江西省宁冈县中2023-2024学年高三上学期11月期中考试数学试题（含解析）

宁冈县中2023-2024学年高三上学期11月期中考试
数学
一、单选题（每题5分，共40分）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．点P为x轴上的点，A（-1，2），B（0，3），以A，B，P为顶点的三角形的面积为，则点P的坐标为（ ）
A．（4，0）或（10，0） B．（4，0）或（-10，0）
C．（-4，0）或（10，0） D．（-4，0）或（11，0）
3．从10名大学毕业生中选3人担任村主任助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为(　　)
A．85 B．56
C．49 D．28
4．已知向量，，若，则（ ）
A．1 B． C． D．2
5．已知等比数列满足，则(　　)
A．－20 B．－30 C．－40 D．－60
6．等差数列中，若，则的值是（　　）
A．14 B．15 C．16 D．17
7．已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，以为圆心的圆与x轴交于，B两点，与y轴正半轴交于点A，线段与C交于点M．若与C的焦距的比值为，则C的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每题5分，共20分）
9．已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C．向量与向量的夹角是120° D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为
10．已知等差数列，其前n项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B．使的的最大值为 C．公差 D．当时最大
11．设抛物线的焦点为，为抛物线上一动点，当运动到时，，下列结论正确的是（ ）．
A．抛物线的方程为
B．抛物线的准线方程为
C．已知点，则的最小值为6
D．以为直径的圆与轴相切
12．已知函数，则（ ）
A．有一个极值点
B．没有零点
C．直线是曲线的切线
D．曲线关于直线对称
三、填空题（共20分）
13．在等比数列中，若，，则数列的公比为 .
14．长为2a的线段AB的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，则AB的中点P的轨迹方程为 ．
15．设是定义在R上的奇函数，当时，，且，则不等式的解集为
16．已知函数，，若，则的最小值为 .
四、解答题（共70分）
17．在正项等比数列中，，且，的等差中项为．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和为．
18．某校高三年级同学进行体育测试，测试成绩分为优秀、良好、合格三个等级．测试结果如下表（单位：人）
优秀 良好 合格
男 180 70 20
女 120 a 30
按优秀、良好、合格三个等级分层，从中抽取50人，其中成绩为优的有30人．
（1）求a的值；
（2）若用分层抽样的方法，在合格的同学中按男女抽取一个容量为5的样本，从中任选2人，记X为抽取女生的人数，求X的分布列及数学期望．
19．如图，在四棱锥中，底面，，底面为直角梯形，，，，点在棱上，且．

(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
20．已知数列与的前项和分别为和，且对任意，恒成立.
(1)若，，求；
(2)若对任意，都有及恒成立，求正整数的最小值.
21．如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：和椭圆：，其中，，，的离心率分别为，，且满足，，分别是椭圆的右、下顶点，直线与椭圆的另一个交点为，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）与椭圆相切的直线交椭圆与点，，求的最大值.
22．设函数．
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）若有两个不等的零点，，求实数的取值范围；
（3）求证：在（2）的条件下．
标准答案
1．B
解：因为，，
所以，
故选：.
2．B
根据题意，设点的坐标为，则
，故直线为：，即，
故到直线上的距离为：，
又因为，
所以由 得，
解得或，即为或.
故选：B.
3．C
根据题意：，故选C.
4．B
由，则，即
则，所以
则
故选：B
5．B
由题意得，得，解得，
故
故选：B
6．C
解：依题意，由，得，即
所以
故选C
7．D
设双曲线的半焦距为，因为以为圆心的圆过，故该圆的半径为，
故其方程为：，
令，则，结合在轴正半轴上，故，
令，则或，故.
故，故直线.
设，
因为在轴的正半轴上，在轴的负半轴上，故，
而，
故，整理得到：，
故，故，
所以，故，
解得或，又因为，则，
则，.
故选：D.

8．C
因为，
构建，则，
令，解得；令，解得；
则在上单调递减，在上单调递增，可得，
所以，当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时是，等号成立，
令，则在上恒成立，
则在上单调递增，可得，
所以，
可得：当时，则，且，
所以，
令，则，即；
又因为，则，
可得，则，
令，则，可得，即；
综上所述：.
故选：C.
9．ABC
由向量的加法得到：，，，所以正确；
，，，即，故正确；
是等边三角形，，又，异面直线与所成的夹角为，但是向量与向量的夹角是，故正确；
，，故，因此不正确．
故选：ABC．
10．ACD
等差数列，，
又，
，A正确.
, C正确.
,
使的n的最大值为. B错误.
当,
所以当时最大. D正确.
故选：ACD
11．BCD
对于A，当运动到时，，
由抛物线的定义可知，，所以，
故抛物线的方程为，故A错误；
对于B，由拋物线的方程为，所以准线方程为，故B正确；
对于C，过点作垂直抛物线的准线，
则，
当且仅当、和三点共线时，等号成立，故C正确；
对于D，设的坐标为，
因为，所以的中点坐标为，
而以为直径的圆的半径为，
与的中点的横坐标相同，所以D正确．
故选：BCD
12．AD
解：因为，由，解得，即函数的定义域为，
所以，
令，解得，
故当时，，在时，，
故函数在上单调递增，上单调递减，所以在处取得极大值，故A正确；
又，，
即在中存在一个零点，故B错误，
令切点为，则，即，解得或（舍去），
此时，
故不是曲线的切线，即C错误；
函数，所以函数的图象关于对称，故D正确；
故选：AD．
13．
设等比数列的公比为，
则，
∴，
∴数列的公比为，
故答案为：
14．
由题意，可知，为的中点，
得为定值，则点P的轨迹方程为，
故答案为：.
15．
因为当时，,并且f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x>0时，,所以不等式的解集为.
16．
设，则．
令，则，
令g(t)＝，则，
∴g(t)，即在上单调递增，
又，
∴当时，单调递减；当时，单调递增．
∴．
故的最小值为．
故答案为：.
17．（1）；（2）.
解（1）设正项等比数列的公比为，
由题意可得，解得．
数列的通项公式为；
（2）.
18．（1）80；（2）分布列见解析，.
解：（1）设该年级共n人，由题意得，
解得n＝500．则a＝500-(180+120+70+20+30)＝80．
（2）依题意，X所有取值为0，1，2．
在合格的同学中按男女抽取一个容量为5的样本，
则抽取的男生数，抽取的女生数＝5﹣2＝3．
∴P（X＝0），P（X＝1），P（X＝2）．
X的分布列为:
P 0 1 2
X
E(X)．
19．(1)证明见解析
(2)直线PD与平面EBD所成角的正弦值为
（1）∵底面，底面，
∴，
∵，平面，
∴平面，
∵平面，
∴，
∵底面为直角梯形，，，，
∴在直角三角形中，，，
在直角三角形中，，，
设，连接，

则，
∴，
∴，
又平面EBD，平面，
∴平面；
（2）∵底面，底面，，
∴，
∵底面为直角梯形，∴，
建立以B为原点的空间直角坐标系，如图所示：

则，
∴，，，
∴，
设平面的一个法向量为，
∴，取，则，
则平面的一个法向量为，
设直线PD与平面所成角大小为θ，
∵，
∴，
故直线PD与平面所成角的正弦值为．
20．(1)；
(2)3
（1）由题设，且，而，
显然也满足上式，故，
由，又，
所以是首项、公差均为2的等差数列.
综上，.
（2）由，，则，
所以，而，故，即是公比为3的等比数列.
所以，则，
，而，
所以，
所以对都成立，
所以，故，则正整数的最小值为3.
21．（1）；（2）.
（1）由题意知，，
因为，所以，，
将等号两边同时平方，得，
即，所以，
又，所以，，所以，，
所以直线的方程为，
与椭圆：联立并消去，得，
整理得，，所以，
因为，所以，
得，所以，
椭圆的方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，易得.
当直线的斜率存在时，设直线：，与椭圆：联立并消去，
得，
因为直线与椭圆相切，所以，
整理得，
将直线与椭圆方程联立并消去，得，
由式可得.
设，，则，，
所以，
设，则，，，
所以当，即时，最大，且最大值为.
22．（1）；（2）；（3）证明见解析．
（1）当时，函数，可得，
则，即函数的图象在处的切线的斜率为，且，
所以函数的图象在处的切线方程为.
（2）函数的导数为，
若时，，在上单调递增，函数最多一个零点；
若时，当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，函数取得最小值，最小值为，
又由函数有两个不等的零点，可得，所以.
（3）由（2）知，函数有两个零点时，，
函数恰好有两个零点，
由，可得，
于是，
所以，
令，可得，
于是，
所以，
要证，即证，
由，即证，
设，可得，
所以函数在上单调递增，所以，
即，所以.