江西省宁冈县中2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题（含解析）

宁冈县中2023-2024学年高二上学期11月期中考试
数学
一、单选题（每题5分，共40分）
1．已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．直线的斜率为（ ）
A．1 B． C． D．
3．经过点，且与直线平行的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．直线与直线的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．若圆的半径为2，则实数的值为（ ）
A．-9 B．-8 C．9 D．8
6．平面内点P到、的距离之和是10，则动点P的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知圆O：和点，点，M为圆O上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．设抛物线的准线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于，两点．设线段的中点为，过点作轴的平行线交抛物线于点．已知的面积为2，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每题5分，共20分）
9．已知椭圆的焦距是，则m的值可能是（ ）
A． B．13 C． D．19
10．已知圆和点，则过点的圆的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．已知双曲线C：，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的实轴长为2
B．若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则
C．若是双曲线C的一个焦点，则
D．若，则双曲线C上的点到焦点距离最小值为2
12．过抛物线上一点作圆：的两条切线，切点为，，则（ ）
A．使的点共有2个
B．既有最大值又有最小值
C．使四边形面积最小的点有且只有一个
D．直线过定点
三、填空题（共20分）
13．双曲线的离心率是 .
14．函数的最小值为 ．
15．过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是 ．
16．已知、为椭圆的左、右焦点，点为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为 .
四、解答题（共70分）
17．在平面直角坐标系中，已知抛物线：经过点，求抛物线C的方程；
18．已知复数z满足（i是虚数单位）
(1)求z的值；
(2)若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数m的取值范围.
19．已知直线，求:
(1)求直线的斜率；
(2)若直线与平行，且过点，求直线的方程.
20．已知圆，直线过点.
(1)当直线与圆相切时，求直线的斜率；
(2)线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.
21．已知点，，动点P满足，设P的轨迹为C．
(1)求C的轨迹方程；
(2)若过点A的直线与C交于M，N两点，求取值范围．
22．已知点A为圆上任意一点，点的坐标为，线段的垂直平分线与直线交于点．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)设轨迹E与轴分别交于两点（在的左侧），过的直线与轨迹交于两点，直线与直线的交于，证明：在定直线上．
标准答案
1．A
因为，所以，而是集合，与的关系不应该是属于关系，而应该是包含关系.
故选:A
2．C
由，得，
所以直线的斜率为．
故选：C．
3．A
令所求直线方程为，则，
所以，所求直线为（或）.
故选：A
4．B
由解得，
所以交点为.
故选：B
5．D
由，得，
所以，解得.
故选：D.
6．B
由题意，
平面内点P到、的距离之和是10，
∴动点的轨迹为椭圆,焦点在轴上,
, 解得：，
∴，
∴轨迹方程为: ，
故选: B.
7．C
取，连接，
则，又，
所以，
又，故∽，
故，从而，
所以，
当三点共线时，取得最小值，
最小值为.
故选：C
8．A
解：

如上图，由题意，抛物线的准线为，可得．
∵直线与抛物线交于，两点，∴直线的斜率存在且不为，
∴设直线方程为，
将其代入，化简并整理得：．
由，得．
设，，则，，
∴．
∵是的中点，∴．过点平行轴的直线为，
与抛物线交点为知，所以．
又∵，则，
∴的面积．
由已知条件知，∴，解得（满足），解得：.
∴直线的方程为，即，
∴直线的斜率为．
故选：A．
9．BD
由题知，
或，
解得或.
故选：BD
10．CD
因为圆，点，
当过点与圆相切的直线的斜率存在时，设切线方程为，
则，解得，从而切线方程为；
当过点的直线的斜率不存在时，直线方程为，
容易验证，直线与圆相切.
故过点的圆的切线方程为或，
故选：CD.
11．BC
由双曲线C：且，则实轴长为，A错；
由渐近线为，若相互垂直，则，B对；
由为焦点，则，则，C对；
若，则双曲线C：，故双曲线C上的点到焦点距离最小值为，D错.
故选：BC
12．AC
解：

对选项A，如上图，要使，又由于为切线，
则，，，
所以四边形是正方形，且有.
所以，对于圆，使得切线的点构成的轨迹是
圆心为点、半径为的圆（图中虚线圆），
该圆与抛物线有两个交点.
在处，圆的两条切线圆、相互垂直；
在处，圆的两条切线圆、相互垂直；
综上知，使的点共有2个，故A正确；

连接、，如上图，由直线与圆的位置关系知，
，，.
设，则，即有，且，
又因为，所以
，
由二次函数知当时取得最小值，此时对应抛物线顶点，
即，当点位于抛物线顶点时取得最小值.
对选项B，因为在直角中，，
所以，
当取得最小值时，取得最小值；
但是随着点沿抛物线向上移动，可以无限变大，
无限接近于，但没有最大值，故B错误；
对选项C，因为，
又知当点位于抛物线顶点时取得最小值，
所以，使四边形面积最小的点有且只有一个，故C正确；
对选项D，假设直线过定点，则该定点必为所在任意两条
不同直线的交点，
当点位于点时，所在直线为；
当点位于点时，所在直线为，
这两条直线交点为.
但是，当点位于点时，所在直线不过点，
这与假设矛盾，故假设不真，即不过定点，故D错误.
故选：AC.
13．
由双曲线可知：，
所以，
所以双曲线的离心率为：.
故答案为：.
14．
因为，
所以，函数的几何意义为轴上的点到点、的距离之和，
即，如下图所示：
由图可知，当点、、三点共线时，取最小值，
且.
故答案为：.
15．
，即交点为.
设垂直于直线的直线为，
代入得：，解得，
所求直线为.
故答案为：
16．
根据题意画出图象如下图所示：

利用椭圆定义可知，且；
又，利用余弦定理可知：
，
化简可得；
所以的面积为；
设的外接圆半径为，内切圆半径为；
由正弦定理可得，可得；
易知的周长为，
利用等面积法可知，解得；
又的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，即，
所以，即可得，所以；
离心率.
故答案为：.
17．.
因为抛物线：经过点，
则，解得，
故抛物线的方程为.
18．(1)；
(2).
（1）由，得.
（2）由（1）知，
，由复数在复平面内对应的点在第三象限，
得，解得，
所以实数m的取值范围为.
19．(1)
(2)
（1）直线，即的斜率为.
（2）若直线与平行，则斜率为，又过点，
故直线的方程为，即.
20．(1)
(2)
（1）已知的圆心是，半径是，
设直线斜率为
则直线方程是，即，
则圆心到直线距离为，
解得直线的斜率.
（2）设点则，
由点是的中点得，
所以①
因为在圆上运动，所以②
①代入②得，
化简得点的轨迹方程是.
21．(1)
(2)
（1）设P点坐标为，
由可得，
化简得，即C的轨迹方程为；
（2）由题意知直线MN的斜率不存在时，不妨取，
此时；
直线MN的斜率存在时，设直线的方程为，
联立，整理得，
由于直线过内一点，必有，

设，则，
则
，
由于，故，
综合以上可知.
22．(1)
(2)证明见解析
（1）由得，其半径为4，
因为线段的垂直平分线与直线交于点，

故，则,
而，故点的轨迹为以为焦点的双曲线，
则，
故点的轨迹的方程为.
（2）证明：由题意知，

若直线l斜率为0，则其与双曲线的交点为双曲线的两顶点，不合题意；
故直线l的斜率不能为0，故设其方程为，
联立，得，，
故，
设，则直线的方程为，
直线的方程为，
故，
则，
即，解得，
故直线与直线的交点在定直线上.