2018-2019学年数学沪科版九年级上册22.1.4 比例线段 同步练习
一、选择题
1．如果五边形ABCDE∽五边形POGMN且对应高之比为3：2，那么五边形ABCDE和五边形POGMN的面积之比是（ ）
A．2：3 B．3：2 C．6：4 D．9：4
2．已知四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的周长分别为24、36，则它们对角线AC与A′C′的比为（ ）
A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：4
3．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为，AD与BC的中点，且矩形ABCD∽矩形AEFB， 的值为（ ）
A．2 B． C． D．
4．两个相似的六边形，如果一组对应边的长分别为3cm，4cm，且它们面积的差为28cm2，则较大的六边形的面积为（ ）
A．44.8 cm2 B．45 cm2 C．64 cm2 D．54 cm2
5．把一个五边形改成和它相似的五边形，如果面积扩大到原来的49倍，那么对应的边扩大到原来的（ ）
A．49倍 B．7倍 C．50倍 D．8倍
6．如果两个相似五边形的面积和等于65cm2，其中一组对应边的长分别为3cm和4.5cm，那么较大五边形的面积为（ ）
A．26cm2 B．39cm2 C．20cm2 D．45cm2
7．（2017九上·开原期末）两个相似多边形的面积之比为5，周长之比为m，则 为（ ）.
A．1 B． C． D．5
8．如图，已知矩形ABCD中，AB=3，BE=2，EF⊥BC．若四边形EFDC与四边形BEFA相似而不全等，则CE=（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
二、填空题
9．一个多边形图案在一个有放大功能的复印机上复印出来，它的一条边由原来的1cm变成了2cm，那么它的面积会由原来的6cm2变为 ．
10．若两个相似多边形面积比为4：9，则它们的周长比是 ．
11．一个六边形的六边长分别为3，4，5，6，7，8，另一个与其相似的六边形的周长为66，则与其相似的六边形的最短边为 ．
12．两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4.5cm，如果它们的面积之和为130cm2，那么较小的多边形的面积是 cm2．
13．如图，矩形ABCD中，AB=4，M、N分别是AD、BC的中点，MN∥AB，若矩形DMNC与矩形ABCD相似，则AD的长为 ．
14．如图，四边形ABCD与四边形EFGH的对应边平行，AD是△PHE的中位线，若四边形ABCD的面积4，则四边形EFGH面积是 ．
三、解答题
15．如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为点E，F．求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．
16．已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且A1B1：B1C1：C1D1：D1A1=7：8：11：14，若四边形ABCD的周长为40，求四边形ABCD各边的长．
17．若四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，相似比为k1= ，又四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2相似，相似比为k2= ，请问四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似吗？若相似，相似比是多少？
18．在一块长和宽分别为3m和2m的矩形塑料板四周镶上木条．若在长边上镶上的木条的宽为0.5m．则要使木条内缘围成的矩形与木条外缘围成的矩形相似，在宽边上镶的木条的宽应是多少？
19．一个矩形ABCD的较短边长为2．
（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；
（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．
20．如图，四边形ABCD为平行四边形，AE平分∠BAD交BC于点E，过点E作EF∥AB，交AD于点F，连接BF．
（1）求证：BF平分∠ABC；
（2）若AB=6，且四边形ABCD∽四边形CEFD，求BC长．
21．如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EC，GD．
（1）求证：EB=GD；
（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG= ，求GD的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE∽五边形POGMN且对应高之比为3：2，
∴相似比为3：2，
∴五边形ABCDE和五边形FGHIJ的面积比是9：4，
故答案为：D
【分析】利用相似多边形的对应边上的高之比等于相似比，而面积比等于相似比的平方，可求解。
2．【答案】A
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AC、A′C′
∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，
∴ = ，∠B=∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴ = = = ，
故答案为：A．
【分析】连接AC、A′C′，根据已知易证△ABC∽△A′B′C′，就可证得对角线之比等于相似比，然后根据周长比等于相似比，可解答。
3．【答案】C
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD∽矩形AEFB，
∴ = ．
设AD=x，AB=y，则AE= x．
∴ = ，
故y2= x2，即x2=2y2，
则x= y，
则 = = ．
故答案为：C
【分析】设AD=x，AB=y，利用设AD=x，AB=y，可表示出AE，再根据相似多边形的性质，可得出对应边成比例，就可求得结果。
4．【答案】C
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设大六边形的面积为xcm2，则小六边形的面积为（x﹣28）cm2，
∵两个六边形相似，
∴ =（ ）2，
解得，x=64，
故答案为：C．
【分析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，可求解。
5．【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：五边形改成与它相似的五边形，如果面积扩大为原来的49倍，
即得到的五边形与原来的五边形的面积的比是49：1，
相似形面积的比等于相似比的平方，
因而相似比是7：1，
相似形对应边的比等于相似比，
因而对应的边扩大为原来的7倍．
故答案为：B．
【分析】根据题意可得出两相似五边形的面积比为49：1，再根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，可求解。
6．【答案】D
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设较大五边形与较小五边形的面积分别是m，n．则 =（ ）2= ．
因而n= m．
根据面积之和是65cm2．得到m+ m=65，
解得：m=45，
即较大五边形的面积为45cm2．
故答案为：D
【分析】根据两相似多边形的面积比等于相似比的平方及两个相似五边形的面积和等于65cm2，可求解。
7．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】本题用直接解答的方法。两个多边形相似，对应边成比例，周长对应成比例，都是相似比，对应面积成比例，是相似比的平方。两个多边形面积之比为5，因此根据面积之比是相似比的平方，可知相似比为 ，因为相似三角形的周长之比等于相似比，因此m= ，所以== 。故ABD错误，C正确。
故答案为：C.
【分析】两个三角形相似，对应边成比例，对应周长成比例，都等于相似比。对应面积成比例，等于相似比的平方。
8．【答案】D
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设CE=x，
∵四边形EFDC与四边形BEFA相似，
∴ ，
∵AB=3，BE=2，EF=AB，
∴ ，
解得：x=4.5，
故答案为：D
【分析】设CE=x，由四边形EFDC与四边形BEFA相似，可得出对应边成比例，建立关于x的方程，求解即可。
9．【答案】24cm2
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：由题意可知，相似多边形的边长之比=相似比=1：2，
∴面积之比=（1：2）2=1：4，
∴它的面积会由原来的6cm2变为：6×4=24cm2，
故答案为24cm2
【分析】根据已知可得出两相似多边形的相似比为1：2，利用相似多边形的面积比等于相似比的平方，可求出结果。
10．【答案】2：3
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似多边形面积比为4：9，
∴两个相似多边形相似比为2：3，
∴两个相似多边形周长比为2：3，
故答案为：2：3
【分析】利用相似多边形的性质：相似多边形的面积比等于相似比的平方，可解答。
11．【答案】6
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设另一个六边形的最短边的长为x，
根据题意得 = ，
解得x=6，
即另一个六边形的最短边的长为6．
故答案为6
【分析】利用相似多边形的周长比等于相似比，建立关于x的方程，求解即可。
12．【答案】40
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4.5cm，
则相似比是3：4.5=2：3，
面积的比等于相似比的平方，即面积的比是4：9，
因而可以设较小的多边形的面积是4x（cm2），
则较大的是9x（cm2），
根据面积的和是130（cm2），
得到4x+9x=130，
解得：x=10，
则较小的多边形的面积是40cm2．
故答案为：40
【分析】根据已知多边形的一组对应边长，可求出两多边形的相似比，再利用相似多边形的性质：相似多边形的面积比等于相似比的平方，结合两多边形的面积和为130cm2，就可求出较小的多边形的面积。
13．【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：由已知得MN=AB，MD= AD= BC，
∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，
= ，
∵MN=AB，DM= AD，BC=AD，
∴ AD2=AB2，
∴由AB=4得，AD=4 ，
故答案为：4
【分析】利用矩形的性质及M、N分别是AD、BC的中点，可得出MN=AB，MD= AD= BC，再根据相似多边形的性质，可得出矩形DMNC与矩形ABCD的对应边成比例，就可求出AD的长。
14．【答案】16
【知识点】相似多边形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH的对应边平行，
∴四边形ABCD与四边形EFGH是以点P为位似中心的位似图形，
∵AD是△PHE的中位线，
∴ = ，
由 =（ ）2，即 = ，
∴S四边形EFGH=16，
故答案为：16
【分析】先证明四边形ABCD与四边形EFGH是以点P为位似中心的位似图形，再根据三角形中位线定理求出两四边形的相似比，然后根据相似多边形的性质：相似多边形的面积比等于相似比的平方，可求解。
15．【答案】证明；∵∠GEA=∠EAF=∠GFA=90°，∴四边形EAFG为矩形．∵四边形ABCD为正方形，∴AC平分∠DAB．又∵GE⊥AD，GF⊥AB，∴GE=GF．∴四边形EAFG为正方形．∴四边形AFGE与四边形ABCD相似
【知识点】正方形的判定与性质；相似图形
【解析】【分析】先根据三个角是直角的四边形是矩形，证明四边形EAFG为矩形．再证明一组邻边相等的矩形是正方形，可得出四边形EAFG为正方形．继而可证得结论。
16．【答案】解：∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且A1B1：B1C1：C1D1：D1A1=7：8：11：14，
∴AB：BC：CD：DA=7：8：11：14，
∵四边形ABCD的周长为40，
∴AB=40× =7，BC=40× =8，CD=40× =11，DA=40× =14．
∴四边形ABCD各边的长分别为：AB=7，BC=8，CD=11，DA=14
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】利用四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，可得出对应边成比例，再由四边形ABCD的周长为40，利用相似多边形的周长比等于相似比，可求出四边形ABCD各边的长。
17．【答案】解：相似．
理由：∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2相似，
∴四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似；
∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，相似比为k1= ，又四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2相似，相似比为k2= ，
∴四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似比是：
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】根据已知可证四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似，可得四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似比k1k2的值，可得出答案。
18．【答案】解：设在宽边上镶的木条的宽应是xm，根据题意，得
= ，
解得x=0.75．
答：在宽边上镶的木条的宽应是0.75m
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】根据题意可证得两矩形相似，且相似比为3：2，设在宽边上镶的木条的宽应是xm，利用相似多边形的对应边成比例，列出关于x的方程求解即可。
19．【答案】（1）解：由已知得MN=AB=2，MD= AD= BC，∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，
∴矩形DMNC与矩形ABCD相似， = ，
∴DM BC=AB MN，即 BC2=4，
∴BC=2 ，即它的另一边长为2
（2）解：∵矩形EFDC与原矩形ABCD相似，
∴ = ，
∵AB=CD=2，BC=4，
∴DF= =1，
∴矩形EFDC的面积=CD DF=2×1=2
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】（1）根据已知求出MN、AB、MD的长，再根据沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，的长对应边成比例，可得出DM BC=AB MN，将相关线段的值代入可求出BC的长。
（2）由题意可得出矩形EFDC与原矩形ABCD相似，的长对应边成比例，就可求出DF的长，再根据矩形的面积公式可解答。
20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD，∴∠FAE=∠AEB，∵EF∥AB，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AE平分∠BAD，∴∠FAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=EB，
∴四边形ABEF是菱形，
∴BF平分∠ABC
（2）解：∵四边形ABEF为菱形；
∴BE=AB=6，
∵四边形ABCD∽四边形CEFD，
∴ ，即 ，
解得：BC=3±3 （负值舍去），
∴BC=3+3
【知识点】菱形的判定与性质；相似多边形的性质
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质，可证得AD∥BC，AB=CD，利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得四边形ABEF是平行四边形，再根据角平分线的定义及平行线的性质，去证明AB=EB，就可证得四边形ABEF是菱形，然后根据菱形的性质可证得结论。
（2）利用相似多边形的性质和菱形的性质，由四边形ABCD∽四边形CEFD，得出对应边成比例，就可求出BC的长。
21．【答案】（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG=∠BAD，
∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB，
∴∠EAB=∠GAD，
∵AE=AG，AB=AD，
∴△AEB≌△AGD，
∴EB=GD；
（2）解：连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，
∵∠DAB=60°，
∴∠PAB=30°，
∴BP= AB=1，
AP= = ，AE=AG= ，
∴EP=2 ，
∴EB= = = ，
∴GD= ．
【知识点】菱形的性质；相似多边形的性质
【解析】【分析】（1）利用相似多边形的性质，可证得∠EAG=∠BAD，再证明∠EAB=∠GAD，然后利用就可证明△AEB≌△AGD，利用全等三角形的性质可证得结论。
（2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，先利用直角三角形的性质求出BP的长，再利用勾股定理求出AP，继而可求出AE、EP，然后在Rt△BEP中，利用勾股定理求出BE的长，就可求出DG。
1 / 12018-2019学年数学沪科版九年级上册22.1.4 比例线段 同步练习
一、选择题
1．如果五边形ABCDE∽五边形POGMN且对应高之比为3：2，那么五边形ABCDE和五边形POGMN的面积之比是（ ）
A．2：3 B．3：2 C．6：4 D．9：4
【答案】D
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE∽五边形POGMN且对应高之比为3：2，
∴相似比为3：2，
∴五边形ABCDE和五边形FGHIJ的面积比是9：4，
故答案为：D
【分析】利用相似多边形的对应边上的高之比等于相似比，而面积比等于相似比的平方，可求解。
2．已知四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的周长分别为24、36，则它们对角线AC与A′C′的比为（ ）
A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：4
【答案】A
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AC、A′C′
∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，
∴ = ，∠B=∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴ = = = ，
故答案为：A．
【分析】连接AC、A′C′，根据已知易证△ABC∽△A′B′C′，就可证得对角线之比等于相似比，然后根据周长比等于相似比，可解答。
3．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为，AD与BC的中点，且矩形ABCD∽矩形AEFB， 的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD∽矩形AEFB，
∴ = ．
设AD=x，AB=y，则AE= x．
∴ = ，
故y2= x2，即x2=2y2，
则x= y，
则 = = ．
故答案为：C
【分析】设AD=x，AB=y，利用设AD=x，AB=y，可表示出AE，再根据相似多边形的性质，可得出对应边成比例，就可求得结果。
4．两个相似的六边形，如果一组对应边的长分别为3cm，4cm，且它们面积的差为28cm2，则较大的六边形的面积为（ ）
A．44.8 cm2 B．45 cm2 C．64 cm2 D．54 cm2
【答案】C
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设大六边形的面积为xcm2，则小六边形的面积为（x﹣28）cm2，
∵两个六边形相似，
∴ =（ ）2，
解得，x=64，
故答案为：C．
【分析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，可求解。
5．把一个五边形改成和它相似的五边形，如果面积扩大到原来的49倍，那么对应的边扩大到原来的（ ）
A．49倍 B．7倍 C．50倍 D．8倍
【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：五边形改成与它相似的五边形，如果面积扩大为原来的49倍，
即得到的五边形与原来的五边形的面积的比是49：1，
相似形面积的比等于相似比的平方，
因而相似比是7：1，
相似形对应边的比等于相似比，
因而对应的边扩大为原来的7倍．
故答案为：B．
【分析】根据题意可得出两相似五边形的面积比为49：1，再根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，可求解。
6．如果两个相似五边形的面积和等于65cm2，其中一组对应边的长分别为3cm和4.5cm，那么较大五边形的面积为（ ）
A．26cm2 B．39cm2 C．20cm2 D．45cm2
【答案】D
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设较大五边形与较小五边形的面积分别是m，n．则 =（ ）2= ．
因而n= m．
根据面积之和是65cm2．得到m+ m=65，
解得：m=45，
即较大五边形的面积为45cm2．
故答案为：D
【分析】根据两相似多边形的面积比等于相似比的平方及两个相似五边形的面积和等于65cm2，可求解。
7．（2017九上·开原期末）两个相似多边形的面积之比为5，周长之比为m，则 为（ ）.
A．1 B． C． D．5
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】本题用直接解答的方法。两个多边形相似，对应边成比例，周长对应成比例，都是相似比，对应面积成比例，是相似比的平方。两个多边形面积之比为5，因此根据面积之比是相似比的平方，可知相似比为 ，因为相似三角形的周长之比等于相似比，因此m= ，所以== 。故ABD错误，C正确。
故答案为：C.
【分析】两个三角形相似，对应边成比例，对应周长成比例，都等于相似比。对应面积成比例，等于相似比的平方。
8．如图，已知矩形ABCD中，AB=3，BE=2，EF⊥BC．若四边形EFDC与四边形BEFA相似而不全等，则CE=（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
【答案】D
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设CE=x，
∵四边形EFDC与四边形BEFA相似，
∴ ，
∵AB=3，BE=2，EF=AB，
∴ ，
解得：x=4.5，
故答案为：D
【分析】设CE=x，由四边形EFDC与四边形BEFA相似，可得出对应边成比例，建立关于x的方程，求解即可。
二、填空题
9．一个多边形图案在一个有放大功能的复印机上复印出来，它的一条边由原来的1cm变成了2cm，那么它的面积会由原来的6cm2变为 ．
【答案】24cm2
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：由题意可知，相似多边形的边长之比=相似比=1：2，
∴面积之比=（1：2）2=1：4，
∴它的面积会由原来的6cm2变为：6×4=24cm2，
故答案为24cm2
【分析】根据已知可得出两相似多边形的相似比为1：2，利用相似多边形的面积比等于相似比的平方，可求出结果。
10．若两个相似多边形面积比为4：9，则它们的周长比是 ．
【答案】2：3
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似多边形面积比为4：9，
∴两个相似多边形相似比为2：3，
∴两个相似多边形周长比为2：3，
故答案为：2：3
【分析】利用相似多边形的性质：相似多边形的面积比等于相似比的平方，可解答。
11．一个六边形的六边长分别为3，4，5，6，7，8，另一个与其相似的六边形的周长为66，则与其相似的六边形的最短边为 ．
【答案】6
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设另一个六边形的最短边的长为x，
根据题意得 = ，
解得x=6，
即另一个六边形的最短边的长为6．
故答案为6
【分析】利用相似多边形的周长比等于相似比，建立关于x的方程，求解即可。
12．两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4.5cm，如果它们的面积之和为130cm2，那么较小的多边形的面积是 cm2．
【答案】40
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4.5cm，
则相似比是3：4.5=2：3，
面积的比等于相似比的平方，即面积的比是4：9，
因而可以设较小的多边形的面积是4x（cm2），
则较大的是9x（cm2），
根据面积的和是130（cm2），
得到4x+9x=130，
解得：x=10，
则较小的多边形的面积是40cm2．
故答案为：40
【分析】根据已知多边形的一组对应边长，可求出两多边形的相似比，再利用相似多边形的性质：相似多边形的面积比等于相似比的平方，结合两多边形的面积和为130cm2，就可求出较小的多边形的面积。
13．如图，矩形ABCD中，AB=4，M、N分别是AD、BC的中点，MN∥AB，若矩形DMNC与矩形ABCD相似，则AD的长为 ．
【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：由已知得MN=AB，MD= AD= BC，
∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，
= ，
∵MN=AB，DM= AD，BC=AD，
∴ AD2=AB2，
∴由AB=4得，AD=4 ，
故答案为：4
【分析】利用矩形的性质及M、N分别是AD、BC的中点，可得出MN=AB，MD= AD= BC，再根据相似多边形的性质，可得出矩形DMNC与矩形ABCD的对应边成比例，就可求出AD的长。
14．如图，四边形ABCD与四边形EFGH的对应边平行，AD是△PHE的中位线，若四边形ABCD的面积4，则四边形EFGH面积是 ．
【答案】16
【知识点】相似多边形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH的对应边平行，
∴四边形ABCD与四边形EFGH是以点P为位似中心的位似图形，
∵AD是△PHE的中位线，
∴ = ，
由 =（ ）2，即 = ，
∴S四边形EFGH=16，
故答案为：16
【分析】先证明四边形ABCD与四边形EFGH是以点P为位似中心的位似图形，再根据三角形中位线定理求出两四边形的相似比，然后根据相似多边形的性质：相似多边形的面积比等于相似比的平方，可求解。
三、解答题
15．如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为点E，F．求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．
【答案】证明；∵∠GEA=∠EAF=∠GFA=90°，∴四边形EAFG为矩形．∵四边形ABCD为正方形，∴AC平分∠DAB．又∵GE⊥AD，GF⊥AB，∴GE=GF．∴四边形EAFG为正方形．∴四边形AFGE与四边形ABCD相似
【知识点】正方形的判定与性质；相似图形
【解析】【分析】先根据三个角是直角的四边形是矩形，证明四边形EAFG为矩形．再证明一组邻边相等的矩形是正方形，可得出四边形EAFG为正方形．继而可证得结论。
16．已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且A1B1：B1C1：C1D1：D1A1=7：8：11：14，若四边形ABCD的周长为40，求四边形ABCD各边的长．
【答案】解：∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且A1B1：B1C1：C1D1：D1A1=7：8：11：14，
∴AB：BC：CD：DA=7：8：11：14，
∵四边形ABCD的周长为40，
∴AB=40× =7，BC=40× =8，CD=40× =11，DA=40× =14．
∴四边形ABCD各边的长分别为：AB=7，BC=8，CD=11，DA=14
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】利用四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，可得出对应边成比例，再由四边形ABCD的周长为40，利用相似多边形的周长比等于相似比，可求出四边形ABCD各边的长。
17．若四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，相似比为k1= ，又四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2相似，相似比为k2= ，请问四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似吗？若相似，相似比是多少？
【答案】解：相似．
理由：∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2相似，
∴四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似；
∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，相似比为k1= ，又四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2相似，相似比为k2= ，
∴四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似比是：
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】根据已知可证四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似，可得四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似比k1k2的值，可得出答案。
18．在一块长和宽分别为3m和2m的矩形塑料板四周镶上木条．若在长边上镶上的木条的宽为0.5m．则要使木条内缘围成的矩形与木条外缘围成的矩形相似，在宽边上镶的木条的宽应是多少？
【答案】解：设在宽边上镶的木条的宽应是xm，根据题意，得
= ，
解得x=0.75．
答：在宽边上镶的木条的宽应是0.75m
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】根据题意可证得两矩形相似，且相似比为3：2，设在宽边上镶的木条的宽应是xm，利用相似多边形的对应边成比例，列出关于x的方程求解即可。
19．一个矩形ABCD的较短边长为2．
（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；
（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．
【答案】（1）解：由已知得MN=AB=2，MD= AD= BC，∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，
∴矩形DMNC与矩形ABCD相似， = ，
∴DM BC=AB MN，即 BC2=4，
∴BC=2 ，即它的另一边长为2
（2）解：∵矩形EFDC与原矩形ABCD相似，
∴ = ，
∵AB=CD=2，BC=4，
∴DF= =1，
∴矩形EFDC的面积=CD DF=2×1=2
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】（1）根据已知求出MN、AB、MD的长，再根据沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，的长对应边成比例，可得出DM BC=AB MN，将相关线段的值代入可求出BC的长。
（2）由题意可得出矩形EFDC与原矩形ABCD相似，的长对应边成比例，就可求出DF的长，再根据矩形的面积公式可解答。
20．如图，四边形ABCD为平行四边形，AE平分∠BAD交BC于点E，过点E作EF∥AB，交AD于点F，连接BF．
（1）求证：BF平分∠ABC；
（2）若AB=6，且四边形ABCD∽四边形CEFD，求BC长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD，∴∠FAE=∠AEB，∵EF∥AB，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AE平分∠BAD，∴∠FAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=EB，
∴四边形ABEF是菱形，
∴BF平分∠ABC
（2）解：∵四边形ABEF为菱形；
∴BE=AB=6，
∵四边形ABCD∽四边形CEFD，
∴ ，即 ，
解得：BC=3±3 （负值舍去），
∴BC=3+3
【知识点】菱形的判定与性质；相似多边形的性质
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质，可证得AD∥BC，AB=CD，利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得四边形ABEF是平行四边形，再根据角平分线的定义及平行线的性质，去证明AB=EB，就可证得四边形ABEF是菱形，然后根据菱形的性质可证得结论。
（2）利用相似多边形的性质和菱形的性质，由四边形ABCD∽四边形CEFD，得出对应边成比例，就可求出BC的长。
21．如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EC，GD．
（1）求证：EB=GD；
（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG= ，求GD的长．
【答案】（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG=∠BAD，
∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB，
∴∠EAB=∠GAD，
∵AE=AG，AB=AD，
∴△AEB≌△AGD，
∴EB=GD；
（2）解：连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，
∵∠DAB=60°，
∴∠PAB=30°，
∴BP= AB=1，
AP= = ，AE=AG= ，
∴EP=2 ，
∴EB= = = ，
∴GD= ．
【知识点】菱形的性质；相似多边形的性质
【解析】【分析】（1）利用相似多边形的性质，可证得∠EAG=∠BAD，再证明∠EAB=∠GAD，然后利用就可证明△AEB≌△AGD，利用全等三角形的性质可证得结论。
（2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，先利用直角三角形的性质求出BP的长，再利用勾股定理求出AP，继而可求出AE、EP，然后在Rt△BEP中，利用勾股定理求出BE的长，就可求出DG。
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