4.5.2用二分法求方程的近似解 学案

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4.5.2用二分法求方程的近似解
班级 姓名
学习目标
1、根据具体函数图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解；
2、通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
阅读教材，完成右边的内容 知识点1　二分法的定义对于在区间[a，b]上图象 且 的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间 ，使所得区间的两个端点逐步逼近 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．【即时训练1】(1)已知函数f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　　)A．4,4　　 　 B．3,4　　 　C．5,4　　 　 D．4,3(2)下列函数中不能用二分法求零点近似值的是(　　)A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x3C．f(x)＝|x| D．f(x)＝ln x
阅读教材，完成右边的内容 知识点2　二分法求函数零点近似值的步骤(1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0.(2)求区间(a，b)的中点c.(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；②若f(a)f(c)＜0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；③若f(c)f(b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.(4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．【即时训练2】(1)用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是(　　)A．[－2，－1] B．[－1,0]C．[0,1] D．[1,2](2)在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是( )A．[1,4] B．[－2,1]C. D.
二分法的运用 【即时训练3】若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f(1)＝－2f(1.5)＝0.625f(1.25)＝－0.984f(1.375)＝－0.260f(1.437 5)＝0.162f(1.406 25)＝－0.054那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是(　　)A．1.25 B．1.375C．1.42 D．1.5
用二分法求方程的近似解 【即时训练4】用二分法求2x＋x＝4在区间(1,2)内的近似解(精确度为0.2)．参考数据：x1.1251.251.3751.51.6251.751.8752x2.182.382.592.833.083.363.67【变式训练】用二分法求方程x2－2x－1＝0的一个大于零的近似解(精确度为0.1)．
课后作业
一、基础训练题
1．下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是(　　)
2．下列函数不宜用二分法求零点的是(　　)
A．f(x)＝x3－1 B．f(x)＝ln x＋3
C．f(x)＝x2＋2x＋2 D．f(x)＝－x2＋4x－1
3．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方 ( http: / / www.21cnjy.com )程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间(　　)2·1·c·n·j·y
A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)w C．(1.5,2) D．不能确定
4．已知函数y＝f(x)的图象是连续不间断的，x，f(x)对应值表如下：
x 1 2 3 4 5 6
f(x) 12.04 13.89 －7.67 10.89 －34.76 －44.67
则函数y＝f(x)存在零点的区间有(　　)
A．区间[1,2]和[2,3] B．区间[2,3]和[3,4]
C．区间[2,3]和[3,4]和[4,5] D．区间[3,4]和[4,5]和[5,6]
5．某方程在区间(2,4)内有一实根，若用二分法求此根的近似值，将此区间分(　　)次后，所得近似值的精确度可达到0.1.21·世纪*教育网
A．2 B．3
C．4 D．5
6．若函数f(x)的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f(x)的零点所在的区间为________．(只填序号)m
①(－∞，1]　②[1,2]　③[2,3]　④[3,4] ⑤[4,5]　⑥[5,6]　⑦[6，＋∞)
x 1 2 3 4 5 6
f(x) 136.123 15.542 －3.930 10.678 －50.667 －305.678
7．用“二分法”求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间是________．21cnjy.com
8．在用二分法求方程f(x)＝0在[ ( http: / / www.21cnjy.com )0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，即可得出方程的一个近似解为____________(精确度为0.1)．
9．已知方程2x＋2x＝5.
(1)判断该方程解的个数以及所在区间；
(2)用二分法求出方程的近似解(精确度0.1)．
参考数值：
x 1.187 5 1.125 1.25 1.312 5 1.375 1.5
2x 2.278 2.181 2.378 2.484 2.594 2.83
10．已知函数f(x)＝x|x－4|.
(1)画出函数f(x)＝x|x－4|的图象；(2)求函数f(x)在区间[1,5]上的最大值和最小值；
(3)当实数a为何值时，方程f(x)＝a有三个解？
二、综合训练题
11．已知x0是函数f(x)＝2x＋的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则(　　)
A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>02 1 C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0纪*教育网
12．某同学在借助计算器求“方程lgx＝2－x的近似解(精确度为0.1)”时，设f(x)＝lgx＋x－2，算得f(1)＜0，f(2)＞0；在后边过程中，他又用“二分法”取了四个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的四个值依次是 w
13．利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：
x －1.6 －1.4 －1.2 －1 －0.8 －0.6 －0.4 －0.2 0 …
y＝2x 0.3298 0.3789 0.4352 0.5 0.5743 0.6597 0.7578 0.8705 1 …
y＝x2 2.56 1.96 1.44 1 0.64 0.36 0.16 0.04 0 …
若方程2x＝x2有一个根位于区间(a，a＋0.4)(a在表格中第一栏里的数据中取值)，则a的值为________．21世纪教育网版权所有
三、能力提升题
14．当a取何值时，方程ax2－2x＋1＝0的一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上．
4.5.2用二分法求方程的近似解
参考答案
1、[答案]　A　
[解析]　由选项A中的图象可知，不存在一个区间(a，b)，使f(a)·f(b)<0，即A选项中的零点不是变号零点，不符合二分法的定义．
2、[答案]　C
[解析]　因为f(x)＝x2＋2x＋2＝(x＋)2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．
3、[答案]　B　
[解析]　∵f(1)·f(1.5)<0，x1＝＝1.25.又∵f(1.25)<0，∴f(1.25)·f(1.5)<0，
则方程的根落在区间(1.25,1.5)内．
4、[答案]　C
5、[答案]　D
[解析]　等分1次，区间长度为1，等 ( http: / / www.21cnjy.com )分2次，区间长度变为0.5，…，等分4次，
区间长度变为0.125，等分5次，区间长度为0.0625<0.1，符合题意，故选D.
6．[答案]　③④⑤
7、[答案]　[2,2.5)
[解析]　令f(x)＝x3－2x－5，则f(2)＝－1<0，f(3)＝16>0，
f(2.5)＝15.625－10＝5.625>0.
∵f(2)·f(2.5)<0，∴下一个有根的区间为[2,2.5)．
8、[答案]　0.75或0.687 5
[解析]　因为|0.75－0.687 5|＝0.062 5<0.1，
所以0.75或0.687 5都可作为方程的近似解．
9、解　(1)令f(x)＝2x＋2x－5.因为函数f(x)＝2x＋2x－5在R上是增函数，
所以函数f(x)＝2x＋2x－5至多有一个零点．
因为f(1)＝21＋2×1－5＝－1<0，f(2)＝22＋2×2－5＝3>0，
所以函数f(x)＝2x＋2x－5的零点在(1,2)内．
(2)用二分法逐次计算，列表如下：
区间 中点的值 中点函数值符号
(1,2) 1.5 f(1.5)>0
(1,1.5) 1.25 f(1.25)<0
(1.25,1.5) 1.375 f(1.375)>0
(1.25,1.375) 1.312 5 f(1.312 5)>0
(1.25,1.312 5)
因为|1.375－1.25|＝0.125>0.1，且|1.312 5－1.25|＝0.062 5<0.1，
所以函数的零点近似值为1.312 5，即方程2x＋2x＝5的近似解可取为1.312 5.
10、解　(1)f(x)＝x|x－4|＝
图象如右图所示．
(2)当x∈[1,5]时，f(x)≥0且当x＝4时f(x)＝0，故f(x)min＝0；
又f(2)＝4，f(5)＝5，故f(x)max＝5.
(3)由图象可知，当0方程f(x)＝a有三个解．
11、[答案]　B　
[解析]　∵f(x)＝2x－，f(x)由两部分组成，2x在(1，＋∞)上单调递增，
－在(1，＋∞)上单调递增，
∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增．
∵x1又∵x2>x0，∴f(x2)>f(x0)＝0.]
12、[答案]　1.5,1.75,1.875,1.8125
[解析]　第一次用二分法计算得区间( ( http: / / www.21cnjy.com )1.5,2)，第二次得区间(1.75,2)，
第三次得区间(17.5,1.875)，第四次得区间(1.75,1.8125)．
13、[答案]　－1或－0.8
[解析]　令f(x)＝2x－x2，由表中的数据可得f(－1)＜0，f(－0.6)＞0；
f(－0.8)＜0，f(－0.4)＞0，com
∴根在区间(－1，－0.6)与(－0.8，－0.4)内，
∴a＝－1或a＝－0.8.
14、解　①当a＝0时，方程即为－2x＋1＝0，只有一根，不符合题意．
②当a>0时，设f(x)＝ax2－2x＋1，
∵方程的根分别在区间(0,1)，(1,2)上，
∴，即，解得③当a<0时，设方程的两根为x1，x2，
则x1x2＝<0，x1，x2一正一负不符合题意．
综上，a的取值范围为21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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