4.5.1函数的零点与方程的解（一） 学案

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4.5.1函数的零点与方程的解（一）
班级 姓名
学习目标
1、了解函数的零点与方程根的联系；
2、掌握零点存在的判定定理.
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
阅读教材，完成右边的内容 1、函数的零点(1)函数的零点对于函数y＝f(x)，把使 叫做函数y＝f(x)的零点．(2)方程、函数、函数图象之间的关系方程f(x)＝0有实数解 函数y＝f(x)的图象与 有公共点 函数y＝f(x)有 ．【即时训练1】(1)函数y＝2x－1的零点是(　　)A．　 B． 　C． D．2(2)下列各图象表示的函数中没有零点的是(　　) 　 A　　 　 B　　　 C　 　 　D
阅读教材，完成右边的内容 2、函数零点存在定理问题：观察下面函数的图象，在区间上 零点； 0；在区间上 零点； 0；在区间上 零点； 0.如果函数在区间上的图像是一条 的曲线，且有 ，那么，函数在区间内 ，即存在，使得 ，这个也就是方程的解.【即时训练2】(1)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是(　　)A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)(2)(多选题)若函数在区间上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是(　　)A．若，不存在实数使得B．若，存在且只存在一个实数使得C．若，有可能存在实数使得D．若，一定存在实数使得
函数零点的求解 【即时训练3】求函数f(x)＝的零点.
函数零点所在区间的判断 【即时训练4】(1)函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的大致区间是(　　)A．(3,4) B．(2，e) C．(1,2) D．(0,1)(2)根据表格内的数据，可以断定方程ex－x－3＝0的一个根所在区间是(　　)x－10123ex0.3712.727.3920.08x＋323456A．(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3)
函数的零点个数的判断 【即时训练5】求函数的零点的个数. 【变式训练】已知0课后作业
一、基础训练题
1．若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)＜0，f(1)＞0，f(2)＞0，则下列说法正确的是(　　)
A．f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点
B．f(x)在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点
C．f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点
D．f(x)在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点
2．下列图象表示的函数中没有零点的是(　　)
3．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　)
A．，0 B．－2,0 C． D．0
4．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是(　　)
A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2)
5．若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是(　　)
A．－1和 B．1和－ C.和 D．－和－
6．方程|x＋1|＝2x根的个数为(　　)
A．0 个 B．1个 C．2 个 D．3个
7．已知函数f(x)＝x2－1，则函数f(x－1)的零点是________．
8．函数f(x)＝ln x－x＋2的零点个数为________．
9．函数f(x)＝的零点的个数为________．
10．已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0＜a＜1)．
(1)求函数f(x)的定义域为；
(2)求函数f(x)的零点．
二、综合训练题
11．下列函数中，在[1,2]上有零点的是(　　)
A．f(x)＝3x2－4x＋5 B．f(x)＝x3－5x－5
C．f(x)＝lnx－3x＋6 D．f(x)＝ex＋3x－6
12．函数f(x)＝|x2－4x|－a恰好有四个不同零点，则a的值可以是(　　)
A．a>4 B．4
C．0三、能力提升题
13．已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是________．
14．若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k的取值范围．
4.5.1函数的零点与方程的解（一）
参考答案
1、[答案]　C
2、[答案]　A
[解析]　没有零点就是函数图象与x轴没有交点，故选A.
3、[答案]　D　
[解析]　当x≤1时，由f(x)＝0，得2x－1＝0，所以x＝0；当x>1时，由f(x)＝0，得1＋log2x＝0，所以x＝，不成立，所以函数的零点为0，故选D.
4、[答案]　C　
[解析]　∵f(x)＝ex＋x－2，f(0)＝e0－2＝－1<0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1>0，
∴f(0)·f(1)<0，∴f(x)在区间(0,1)上存在零点．
5、[答案]　B
[解析]　由于f(x)＝x2－ax＋b有两个零点2和3，
∴a＝5，b＝6.∴g(x)＝6x2－5x－1有两个零点1和－.
6、[答案]　D
[解析]　∵|x＋1|＝2x根的个数就是函数y＝|x＋1|与函数y＝2x的图象交点的个数．故有3个交点．
7、[答案]　0和2
[解析]　由f(x)＝x2－1，得y＝f(x－1)＝(x－1)2－1＝x2－2x，∴由x2－2x＝0.
解得x1＝0，x2＝2，因此，函数f (x－1)的零点是0和2.
8、[答案]　2
[解析]　该函数零点的个数就是函数y＝ln x与y＝x－2图象的交点个数．
在同一坐标系中作出y＝ln x与y＝x－2的图象如下图：
由图象可知，两个函数图象有2个交点，
即函数f(x)＝ln x－x＋2有2个零点．
9、[答案]　2
[解析]　当x≤0时，令2x2－x－1＝0 ( http: / / www.21cnjy.com )，解得x＝－(x＝1舍去)；
当x＞0时，令3x－4＝0，解得x＝log34，
所以函数f(x)＝有2个零点．
10、解 (1)要使函数有意义，则有解得－3＜x＜1，所以函数的定义域为(－3,1)．
(2)函数可化为f(x)＝loga[(1－x)(x＋3)]＝loga(－x2－2x＋3)，
由f(x)＝0，得－x2－2x＋3＝1，即x2＋2x－2＝0，
x＝－1±.
∵－1±∈(－3,1)，∴f(x)的零点是－1±.
11、[答案]　D
[解析]　A：3x2－4x＋5＝0的判别式Δ<0，
∴此方程无实数根，∴f(x)＝3x2－4x＋5在[1,2]上无零点．
B：由f(x)＝x3－5x－5＝0得x3＝5x＋5.
在同一坐标系中画出y＝x3，x∈[1,2]与y＝5x＋5，x∈[1,2]的图象，如图1，两个图象没有交点．
　　
∴f(x)＝0在[1,2]上无零点．
C：由f(x)＝0得lnx＝3x－6，在同 ( http: / / www.21cnjy.com )一坐标系中画出y＝lnx与y＝3x－6的图象，如图2所示，由图象知两个函数图象在[1,2]内没有交点，因而方程f(x)＝0在[1,2]内没有零点．
D：∵f(1)＝e＋3×1－6＝e－3<0，f(2)＝e2>0，
∴f(1)·f(2)<0.
∴f(x)在[1,2]内有零点．
12、[答案]　C　
[解析]　由|x2－4x|－a＝0得a＝|x2－4x|，作出函数y＝|x2－4x|的图象，
则由图象可知，要使方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则0＜a＜4.
13、[答案]　a＜b＜c　
[解析]　画出函数y＝3x，y＝log3x，y＝－x，y＝－2的图象，
如图所示，观察图象可知，
函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点
依次是点A，B，C的横坐标，由图象可知a＜b＜c.]
14、解　设f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1.
∵方程f(x)＝0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内，
∴，即
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