2018-2019学年数学华师大版八年级上册 11.2.2实数的性质、实数与数轴 同步练习
一、选择题
1．（2018九下·游仙模拟） 的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2018·吉林模拟） 的倒数是（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
3．实数 ， ， 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A． B． C． D．
4．|1﹣ |=（ ）
A．1﹣ B． ﹣1 C．1+ D．﹣1﹣
5．（2018·重庆模拟）对于实数a，下列不等式一定成立的是（ ）
A．|a|＞0 B． ＞0 C．a2+1＞0 D．（a+1）2＞0
6．如图，在数轴上表示数 的点可能是（ ）
A．点E B．点F C．点P D．点Q
7．下列说法：
①任何正数的两个平方根的和等于0；②任何实数都有一个立方根；③无限小数都是无理数；④实数和数轴上的点一一对应．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
8．实数a在数轴上的位置如图，则 = ．
9．一组数为： ， ， ， ， ……则第10个数为 .
10．－ 的相反数是 。
11．在数轴上，表示数x的点到原点的距离用|x|表示，如果表示数m的点和﹣5的点之间的距离是3，那么m= ；|c﹣ |+|c﹣4|+|c+1|的最小值是
12．如图，数轴上表示2， 的对应点分别为C、B，点C是AB的中点，则点A表示的数是 ．
13． 的平方根是 ， 的相反数是 ， ．
14．化简 = = .
三、解答题
15．在数轴上表示下列各数：
2 的相反数，绝对值是 的数，－1 的倒数．
16．在数轴上画出 所表示的点A
17．在数轴上点A表示的数为a，点B为原点，点C表示的数为c，且已知a，c满足|a+1|+（c﹣7）2=0．
（1）a= c= ；
（2）若AC的中点为M，则点M表示的数为 ；
（3）若A，C两点同时以每秒1个单位长度的速度向左运动，求第几秒时，恰好有BA=BC？
18．已知a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简｜a｜－｜a+b｜+ +｜b－c｜.
19．我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果ax＋b＝0，其中a、b为有理数，x为无理数，那么a＝0且b＝0．运用上述知识，解决下列问题：
（1）如果（a－2） ＋b＋3＝0，其中a、b为有理数，那么a＝ ；b＝
（2）如果（2＋ ）a－（1－ ）b＝5，其中a、b为有理数，求a＋2b的值．
20．探究题：
（1）若 、 、 是有理数，且满足等式 ，
试计算： 的值。
（2）观察下列各式：
① ， ， ，
猜想 ： = ；
②规律 ：用含 ( ≥1)的等式表示 .
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】实数的绝对值
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ .
故答案为：C.
【分析】实数的绝对值的性质：正实数的绝对值是它本身；负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；根据这个性质即可求解。
2．【答案】B
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】由 × =1，得 的倒数是 ．故答案为：B．
【分析】根据互为倒数的两个数的积为1 可求解。即的倒数是.
3．【答案】B
【知识点】实数在数轴上的表示；实数的运算；实数的绝对值
【解析】【解答】解： A、∵ ，∴ ，故A不符合题意；
B、数轴上表示 的点在表示 的点的左侧，故B符合题意；
C、∵ ， ，∴ ，故C不符合题意；
D、∵ ， ， ，∴ ，故D不符合题意．
故答案为：B.
【分析】观察数轴可出 4 < a < 3 ；c＞b；a＜0，c＞0；|a|＞|c|，对各选项逐一判断，可解答。
4．【答案】B
【知识点】实数的绝对值
【解析】【解答】解：|1﹣ |
= ﹣1，
故答案为：B
【分析】1-是负数，根据负数的绝对值等于它的相反数，可解答。
5．【答案】C
【知识点】偶次幂的非负性；算数平方根的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】根据绝对值的意义，可知|a|≥0，故不正确；根据二次根式的非负性，可知 ≥0，故不正确；根据平方的意义，可知a2≥0，因此可得a2+1＞0，故正确；根据平方的非负性，可知（a+1）2≥0，故不正确.
故答案为：C.
【分析】根据绝对值的非负性得出|a|≥0；根据算数平方根的非负性得出 ≥0；根据偶次方的非负性可得a2≥0，因此可得a2+1＞0；根据偶次方的非负性可得（a+1）2＞0；从而即可得出答案。
6．【答案】B
【知识点】实数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：∵﹣3＜﹣ ＜﹣2，∴由数轴可知点F所表示的数大于﹣3而小于﹣2．故答案为：B
【分析】由﹣3＜﹣ ＜﹣2，可得出表示-表示的点。
7．【答案】C
【知识点】平方根；立方根及开立方；实数及其分类
【解析】【解答】解：①一个正数有两个平方根，它们互为相反数，和为0，故①正确；②立方根的概念：如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根，故②正确；③无限不循环小数是无理数，无限循环小数是有理数，故③错误；④实数和数轴上的点一一对应，故④正确，所以正确的有3个，故答案为：C．
【分析】根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数；任何实数都有一个立方根；无限不循环的小数是无理数；实数和数轴上的点一一对应，可得出正确的个数。
8．【答案】 -a
【知识点】实数的绝对值
【解析】【解答】解：∵a<0，
∴
则原式
故答案为：
【分析】观察数轴可得出a＜1＜，根据绝对值的意义，可求解。
9．【答案】
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：根据一组数可得 前面系数分别为：1、3、6、10、15，第二个数比第一个数多2，第三个数比第二个数多3，第四个数比第三个数多4，第五个数比第四个数多2，……依此推下去，第10个数 前面系数为55，即第10个数为
【分析】观察被开方数不变，都是5，前的系数依次是1、3=1+2、6=1+2+3、10=1+2+3+4、15=1+2+3+4+5第10个数的前面的系数为1+2+3++10，即可解答。
10．【答案】
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解： 的相反数是 .
故答案为：
【分析】根据实数a的相反数是-a，可得出答案。
11．【答案】﹣2或﹣8；5
【知识点】实数在数轴上的表示；实数的运算
【解析】【解答】解：由题意，得：
|m+5|=3，m+5=3或m+5=﹣3，解得：m=﹣2，或m=﹣8．
由线段上的点到线段两端点的距离相等，得：
当c在﹣1与4的线段上时，|c﹣4|+|c+1|最小=5，
当c≠ 时，|c﹣ |＞0，|c﹣ |+|c﹣4|+|c+1|的最小值＞5；
当c= 时，|c﹣ |=0，|c﹣ |+|c﹣4|+|c+1|的最小值=0+|c﹣4|+|c+1|=5．
故答案为：﹣2或﹣8；5．
【分析】根据绝对值的意义，由数m的点和﹣5的点之间的距离是3，可得出|m+5|=3，解方程求出m的值；分别求出当c在﹣1与4的线段上时，|c﹣4|+|c+1|最小=5，然后分当c≠ 时和当c= 时，代数式的最小值，比较即可解答
12．【答案】
【知识点】实数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：∵数轴上表示2， 的对应点分别为C. B，
∴BC= 2，
∵点C是AB的中点，
∴AC=BC= 2，
∴点A表示的数为2 ( 2)=4 .故答案为：4 .
【分析】根据点B、C所表示的数，可得出BC的长，再根据点C是AB的中点，可得出AC=BC，再根据OA=OC-AC或OA=OB-AB，可解答。
13．【答案】；；
【知识点】平方根；实数的相反数；实数的绝对值
【解析】【解答】解： 的平方根是±2，﹣ 的相反数是 ，|1﹣ |= ﹣1．
故答案为：±2， ﹣1
【分析】要求的平方根，就是求出4的平方根；再根据a的相反数是-a，负数的绝对值等于它的相反数，可解答。注意1-是负数。
14．【答案】；
【知识点】实数的绝对值
【解析】【解答】解：(1) = ；(2) = ，
故答案为(1). (2). .
【分析】2-和3-是负数，再根据负数的绝对值等于它的相反数。
15．【答案】解：2的相反数是 2，绝对值是 的数是 ， 的倒数是
【知识点】实数在数轴上的表示；实数的相反数；实数的绝对值
【解析】【分析】先分别求出2 的相反数，绝对值是 的数，－1 的倒数，再在数轴上表示出这些数即可。
16．【答案】解：如图：OP=2，PB=2，PB⊥OP，
∴OB=
∴以O为圆心，OB为半径画弧交数轴的正半轴于点A，
即点A就是所求作的点。
【知识点】实数在数轴上的表示
【解析】【分析】利用勾股定理可知：8=4+4，因此作出以2和2为直角边的直角三角形，可得出斜边的长OB为，以O为圆心，OB为半径画弧交数轴的正半轴于点A，则点A就是所求作的点。
17．【答案】（1）﹣1；7
（2）3
（3）解：设第x秒时，BA=BC，由题意，得
x+1=7﹣x，
解得x=3，
第3秒时，恰好有BA=BC
【知识点】实数在数轴上的表示；非负数之和为0
【解析】【解答】（1）由|a+1|+（c﹣7）2=0，得
a+1=0，c﹣7=0，
解得a=﹣1，c=7，
故答案为：﹣1，7．
（ 2 ）由中点坐标公式，得
=3，
M点表示的数为3，
故答案为：3
【分析】（1）根据几个非负数之和为0，则每一个数都是0，建立关于a、c的方程，求解即可。
（2）根据中点公式，就可得出中点M所表示的数。
（3）根据BA=BC，建立方程求出即可。
18．【答案】解：｜a｜－｜a+b｜+ +｜b－c｜
=-a-[-(a+b)]+(c-a)+(c-b)
=-a+a+b+c-a+c-b
=2c-a
【知识点】实数在数轴上的表示；二次根式的性质与化简；实数的绝对值
【解析】【分析】观察数轴，可得出a＜0，b＜0，c＞0，则a+b＜0，b-c＜0，c-a＞0，然后将代数式化简即可。
19．【答案】（1）2；-3
（2）解：整理，得 （a+b） +（2a-b-5）=0．
∵a、b为有理数，
∴解得
∴a+2b=- ．
【知识点】实数的运算；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）2，-3
【分析】（1）根据题意可得出a-2=0，b+3=0，解方程求解即可。
（2）将原方程转化为（a+b） +（2a-b-5）=0．可得出a+b=0，2a-b-5=0，解方程组求出a、b的值，再代入计算可解答。
20．【答案】（1）解：因为 ，所以a=2，b=-1，c=3，所以 =
=1-1=0
（2）；
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：（2）① = ；
② .
【分析】（1）根据题意，先求出a、b、c的值，然后代入求解。
（2）认真贯彻题中所给的式子的规律，得出规律并写出第4个等式，再根据此规律写出第n个式子。
1 / 12018-2019学年数学华师大版八年级上册 11.2.2实数的性质、实数与数轴 同步练习
一、选择题
1．（2018九下·游仙模拟） 的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】实数的绝对值
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ .
故答案为：C.
【分析】实数的绝对值的性质：正实数的绝对值是它本身；负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；根据这个性质即可求解。
2．（2018·吉林模拟） 的倒数是（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
【答案】B
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】由 × =1，得 的倒数是 ．故答案为：B．
【分析】根据互为倒数的两个数的积为1 可求解。即的倒数是.
3．实数 ， ， 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】实数在数轴上的表示；实数的运算；实数的绝对值
【解析】【解答】解： A、∵ ，∴ ，故A不符合题意；
B、数轴上表示 的点在表示 的点的左侧，故B符合题意；
C、∵ ， ，∴ ，故C不符合题意；
D、∵ ， ， ，∴ ，故D不符合题意．
故答案为：B.
【分析】观察数轴可出 4 < a < 3 ；c＞b；a＜0，c＞0；|a|＞|c|，对各选项逐一判断，可解答。
4．|1﹣ |=（ ）
A．1﹣ B． ﹣1 C．1+ D．﹣1﹣
【答案】B
【知识点】实数的绝对值
【解析】【解答】解：|1﹣ |
= ﹣1，
故答案为：B
【分析】1-是负数，根据负数的绝对值等于它的相反数，可解答。
5．（2018·重庆模拟）对于实数a，下列不等式一定成立的是（ ）
A．|a|＞0 B． ＞0 C．a2+1＞0 D．（a+1）2＞0
【答案】C
【知识点】偶次幂的非负性；算数平方根的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】根据绝对值的意义，可知|a|≥0，故不正确；根据二次根式的非负性，可知 ≥0，故不正确；根据平方的意义，可知a2≥0，因此可得a2+1＞0，故正确；根据平方的非负性，可知（a+1）2≥0，故不正确.
故答案为：C.
【分析】根据绝对值的非负性得出|a|≥0；根据算数平方根的非负性得出 ≥0；根据偶次方的非负性可得a2≥0，因此可得a2+1＞0；根据偶次方的非负性可得（a+1）2＞0；从而即可得出答案。
6．如图，在数轴上表示数 的点可能是（ ）
A．点E B．点F C．点P D．点Q
【答案】B
【知识点】实数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：∵﹣3＜﹣ ＜﹣2，∴由数轴可知点F所表示的数大于﹣3而小于﹣2．故答案为：B
【分析】由﹣3＜﹣ ＜﹣2，可得出表示-表示的点。
7．下列说法：
①任何正数的两个平方根的和等于0；②任何实数都有一个立方根；③无限小数都是无理数；④实数和数轴上的点一一对应．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】平方根；立方根及开立方；实数及其分类
【解析】【解答】解：①一个正数有两个平方根，它们互为相反数，和为0，故①正确；②立方根的概念：如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根，故②正确；③无限不循环小数是无理数，无限循环小数是有理数，故③错误；④实数和数轴上的点一一对应，故④正确，所以正确的有3个，故答案为：C．
【分析】根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数；任何实数都有一个立方根；无限不循环的小数是无理数；实数和数轴上的点一一对应，可得出正确的个数。
二、填空题
8．实数a在数轴上的位置如图，则 = ．
【答案】 -a
【知识点】实数的绝对值
【解析】【解答】解：∵a<0，
∴
则原式
故答案为：
【分析】观察数轴可得出a＜1＜，根据绝对值的意义，可求解。
9．一组数为： ， ， ， ， ……则第10个数为 .
【答案】
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：根据一组数可得 前面系数分别为：1、3、6、10、15，第二个数比第一个数多2，第三个数比第二个数多3，第四个数比第三个数多4，第五个数比第四个数多2，……依此推下去，第10个数 前面系数为55，即第10个数为
【分析】观察被开方数不变，都是5，前的系数依次是1、3=1+2、6=1+2+3、10=1+2+3+4、15=1+2+3+4+5第10个数的前面的系数为1+2+3++10，即可解答。
10．－ 的相反数是 。
【答案】
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解： 的相反数是 .
故答案为：
【分析】根据实数a的相反数是-a，可得出答案。
11．在数轴上，表示数x的点到原点的距离用|x|表示，如果表示数m的点和﹣5的点之间的距离是3，那么m= ；|c﹣ |+|c﹣4|+|c+1|的最小值是
【答案】﹣2或﹣8；5
【知识点】实数在数轴上的表示；实数的运算
【解析】【解答】解：由题意，得：
|m+5|=3，m+5=3或m+5=﹣3，解得：m=﹣2，或m=﹣8．
由线段上的点到线段两端点的距离相等，得：
当c在﹣1与4的线段上时，|c﹣4|+|c+1|最小=5，
当c≠ 时，|c﹣ |＞0，|c﹣ |+|c﹣4|+|c+1|的最小值＞5；
当c= 时，|c﹣ |=0，|c﹣ |+|c﹣4|+|c+1|的最小值=0+|c﹣4|+|c+1|=5．
故答案为：﹣2或﹣8；5．
【分析】根据绝对值的意义，由数m的点和﹣5的点之间的距离是3，可得出|m+5|=3，解方程求出m的值；分别求出当c在﹣1与4的线段上时，|c﹣4|+|c+1|最小=5，然后分当c≠ 时和当c= 时，代数式的最小值，比较即可解答
12．如图，数轴上表示2， 的对应点分别为C、B，点C是AB的中点，则点A表示的数是 ．
【答案】
【知识点】实数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：∵数轴上表示2， 的对应点分别为C. B，
∴BC= 2，
∵点C是AB的中点，
∴AC=BC= 2，
∴点A表示的数为2 ( 2)=4 .故答案为：4 .
【分析】根据点B、C所表示的数，可得出BC的长，再根据点C是AB的中点，可得出AC=BC，再根据OA=OC-AC或OA=OB-AB，可解答。
13． 的平方根是 ， 的相反数是 ， ．
【答案】；；
【知识点】平方根；实数的相反数；实数的绝对值
【解析】【解答】解： 的平方根是±2，﹣ 的相反数是 ，|1﹣ |= ﹣1．
故答案为：±2， ﹣1
【分析】要求的平方根，就是求出4的平方根；再根据a的相反数是-a，负数的绝对值等于它的相反数，可解答。注意1-是负数。
14．化简 = = .
【答案】；
【知识点】实数的绝对值
【解析】【解答】解：(1) = ；(2) = ，
故答案为(1). (2). .
【分析】2-和3-是负数，再根据负数的绝对值等于它的相反数。
三、解答题
15．在数轴上表示下列各数：
2 的相反数，绝对值是 的数，－1 的倒数．
【答案】解：2的相反数是 2，绝对值是 的数是 ， 的倒数是
【知识点】实数在数轴上的表示；实数的相反数；实数的绝对值
【解析】【分析】先分别求出2 的相反数，绝对值是 的数，－1 的倒数，再在数轴上表示出这些数即可。
16．在数轴上画出 所表示的点A
【答案】解：如图：OP=2，PB=2，PB⊥OP，
∴OB=
∴以O为圆心，OB为半径画弧交数轴的正半轴于点A，
即点A就是所求作的点。
【知识点】实数在数轴上的表示
【解析】【分析】利用勾股定理可知：8=4+4，因此作出以2和2为直角边的直角三角形，可得出斜边的长OB为，以O为圆心，OB为半径画弧交数轴的正半轴于点A，则点A就是所求作的点。
17．在数轴上点A表示的数为a，点B为原点，点C表示的数为c，且已知a，c满足|a+1|+（c﹣7）2=0．
（1）a= c= ；
（2）若AC的中点为M，则点M表示的数为 ；
（3）若A，C两点同时以每秒1个单位长度的速度向左运动，求第几秒时，恰好有BA=BC？
【答案】（1）﹣1；7
（2）3
（3）解：设第x秒时，BA=BC，由题意，得
x+1=7﹣x，
解得x=3，
第3秒时，恰好有BA=BC
【知识点】实数在数轴上的表示；非负数之和为0
【解析】【解答】（1）由|a+1|+（c﹣7）2=0，得
a+1=0，c﹣7=0，
解得a=﹣1，c=7，
故答案为：﹣1，7．
（ 2 ）由中点坐标公式，得
=3，
M点表示的数为3，
故答案为：3
【分析】（1）根据几个非负数之和为0，则每一个数都是0，建立关于a、c的方程，求解即可。
（2）根据中点公式，就可得出中点M所表示的数。
（3）根据BA=BC，建立方程求出即可。
18．已知a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简｜a｜－｜a+b｜+ +｜b－c｜.
【答案】解：｜a｜－｜a+b｜+ +｜b－c｜
=-a-[-(a+b)]+(c-a)+(c-b)
=-a+a+b+c-a+c-b
=2c-a
【知识点】实数在数轴上的表示；二次根式的性质与化简；实数的绝对值
【解析】【分析】观察数轴，可得出a＜0，b＜0，c＞0，则a+b＜0，b-c＜0，c-a＞0，然后将代数式化简即可。
19．我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果ax＋b＝0，其中a、b为有理数，x为无理数，那么a＝0且b＝0．运用上述知识，解决下列问题：
（1）如果（a－2） ＋b＋3＝0，其中a、b为有理数，那么a＝ ；b＝
（2）如果（2＋ ）a－（1－ ）b＝5，其中a、b为有理数，求a＋2b的值．
【答案】（1）2；-3
（2）解：整理，得 （a+b） +（2a-b-5）=0．
∵a、b为有理数，
∴解得
∴a+2b=- ．
【知识点】实数的运算；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）2，-3
【分析】（1）根据题意可得出a-2=0，b+3=0，解方程求解即可。
（2）将原方程转化为（a+b） +（2a-b-5）=0．可得出a+b=0，2a-b-5=0，解方程组求出a、b的值，再代入计算可解答。
20．探究题：
（1）若 、 、 是有理数，且满足等式 ，
试计算： 的值。
（2）观察下列各式：
① ， ， ，
猜想 ： = ；
②规律 ：用含 ( ≥1)的等式表示 .
【答案】（1）解：因为 ，所以a=2，b=-1，c=3，所以 =
=1-1=0
（2）；
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：（2）① = ；
② .
【分析】（1）根据题意，先求出a、b、c的值，然后代入求解。
（2）认真贯彻题中所给的式子的规律，得出规律并写出第4个等式，再根据此规律写出第n个式子。
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