2018-2019学年数学北师大版九年级上册2.3用公式法解一元二次方程 同步训练
一、选择题
1．用公式法解方程x2-2=-3x时，a，b，c的值依次是（ ）
A．0，-2，-3 B．1，3，-2 C．1，-3，-2 D．1，-2，-3
【答案】B
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】整理得：x2+3x-2=0，
这里a=1，b=3，c=-2．
故选B．
【分析】方程整理为一般形式，找出a，b，c的值即可
2．用公式法解方程（x+2）2=6（x+2）-4时，b2-4ac的值为（ ）
A．52 B．32 C．20 D．-12
【答案】C
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】∵（x+2）2=6（x+2）-4
∴x2-2x-4=0
∴a=1，b=-2，c=-4
∴b2-4ac =4+16=20．
故选C．
【分析】此题考查了公式法解一元一次方程，解此题时首先把方程化简为一般形式，然后找a、b、c，最后求出判别式的值
3．方程-x2+3x=1用公式法求解，先确定a，b，c的值，正确的是（ ）
A．a=-1，b=3，c=-1 B．a=-1，b=3，c=1
C．a=-1，b=-3，c=-1 D．a=1，b=-3，c=-1
【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】将-x2+3x=1整理为一般形式得：-x2+3x-1=0，
可得出a=-1，b=3，c=-1．
故选A
【分析】将一元二次方程整理为一般形式，找出二次项系数a，一次项系数b及常数项c即可．
4．如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）能用公式法求解，那么必须满足的条件是（ ）
A．b2-4ac≥0 B．b2-4ac≤0 C．b2-4ac＞0 D．b2-4ac＜0
【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）能用公式法求解，则b2-4ac≥0；故选A．
【分析】若一元二次方程能用公式法求解，则根的判别式必大于或等于0，由此可判断出正确的选项．
5．方程x2-3x+2=0的最小一个根的倒数是（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】A
【知识点】一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解： x2-3x+2=0，
（x-1）（x-2）=0，
x-1=0或x-2=0，
x1=1或x2=2，
所以方程x2-3x+2=0的最小一个根的倒数是1，
故答案为：A．
【分析】观察方程右边为0，左边可以分解因式，因此利用因式分解法求出方程的解，再求出方程的解中较小一个根的倒数。
6．方程（x-1）（x-2）=1的根是（ ）
A．x1=1，x2=2 B．x1=-1，x2=-2
C．x1=0，x2=3 D．以上都不对
【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】方程整理得：x2-3x+1=0，
这里a=1，b=-3，c=1，
∵△= b2-4ac =9-4=5，
∴x=
故答案为：D
【分析】方程整理为一般形式，找出a，b及c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解
7．已知a是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0较大的实数根，则对a的值估计正确的是（ ）
A．0＜a＜1 B．1＜a＜2 C．2＜a＜3 D．3＜a＜4
【答案】C
【知识点】一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解：解方程x2﹣2x﹣1=0得：x=1± ，
∵a是方程x2﹣2x﹣1=0较大的根，
∴a=1+ ，
∵1＜ ＜2，
∴2＜1+ ＜3，即2＜a＜3．
故答案为：C
【分析】先求出b2-4ac的值，若b2-4ac≥0，然后代入求根公式，求出方程的解，再根据a是方程x2﹣2x﹣1=0较大的根，就可求出a的取值范围。
二、填空题
8．一元二次方程x2-3x-2=0的解是
【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：这里a=1，b=-3，c=-2，
∵△=9+8=17，
∴
【分析】先求出b2-4ac=17，然后代入求根公式，计算可求出方程的解。
9．写出方程x2+x-1=0的一个正根
【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解： 这里a=1，b=1，c=-1，
∵△=1+4=5，
∴
则方程的一个正根为
【分析】先求出b2-4ac=5，再代入求根公式，计算可求出方程的解，再写出方程的正根。
10．当x= 时，代数式x2-8x+12的值是-4．
【答案】-4
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得
x2-8x+12=-4，
∴x2-8x+16=0，
∴△=(-8)2-4×1×16=0，
∴ ，
∴x=4时，代数式x2-8x+12的值是-4
【分析】根据题意建立方程x2-8x+12=-4，将其转化为一般形式，求出b2-4ac=0，再代入求根公式即可求解。
11．利用解一元二次方程的方法，在实数范围内分解因式x2﹣2x﹣1= ．
【答案】(x－1－ )(x－1＋ )
【知识点】实数范围内分解因式；公式法解一元二次方程
【解析】【解答】令x2－2x－1＝0，
解得：x＝1± ，
则原式＝(x－1－ )(x－1＋ )．
故答案为：(x－1－ )(x－1＋ )
【分析】设x2－2x－1＝0，再利用求根公式求出方程的根，再根据ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）（x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，a≠0的两个根），即可解答。
12．已知k＞0，且关于x的方程3kx2+12x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k的值等于 ．
【答案】3
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程3kx2+12x+k+1=0有两个相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=144﹣4×3k×（k+1）=0，
解得k=﹣4或3，
∵k＞0，
∴k=3．
故答案为3
【分析】所给关于x的方程有两个相等的实数根，即方程的判别式等于0，解方程即可求得k的值.
13．（2016九上·武清期中）如果关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根，那么实数a的值为
【答案】﹣1或2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根，
∴△=0，即4a2﹣4（a+2）=0，解得a=﹣1或2．
故答案为：﹣1或2．
【分析】根据方程有两个相等的实数根列出关于a的方程，求出a的值即可．
14．关于x的方程3kx2+12x+2=0有实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】k≤6
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：当k=0时，原方程可化为12x+2=0，解得x=﹣ ；
当k≠0时，此方程是一元二次方程，
∵方程3kx2+12x+2=0有实数根，
∴△≥0，即△=122﹣4×3k×2≥0，解得k≤6．
∴k的取值范围是k≤6．
故答案为：k≤6．
【分析】由于题中时关于x的方程，因此此方程可能是一元一次方程也可能是一元二次方程，分情况讨论：当k=0时；当k≠0时，此方程是一元二次方程，由题意得出b2-4ac≥0，建立关于k的不等式，求解即可。
三、解答题
15．用公式法解方程：
（1） ；
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：∵
∴方程的解为
（2）解：∵ ，
∴方程的解为
（3）解：∵ ，
∴方程的解为
（4）解：将所给方程整理为一般形式
∴方程的解为
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先求出b2-4ac的值，若b2-4ac≥0，代入求根公式，即可解答。
（2）先求出b2-4ac的值，若b2-4ac≥0，代入求根公式，即可解答。
（3）先求出b2-4ac的值，若b2-4ac≥0，代入求根公式，即可解答。
（4）先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再求出b2-4ac=56，然后代入求根公式，可求解。
16．已知关于x的方程x(x－k)＝2－k的一个根为2．
（1）求k的值；
（2）求方程2y(2k－y)＝1的解．
【答案】（1）解：将 代入所给的方程中得：
2(2 k)=2 k，
解得：k=2
（2）解：当k=2时，方程变为：2y(4 y)=1，整理得：
∴
【知识点】一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【分析】（1）将x=2代入方程求出k的值。
（2）将k=2代入方程，得出2y2 8y+1=0，再求出b2-4ac的值，若b2-4ac≥0，然后代入求根公式，即可解答。
17．已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，求这个直角三角形的斜边长
【答案】解：设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b．
∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，
∴a+b=4，ab=3.5；
根据勾股定理可得：c2=a2+b2=（a+b）2-2ab=16-7=9，
∴c=3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；勾股定理
【解析】【分析】根据根与系数的关系，求出两根之积与两根之和的值，再根据勾股定理列出直角三角形三边之间的关系式，然后将此式化简为两根之积与两根之和的形式，最后代入两根之积与两根之和的值进行计算。
18．已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+4=0有两个相等的实数根，求m的值．
【答案】解：∵x2+（2m﹣1）x+4=0有两个相等的实数根，
∴△=（2m﹣1）2﹣4×4=0，
解得m=﹣ 或m=
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】一元二次方程有两个实数根，那么其判别式等于0，解方程即可求得m的值.
19．已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣4）=p2，p为实数．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）
【答案】（1）解：原方程可化为x2﹣5x+4﹣p2=0，
∵△=（﹣5）2﹣4×（4﹣p2）=4p2+9＞0，
∴不论p为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：原方程可化为x2﹣5x+4﹣p2=0，
∵方程有整数解，
∴ 为整数即可，
∴p可取0，2，﹣2时，方程有整数解
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【分析】（1）先对其判别式进行化简，最终可判断其大于0，所以可判断方程有两个不相等的实数根；（2）先利用求根公式写出方程的根，再根据其根为整数，可以尝试几个p的值，并选出3个使其为整数即可.
20．定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n=m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3☆2=（﹣3）2×2+2=20．根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断方程：2x2﹣bx+a=0的根的情况．
【答案】解：∵2☆a的值小于0，∴22a+a=5a＜0，解得：a＜0．在方程2x2﹣bx+a=0中，△=（﹣b）2﹣8a≥﹣8a＞0，∴方程2x2﹣bx+a=0有两个不相等的实数根．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】由2☆a的值小于0，可得出a的取值范围，再求出一元二次方程根的判别式b2-4ac，再根据a的取值范围得出b2-4ac的值的情况，就可判断2x2﹣bx+a=0的根的情况。
1 / 12018-2019学年数学北师大版九年级上册2.3用公式法解一元二次方程 同步训练
一、选择题
1．用公式法解方程x2-2=-3x时，a，b，c的值依次是（ ）
A．0，-2，-3 B．1，3，-2 C．1，-3，-2 D．1，-2，-3
2．用公式法解方程（x+2）2=6（x+2）-4时，b2-4ac的值为（ ）
A．52 B．32 C．20 D．-12
3．方程-x2+3x=1用公式法求解，先确定a，b，c的值，正确的是（ ）
A．a=-1，b=3，c=-1 B．a=-1，b=3，c=1
C．a=-1，b=-3，c=-1 D．a=1，b=-3，c=-1
4．如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）能用公式法求解，那么必须满足的条件是（ ）
A．b2-4ac≥0 B．b2-4ac≤0 C．b2-4ac＞0 D．b2-4ac＜0
5．方程x2-3x+2=0的最小一个根的倒数是（ ）
A．1 B．2 C． D．4
6．方程（x-1）（x-2）=1的根是（ ）
A．x1=1，x2=2 B．x1=-1，x2=-2
C．x1=0，x2=3 D．以上都不对
7．已知a是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0较大的实数根，则对a的值估计正确的是（ ）
A．0＜a＜1 B．1＜a＜2 C．2＜a＜3 D．3＜a＜4
二、填空题
8．一元二次方程x2-3x-2=0的解是
9．写出方程x2+x-1=0的一个正根
10．当x= 时，代数式x2-8x+12的值是-4．
11．利用解一元二次方程的方法，在实数范围内分解因式x2﹣2x﹣1= ．
12．已知k＞0，且关于x的方程3kx2+12x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k的值等于 ．
13．（2016九上·武清期中）如果关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根，那么实数a的值为
14．关于x的方程3kx2+12x+2=0有实数根，则k的取值范围是 ．
三、解答题
15．用公式法解方程：
（1） ；
（2）
（3）
（4）
16．已知关于x的方程x(x－k)＝2－k的一个根为2．
（1）求k的值；
（2）求方程2y(2k－y)＝1的解．
17．已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，求这个直角三角形的斜边长
18．已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+4=0有两个相等的实数根，求m的值．
19．已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣4）=p2，p为实数．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）
20．定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n=m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3☆2=（﹣3）2×2+2=20．根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断方程：2x2﹣bx+a=0的根的情况．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】整理得：x2+3x-2=0，
这里a=1，b=3，c=-2．
故选B．
【分析】方程整理为一般形式，找出a，b，c的值即可
2．【答案】C
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】∵（x+2）2=6（x+2）-4
∴x2-2x-4=0
∴a=1，b=-2，c=-4
∴b2-4ac =4+16=20．
故选C．
【分析】此题考查了公式法解一元一次方程，解此题时首先把方程化简为一般形式，然后找a、b、c，最后求出判别式的值
3．【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】将-x2+3x=1整理为一般形式得：-x2+3x-1=0，
可得出a=-1，b=3，c=-1．
故选A
【分析】将一元二次方程整理为一般形式，找出二次项系数a，一次项系数b及常数项c即可．
4．【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）能用公式法求解，则b2-4ac≥0；故选A．
【分析】若一元二次方程能用公式法求解，则根的判别式必大于或等于0，由此可判断出正确的选项．
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解： x2-3x+2=0，
（x-1）（x-2）=0，
x-1=0或x-2=0，
x1=1或x2=2，
所以方程x2-3x+2=0的最小一个根的倒数是1，
故答案为：A．
【分析】观察方程右边为0，左边可以分解因式，因此利用因式分解法求出方程的解，再求出方程的解中较小一个根的倒数。
6．【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】方程整理得：x2-3x+1=0，
这里a=1，b=-3，c=1，
∵△= b2-4ac =9-4=5，
∴x=
故答案为：D
【分析】方程整理为一般形式，找出a，b及c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解：解方程x2﹣2x﹣1=0得：x=1± ，
∵a是方程x2﹣2x﹣1=0较大的根，
∴a=1+ ，
∵1＜ ＜2，
∴2＜1+ ＜3，即2＜a＜3．
故答案为：C
【分析】先求出b2-4ac的值，若b2-4ac≥0，然后代入求根公式，求出方程的解，再根据a是方程x2﹣2x﹣1=0较大的根，就可求出a的取值范围。
8．【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：这里a=1，b=-3，c=-2，
∵△=9+8=17，
∴
【分析】先求出b2-4ac=17，然后代入求根公式，计算可求出方程的解。
9．【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解： 这里a=1，b=1，c=-1，
∵△=1+4=5，
∴
则方程的一个正根为
【分析】先求出b2-4ac=5，再代入求根公式，计算可求出方程的解，再写出方程的正根。
10．【答案】-4
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得
x2-8x+12=-4，
∴x2-8x+16=0，
∴△=(-8)2-4×1×16=0，
∴ ，
∴x=4时，代数式x2-8x+12的值是-4
【分析】根据题意建立方程x2-8x+12=-4，将其转化为一般形式，求出b2-4ac=0，再代入求根公式即可求解。
11．【答案】(x－1－ )(x－1＋ )
【知识点】实数范围内分解因式；公式法解一元二次方程
【解析】【解答】令x2－2x－1＝0，
解得：x＝1± ，
则原式＝(x－1－ )(x－1＋ )．
故答案为：(x－1－ )(x－1＋ )
【分析】设x2－2x－1＝0，再利用求根公式求出方程的根，再根据ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）（x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，a≠0的两个根），即可解答。
12．【答案】3
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程3kx2+12x+k+1=0有两个相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=144﹣4×3k×（k+1）=0，
解得k=﹣4或3，
∵k＞0，
∴k=3．
故答案为3
【分析】所给关于x的方程有两个相等的实数根，即方程的判别式等于0，解方程即可求得k的值.
13．【答案】﹣1或2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根，
∴△=0，即4a2﹣4（a+2）=0，解得a=﹣1或2．
故答案为：﹣1或2．
【分析】根据方程有两个相等的实数根列出关于a的方程，求出a的值即可．
14．【答案】k≤6
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：当k=0时，原方程可化为12x+2=0，解得x=﹣ ；
当k≠0时，此方程是一元二次方程，
∵方程3kx2+12x+2=0有实数根，
∴△≥0，即△=122﹣4×3k×2≥0，解得k≤6．
∴k的取值范围是k≤6．
故答案为：k≤6．
【分析】由于题中时关于x的方程，因此此方程可能是一元一次方程也可能是一元二次方程，分情况讨论：当k=0时；当k≠0时，此方程是一元二次方程，由题意得出b2-4ac≥0，建立关于k的不等式，求解即可。
15．【答案】（1）解：∵
∴方程的解为
（2）解：∵ ，
∴方程的解为
（3）解：∵ ，
∴方程的解为
（4）解：将所给方程整理为一般形式
∴方程的解为
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先求出b2-4ac的值，若b2-4ac≥0，代入求根公式，即可解答。
（2）先求出b2-4ac的值，若b2-4ac≥0，代入求根公式，即可解答。
（3）先求出b2-4ac的值，若b2-4ac≥0，代入求根公式，即可解答。
（4）先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再求出b2-4ac=56，然后代入求根公式，可求解。
16．【答案】（1）解：将 代入所给的方程中得：
2(2 k)=2 k，
解得：k=2
（2）解：当k=2时，方程变为：2y(4 y)=1，整理得：
∴
【知识点】一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【分析】（1）将x=2代入方程求出k的值。
（2）将k=2代入方程，得出2y2 8y+1=0，再求出b2-4ac的值，若b2-4ac≥0，然后代入求根公式，即可解答。
17．【答案】解：设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b．
∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，
∴a+b=4，ab=3.5；
根据勾股定理可得：c2=a2+b2=（a+b）2-2ab=16-7=9，
∴c=3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；勾股定理
【解析】【分析】根据根与系数的关系，求出两根之积与两根之和的值，再根据勾股定理列出直角三角形三边之间的关系式，然后将此式化简为两根之积与两根之和的形式，最后代入两根之积与两根之和的值进行计算。
18．【答案】解：∵x2+（2m﹣1）x+4=0有两个相等的实数根，
∴△=（2m﹣1）2﹣4×4=0，
解得m=﹣ 或m=
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】一元二次方程有两个实数根，那么其判别式等于0，解方程即可求得m的值.
19．【答案】（1）解：原方程可化为x2﹣5x+4﹣p2=0，
∵△=（﹣5）2﹣4×（4﹣p2）=4p2+9＞0，
∴不论p为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：原方程可化为x2﹣5x+4﹣p2=0，
∵方程有整数解，
∴ 为整数即可，
∴p可取0，2，﹣2时，方程有整数解
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【分析】（1）先对其判别式进行化简，最终可判断其大于0，所以可判断方程有两个不相等的实数根；（2）先利用求根公式写出方程的根，再根据其根为整数，可以尝试几个p的值，并选出3个使其为整数即可.
20．【答案】解：∵2☆a的值小于0，∴22a+a=5a＜0，解得：a＜0．在方程2x2﹣bx+a=0中，△=（﹣b）2﹣8a≥﹣8a＞0，∴方程2x2﹣bx+a=0有两个不相等的实数根．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】由2☆a的值小于0，可得出a的取值范围，再求出一元二次方程根的判别式b2-4ac，再根据a的取值范围得出b2-4ac的值的情况，就可判断2x2﹣bx+a=0的根的情况。
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