4.5.1函数的零点与方程的解（二） 学案

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4.5.1函数的零点与方程的解（二）
班级 姓名
学习目标
熟练运用零点存在的判定定理；
掌握利用函数的图像解决方程的根的问题。
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
复习 复习1、函数零点的定义对于函数y＝f(x) (x∈D)，把使 的实数x叫做函数y＝f(x) (x∈D)的零点．复习2、几个等价关系方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图象与 有交点 函数y＝f(x)有 复习3、函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数y＝f(x)在区间 内有零点，即存在c∈(a，b)，使得 ，这个 也就是方程f(x)＝0的根．
函数零点存在定理的运用 【例1】(1)已知函数，则下列区间中含零点的是( )A． B． C． D．(2)函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是( )A． B． C． D．(3)若则函数的两个零点分别位于区间( ) A．和内 B． 和内 C．和内 D．和内
函数零点个数的判定 【例2】(1)函数零点的个数为( )A． B． C． D．(2)已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则函数的零点个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4
零点中的参数问题 【例3】(1)若函数的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是( ) m≤－1 B．－1≤m<0 C．m≥1 D．0思考探究 【思考题】若函数，函数的零点个数是___________.
课后作业
一、基础训练题
1．(多选题)下列函数不存在零点的是(　　)
A．y＝x－ B．y＝
C．y＝logax2(a>0且a≠1) D．y＝
2．函数f(x)＝log3x－8＋2x的零点一定位于区间(　　)
A．(5,6) B．(3,4)
C．(2,3) D．(1,2)
3．已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
y 124.4 33 －74 24.5 －36.7 －123.6
则函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有(　　)
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
4．设函数f(x)＝x－ln x，则函数y＝f(x)(　　)
A．在区间，(1，e)内均有零点 B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
5．函数f(x)＝的零点个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
6．若函数f(x)＝x＋(a∈R)在区间(1,2)上有零点，则a的值可能是(　　)
A．－2　　　　　 B．0
C．1 D．3
7．函数f(x)＝的零点是________．
8．函数f(x)＝x2－2x在R上的零点个数是________．
9．已知函数.
(1)用单调性的定义证明：f(x)在定义域上是单调函数；
(2)证明：f(x)有零点；
(3)设f(x)的零点x0落在区间内，求正整数n的值．
二、综合训练题
10．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝ex＋x－3，则f(x)的零点个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
11．若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．
12．函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，实数a的取值范围是________．
三、能力提升题
13．已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)
A．[－1,0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
14．已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的零点；
(2)若函数f(x)有零点，求实数a的取值范围．
4.5.1函数的零点与方程的解（二）
参考答案
1、【答案】BD
【解析】令y＝0，得选项A和C中的函数的零点均为1和－1；只有BD中函数无零点．
2、【答案】B
【解析】f(3)＝log33－8＋2×3＝－1<0，f(4)＝log34－8＋2×4＝log34>0.
又因为f(x)在(0，＋∞)上为增函数，所以其零点一定位于区间(3,4)．
3、【答案】B　
【解析】∵f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0，故函数f(x)在区间[1,6]内至少有3个零点．
4、【答案】D
【解析】法一：(图象法)令f(x)＝0得x＝ln x．
作出函数y＝x和y＝ln x的图象，
如图，显然y＝f(x)在内无零点，在(1，e)内有零点．
法二：(定理法)当x∈时，函数图象是连续的，且在上单调递减．
又f＝＋1＞0，f(1)＝＞0，f(e)＝e－1＜0，
所以函数有唯一的零点在区间(1，e)内．
5、【答案】D　
【解析】画出函数y＝ln x与y＝x2－2x的图象(如图)，
可知两个函数的图象有两个交点，
当x≤0时，函数f(x)＝2x＋1与x轴只有一个交点，
综上，函数f(x)有3个零点.
6、【答案】A
【解析】f(x)＝x＋(a∈R)的图象在(1,2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，
当a＝－2时，f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝2－1＝1>0.故f(x)在区间(1,2)上有零点，
同理，其他选项不符合.
7、【答案】1或2
【解析】令f(x)＝0，即＝0，即x－2＝0或ln x＝0，∴x＝2或x＝1.
8、【答案】3
【解析】函数f(x)＝x2－2x的零点个数，等价于函数y＝2x，y＝x2的图象交点个数．
如图，画出函数y＝2x，y＝x2的大致图象．
由图象可知有3个交点，即f(x)＝x2－2x有3个零点．
9、解 (1)证明：显然，f(x)的定义域为(0，＋∞)．
任取x1，x2∈(0，＋∞)，不妨设x10，x1x2>0，
则－＝>0，logx1>logx2，则logx1－logx2>0，
所以f(x1)－f(x2)＝(logx1－logx2)＋>0，所以f(x1)>f(x2)．
故f(x)在定义域(0，＋∞)上是减函数．
(2)证明：因为f(1)＝0＋－＝－8<0，f＝4＋8－＝>0，所以f(1)·f<0，
又因为f(x)在区间上是连续的，所以f(x)有零点．
(3)f ＝log＋－＝log211－3>log28－3＝0，
f ＝log＋5－＝log210－＝log25－＝log2－log2<0，
所以f f <0，所以f(x)的零点x0落在区间内．故n＝10.
10、【答案】C
【解析】因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，
即x＝0是函数f(x)的1个零点．
当x＞0时，令f(x)＝ex＋x－3＝0，则ex＝－x＋3，
分别画出函数y＝ex和y＝－x＋3的图象，
如图所示，两函数图象有1个交点，所以函数f(x)有1个零点．
根据对称性知，当x＜0时，函数f(x)也有1个零点．
综上所述，f(x)的零点个数为3.
11、【答案】0【解析】由f(x)＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝B．
在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，
如图所示，则当0从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点．
12、【答案】1【解析】由f(x)＝0得a－1＝2|x|－x2，
因为函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，
所以函数y＝a－1与y＝2|x|－x2的图象有四个交点，
画出函数y＝2|x|－x2的图象，如图所示，
观察图象可知，013、【答案】C
【解析】函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，
即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，
即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，
作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，
如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C.
14、【解析】 (1)当a＝1时，f(x)＝2·4x－2x－1.
令f(x)＝0，即2·(2x)2－2x－1＝0，解得2x＝1或2x＝－(舍去)．
所以x＝0.所以函数f(x)的零点为0.
(2)若f(x)有零点，则方程2a·4x－2x－1＝0有解．
于是2a＝＝＋＝－.
因为x>0，所以2a>－＝0，即a>0.
故实数a的取值范围为(0，＋∞)．
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