人教A版（2019）必修第一册 4.1.1 n次方根与分数指数幂 课件（共22张PPT）

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第四章
指数函数与对数函数
章前导读
考古学中，经常是利用放射性物质的衰减检验出土文物的年限。
例如，我国的浙江杭州市余杭区良储和瓶窑镇在1936年首次发现巨型城址，面积近630万平方米，包括古城、水坝何多出高等级建筑。
考古学家利用遗址中的碳14的残留量测定，古城存在时期为公元前3300年-前2300年。
你知道考古学家在测定遗址年代时用了什么数学知识吗
实际上，考古学家所用的数学知识是我们本章所学的指数函数。指数函数在解决实际问题中有广泛的应用。例如，在自然条件下，细胞分裂、人口增长、放射性物质的衰减等问题，都可以利用指数函数模型进行刻画他们的变化规律。
4.1.1 n次方根与分数指数幂
第四章 指数函数与对数函数
一
二
三
学习目标
了解n次方根与分数指数幂的概念
理解n次方根与分数指数幂的性质
掌握分数指数幂与根式的互化
学习目标
新课导入
为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展到全体实数。
初中，我们已经学习了整数指数幂
在学习幂函数时，我们把正方形场地的边长c关于面积S的函数记作.
像这样的以分数为指数的幂，其意义是什么？
下面从已知的平方根、立方根的意义入手展开研究。
新知探究
问题1 什么是n次方根？
我们知道，如果x2=a，那么x叫做a的平方根.
如果x3=a，那么x叫做a的立方根.
① (±2)2＝４，则称±２为４的　　　；
② 23=8，则称２为8的　　　　；
平方根
立方根
类似地，由于(±2)4=16，所以±2叫做16的 ；
由于 25=32，所以2叫做32的 .
4次方根
5次方根
定义1：一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根.其中n>1，且n∈N*.
新知探究
问题2 什么是方根的性质？
【1】 当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数.
这时，a的n次方根用符号表示.
【2】 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.
正的n次方根用 表示，负的n次方根用表示.
【3】 负数没有偶次方根.
【4】 0的任何次方根都是0.记作：
两者也可以合并成 (a>0).例如
新知探究
问题3 什么是根式？
定义2：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
根指数
被开方数
【1】 一般读作“n次根号a”
【2】 当a＜0且n为偶数时，在实数范围内没有意义.
【3】 当有意义时， 是一个实数，且它的n次方等于a.
说明：
新知探究
问题4 分别等于什么？一般地 等于什么？
根据n次方根的意义，可得
问题5 表示的n次方根，一定成立吗？
结论:an开奇次方根,则有
结论:an开偶次方根,则有
不一定
归纳小结
根式的性质
⑴当n为任意正整数时，( )n= a.
⑵当n为奇数时， =a；
　当n为偶数时， =|a|= .
反思 和有什么区别？
典例解析
例1 求下列各式的值：
(1) ；(2) ；(3) ；(4) .
解：（1）
（2）
（3）
（4）
注意符号
新知探究
问题6（1）观察以下式子,你总结出什么规律呢？(a > 0)
结论：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以表示为分数指数幂的形式.
新知探究
问题6（2）利用(1)的规律,你能表示下列式子吗
结论：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时,根式也可以表示为分数指数幂的形式.
概念生成
分数指数幂
（a>0，m、n∈N*,n>1）
被开方数的指数
根指数
规定，正数的正分数指数幂的意义是：
规定，正数的负分数指数幂的意义是：
（a>0，m、n∈N*,n>1）
规定，0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义.
追问1： 可以理解为 个a相乘吗？
新知探究
不可以！
追问2：分数指数幂能约分吗？
不可以！
结论：①分数指数幂是根式的另一种表示,分数指数幂与根式可以互化.
②分数指数幂不可随意约分.约分之后可能会改变根式有意义的条件.
规定了分数指数幂的意义以后，幂中指数x的取值范围就从整数拓展到了有理数．
整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用.
概念生成
对于任意有理数r,s均有下面的运算性质
有理数指数幂的运算性质
同底数幂相乘，底数不变，指数相加
幂的乘方，底数不变，指数相乘
积的乘方，等于积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘
同底数幂相除，底数不变，指数相减
当a<0,b<0时运算法则不一定成立.
只有当a>0,b>0时运算法则才一定成立.
例2 求值：（1） ；（2） .
解：
（1）法一；
（2）法一.
法二；
法二.
法三.
典例解析
解：
例3 用分数指数幂的形式表示并计算下列各式( 其中a>0).
； .
(1) ；
(2) .
典例解析
例4 计算下式各式(式中字母均是正数).
解：
典例解析
巩固练习
教材P107
解：
解：
巩固练习
教材P109
解：
课堂小结
本节课你学会了哪些主要内容？
（1）n次方根与分数指数幂的概念与性质
(2)分数指数幂的意义、根式与分数指数幂之间的相互转化
(3)有理指数幂的含义及其运算性质