湘教版八年级数学上册2.4.2作线段的垂直平分线 同步练习
一、选择题
1．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，若△ADC的周长为8，AB=6，则△ABC的周长为（ ）
A．20 B．22 C．14 D．16
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：根据题意得：MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵△ADC的周长为8，
∴AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=8，
∵AB=6，
∴△ABC的周长为：AC+BC+AB=14．
故选C．
【分析】由在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，可得MN是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，由△ADC的周长为8，即可得AC+BC=8，继而求得答案．
2．（2017·路南模拟）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于 BC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD=AD，∠B=20°，则下列结论中错误的是（ ）
A．∠CAD=40° B．∠ACD=70°
C．点D为△ABC的外心 D．∠ACB=90°
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形的外接圆与外心；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：∵由题意可知直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴BD=CD，∠B=∠BCD，
∵∠B=20°，
∴∠B=∠BCD=20°，
∴∠CDA=20°+20°=40°．
∵CD=AD，
∴∠ACD=∠CAD= =70°，
∴A错误，B正确；
∵CD=AD，BD=CD，
∴CD=AD=BD，
∴点D为△ABC的外心，故C正确；
∵∠ACD=70°，∠BCD=20°，
∴∠ACB=70°+20°=90°，故D正确．
故答案为：A．
【分析】由作图痕迹及步骤方法，判断出作的MN是线段BC的垂直平分线，由其性质和等边对等角，可得出∠ACD=∠CAD =70°，答案B、C、D均正确.
3．（2018·襄阳）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于 AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（ ）
A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵DE垂直平分线段AC，
∴DA=DC，AE=EC=6cm，
∵AB+AD+BD=13cm，
∴AB+BD+DC=13cm，
∴△ABC的周长=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm，
故答案为：B．
【分析】根据作图过程知道DE垂直平分线段AC，根据中垂线的性质得出DA=DC，AE=EC=6cm，根据三角形的周长计算方法及等量代换得出AB+BD+DC=13cm，从而得出答案。
4．（2018·宜昌）尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-垂线
【解析】【解答】已知：直线AB和AB外一点C．
求作：AB的垂线，使它经过点C．
作法：①任意取一点K，使K和C在AB的两旁．
②以C为圆心，CK的长为半径作弧，交AB于点D和E．
③分别以D和E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，两弧交于点F，
④作直线CF．
直线CF就是所求的垂线．
故答案为：B．
【分析】其理由是到线段两个端点的距离相等的点，在线段的垂直平分线上，由作图过程可知CD=CE，AF=EF，故点C，与点F都在DE的中垂线上，根据过两点，有一条而且只有一条直线，从而得出CF就是DE的中垂线。
5．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于 BC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD，则下列结论正确的是（ ）
A．CD+DB=AB B．CD+AD=AB C．CD+AC=AB D．AD+AC=AB
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：由题意性质可知MN是BC的垂直平分线，则MN⊥CB，且CD=DB，则CD+AD=AB.
故答案为：B
【分析】由基本作图可知直线MN垂直平分线段CB，从而利用线段垂直平分线的性质可得CD=BD，再根据线段和差即可解答。
二、填空题
6．如图，在平行四边形ABCD中，AB=7，BC=3，连接AC，分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交CD于点E，连接AE，则△AED的周长是 ．
【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=7，BC=3，
∴AD=BC=3，CD=AB=7，
∵由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴△ADE的周长=AD+（DE+AE）=AD+CD=3+7=10，
故答案为：10．
【分析】由基本作图可知直线MN垂直平分AC，从而利用线段垂直平分线的性质可得AE=EC，再结合平行四边形对边线段即可解答。
7．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于 BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD.若CD＝AC，∠B＝25°，则∠ACB的度数为 ．
【答案】105°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：由题中作图方法知道MN为线段BC的垂直平分线，
∴CD=BD．
∵∠B=25°，
∴∠DCB=∠B=25°，
∴∠ADC=50°．
∵CD=AC，∴∠A=∠ADC=50°，
∴∠ACD=80°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=80°+25°=105°．
故答案为：105°
【分析】由基本作图可知直线MN垂直平分线段BC，再根据线段垂直平分线的性质可得CD=BD，结合等腰三角形等边对等角，利用三角形外角性质和内角和即可解答。
8．如图所示，已知线段AB=6，现按照以下步骤作图：
①分别以点A，B为圆心，以大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点C和点D；
②连结CD交AB于点P．
则线段PB的长为 ．
【答案】3
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：∵分别以点A，B为圆心，以大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点C和点D，
∴AC=BC，AD=BD，
∴CD是线段AB的垂直平分线，
∴PB= AB=3．
故答案为3
【分析】根据作图过程可知：CD是线段AB的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出PB= AB=3．
9．在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．如果BC=5，CD=2，那么AD= ．
【答案】3
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图步骤可得：MN垂直平分AB，则AD=BD，
∵BC=5，CD=2，
∴BD=AD=BC DC=5 2=3.
故答案为：3.
【分析】由基本作图可知，直线MN是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质即可计算。
三、解答题
10．如图，已知直线l及点A、B，求作 ，使得 经过点A、B，且圆心O在直线l上 保留作图痕迹，不写作法
【答案】解：如图， 为所作．
【知识点】作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】根据圆上的点到圆心的距离都等于半径的性质，可知圆心O线段AB的中垂线与直线l的交点，再以O为圆心、OA为半径即可画出。
11．如图，已知 中， ，请用尺规作出AB边的高线 请留作图痕迹，不写作法
【答案】解：如图，延长AB，
以点C为圆心，大于点C到直线AB的距离的长为半径画弧，
交AB的延长线于点M和点N，
分别以M、N为圆心，以大于MN一半长为半径画弧，两弧交于一点，过点C以及这点作直线，交MN于点D，
则线段CD即为所求作的.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；作图-垂线
【解析】【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点出发向其所对的边或延长线引垂线，顶点和垂足之间的线段叫三角形的高，本题转化为过直线外一点作这条直线的垂线的基本作图即可。
12．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AB边上，点D到点A的距离与点D到点C的距离相等．
（1）利用尺规作图作出点D，不写作法但保留作图痕迹．
（2）若△ABC的底边长5，周长为21，求△BCD的周长．
【答案】（1）解：点D如图所示，
（2）解：∵DE垂直平分线线段AC，
∴AD=DC，
∴△BCD的周长=BC+BD+CD=BC+BD+AD=BC+AB，
∵AB+AC+BC=21，BC=5，
∴AB=AC=8，
∴△BCD的周长为13。
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，利用尺规作出线段AC的垂直平分线，与AB的交点即为D点；
（2）由等腰三角形ABC的周长21底边长5，可求出腰长AB为8，再结合（1）即可得到△BDC的周长。
1 / 1湘教版八年级数学上册2.4.2作线段的垂直平分线 同步练习
一、选择题
1．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，若△ADC的周长为8，AB=6，则△ABC的周长为（ ）
A．20 B．22 C．14 D．16
2．（2017·路南模拟）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于 BC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD=AD，∠B=20°，则下列结论中错误的是（ ）
A．∠CAD=40° B．∠ACD=70°
C．点D为△ABC的外心 D．∠ACB=90°
3．（2018·襄阳）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于 AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（ ）
A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm
4．（2018·宜昌）尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于 BC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD，则下列结论正确的是（ ）
A．CD+DB=AB B．CD+AD=AB C．CD+AC=AB D．AD+AC=AB
二、填空题
6．如图，在平行四边形ABCD中，AB=7，BC=3，连接AC，分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交CD于点E，连接AE，则△AED的周长是 ．
7．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于 BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD.若CD＝AC，∠B＝25°，则∠ACB的度数为 ．
8．如图所示，已知线段AB=6，现按照以下步骤作图：
①分别以点A，B为圆心，以大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点C和点D；
②连结CD交AB于点P．
则线段PB的长为 ．
9．在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．如果BC=5，CD=2，那么AD= ．
三、解答题
10．如图，已知直线l及点A、B，求作 ，使得 经过点A、B，且圆心O在直线l上 保留作图痕迹，不写作法
11．如图，已知 中， ，请用尺规作出AB边的高线 请留作图痕迹，不写作法
12．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AB边上，点D到点A的距离与点D到点C的距离相等．
（1）利用尺规作图作出点D，不写作法但保留作图痕迹．
（2）若△ABC的底边长5，周长为21，求△BCD的周长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：根据题意得：MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵△ADC的周长为8，
∴AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=8，
∵AB=6，
∴△ABC的周长为：AC+BC+AB=14．
故选C．
【分析】由在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，可得MN是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，由△ADC的周长为8，即可得AC+BC=8，继而求得答案．
2．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形的外接圆与外心；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：∵由题意可知直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴BD=CD，∠B=∠BCD，
∵∠B=20°，
∴∠B=∠BCD=20°，
∴∠CDA=20°+20°=40°．
∵CD=AD，
∴∠ACD=∠CAD= =70°，
∴A错误，B正确；
∵CD=AD，BD=CD，
∴CD=AD=BD，
∴点D为△ABC的外心，故C正确；
∵∠ACD=70°，∠BCD=20°，
∴∠ACB=70°+20°=90°，故D正确．
故答案为：A．
【分析】由作图痕迹及步骤方法，判断出作的MN是线段BC的垂直平分线，由其性质和等边对等角，可得出∠ACD=∠CAD =70°，答案B、C、D均正确.
3．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵DE垂直平分线段AC，
∴DA=DC，AE=EC=6cm，
∵AB+AD+BD=13cm，
∴AB+BD+DC=13cm，
∴△ABC的周长=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm，
故答案为：B．
【分析】根据作图过程知道DE垂直平分线段AC，根据中垂线的性质得出DA=DC，AE=EC=6cm，根据三角形的周长计算方法及等量代换得出AB+BD+DC=13cm，从而得出答案。
4．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-垂线
【解析】【解答】已知：直线AB和AB外一点C．
求作：AB的垂线，使它经过点C．
作法：①任意取一点K，使K和C在AB的两旁．
②以C为圆心，CK的长为半径作弧，交AB于点D和E．
③分别以D和E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，两弧交于点F，
④作直线CF．
直线CF就是所求的垂线．
故答案为：B．
【分析】其理由是到线段两个端点的距离相等的点，在线段的垂直平分线上，由作图过程可知CD=CE，AF=EF，故点C，与点F都在DE的中垂线上，根据过两点，有一条而且只有一条直线，从而得出CF就是DE的中垂线。
5．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：由题意性质可知MN是BC的垂直平分线，则MN⊥CB，且CD=DB，则CD+AD=AB.
故答案为：B
【分析】由基本作图可知直线MN垂直平分线段CB，从而利用线段垂直平分线的性质可得CD=BD，再根据线段和差即可解答。
6．【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=7，BC=3，
∴AD=BC=3，CD=AB=7，
∵由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴△ADE的周长=AD+（DE+AE）=AD+CD=3+7=10，
故答案为：10．
【分析】由基本作图可知直线MN垂直平分AC，从而利用线段垂直平分线的性质可得AE=EC，再结合平行四边形对边线段即可解答。
7．【答案】105°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：由题中作图方法知道MN为线段BC的垂直平分线，
∴CD=BD．
∵∠B=25°，
∴∠DCB=∠B=25°，
∴∠ADC=50°．
∵CD=AC，∴∠A=∠ADC=50°，
∴∠ACD=80°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=80°+25°=105°．
故答案为：105°
【分析】由基本作图可知直线MN垂直平分线段BC，再根据线段垂直平分线的性质可得CD=BD，结合等腰三角形等边对等角，利用三角形外角性质和内角和即可解答。
8．【答案】3
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：∵分别以点A，B为圆心，以大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点C和点D，
∴AC=BC，AD=BD，
∴CD是线段AB的垂直平分线，
∴PB= AB=3．
故答案为3
【分析】根据作图过程可知：CD是线段AB的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出PB= AB=3．
9．【答案】3
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图步骤可得：MN垂直平分AB，则AD=BD，
∵BC=5，CD=2，
∴BD=AD=BC DC=5 2=3.
故答案为：3.
【分析】由基本作图可知，直线MN是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质即可计算。
10．【答案】解：如图， 为所作．
【知识点】作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】根据圆上的点到圆心的距离都等于半径的性质，可知圆心O线段AB的中垂线与直线l的交点，再以O为圆心、OA为半径即可画出。
11．【答案】解：如图，延长AB，
以点C为圆心，大于点C到直线AB的距离的长为半径画弧，
交AB的延长线于点M和点N，
分别以M、N为圆心，以大于MN一半长为半径画弧，两弧交于一点，过点C以及这点作直线，交MN于点D，
则线段CD即为所求作的.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；作图-垂线
【解析】【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点出发向其所对的边或延长线引垂线，顶点和垂足之间的线段叫三角形的高，本题转化为过直线外一点作这条直线的垂线的基本作图即可。
12．【答案】（1）解：点D如图所示，
（2）解：∵DE垂直平分线线段AC，
∴AD=DC，
∴△BCD的周长=BC+BD+CD=BC+BD+AD=BC+AB，
∵AB+AC+BC=21，BC=5，
∴AB=AC=8，
∴△BCD的周长为13。
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，利用尺规作出线段AC的垂直平分线，与AB的交点即为D点；
（2）由等腰三角形ABC的周长21底边长5，可求出腰长AB为8，再结合（1）即可得到△BDC的周长。
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