2018-2019学年数学华师大版九年级上册22.3实践与探索（2） 同步练习
一、选择题
1．在一次同学聚会上，同学之间每两人都握了一次手，聚会所有人共握手45次，则参加这次聚会的同学共有（ ）
A．11人 B．10人 C．9人 D．8人
【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】解答: 设这次参加聚会的同学有x人，则每人应握（x-1）次手，由题意得：
x（x-1）=45
即：x2-x-90=0，
解得：x1=10，x2=-9（不符合题意舍去）
故参加这次聚会的同学共有10人．
故选：B．
分析: 设这次参加聚会的同学有x人，已知见面时两两握手一次，那么每人应握（x-1）次手，所以x人共握手 x（x-1）次，又知共握手45次，以握手总次数作为等量关系，列出方程求解
2．九（1）班同学毕业的时候，每人都必须与其他任何一位同学合照一张双人照，全班共照相片780张，则九（1）班的人数是（ ）
A．39 B．40 C．50 D．60
【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】解答：设九（1）班共有x人，根据题意得：
x（x-1）=780，
解之得x1=40，x2=-39（舍去），
答：九（1）班共有40名学生．
故选B．
分析: 设九（1）班共有x人，根据等量关系：每人都必须与其他任何一位同学合照一张双人照，全班共照相片780张，列出方程求解即可
3．新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共72张，此小组人数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】解答设这个小组有x人，
则根据题意可列方程为：（x-1）x=72，
解得：x1=9，x2=-8（舍去）．
故选C．
【分析】设这个小组的人数为x个，则每个人要送其他（x-1）个人贺卡，则共有（x-1）x张贺卡，等于72张，由此可列方程
4．我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题："直田积(矩形面积)，八百六十四(平方步)，只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少12步)，问阔及长各几步．"如果设矩形田地的长为x步，那么同学们列出的下列方程中正确的是（ ）
A． B．x（x-12）=864
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x-12）步．
根据矩形面积=长×宽，得：x（x-12）=864．
故答案为：B
【分析】由题意可知，设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x-12）步．根据矩形面积=长×宽列方程即可求解。
5．（2017·福田模拟）某商场把一双钉鞋按标价的八折出售，仍可获利20%．若钉鞋的进价为100元，则标价为（ ）
A．145元 B．165元 C．180元 D．150元
【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设每件的标价为x元，
由题意得：80%x﹣100=100（1+20%），
解得：x=150．
即每件的标价为150元．
故选D．
【分析】设每件的标价为x元，根据八折出售可获利20%，可得出方程：80%x﹣100=100（1+20%），解出即可．
6．（2018·绵阳）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ）
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设参加酒会的人数为x人，依题可得：
x（x-1）=55，
化简得：x2-x-110=0，
解得：x1=11，x2=-10（舍去），
故答案为：C.
【分析】设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解之即可得出答案.
7．一个等腰三角形的两条边长分别是方程 的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．12 B．10 C．13 D．12或13
【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
即 ， ，
①等腰三角形的三边是2，2，5，
∵2+2＜5，
∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；
②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，
三角形的周长是2+5+5=12；
即等腰三角形的周长是12．
故答案为：A．
【分析】用因式分解法解一元二次方程求得方程的两个根，再根据等腰三角形的定义结合三角形三边关系定理分两种情况讨论能否构成三角形，再求三角形的周长即可。
8．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2﹣3=（10﹣x）2 B．x2﹣32=（10﹣x）2
C．x2+3=（10﹣x）2 D．x2+32=（10﹣x）2
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，
根据勾股定理得：x2+32=（10-x）2．
故答案为：D
【分析】设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，根据勾股定理建立方程，即可。
二、填空题
9．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施． 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．据此规律计算：每件商品降价 元时，商场日盈利可达到2100元。
【答案】20
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：∵降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=50-x，
由题意得：（50-x）（30+2x）=2100，
化简得：x2-35x+300=0，
解得：x1=15，x2=20，
∵该商场为了尽快减少库存，
∴降的越多，越吸引顾客，
∴选x=20，
故答案为：20
【分析】由题意可得：若降价1元，可多售出2件，若降价x元，可多售出2x件，则每天销售量为（30+2x）件，每件盈利为（50-x）元，相等关系是：每天销售量每件盈利=商场日盈利2100元，根据相等关系列方程即可求解。
10．某种型号的电脑，原售价7200元/台，经连续两次降价后，现售价为4608元/台，则平均每次降价的百分率为 %。
【答案】20
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，由题意，得
7200（1-x）2=4608，
解得：x=1.8（舍去）或x=0.2．
故答案为：20%
【分析】由题意知，经连续两次降价后的价格可表示为：原售价（1-每次降价的百分率）（1-每次降价的百分率），已知现售价为4608，则克烈方程求解。
11．如图，某小区有一块长为36m，宽为24m的矩形空地，计划在其中间修建两块形状相同的矩形绿地，它们的面积之和为600m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为 m．
【答案】2
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设人行道的宽度为x米，根据题意得，
（36-3x）（24-2x）=600，
化简整理得，（12-x）2=100．
解得x1=2，x2=22（不合题意，舍去）．
答：人行通道的宽度是2m．
故答案为：2
【分析】由题意和图形可得：矩形绿地的总长为（36-3倍人行道的宽度），矩形绿地的总宽为（24-2倍人行道的宽度），则相等关系为矩形绿地的总长矩形绿地的总宽=矩形绿地的面积之和为600，根据相等关系列方程即可求解。
12．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大7，且十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，这个两位数是 ．
【答案】81
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设个位上的数为x，则十位上的数为x+7，
依题意，得（x+7+x）2=10（x+7）+x，
整理得：4x2+17x-21=0，
解得：x1=1，x2=- （舍去），
所以，x=1，x+7=8．
故这个两位数是81
【分析】设个位上的数为x，则十位上的数为x+7，这个两位数表示为：10（x+7）+x，根据十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，即可列出方程，求解并检验即可得出答案。
13．某种植物的主干长出a个支干，每个支干又长出同样数目的小分支，则主干、支干和小分支的总数为 .
【答案】1+a+a2
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设主干长出a个支干，每个支干又长出a个小分支，
可得该植物的主干，支干和小分支的总数为：1+a+a2.
故答案为：1+a+a2
【分析】设主干长出a个支干，每个支干又长出a个小分支，则小分支为，所以可得总数=主干+支干+小分支。
14．中新网4月26日电 据法新社26日最新消息，墨西哥卫生部长称，可能已有81人死于猪流感（又称甲型H1N1流感）。若有一人患某种流感，经过两轮传染后共有81人患流感，则每轮传染中平均一人传染了 人，若不加以控制，以这样的速度传播下去，经n轮传播，将有 人被感染。
【答案】8；9n
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人。
依题意列方程：1+x+x(1+x)=81，即(1+x)2=81，
解方程得：x1=8，x2= 10(舍去)，
答：每轮传染中平均一个人传染了8个人，
经n轮传播，将有(1+x)n=9n被感染
【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人。由题意可得：经过第一次传染后有1+x人，第二次传染的人有x(1+x)人，所以经过两次传染后共有1+x+x(1+x)人患流感，根据题意可列方程1+x+x(1+x)=81求解。
15．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查发现，售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为实现平均每月10000元的销售利润，则这种台灯的售价应定为 元．
【答案】50
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设这种台灯的售价应定为每台 元，根据题意可得：
化简、整理得： ，解得： .
又∵ ，
∴ ，即这种台灯售价应定为每台50元.
【分析】由题意可得相等关系：单个台灯的利润每月的销售量=平均每月10000元的销售利润，根据想到关系列方程即可求解。
三、解答题
16．一个两位数的十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字与十位数字互换后平方，所得的数值比原来的两位数大138，求原来的两位数.
【答案】解：设原来的两位数的个位数字为x，则十位数字为(x+2)，
根据题意，得 (10x+x+2)2=10(x+2)+x+138.
解得x1=- (舍去)，x2=1.
答：原来的两位数为31
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】设原来的两位数的个位数字为x，则十位数字为(x+2)，原数表示为：10(x+2)+x，新数表示为：10x+x+2；根据新数的平方比原来的两位数大138列出方程，求解并检验即可。
17．如图①，窗帘的褶皱是指按照窗户的实际宽度将窗帘布料以一定比例加宽的做法，褶皱之后的窗帘更能彰显其飘逸、灵动的效果．其中，窗宽度的1.5倍为平褶皱，窗宽度的2倍为波浪褶皱．如图②，小莉房间的窗户呈长方形，窗户的宽度（AD）比高度（AB）的少0.5m，某种窗帘的价格为120元/m2．如果以波浪褶皱的方式制作该种窗帘比以平褶皱的方式费用多180元，求小莉房间窗户的宽度与高度．
【答案】解：设小莉房间窗户的宽度为xm，则高度为（x+0.5）m．
根据题意，得（2-1.5）x（x+0.5）×120=180，
解得x1=-2，x2=1.5．
所以x=1.5，x+0.5=2．
答：小莉房间窗户的宽度为1.5m，则高度为2m．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】由题意知，（以波浪褶皱的方式制作该种窗帘的宽度的倍数-以平褶皱的方式制作该种窗帘的宽度的倍数）窗宽度窗高度这种窗帘每平米的价格=以波浪褶皱的方式制作该种窗帘的费用多于以平褶皱的方式制作该种窗帘的费用；根据这个相等关系列方程即可求解。
18．某种流感病毒，有一人患了这种流感，在每轮传染中一人将平均传给x人．
（1）求第一轮后患病的人数；（用含x的代数式表示）
（2）在进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈，问第二轮传染后总共是否会有21人患病的情况发生，请说明理由．
【答案】（1）解：(1+x)人
（2）解：设在每轮传染中一人将平均传给x人，根据题意得：
x-1+x(x-1)=21
整理得：x2-1=21
解得：
∵ 都不是正整数，
∴第二轮传染后共会有21人患病的情况不会发生
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【分析】（1）某种流感病毒，有一人患了这种流感，在每轮传染中一人将平均传给x人，故第一轮后患病的人数为：（1+x）；
（2）设在每轮传染中一人将平均传给x人，在进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈，故第二轮的传染源是（x-1)人，第二轮被传染的人数是x(x-1)人，根据第二轮传染后总共有21人患病，列出方程，求解并检验即可得出结论。
19．宜昌BRT快速公交系统及东山大道改造工程于2014年2月正式施工建设，成为宜昌近几年最大的市政工程和“一号民生工程”，全长约为23.8公里，是宜昌市现阶段客流量最为集中的干线客运走廊之一．
（1）如果一条行车道供小汽车使用，每小时最多能通过700辆车，且每辆小汽车平均乘座3人，但如果该车道专供BRT使用，每小时只能通过100辆公交车，但运送的总乘客数约是小汽车的7倍，求每辆公交平均乘座约多少人？（结果精确到十位）
（2）该工程包括前期设计、施工建设与投入试用三个阶段．已知试用期是前期设计时间的2倍，施工建设的时间比前期设计与投入试用时间的总和还多8个月，若每月可完成施工建设1.4公理，问该工程何时投入试用阶段？
（3）小明的爸爸在东山大道旁租一商铺经营，2013年总营业额是24万元，总支出包括两部分：一是交房租6万元，二是其他开支占总收入的25%.2014年因为受到大道改造工程的影响，总利润下降了许多，而2015年随着大道改造工程的完工，总利润预计又有回升．若2014年较上年度总利润下降的百分数刚好和2015年较上年度总利润增长的百分数相同，则小明的爸爸预计在2015年获得的总利润比2013年的总利润少3万元，求2014年小明爸爸获得的利润因大道改造而下降的百分数．
【答案】（1）解：设每辆公交车平均乘座x人．则
7×700×3=100x
解得：x=147≈150（人）
（2）解：设前期设计的时间为y个月．则
（3y+8）×1.4=23.8
解得：y=3
则3y+8=3×3+8=17（月）
所以该项工程可从2015年7月进入试用阶段
（3）解：设2014年利润下降的百分数为z．则（24﹣6﹣24×25%)(1+z)(1﹣z）=24﹣6﹣24×25%﹣3
解得：z=50%
所以2014年利润下降的百分数为50%
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设每辆公交车平均乘座x人，则100辆公交车能坐的总人数为：100x人，也可以表示为：7×700×3人，从而列出方程，求解即可；
（2）设前期设计的时间为y个月，试用期的时间为：2y个月，施工建设的时间为：(3y+8)个月，则这段时间共施工（3y+8）×1.4公里路程，根据工作总量等于工作时间乘以工作效率，列出方程，求解即可得出答案；
（3）设2014年利润下降的百分数为z，则2013年的利润为：（24﹣6﹣24×25%)万元，2014年的利润为：（24﹣6﹣24×25%)(1﹣z）万元，2015年的利润为：（24﹣6﹣24×25%)(1+z)(1﹣z)万元，根据2015年获得的总利润比2013年的总利润少3万元，即可列出方程，求解即可。
20．（2018·宜昌）某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”（下称甲方案）和“沿江工厂转型升级”（下称乙方案）进行治理，若江水污染指数记为Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理（当年完工），从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算．第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12．经过三年治理，境内长江水质明显改善．
（1）求n的值；
（2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；
（3）该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的Q值比上一年都增加个相同的数值a．在（2）的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的Q值与当年因甲方案治理降低的Q值相等，第三年，用甲方案使Q值降低了39.5．求第一年用甲方案治理降低的Q值及a的值．
【答案】（1）解：由题意可得：40n=12，
解得：n=0.3
（2）解：由题意可得：40+40（1+m）+40（1+m）2=190，
解得：m1= ，m2=﹣ （舍去），
∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为：40（1+m）=40（1+50%）=60（家）
（3）解：第二年用乙方案治理降低了100n=100×0.3=30，
则（30﹣a）+2a=39.5，
解得：a=9.5，
则Q=20.5．
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）根据所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算．第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12，列出方程，求解即可；
（2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，故第二年用乙方案新治理的工厂数为：40（1+m）家，第三年用乙方案新治理的工厂数为：40（1+m）2家，根据三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，列出方程，求解并检验即可；
（3）设第二年用乙方案治理降低了100n=100×0.3=30，根据第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的Q值与当年因甲方案治理降低的Q值相等，第三年，用甲方案使Q值降低了39.5．列出方程，求解即可。
21．（2018·重庆）在美丽乡村建设中，某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造.
（1）原计划是今年1至5月，村级道路硬化和道路拓宽的里程数共50千米，其中道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍，那么，原计划今年1至5月，道路硬化和里程数至少是多少千米？
（2）到今年5月底，道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成，且道路硬化的里程数正好是原计划的最小值.2017年通过政府投入780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共45千米，每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为1 ： 2，且里程数之比为2 ： 1，为加快美丽乡村建设，政府决定加大投入.经测算：从今年6月起至年底，如果政府投入经费在2017年的基础上增加10a%（a>0），并全部用于道路硬化和道路拓宽，而每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在2017年的基础上分别增加a%，5a%，那么道路硬化和道路拓宽的里程数将会在今年1至5月的基础上分别增加5a%，8a%，求a的值.
【答案】（1）解：设道路硬化的里程数是x千米，则由题意得：
x≥4(50-x)，
解不等式得：x≥40，
答：道路硬化的里程数至少是40千米
（2）解：由题意得：2017年：道路硬化经费为：13万/千米，里程为：30km
道路拓宽经费为：26万/千米，里程为：15km
∴今年6月起：
道路硬化经费为：13（1+a%）万/千米，里程数：40（1+5a%）km，
道路拓宽经费为：26（1+5a%）万/千米，里程数：10（1+8a%）km，
又∵政府投入费用为：780（1+10a%）万元，
∴列方程：13(1+a%)×40(1+5a%)+26(1+5a%)×10(1+8a%)=780(1+10a%)，
令a%=t，方程可整理为：
13(1+t)×40(1+5t)+26(1+5t)×10(1+8t)=780(1+10t)，
520(1+t)(1+5t)+260(1+5t)(1+8t)=780(1+10t)，化简得： ，2(1+t)(1+5t)+(1+5t)(1+8t)=3 (1+10t)，10 -t=0，t(10t-1)=0，∴ （舍去）， ，∴综上所述：a= 10，答：a的值为10
【知识点】一元二次方程的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设道路硬化的里程数是x千米，再道路拓宽的里程数为：（50-x）千米，根据道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍，列出不等式，求解即可得出答案；
（2）根据2017年通过政府投入780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共45千米，每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为1 ： 2，且里程数之比为2 ： 1，得出2017年：道路硬化经费为：13万/千米，里程为：30km，道路拓宽经费为：26万/千米，里程为：15km；今年6月起：道路拓宽经费为：26（1+5a%）万/千米，里程数：10（1+8a%）km，道路拓宽经费为：26（1+5a%）万/千米，里程数：10（1+8a%）km，政府投入费用为：780（1+10a%）万元，从而根据道路硬化的总费用+道路拓宽的总费用=政府投入的总费用，从而列出方程，然后整理并求解检验即可得出答案。
1 / 12018-2019学年数学华师大版九年级上册22.3实践与探索（2） 同步练习
一、选择题
1．在一次同学聚会上，同学之间每两人都握了一次手，聚会所有人共握手45次，则参加这次聚会的同学共有（ ）
A．11人 B．10人 C．9人 D．8人
2．九（1）班同学毕业的时候，每人都必须与其他任何一位同学合照一张双人照，全班共照相片780张，则九（1）班的人数是（ ）
A．39 B．40 C．50 D．60
3．新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共72张，此小组人数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题："直田积(矩形面积)，八百六十四(平方步)，只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少12步)，问阔及长各几步．"如果设矩形田地的长为x步，那么同学们列出的下列方程中正确的是（ ）
A． B．x（x-12）=864
C． D．
5．（2017·福田模拟）某商场把一双钉鞋按标价的八折出售，仍可获利20%．若钉鞋的进价为100元，则标价为（ ）
A．145元 B．165元 C．180元 D．150元
6．（2018·绵阳）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ）
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
7．一个等腰三角形的两条边长分别是方程 的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．12 B．10 C．13 D．12或13
8．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2﹣3=（10﹣x）2 B．x2﹣32=（10﹣x）2
C．x2+3=（10﹣x）2 D．x2+32=（10﹣x）2
二、填空题
9．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施． 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．据此规律计算：每件商品降价 元时，商场日盈利可达到2100元。
10．某种型号的电脑，原售价7200元/台，经连续两次降价后，现售价为4608元/台，则平均每次降价的百分率为 %。
11．如图，某小区有一块长为36m，宽为24m的矩形空地，计划在其中间修建两块形状相同的矩形绿地，它们的面积之和为600m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为 m．
12．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大7，且十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，这个两位数是 ．
13．某种植物的主干长出a个支干，每个支干又长出同样数目的小分支，则主干、支干和小分支的总数为 .
14．中新网4月26日电 据法新社26日最新消息，墨西哥卫生部长称，可能已有81人死于猪流感（又称甲型H1N1流感）。若有一人患某种流感，经过两轮传染后共有81人患流感，则每轮传染中平均一人传染了 人，若不加以控制，以这样的速度传播下去，经n轮传播，将有 人被感染。
15．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查发现，售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为实现平均每月10000元的销售利润，则这种台灯的售价应定为 元．
三、解答题
16．一个两位数的十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字与十位数字互换后平方，所得的数值比原来的两位数大138，求原来的两位数.
17．如图①，窗帘的褶皱是指按照窗户的实际宽度将窗帘布料以一定比例加宽的做法，褶皱之后的窗帘更能彰显其飘逸、灵动的效果．其中，窗宽度的1.5倍为平褶皱，窗宽度的2倍为波浪褶皱．如图②，小莉房间的窗户呈长方形，窗户的宽度（AD）比高度（AB）的少0.5m，某种窗帘的价格为120元/m2．如果以波浪褶皱的方式制作该种窗帘比以平褶皱的方式费用多180元，求小莉房间窗户的宽度与高度．
18．某种流感病毒，有一人患了这种流感，在每轮传染中一人将平均传给x人．
（1）求第一轮后患病的人数；（用含x的代数式表示）
（2）在进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈，问第二轮传染后总共是否会有21人患病的情况发生，请说明理由．
19．宜昌BRT快速公交系统及东山大道改造工程于2014年2月正式施工建设，成为宜昌近几年最大的市政工程和“一号民生工程”，全长约为23.8公里，是宜昌市现阶段客流量最为集中的干线客运走廊之一．
（1）如果一条行车道供小汽车使用，每小时最多能通过700辆车，且每辆小汽车平均乘座3人，但如果该车道专供BRT使用，每小时只能通过100辆公交车，但运送的总乘客数约是小汽车的7倍，求每辆公交平均乘座约多少人？（结果精确到十位）
（2）该工程包括前期设计、施工建设与投入试用三个阶段．已知试用期是前期设计时间的2倍，施工建设的时间比前期设计与投入试用时间的总和还多8个月，若每月可完成施工建设1.4公理，问该工程何时投入试用阶段？
（3）小明的爸爸在东山大道旁租一商铺经营，2013年总营业额是24万元，总支出包括两部分：一是交房租6万元，二是其他开支占总收入的25%.2014年因为受到大道改造工程的影响，总利润下降了许多，而2015年随着大道改造工程的完工，总利润预计又有回升．若2014年较上年度总利润下降的百分数刚好和2015年较上年度总利润增长的百分数相同，则小明的爸爸预计在2015年获得的总利润比2013年的总利润少3万元，求2014年小明爸爸获得的利润因大道改造而下降的百分数．
20．（2018·宜昌）某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”（下称甲方案）和“沿江工厂转型升级”（下称乙方案）进行治理，若江水污染指数记为Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理（当年完工），从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算．第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12．经过三年治理，境内长江水质明显改善．
（1）求n的值；
（2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；
（3）该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的Q值比上一年都增加个相同的数值a．在（2）的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的Q值与当年因甲方案治理降低的Q值相等，第三年，用甲方案使Q值降低了39.5．求第一年用甲方案治理降低的Q值及a的值．
21．（2018·重庆）在美丽乡村建设中，某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造.
（1）原计划是今年1至5月，村级道路硬化和道路拓宽的里程数共50千米，其中道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍，那么，原计划今年1至5月，道路硬化和里程数至少是多少千米？
（2）到今年5月底，道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成，且道路硬化的里程数正好是原计划的最小值.2017年通过政府投入780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共45千米，每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为1 ： 2，且里程数之比为2 ： 1，为加快美丽乡村建设，政府决定加大投入.经测算：从今年6月起至年底，如果政府投入经费在2017年的基础上增加10a%（a>0），并全部用于道路硬化和道路拓宽，而每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在2017年的基础上分别增加a%，5a%，那么道路硬化和道路拓宽的里程数将会在今年1至5月的基础上分别增加5a%，8a%，求a的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】解答: 设这次参加聚会的同学有x人，则每人应握（x-1）次手，由题意得：
x（x-1）=45
即：x2-x-90=0，
解得：x1=10，x2=-9（不符合题意舍去）
故参加这次聚会的同学共有10人．
故选：B．
分析: 设这次参加聚会的同学有x人，已知见面时两两握手一次，那么每人应握（x-1）次手，所以x人共握手 x（x-1）次，又知共握手45次，以握手总次数作为等量关系，列出方程求解
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】解答：设九（1）班共有x人，根据题意得：
x（x-1）=780，
解之得x1=40，x2=-39（舍去），
答：九（1）班共有40名学生．
故选B．
分析: 设九（1）班共有x人，根据等量关系：每人都必须与其他任何一位同学合照一张双人照，全班共照相片780张，列出方程求解即可
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】解答设这个小组有x人，
则根据题意可列方程为：（x-1）x=72，
解得：x1=9，x2=-8（舍去）．
故选C．
【分析】设这个小组的人数为x个，则每个人要送其他（x-1）个人贺卡，则共有（x-1）x张贺卡，等于72张，由此可列方程
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x-12）步．
根据矩形面积=长×宽，得：x（x-12）=864．
故答案为：B
【分析】由题意可知，设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x-12）步．根据矩形面积=长×宽列方程即可求解。
5．【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设每件的标价为x元，
由题意得：80%x﹣100=100（1+20%），
解得：x=150．
即每件的标价为150元．
故选D．
【分析】设每件的标价为x元，根据八折出售可获利20%，可得出方程：80%x﹣100=100（1+20%），解出即可．
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设参加酒会的人数为x人，依题可得：
x（x-1）=55，
化简得：x2-x-110=0，
解得：x1=11，x2=-10（舍去），
故答案为：C.
【分析】设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解之即可得出答案.
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
即 ， ，
①等腰三角形的三边是2，2，5，
∵2+2＜5，
∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；
②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，
三角形的周长是2+5+5=12；
即等腰三角形的周长是12．
故答案为：A．
【分析】用因式分解法解一元二次方程求得方程的两个根，再根据等腰三角形的定义结合三角形三边关系定理分两种情况讨论能否构成三角形，再求三角形的周长即可。
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，
根据勾股定理得：x2+32=（10-x）2．
故答案为：D
【分析】设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，根据勾股定理建立方程，即可。
9．【答案】20
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：∵降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=50-x，
由题意得：（50-x）（30+2x）=2100，
化简得：x2-35x+300=0，
解得：x1=15，x2=20，
∵该商场为了尽快减少库存，
∴降的越多，越吸引顾客，
∴选x=20，
故答案为：20
【分析】由题意可得：若降价1元，可多售出2件，若降价x元，可多售出2x件，则每天销售量为（30+2x）件，每件盈利为（50-x）元，相等关系是：每天销售量每件盈利=商场日盈利2100元，根据相等关系列方程即可求解。
10．【答案】20
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，由题意，得
7200（1-x）2=4608，
解得：x=1.8（舍去）或x=0.2．
故答案为：20%
【分析】由题意知，经连续两次降价后的价格可表示为：原售价（1-每次降价的百分率）（1-每次降价的百分率），已知现售价为4608，则克烈方程求解。
11．【答案】2
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设人行道的宽度为x米，根据题意得，
（36-3x）（24-2x）=600，
化简整理得，（12-x）2=100．
解得x1=2，x2=22（不合题意，舍去）．
答：人行通道的宽度是2m．
故答案为：2
【分析】由题意和图形可得：矩形绿地的总长为（36-3倍人行道的宽度），矩形绿地的总宽为（24-2倍人行道的宽度），则相等关系为矩形绿地的总长矩形绿地的总宽=矩形绿地的面积之和为600，根据相等关系列方程即可求解。
12．【答案】81
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设个位上的数为x，则十位上的数为x+7，
依题意，得（x+7+x）2=10（x+7）+x，
整理得：4x2+17x-21=0，
解得：x1=1，x2=- （舍去），
所以，x=1，x+7=8．
故这个两位数是81
【分析】设个位上的数为x，则十位上的数为x+7，这个两位数表示为：10（x+7）+x，根据十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，即可列出方程，求解并检验即可得出答案。
13．【答案】1+a+a2
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设主干长出a个支干，每个支干又长出a个小分支，
可得该植物的主干，支干和小分支的总数为：1+a+a2.
故答案为：1+a+a2
【分析】设主干长出a个支干，每个支干又长出a个小分支，则小分支为，所以可得总数=主干+支干+小分支。
14．【答案】8；9n
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人。
依题意列方程：1+x+x(1+x)=81，即(1+x)2=81，
解方程得：x1=8，x2= 10(舍去)，
答：每轮传染中平均一个人传染了8个人，
经n轮传播，将有(1+x)n=9n被感染
【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人。由题意可得：经过第一次传染后有1+x人，第二次传染的人有x(1+x)人，所以经过两次传染后共有1+x+x(1+x)人患流感，根据题意可列方程1+x+x(1+x)=81求解。
15．【答案】50
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设这种台灯的售价应定为每台 元，根据题意可得：
化简、整理得： ，解得： .
又∵ ，
∴ ，即这种台灯售价应定为每台50元.
【分析】由题意可得相等关系：单个台灯的利润每月的销售量=平均每月10000元的销售利润，根据想到关系列方程即可求解。
16．【答案】解：设原来的两位数的个位数字为x，则十位数字为(x+2)，
根据题意，得 (10x+x+2)2=10(x+2)+x+138.
解得x1=- (舍去)，x2=1.
答：原来的两位数为31
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】设原来的两位数的个位数字为x，则十位数字为(x+2)，原数表示为：10(x+2)+x，新数表示为：10x+x+2；根据新数的平方比原来的两位数大138列出方程，求解并检验即可。
17．【答案】解：设小莉房间窗户的宽度为xm，则高度为（x+0.5）m．
根据题意，得（2-1.5）x（x+0.5）×120=180，
解得x1=-2，x2=1.5．
所以x=1.5，x+0.5=2．
答：小莉房间窗户的宽度为1.5m，则高度为2m．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】由题意知，（以波浪褶皱的方式制作该种窗帘的宽度的倍数-以平褶皱的方式制作该种窗帘的宽度的倍数）窗宽度窗高度这种窗帘每平米的价格=以波浪褶皱的方式制作该种窗帘的费用多于以平褶皱的方式制作该种窗帘的费用；根据这个相等关系列方程即可求解。
18．【答案】（1）解：(1+x)人
（2）解：设在每轮传染中一人将平均传给x人，根据题意得：
x-1+x(x-1)=21
整理得：x2-1=21
解得：
∵ 都不是正整数，
∴第二轮传染后共会有21人患病的情况不会发生
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【分析】（1）某种流感病毒，有一人患了这种流感，在每轮传染中一人将平均传给x人，故第一轮后患病的人数为：（1+x）；
（2）设在每轮传染中一人将平均传给x人，在进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈，故第二轮的传染源是（x-1)人，第二轮被传染的人数是x(x-1)人，根据第二轮传染后总共有21人患病，列出方程，求解并检验即可得出结论。
19．【答案】（1）解：设每辆公交车平均乘座x人．则
7×700×3=100x
解得：x=147≈150（人）
（2）解：设前期设计的时间为y个月．则
（3y+8）×1.4=23.8
解得：y=3
则3y+8=3×3+8=17（月）
所以该项工程可从2015年7月进入试用阶段
（3）解：设2014年利润下降的百分数为z．则（24﹣6﹣24×25%)(1+z)(1﹣z）=24﹣6﹣24×25%﹣3
解得：z=50%
所以2014年利润下降的百分数为50%
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设每辆公交车平均乘座x人，则100辆公交车能坐的总人数为：100x人，也可以表示为：7×700×3人，从而列出方程，求解即可；
（2）设前期设计的时间为y个月，试用期的时间为：2y个月，施工建设的时间为：(3y+8)个月，则这段时间共施工（3y+8）×1.4公里路程，根据工作总量等于工作时间乘以工作效率，列出方程，求解即可得出答案；
（3）设2014年利润下降的百分数为z，则2013年的利润为：（24﹣6﹣24×25%)万元，2014年的利润为：（24﹣6﹣24×25%)(1﹣z）万元，2015年的利润为：（24﹣6﹣24×25%)(1+z)(1﹣z)万元，根据2015年获得的总利润比2013年的总利润少3万元，即可列出方程，求解即可。
20．【答案】（1）解：由题意可得：40n=12，
解得：n=0.3
（2）解：由题意可得：40+40（1+m）+40（1+m）2=190，
解得：m1= ，m2=﹣ （舍去），
∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为：40（1+m）=40（1+50%）=60（家）
（3）解：第二年用乙方案治理降低了100n=100×0.3=30，
则（30﹣a）+2a=39.5，
解得：a=9.5，
则Q=20.5．
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）根据所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算．第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12，列出方程，求解即可；
（2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，故第二年用乙方案新治理的工厂数为：40（1+m）家，第三年用乙方案新治理的工厂数为：40（1+m）2家，根据三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，列出方程，求解并检验即可；
（3）设第二年用乙方案治理降低了100n=100×0.3=30，根据第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的Q值与当年因甲方案治理降低的Q值相等，第三年，用甲方案使Q值降低了39.5．列出方程，求解即可。
21．【答案】（1）解：设道路硬化的里程数是x千米，则由题意得：
x≥4(50-x)，
解不等式得：x≥40，
答：道路硬化的里程数至少是40千米
（2）解：由题意得：2017年：道路硬化经费为：13万/千米，里程为：30km
道路拓宽经费为：26万/千米，里程为：15km
∴今年6月起：
道路硬化经费为：13（1+a%）万/千米，里程数：40（1+5a%）km，
道路拓宽经费为：26（1+5a%）万/千米，里程数：10（1+8a%）km，
又∵政府投入费用为：780（1+10a%）万元，
∴列方程：13(1+a%)×40(1+5a%)+26(1+5a%)×10(1+8a%)=780(1+10a%)，
令a%=t，方程可整理为：
13(1+t)×40(1+5t)+26(1+5t)×10(1+8t)=780(1+10t)，
520(1+t)(1+5t)+260(1+5t)(1+8t)=780(1+10t)，化简得： ，2(1+t)(1+5t)+(1+5t)(1+8t)=3 (1+10t)，10 -t=0，t(10t-1)=0，∴ （舍去）， ，∴综上所述：a= 10，答：a的值为10
【知识点】一元二次方程的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设道路硬化的里程数是x千米，再道路拓宽的里程数为：（50-x）千米，根据道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍，列出不等式，求解即可得出答案；
（2）根据2017年通过政府投入780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共45千米，每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为1 ： 2，且里程数之比为2 ： 1，得出2017年：道路硬化经费为：13万/千米，里程为：30km，道路拓宽经费为：26万/千米，里程为：15km；今年6月起：道路拓宽经费为：26（1+5a%）万/千米，里程数：10（1+8a%）km，道路拓宽经费为：26（1+5a%）万/千米，里程数：10（1+8a%）km，政府投入费用为：780（1+10a%）万元，从而根据道路硬化的总费用+道路拓宽的总费用=政府投入的总费用，从而列出方程，然后整理并求解检验即可得出答案。
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