章末复习小结（3）
基本技能、基本思想方法和基本活动经验教学设计
学习目标：
体会从特殊到一般的学习方法.
以特殊的等腰三角形为例，体会从特殊到一般的数学思想.（重点）
3.在复杂的图形中抽象、构造全等三角形，解决实际问题.（难点）
(
有关概念
)一、知识梳理
线段的垂直平分线 (
轴对称
)
轴对称的有关性质
(
画法
) (
画轴对称图形
)
(
成轴对称的点的坐标之间的关系
) (
轴对称
)
(
等腰三角形的性质
)
(
等边三角形
) (
等腰三角形的判定
) (
等腰三角形
)
(
含30°角的直角三角形的性质
)
(
最短路径问题
)
直击考点
例1 如图，△ABC，△BDE是等边三角形，∠CBE=90°.连接AE，CD交于点F，AE，BC交于点G.
（1）求证：△ABE≌△CBD
（2）求∠DFE的度数.
（3）若去掉条件
∠CBE=90°，这两个
三角形还全等吗？
归纳：
小试牛刀：
1.如图，△ABC，△BDE是等边三角形，连接AE，CD.
（1）求证：△ABE≌△CBD
（2）当点A，C，D共线时，求∠BAE的度数.
例2 如图，△ABC
△ADE是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，
求证：⑴△ACD≌△AEB；
⑵CD，BE的关系；
归纳：
小试牛刀：
2. 如图，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BE、CD交于F，
求证：⑴BE＝CD；⑵BE⊥CD；
教师引导，归纳总结：
拓展提高：
如图，在等边△ABC 中，已知点D在AC上，点E在BA的延长线上，
且DE=DB.
（1）如图1，当点D是AC的中点时，CD和AE有何数量关系，为什么？
如图2，当点D为AC上任意一点时，（1）中的结论还成立吗？为什么？
（3）如图3，在等边△ABC ，点D在直线AC上，点E在BA的延长线上，且DE=DB.
若△ABC 的边长为3，CD=4，
求BE的长.
(
图
2
) (
图
1
)
(
图
3
)
三、课堂小结
本节课，你学到了什么数学知识？
学会了哪些学习方法？
四、布置作业
见精准作业单章末复习小结（3）
基本技能、基本思想方法和基本活动经验教学设计
学习目标：
体会从特殊到一般的学习方法.
以特殊的等腰三角形为例，体会从特殊到一般的数学思想.（重点）
3.在复杂的图形中抽象、构造全等三角形，解决实际问题.（难点）
(
有关概念
)一、知识梳理
线段的垂直平分线 (
轴对称
)
轴对称的有关性质
(
画法
) (
画轴对称图形
)
(
成轴对称的点的坐标之间的关系
) (
轴对称
)
(
等腰三角形的性质
)
(
等边三角形
) (
等腰三角形的判定
) (
等腰三角形
)
(
含30°角的直角三角形的性质
)
(
最短路径问题
)
直击考点
例1 如图，△ABC，△BDE是等边三角形，∠CBE=90°.连接AE，CD交于点F，AE，BC交于点G.
（1）求证：△ABE≌△CBD
（2）求∠DFE的度数.
（3）若去掉条件
∠CBE=90°，这两个
三角形还全等吗？
（1）证明：∵△ABC，△BDE是等边三角形
∴∠ABC=∠DBE=60°，AB=BC，BE=BD
又∵∠CBE=90°
∴∠ABE=∠CBD=160°
在△ABE和△CBD中，
∴ △ABE≌△CBD
（2） 由（1）知，△ABE≌△CBD
∴∠BEA=∠BDC
∵∠EHF=∠DHB ∴∠DFE=∠DBE=60°
全等.
归纳：如果等边三角形共顶点，那么将两条边分配到不同的两个三角形中会得到全等三角形，会发现某些线段在数量和位置上有着特殊的关系.
小试牛刀：
1.如图，△ABC，△BDE是等边三角形，连接AE，CD.
（1）求证：△ABE≌△CBD
（2）当点A，C，D共线时，求∠BAE的度数.
（1）证明：∵△ABC
△BDE是等边三角形，
∴∠ABC=∠DBE=60°，AB=BC，BE=BD
∴∠ABE=∠CBD
在△ABE和△CBD中，
∴ △ABE≌△CBD
（2）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°
由（1）知， △ABE≌△CBD
则：∠BAE=∠BAC
∴∠BAE=180°-∠ACB=120°
例2 如图，△ABC
△ADE是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，
求证：⑴△ACD≌△AEB；
⑵CD，BE的关系；
证明：（1）ABC和△ADE是等腰直角三角形
∴∠BAC=∠EAD=90°
AB=AC，AD=AE.
∴∠CAD=∠BAE
在△ACD和△ABE中，
∴△ACD≌△ABE
（2）由（1）知，CD=BE.
如图，延长CD，交BE于点F，
交AB于点G.
由（1）知，△ACD≌△ABE
∵∠ACG=∠FBG，∠AGC=∠BGF
∴ ∠BFC=∠BAC=90°
∴ CD⊥BE
归纳：如果等腰直角三角形共顶点，那么将两条边分配到不同的两个三角形中会得到全等三角形，会发现某些线段在数量和位置上有着特殊的关系.
小试牛刀：
2. 如图，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BE、CD交于F，
求证：⑴BE＝CD；⑵BE⊥CD；
证明：（1）ABC和△ADE是等腰直角三角形
∴∠BAC=∠EAD=90°
AB=AC，AD=AE.
∴∠CAD=∠BAE
在△ACD和△ABE中，
∴△ACD≌△ABE ∴BE=CD
（2）由（1）知，△ACD≌△ABE
∵∠ACD=∠ABE，∠EGC=∠AGB
∴ ∠BFC=∠BAC=90°
∴ CD⊥BE
教师引导，归纳总结：
如果特殊的等腰三角形共顶点，那么将两条边分配到不同的两个三角形中会得到全等三角形，会发现某些线段在数量和位置上有着特殊的关系.
拓展提高：
如图，在等边△ABC 中，已知点D在AC上，点E在BA的延长线上，
且DE=DB.
（1）如图1，当点D是AC的中点时，CD和AE有何数量关系，为什么？
如图2，当点D为AC上任意一点时，（1）中的结论还成立吗？为什么？
（3）如图3，在等边△ABC ，点D在直线AC上，点E在BA的延长线上，且DE=DB.
若△ABC 的边长为3，CD=4，
求BE的长.
(
图
2
) (
图
1
)
(
图
3
)
解：（1）CD=AE
∵ △ABC是等边三角形∴ ∠BAC= ∠ABC= 60°
∵点D是AC的中点
∴ ∠ABD=1/2 ∠ABC=30°
CD=AD
∵DE=DB
∴ ∠E=∠ABD=30°
∴ ∠ADE=∠BAC ∠E=30°
∴ AD=AE ∴ CD=AE
（2）成立
如图2，过点D作DF∥AB，交BC于点F.
∴ ∠BDF=∠DBE
∵DE=DB
则 ∠DBE=∠E ∴ ∠E=∠BDF
∵ △ABC是等边三角形
则： ∠BAC= ∠C=∠ABC= 60°，AC=BC
∴ ∠CDF=∠BAC=60°，∠DAE=120°
∴ DF=CF=CD，AD=FB，∠BFD=120°=∠DAE
∴ △ADE≌△FBD
∴ AE =DF=CD
∴ CD=AE
（3）如图3，在AE上取一点F，使得AF=AD.
∵△ABC是等边三角形
∴ ∠DAF=∠BAC=60°
∴ △ADF是等边三角形
DE=DA，∠DFE=∠DAB=120°
∵DE=DB
则 ∠E=∠ABD
∴△DEF≌△DBA
∴EF=AB=3，AF=AD=CD-AC=1
∴BE=7
三、课堂小结
本节课，你学到了什么数学知识？
学会了哪些学习方法？
四、布置作业
见精准作业单
五、板书设计
章末复习小结（3）
等腰三角形的性质
等腰三角形的判定
思想方法：
特殊到一般，转化.章末复习小结（3）基本技能、基本思想方法和基本活动经验
精准作业设计
课前诊断
1.如图，在等边三角形中，点，分别在，上，且，与交于点，在上取一点，使，连接．求证：是等边三角形．
精准作业
必做题
2.如图，已知△ABD和△AEC中，AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC＝60°，CD、BE相交于点P．
（1）用全等三角形判定方法证明：BE＝DC；
（2）求∠BPC的度数；
3.如图所示,以△ABC的两边AB、AC为边向外作等边△ABD和等边△ACE,DC、BE相交于点O.
(1)求证:DC=BE；
(2)求∠BOC的度数；
(3)当∠BAC的度数发生变化时,∠BOC的度数是否变化 若不变化,请求出∠BOC的度数;若发生变化,请说明理由.
探究题
4.（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC边上的任意点（不含端点B，C），连接AM，以A为边作等边△AMN，并连接CN，
①求证：△ABM≌△ACN；
②求证：AB＝CN+CM；
（2）【类比探究】如图2，在等边△ABC中，若点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其他条件不变，则AB＝CN+CM是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出AB，CN，CM三者之间的数量关系，并给予证明．
第十三章 章末复习小结（3）基本技能、基本思想方法和基本活动经验
精准作业答案
1．证明：为等边三角形，
，．
又，
，
，．
又，是等边三角形．
2.（1）证明：∵∠DAB＝∠EAC，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴DC=BE；
（2）解：∵AD＝AB，∠DAB＝60°
∴△DAB是等边三角形，
∴∠ADB=∠DBA=60°，
∵△DAC≌△BAE，
∴∠ADC=∠ABE，
∠BPC是△DBP的外角，
∴∠BPC=∠PBD+∠PDB=∠ABD+∠ABE+∠ADB-∠ADC=60°+∠ABE+60°-∠ABE=120°．
3.（1）证明：∵△ADB和△AEC都是等边三角形，
∴∠DAB=∠EAC=60°，AD=AB，AE=AC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS）；
∴DC=BE
（2）解：∵△DAC≌△BAE，
∴∠ADC=∠ABE，
∴∠ODB+∠OBD=∠ADB-∠ADC+∠ABD+∠ABE=∠ADB+∠ABD=120°，
∴∠BOC=∠ODB+∠OBD=120°，
（3）解：∵由（2）可得∠ODB+∠OBD=∠ADB+∠ABD，
∴∠BOC和∠BAC大小无关．
4.（1）①证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，
∵△AMN是等边三角形，
∴AM＝MN＝AN，∠MAN＝∠AMN＝∠ANM＝60°，
∴∠BAC ∠MAC＝∠MAN ∠MAC，即∠BAM＝∠CAN，
在△BAM和△CAN中，
，
∴△BAM≌△CAN（SAS）；
②∵△BAM≌△CAN，
∴BM＝CN，
∴AB＝BC＝BM＋CM＝CN＋CM；
（2）解：AB＝CN＋CM不成立，AB＝CN CM，
由（1）可知，∠BAC＝∠MAN，
∴∠BAC＋∠MAC＝∠MAN＋∠MAC，即∠BAM＝∠CAN，
在△BAM和△CAN中，，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴BM＝CN，
∴AB＝BC＝BM CM＝CN CM．
3 / 3(共24张PPT)
第十三章 章末复习小结（3）基本技能、基本思想方法和基本活动经验
人教版.八年级上册
轴对称
轴对称
轴对称的有关性质
线段的垂直平分线
有关概念
画轴对称图形
成轴对称的点的坐标之间的关系
画法
等腰三角形
最短路径问题
含30°角的直角三角形的性质
等边三角形
等腰三角形的判定
等腰三角形的性质
知识梳理
直击考点
例1 如图，，是等边三角形，CBE=90°.连接AE，CD交于点F，AE，BC交于点G.
（1）求证：≌△CBD
（2）求DFE的度数.
（3）若去掉条件
CBE=90°，这两个
三角形还全等吗？
特殊到一般
直击考点
（1）证明：∵是等边三角形
∴∠ABC=∠DBE=60°，AB=BC，BE=BD
又∵∠CBE=90°
∴∠ABE=∠CBD=160°
在ABE和CBD中，
∴ ABE≌CBD
（2） 由（1）知，ABE≌CBD
∴BEA=BDC
∵EHF=DHB ∴DFE=60°
（3）全等.
知识归纳
如果等边三角形共顶点，那么将两条边分配到不同的两个三角形中会得到全等三角形，会发现某些线段在数量和位置上有着特殊的关系.
小试牛刀
1.如图，，是等边三角形，连接AE，CD.
（1）求证：≌△CBD
（2）当点A，C，D共线时，求BAE的度数.
（1）证明：∵是等边三角形，
∴∠ABC=∠DBE=60°，AB=BC，BE=BD
∴∠ABE=∠CBD
在ABE和CBD中，
∴ ABE≌CBD
小试牛刀
1.如图，，是等边三角形，连接AE，CD.
（1）求证：≌△CBD
（2）当点A，C，D共线时，求BAE的度数.
（2）解：∵是等边三角形，
∴∠ACB=60°
由（1）知， ABE≌CBD
则：∠BAE=∠BAC
∴∠BAE=180°-∠ACB=120°
例2 如图，
是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，
求证：⑴≌△AEB；
⑵CD，BE的关系；
直击考点
直击考点
证明：（1）和ADE是等腰直角三角形
°
AB=AC，AD=AE.
在△ACD和△ABE中，
△ACD≌△ABE
直击考点
（2）由（1）知，CD=BE
如图，延长CD，交BE于点F，
交AB于点G.
由（1）知，△ACD≌△ABE
∵ACG=FBG，AGC=BGF
BFC=BAC=90°
CDBE
知识归纳
如果等腰直角三角形共顶点，那么将两条边分配到不同的两个三角形中会得到全等三角形，会发现某些线段在数量和位置上有着特殊的关系.
2. 如图，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BE、CD交于F，
求证：⑴BE＝CD；⑵BE⊥CD；
小试牛刀
小试牛刀
证明：（1）和ADE是等腰直角三角形
°
AB=AC，AD=AE.
在△ACD和△ABE中，
△ACD≌△ABEBE=CD
小试牛刀
（2）由（1）知，△ACD≌△ABE
∵ACD=ABE，EGC=AGB
BFC=BAC=90°
CDBE
知识归纳
如果特殊的等腰三角形共顶点，那么将两条边分配到不同的两个三角形中会得到全等三角形，会发现某些线段在数量和位置上有着特殊的关系.
如图，在等边△ABC 中，已知点D在AC上，点E在BA的延长线上，
且DE=DB.
（1）如图1，当点D是
AC的中点时，CD和AE
有何数量关系，为什么？
拓展提高
图1
拓展提高
图1
解：（1）CD=AE
∵ △ABC是等边三角形 60°
∵点D是AC的中点
ABD=°
CD=AD
∵DE=DB
E=ABD=°
ADE=
AD=AE CD=AE
（2）如图2，当点D为AC上任意一点时，（1）中的结论还成立吗？
为什么？
拓展提高
图2
F
拓展提高
（2）成立
如图，过点D作DFAB，交BC于点F.
BDF=
∵DE=DB
则 =BDF
∵ △ABC是等边三角形
60°，AC=BC
CDF=BAC=60°，DAE=120°
DF=CF=CD，AD=FB，BFD=120°=DAE
△ADE≌△FBD
AE =DF=CD
CD=AE
（3）如图3，在等边△ABC ，点D在直线AC上，点E在BA的延长线上，且DE=DB.
若△ABC 的边长为3，CD=4，
求BE的长.
拓展提高
图3
F
拓展提高
解：如图，在AE上取一点F，使得AF=AD.
∵△ABC是等边三角形
DAF=BAC=60°
△ADF是等边三角形
DE=DA，DFE=DAB=120°
∵DE=DB
则 E=ABD
△DEF≌△DBA
3，AF=AD=CD-AC=1
BE=7
本节课，你学到了什么数学知识？
学会了哪些学习方法？
课堂小结
见精准作业
布置作业
谢谢大家！
