠BAD的关系.
3．（人教版九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径（一） 同步练习）如图将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（ ）
A．2cm B． cm C．2 cm D．2 cm
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：过点O作OD⊥AB交AB于点D，连接OA，
∵OA=2OD=2cm，
∴AD= = = （cm），
∵OD⊥AB，
∴AB=2AD=2 cm．
故答案为：D．
【分析】过点O作OD⊥AB交AB于点D、连接OA，由折叠可知OA=2OD=2，在Rt△AOD中利用勾股定理可得AD，再根据垂径定理即可解答。
4．（北师大版数学九年级下册第三章第三节《垂径定理同步检测》同步练习）如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D，若AO=10，OD=6，则AB的长为（ ）
A．8 B．16 C．18 D．20
【答案】B
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】∵AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D，
∴AD=BD= AB（垂径定理），
∴AB=2AD，
在Rt△ADO中，OD⊥AB于D，若AO=10，OD=6，
∴AD= （勾股定理）；
∴AB=16．
故选B．
【分析】先根据勾股定理求出AD的长，再根据垂径定理求出AB的长．
5．（2018·濠江模拟）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB=8，则CD的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵OC⊥AB，
∴AD=BD= AB= ×8=4，
在Rt△OAD中，OA=5，AD=4，
∴OD= =3，
∴CD=OC-OD=5-3=2．
【分析】根据垂径定理得出AD=BD= AB= ×8=4，在Rt△OAD中，根据勾股定理算出OD，再根据线段的和差即可算出答案。
6．（北师大版数学九年级下册第三章第三节《垂径定理同步检测》同步练习）如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，则⊙O的直径为（ ）
A．5cm B．10cm C．6cm D．14cm
【答案】B
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】如图，
过O作直径CD⊥AB于E，连接OA，
则OE=3cm，AE=BE=AB=4cm，
在Rt△AEO中，由勾股定理得：OA= =5（cm），
则直径CD=2OA=10cm，
故选B．
【分析】过O作直径CD⊥AB于E，连接OA，则OE=3cm，AE=BE= AB=4cm，在Rt△AEO中，由勾股定理求出OA，即可得出答案．
7．（2017·德州模拟）如图，⊙O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：设OA与BC相交于D点．
∵AB=OA=OB=6
∴△OAB是等边三角形．
又根据垂径定理可得，OA平分BC，
利用勾股定理可得BD= =3
所以BC=6 ．
故答案为：A．
【分析】设OA与BC相交于D点．根据等圆半径相等得出△OAB是等边三角形，又根据垂径定理可得，OA平分BC，最后利用勾股定理得出结论。
8．（2016九上·新泰期中）⊙O过点B，C，圆心O在等腰直角△ABC内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，则⊙O的半径为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过A作AD⊥BC，由题意可知AD必过点O，连接OB；
∵△BAC是等腰直角三角形，AD⊥BC，
∴BD=CD=AD=3；
∴OD=AD﹣OA=2；
Rt△OBD中，根据勾股定理，得：
OB= = ．
故选C．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质知：若过A作BC的垂线，设垂足为D，则AD必垂直平分BC；由垂径定理可知，AD必过圆心O；根据等腰直角三角形的性质，易求出BD、AD的长，进而可求出OD的值；连接OB根据勾股定理即可求出⊙O的半径．
二、填空题
9．（人教版九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径（一） 同步练习）如图1，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图2是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB=40cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10cm，则该脸盆的半径为 cm．
【答案】25
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，
设圆的圆心为O，连接OA，OC，OC与AB交于点D，设⊙O半径为R，
∵OC⊥AB，
∵AD=DB= AB=20，
在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，
∴OA2=OD2+AD2，
∴R2=202+（R﹣10）2，
∴R=25．
故答案为：25．
【分析】连接圆心O与A、C，与AB交于点D，由垂径定理可知AD=AB=20，此时设⊙O半径为R，在Rt△AOD中利用勾股定理即可列出R的方程，据此即可解答。
10．（人教版九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径（一） 同步练习）如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD=1，则弦AB的长是 ．
【答案】6
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接AO，
∵半径是5，CD=1，
∴OD=5﹣1=4，
根据勾股定理，
AD= = =3，
∴AB=3×2=6，
因此弦AB的长是6．
故答案为：6.
【分析】：连接AO，在Rt△ADO中由AO、OD利用勾股定理可得AD，根据垂径定理即可得AB长。
11．（人教版九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径（一） 同步练习）如图，已知直线AB与⊙O相交于A．B两点，∠OAB=30°，半径OA=2，那么弦AB= ．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：过O作OC⊥AB于C，
则AB=2AC，∠OCA=90°，
∵OA=2，∠OAB=30°，
∴OC=1，由勾股定理得：AC= = ，
∴AB=2AC=2 ，
故答案为：2 ．
【分析】过O作OC⊥AB于C，由垂径定理可知AB=2AC，在Rt△ACO中借助含30°角和勾股定理可得AC，据此即可得AB长。
12．（人教版九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径（一） 同步练习）如图所示，已知⊙ 的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙ 上到弦 所在直线的距离为2的点有 个.
【答案】3
【知识点】点到直线的距离；平行线之间的距离；圆的相关概念
【解析】【解答】解：如图，OD=OA=OB=5，OE⊥AB，OE=3，
∴DE=OD-OE=5-3=2cm，
∴点D是圆上到AB距离为2cm的点，
∵OE=3cm＞2cm，
∴在OD上截取OH=1cm， 过点H作GF∥AB，交圆于点G，F两点，
则有HE⊥AB，HE=OE-OH=2cm，
即GF到AB的距离为2cm，
∴点G，F也是圆上到AB距离为2cm的点．
故答案为：3．
【分析】过O作OD⊥AB于E，交⊙O于D，由条件可知DE=OD-OE=5-3=2，故点D满足要求，同时因OE=3＞2，故在OD上截取OH=1， 过点H作GF∥AB，交圆于点G，F两点，则点G、F也满足要求，据此即可判断。
13．（人教版九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径（一） 同步练习）如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为 。
【答案】3
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图：
过O作OM⊥AB于M，此时线段OM的长最短，连接OA，
∵OM过O，OM⊥AB，
∴AM= AB= ×8=4，
在Rt△AMO中，由勾股定理得：OM= =3，
故答案为：3．
【分析】根据垂线段最短，过O作OM⊥AB于M，则线段OM即为所求，连接OA，由垂径定理可知AM=AB=4，在Rt△AMO中利用勾股定理即可解答。
14．（人教版九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径（一） 同步练习）如图，⊙O的半径是5，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD=8，则△ACD的面积是 ．
【答案】32
【知识点】三角形的面积；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OD，
∵⊙O的半径是5，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=8，
∴PD= CD=4，
∴OP= = =3，
∴AP=OA+OP=5+3=8，
∴S△ACD= CD AP= ×8×8=32．
故答案为：32．
【分析】连接OD，由垂径定理可知PD= CD=4，在Rt△OPD中利用勾股定理可得OP=3，从而可知AP=8，再借助三角形面积公式即可计算。
15．（2018·遵义模拟）如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C、D两点．若∠CMA=45°，则弦CD的长为 ．
【答案】
【知识点】垂径定理；解直角三角形
【解析】【解答】连接OD，作OE⊥CD于E，如图所示：
则CE=DE，
∵AB是⊙O的直径，AB=4，点M是OA的中点，
∴OD=OA=2，OM=1，
∵∠OME=∠CMA=45°，
∴△OEM是等腰直角三角形，
∴OE= OM= ，
在Rt△ODE中，由勾股定理得：DE= ，
∴CD=2DE= ；
故答案为： ．
【分析】由题意可作辅助线，连接OD，作OE⊥CD于E，根据垂径定理和解直角三角形即可求解。
三、解答题
16．（人教版九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径（一） 同步练习）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
求证：AC=BD.
【答案】解：过O作OE⊥AB于点E，
则CE=DE，AE=BE，
∴BE-DE=AE-CE.
即AC=BD.
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】过O作OE⊥AB于点E，根据垂径定理可知CE=DE、AE=BE，利用等式性质即可证明。
17．（人教版九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径（一） 同步练习）已知，如图，M是弧AB的中点，过点M的弦MN交于点C，设圆O的半径为4cm，MN=cm.
（1）求圆心O到弦MN的距离；
（2）求∠ACM的度数。
【答案】（1）解：连接OM，过点O作OD⊥MN于点D，
∵点M是AB的中点，
∴OM⊥AB.
由垂径定理，得MD=1/2MN=
∴在Rt△ODM中，OM=4，MD=
∴.
故圆心O到弦MN的距离为2.
（2）解：cos∠OMD=MD：OM= ，
∴∠OMD=30°，
∴∠ACM=90°-∠OMD=60°.
【知识点】勾股定理；垂径定理；求特殊角的三角函数值；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）连接OM、过点O作OD⊥MN于点D，由垂径定理及其推论可知OM⊥AB、MD=MN= 2 ， 在Rt△ODM中利用勾股定理即可解答；
（2）由（1）在Rt△ODM中可得∠OMD的余弦值，从而可得∠OMD的度数，再根据直角三角形两锐角互余即可。
18．（人教版九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径（一） 同步练习）如图，在⊙O中，CD为直径，AB为弦，且CD平分AB于E，OE=3cm，AB=8cm．
求：⊙O的半径．
【答案】解：连结OA，如图，∵CD为直径，且CD平分AB于E，∴CD⊥AB，AE= AB=4，在Rt△AOE中，∵OE=3，AE=4，∴OA= =5，∴⊙O的半径为5cm．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】连结OA，由垂径定理的推论可知CD⊥AB，AE= AB=4，在Rt△AOE中利用勾股定理即可解答。
19．（人教版九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径（一） 同步练习）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足P是OB的中点，CD=6cm，求直径AB的长．
【答案】解：连OC，如图，∵AB垂直于弦CD，∴PC=PD，而CD=6cm，∴PC=3cm，又∵P是OB的中点，∴OB=2OP，∴OC=2OP，∴∠C=30°，∴PC= OP，则OP= cm，∴OC=2OP=2 cm，所以直径AB的长为4 cm．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】连OC，由垂径定理可知PC=CD=3，又因P是OB的中点，结合同圆半径相等可得OC=2OP，故∠C=30°，据此即可解答。
20．（人教版九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径（一） 同步练习）如图，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．
【答案】解：过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，∵AB=8cm，∴AE=BE= AB= ×8=4cm，∵⊙O的直径为10cm，∴OB= ×10=5cm，∴OE= = =3cm，∵垂线段最短，半径最长，∴3cm≤OP≤5cm．
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【分析】由垂线段最短的性质构建OE⊥AB于点E，由垂径定理得出AE=4cm，再根据勾股定理计算出OE= 3cm，得出OP的范围。
21．（人教版九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径（一） 同步练习）如图，AB为 的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交 于点D，过点D作 的切线，交BA的延长线于点E.
（1）求证：AC∥DE：
（2）连接CD，若OA＝AE＝a，写出求四边形ACDE面积的思路。
【答案】（1）解：证明： ED与 相切于D
F为弦AC的中点
O D ⊥ D E
（2）解：①四边形DFAE为直角梯形，上底为AF，下底为DE，高为DF，有条件比较容易在直角三角形DOE中计算出DE长为 ，DF= ，AF= ，所以可以求出四边形DFAE的面积为 ；
②在三角形CDF中， ，且DF= ，FC=AF= ，进而可以求解在三角形CDF的面积为 ；
③四边形ACDE就是由四边形DFAE和三角形CDF组成的，进而可以得到四边形ACDE的面积就等于他们的面积和，为 .
【知识点】垂径定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）根据切线的性质可得OD⊥DE，进而得到
AC∥DE ；
（2）把四边形ACDE分成直角梯形DFAE和三角形CDF，分别求这两个的面积，即可得出四边形ACDE的面积。
1 / 1人教版九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径（一） 同步练习
一、选择题
1．（人教版九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径（一） 同步练习）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE=2，那么AB的长是（ ）
A．4 B．8 C．6 D．10
2．（2017九上·宁波期中）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD=20°，则下列说法中正确的是（ ）
A．AD=2OB B．CE=EO
C．∠OCE=40° D．∠BOC=2∠BAD
3．（人教版九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径（一） 同步练习）如图将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（ ）
A．2cm B． cm C．2 cm D．2 cm
4．（北师大版数学九年级下册第三章第三节《垂径定理同步检测》同步练习）如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D，若AO=10，OD=6，则AB的长为（ ）
A．8 B．16 C．18 D．20
5．（2018·濠江模拟）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB=8，则CD的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（北师大版数学九年级下册第三章第三节《垂径定理同步检测》同步练习）如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，则⊙O的直径为（ ）
A．5cm B．10cm C．6cm D．14cm
7．（2017·德州模拟）如图，⊙O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC=（ ）
A． B． C． D．
8．（2016九上·新泰期中）⊙O过点B，C，圆心O在等腰直角△ABC内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，则⊙O的半径为（ ）
A． B．2 C． D．3
二、填空题
9．（人教版九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径（一） 同步练习）如图1，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图2是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB=40cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10cm，则该脸盆的半径为 cm．
10．（人教版九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径（一） 同步练习）如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD=1，则弦AB的长是 ．
11．（人教版九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径（一） 同步练习）如图，已知直线AB与⊙O相交于A．B两点，∠OAB=30°，半径OA=2，那么弦AB= ．
12．（人教版九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径（一） 同步练习）如图所示，已知⊙ 的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙ 上到弦 所在直线的距离为2的点有 个.
13．（人教版九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径（一） 同步练习）如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为 。
14．（人教版九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径（一） 同步练习）如图，⊙O的半径是5，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD=8，则△ACD的面积是 ．
15．（2018·遵义模拟）如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C、D两点．若∠CMA=45°，则弦CD的长为 ．
三、解答题
16．（人教版九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径（一） 同步练习）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
求证：AC=BD.
17．（人教版九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径（一） 同步练习）已知，如图，M是弧AB的中点，过点M的弦MN交于点C，设圆O的半径为4cm，MN=cm.
（1）求圆心O到弦MN的距离；
（2）求∠ACM的度数。
18．（人教版九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径（一） 同步练习）如图，在⊙O中，CD为直径，AB为弦，且CD平分AB于E，OE=3cm，AB=8cm．
求：⊙O的半径．
19．（人教版九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径（一） 同步练习）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足P是OB的中点，CD=6cm，求直径AB的长．
20．（人教版九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径（一） 同步练习）如图，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．
21．（人教版九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径（一） 同步练习）如图，AB为 的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交 于点D，过点D作 的切线，交BA的延长线于点E.
（1）求证：AC∥DE：
（2）连接CD，若OA＝AE＝a，写出求四边形ACDE面积的思路。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，
∵半径OC⊥AB，
∴AE=BE= AB，
∵OC=5，CE=2，
∴OE=3，
在Rt△AOE中，AE= = =4，
∴AB=2AE=8，
故答案为：B．
【分析】连接OA，在Rt△AOE中借助勾股定理可得AE，再由垂径定理即可得AB长。
2．【答案】D
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】∵AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，∴ ，
∵∠BAD是 所对的圆周角，∠COB是 所对的圆心角，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】根据垂径定理得到BC弧=BD弧，再根据圆周角定理求出∠BOC与∠BAD的关系.
3．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：过点O作OD⊥AB交AB于点D，连接OA，
∵OA=2OD=2cm，
∴AD= = = （cm），
∵OD⊥AB，
∴AB=2AD=2 cm．
故答案为：D．
【分析】过点O作OD⊥AB交AB于点D、连接OA，由折叠可知OA=2OD=2，在Rt△AOD中利用勾股定理可得AD，再根据垂径定理即可解答。
4．【答案】B
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】∵AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D，
∴AD=BD= AB（垂径定理），
∴AB=2AD，
在Rt△ADO中，OD⊥AB于D，若AO=10，OD=6，
∴AD= （勾股定理）；
∴AB=16．
故选B．
【分析】先根据勾股定理求出AD的长，再根据垂径定理求出AB的长．
5．【答案】A
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵OC⊥AB，
∴AD=BD= AB= ×8=4，
在Rt△OAD中，OA=5，AD=4，
∴OD= =3，
∴CD=OC-OD=5-3=2．
【分析】根据垂径定理得出AD=BD= AB= ×8=4，在Rt△OAD中，根据勾股定理算出OD，再根据线段的和差即可算出答案。
6．【答案】B
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】如图，
过O作直径CD⊥AB于E，连接OA，
则OE=3cm，AE=BE=AB=4cm，
在Rt△AEO中，由勾股定理得：OA= =5（cm），
则直径CD=2OA=10cm，
故选B．
【分析】过O作直径CD⊥AB于E，连接OA，则OE=3cm，AE=BE= AB=4cm，在Rt△AEO中，由勾股定理求出OA，即可得出答案．
7．【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：设OA与BC相交于D点．
∵AB=OA=OB=6
∴△OAB是等边三角形．
又根据垂径定理可得，OA平分BC，
利用勾股定理可得BD= =3
所以BC=6 ．
故答案为：A．
【分析】设OA与BC相交于D点．根据等圆半径相等得出△OAB是等边三角形，又根据垂径定理可得，OA平分BC，最后利用勾股定理得出结论。
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过A作AD⊥BC，由题意可知AD必过点O，连接OB；
∵△BAC是等腰直角三角形，AD⊥BC，
∴BD=CD=AD=3；
∴OD=AD﹣OA=2；
Rt△OBD中，根据勾股定理，得：
OB= = ．
故选C．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质知：若过A作BC的垂线，设垂足为D，则AD必垂直平分BC；由垂径定理可知，AD必过圆心O；根据等腰直角三角形的性质，易求出BD、AD的长，进而可求出OD的值；连接OB根据勾股定理即可求出⊙O的半径．
9．【答案】25
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，
设圆的圆心为O，连接OA，OC，OC与AB交于点D，设⊙O半径为R，
∵OC⊥AB，
∵AD=DB= AB=20，
在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，
∴OA2=OD2+AD2，
∴R2=202+（R﹣10）2，
∴R=25．
故答案为：25．
【分析】连接圆心O与A、C，与AB交于点D，由垂径定理可知AD=AB=20，此时设⊙O半径为R，在Rt△AOD中利用勾股定理即可列出R的方程，据此即可解答。
10．【答案】6
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接AO，
∵半径是5，CD=1，
∴OD=5﹣1=4，
根据勾股定理，
AD= = =3，
∴AB=3×2=6，
因此弦AB的长是6．
故答案为：6.
【分析】：连接AO，在Rt△ADO中由AO、OD利用勾股定理可得AD，根据垂径定理即可得AB长。
11．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：过O作OC⊥AB于C，
则AB=2AC，∠OCA=90°，
∵OA=2，∠OAB=30°，
∴OC=1，由勾股定理得：AC= = ，
∴AB=2AC=2 ，
故答案为：2 ．
【分析】过O作OC⊥AB于C，由垂径定理可知AB=2AC，在Rt△ACO中借助含30°角和勾股定理可得AC，据此即可得AB长。
12．【答案】3
【知识点】点到直线的距离；平行线之间的距离；圆的相关概念
【解析】【解答】解：如图，OD=OA=OB=5，OE⊥AB，OE=3，
∴DE=OD-OE=5-3=2cm，
∴点D是圆上到AB距离为2cm的点，
∵OE=3cm＞2cm，
∴在OD上截取OH=1cm， 过点H作GF∥AB，交圆于点G，F两点，
则有HE⊥AB，HE=OE-OH=2cm，
即GF到AB的距离为2cm，
∴点G，F也是圆上到AB距离为2cm的点．
故答案为：3．
【分析】过O作OD⊥AB于E，交⊙O于D，由条件可知DE=OD-OE=5-3=2，故点D满足要求，同时因OE=3＞2，故在OD上截取OH=1， 过点H作GF∥AB，交圆于点G，F两点，则点G、F也满足要求，据此即可判断。
13．【答案】3
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图：
过O作OM⊥AB于M，此时线段OM的长最短，连接OA，
∵OM过O，OM⊥AB，
∴AM= AB= ×8=4，
在Rt△AMO中，由勾股定理得：OM= =3，
故答案为：3．
【分析】根据垂线段最短，过O作OM⊥AB于M，则线段OM即为所求，连接OA，由垂径定理可知AM=AB=4，在Rt△AMO中利用勾股定理即可解答。
14．【答案】32
【知识点】三角形的面积；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OD，
∵⊙O的半径是5，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=8，
∴PD= CD=4，
∴OP= = =3，
∴AP=OA+OP=5+3=8，
∴S△ACD= CD AP= ×8×8=32．
故答案为：32．
【分析】连接OD，由垂径定理可知PD= CD=4，在Rt△OPD中利用勾股定理可得OP=3，从而可知AP=8，再借助三角形面积公式即可计算。
15．【答案】
【知识点】垂径定理；解直角三角形
【解析】【解答】连接OD，作OE⊥CD于E，如图所示：
则CE=DE，
∵AB是⊙O的直径，AB=4，点M是OA的中点，
∴OD=OA=2，OM=1，
∵∠OME=∠CMA=45°，
∴△OEM是等腰直角三角形，
∴OE= OM= ，
在Rt△ODE中，由勾股定理得：DE= ，
∴CD=2DE= ；
故答案为： ．
【分析】由题意可作辅助线，连接OD，作OE⊥CD于E，根据垂径定理和解直角三角形即可求解。
16．【答案】解：过O作OE⊥AB于点E，
则CE=DE，AE=BE，
∴BE-DE=AE-CE.
即AC=BD.
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】过O作OE⊥AB于点E，根据垂径定理可知CE=DE、AE=BE，利用等式性质即可证明。
17．【答案】（1）解：连接OM，过点O作OD⊥MN于点D，
∵点M是AB的中点，
∴OM⊥AB.
由垂径定理，得MD=1/2MN=
∴在Rt△ODM中，OM=4，MD=
∴.
故圆心O到弦MN的距离为2.
（2）解：cos∠OMD=MD：OM= ，
∴∠OMD=30°，
∴∠ACM=90°-∠OMD=60°.
【知识点】勾股定理；垂径定理；求特殊角的三角函数值；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）连接OM、过点O作OD⊥MN于点D，由垂径定理及其推论可知OM⊥AB、MD=MN= 2 ， 在Rt△ODM中利用勾股定理即可解答；
（2）由（1）在Rt△ODM中可得∠OMD的余弦值，从而可得∠OMD的度数，再根据直角三角形两锐角互余即可。
18．【答案】解：连结OA，如图，∵CD为直径，且CD平分AB于E，∴CD⊥AB，AE= AB=4，在Rt△AOE中，∵OE=3，AE=4，∴OA= =5，∴⊙O的半径为5cm．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】连结OA，由垂径定理的推论可知CD⊥AB，AE= AB=4，在Rt△AOE中利用勾股定理即可解答。
19．【答案】解：连OC，如图，∵AB垂直于弦CD，∴PC=PD，而CD=6cm，∴PC=3cm，又∵P是OB的中点，∴OB=2OP，∴OC=2OP，∴∠C=30°，∴PC= OP，则OP= cm，∴OC=2OP=2 cm，所以直径AB的长为4 cm．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】连OC，由垂径定理可知PC=CD=3，又因P是OB的中点，结合同圆半径相等可得OC=2OP，故∠C=30°，据此即可解答。
20．【答案】解：过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，∵AB=8cm，∴AE=BE= AB= ×8=4cm，∵⊙O的直径为10cm，∴OB= ×10=5cm，∴OE= = =3cm，∵垂线段最短，半径最长，∴3cm≤OP≤5cm．
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【分析】由垂线段最短的性质构建OE⊥AB于点E，由垂径定理得出AE=4cm，再根据勾股定理计算出OE= 3cm，得出OP的范围。
21．【答案】（1）解：证明： ED与 相切于D
F为弦AC的中点
O D ⊥ D E
（2）解：①四边形DFAE为直角梯形，上底为AF，下底为DE，高为DF，有条件比较容易在直角三角形DOE中计算出DE长为 ，DF= ，AF= ，所以可以求出四边形DFAE的面积为 ；
②在三角形CDF中， ，且DF= ，FC=AF= ，进而可以求解在三角形CDF的面积为 ；
③四边形ACDE就是由四边形DFAE和三角形CDF组成的，进而可以得到四边形ACDE的面积就等于他们的面积和，为 .
【知识点】垂径定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）根据切线的性质可得OD⊥DE，进而得到
AC∥DE ；
（2）把四边形ACDE分成直角梯形DFAE和三角形CDF，分别求这两个的面积，即可得出四边形ACDE的面积。
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