2018-2019学年数学北师大版七年级上册1.3《截一个几何体》同步训练
一、选择题
1．用一个平面去截一个圆柱体，截面不可能的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下面是一个正方体，用一个平面去截这个正方体截面形状不可能为下图中的（ ）
A． B．
C． D．
3．下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是（ ）
A． B．
C． D．
4．图（1）是一个小正方体的表面展开图，小正方体从图（2）所示的位置依次翻到第1格.第2格.第3格.第4格，这时小正方体朝上一面的字是（ ）
A．梦 B．水 C．城 D．美
5．把一个正方体截去一个角，剩下的几何体最多有几个面（ ）
A．5个面 B．6个面 C．7个面 D．8个面
二、填空题
6．在医学诊断上，有一种医学影像诊断技术叫CT，它的工作原理是 ．
7．小明在正方体盒子的每个面上都写了一个字，其平面展开图如下图所示，那么在该正方体盒子的表面，与“祝”相对的面上所写的字应是
8．如图是一个正方体，用一个平面去截这个正方体，截面形状不可能是选项中的 （填序号）
9．一个几何体是一个圆锥被一平面截下的，由 个面围成，面与面的交线有 条，其中直线有 条．底面形状是 ．
10．一块方形蛋糕，一刀切成相等的两块，两刀最多切成4块，试问：五刀最多可切成 块相等体积的蛋糕，十刀最多可切成 块（要求：竖切，不移动蛋糕）．
三、解答题
11．把正方体的六个面分别涂上六种不同的颜色，并画上朵数不等的花，各面上的颜色与花的朵数情况见下表：
颜色 红 黄 蓝 白 紫 绿
花的朵数 1 2 3 4 5 6
现将上述大小相同，颜色.花朵分布也完全相同的四个正方体拼成一个水平放置的长方体，如图所示．问：长方体的下底面共有多少朵花
12．如图所示，一个长方体的长.宽.高分别是 10cm，8cm，6cm，有一只蚂蚁从点 A 出发沿棱爬行，每条棱不允许重复，则蚂蚁回到点 A 时，最多爬行多远 并把蚂蚁所爬行的路线用字母按顺序表示出来．
13．如图，截一个正方体，可以得到三角形，但要得到一个最大的等边三角形，你会切吗？你能说出你的切法吗？
14．如图，有一个立方体，它的表面涂满了红色，在它每个面上切两刀，得到27个小立方体，而且凡是切面都是白色．
问：
（1）小立方体中三面红的有几块？两面红的呢？一面红的呢？没有红色的面呢？
（2）如果每面切三刀，情况又怎样呢？
（3）每面切n刀呢？
15．小学时，有一道趣味数学题：“稀奇稀奇真稀奇，4刀切成9块瓜，吃完剩下10块皮”，今天你能画图解释一下吗？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】当截面与轴截面平行时，得到的形状为长方形；当截面与轴截面垂直时，得到的截面形状是圆；当截面与轴截面斜交时，得到的截面的形状是椭圆；所以截面的形状不可能是等腰梯形．
【分析】截一个几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关，根据从不同角度截得几何体的形状进行判断．
2．【答案】D
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】解：无论如何去截，截面也不可能有弧度，因此截面不可能是圆．
故选D．
【分析】正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形．无论如何去截，截面也不可能有弧度，因此截面不可能是圆．
3．【答案】C
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】A．折叠后少一面，故错误；
B．折叠后两侧面重叠，不能围成三棱柱，故错误；
C．折叠后能围成三棱柱，故正确；
D．折叠后两侧面重叠，不能围成三棱柱，故错误．
【分析】三棱柱表面展开图，上、下两底面应在侧面展开图长方形的两侧，且是全等的三角形，．
4．【答案】A
【知识点】立体图形的初步认识
【解析】【解答】第一次翻转梦在下面，第二次翻转中在下面，第三次翻转国在下面，第四次翻转城在下面，城与梦相对，故选：A．
【分析】根据两个面相隔一个面是对面，再根据翻转的规律，可得答案．
5．【答案】C
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】解：如图：
把一个正方体截去一个角，可得到7面体，所以剩下的几何体最多有7个面．
故答案为：C．
【分析】把一个正方体截去一个角，面数增加最多1，可得到7面体．
6．【答案】利用射线截几何体，图象重建原理
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】CT实际上是用取得人体的一个平面，即把人体看做是几何体，把CT的面看做截面，因此工作原理与截“几何体”相似。故答案为：利用射线截几何体，图象重建原理.
【分析】利用射线截几何体，图象重建原理。
7．【答案】“成”
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
∴“你”与“试”相对，
“祝”与“成”相对，
“考”与“功”相对。
故答案为：“成”.
【分析】根据正方体的表面展开图的特点可知，与“祝”相对的面上所写的字应是“成”。
8．【答案】4
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】正方形的截面图不可能出现圆，它不含有圆的因数.
【分析】因为正方体不含有圆，所以截面形状不可能是圆。
9．【答案】3；4；3；有可能是半圆，有可能是弓形，但不可能是扇形
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】如图几何体是一个圆锥被一平面截下的，由3个面围成，面与面的交线有4条，其中直线有3条．底面形状是有可能是半圆，有可能是弓形，但不可能是扇形.
【分析】由题意可知这个几何体是由上下两个底面和一个侧面共3个面围成；面与面的交线有4条，其中直线有3条；根据平面截圆锥的特点可知，底面形状不唯一，可能是半圆，有可能是弓形，但不可能是扇形。
10．【答案】16；56
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】当切1刀时，块数为1+1=2块；
当切2刀时，块数为1+1+2=4块；
当切3刀时，块数为1+1+2+3=7块；
…
当切n刀时，块数=1+（1+2+3…+n）=1+ .
n=5代入公式得16，
n=10，代入公式得56.
【分析】由题意切1刀后的块数=1+1；切2刀的块数=1+1+2；切3刀的块数=1+1+2+3，，以此类推可得切n刀时的块数=1+1+2+3++n=1+，根据这个规律将n=5和n=10代入计算即可求解。
11．【答案】解：因为长方体是由大小相同，颜色.花朵分布也完全相同的四个正方体拼成的，所以根据图中与红色的面相邻的有紫.白.蓝.黄色的面，可以确定出每个小正方体红色面对绿色面，与黄色面相邻的有白.蓝.红.绿色的面，所以黄色面对紫色面，与蓝色面相邻的有黄.红.绿.紫色的面，所以蓝色面对白色面，所以可知长方体下底面从左到右依次是紫色.黄色.绿色.白色，再由表格中花的朵数可知共有 5+2+6+4=17（朵）
【知识点】截一个几何体
【解析】【分析】由图中的信息可知：与红色的面相邻的有紫、白、蓝、黄色的面，可以确定出每个小正方体红色面对绿色面，与黄色面相邻的有白、蓝、红、绿色的面，所以黄色面对紫色面，与蓝色面相邻的有黄、红、绿、紫色的面，所以蓝色面对白色面，由此可判断长方体下底面从左到右依次所对应的颜色，根据表格中的颜色数量即可求解。
12．【答案】解：由于不能重复且最后回到点 A 处，那么经过的棱数便等于经过的顶点数，当走的路线最长时必过所有顶点，则选择合理的路线时尽可能多地经过长为 10CM 的棱即可． ，所以最多爬行 68CM．路线举例： ．
【知识点】截一个几何体
【解析】【分析】由题意可知，蚂蚁所爬行的路线经过的棱数即等于经过的顶点数，符合题意的路线尽可能多地经过长为 10CM 的棱即可．
13．【答案】解：如图所示．
沿着对角线切即可
【知识点】截一个几何体
【解析】【分析】要切最大的等边三角形，只须边长最大即可，由题意可知，正方形中最长的线段是对角线，所以只须沿着对角线切即可。
14．【答案】（1）解：三面红色对应8个顶角上的小立方块，8个；两面红色对应6条边每条中间的那2小立方块，12个；一面红色对应6个面每个面中心的那个小立方块，6个；最后各面都没有颜色对应大立方体中心的那个小立方块，1个
（2）解：每面切三刀，可得64个小立方体，三面红色对应8个顶角上的小立方块，8个；两面红色对应6条边每条中间的那4小立方块，24个；一面红色对应6个面每个面中心的那4小立方块，24个；最后各面都没有颜色对应大立方体中心的那个小立方块，23=8个；
（3）解：每面切n刀，可得n3个小立方体，三面红色对应8个顶角上的小立方块，8个；两面红色对应6条边每条中间的那（2n﹣2）小立方块，6（2n﹣2）个；一面红色对应6个面每个面中心的那（n﹣1）2小立方块，6（n﹣1）2个；最后各面都没有颜色对应大立方体中心的那个小立方块，（n﹣1）3个
【知识点】截一个几何体
【解析】【分析】（1）由题意知，三面红色只能是8个顶点处的小立方体，应有8个小立方体；每一面有2个两面红色的小立方体，则共有62=12个小立方体；每一面有1个一面红色的小立方体，则共有61=6个小立方体；只有大正方体中最中间的一个小立方体是没有颜色的；
（2）每面切三刀，共有416=64个小正方体；三面红色的小立方体同（1）；每一面有4个两面红色的小立方体，则共有64=24个小立方体；每一面有4个一面红色的小立方体，则共有64=24个小立方体；没有红色的面有8个；
（3）由（1）（2）可知每面切n刀，共有个小立方体；三面红色有8个小立方体；两面红=6（2n﹣2）个；一面红色=6个小立方体；没有红色的面=个小立方体.
15．【答案】解：西瓜按井字形分割，即横两刀.纵两刀，就可以分成九块，
但井字形中间方形的那块在两端各有一块瓜皮，
所以会剩下十块瓜皮．
【知识点】截一个几何体
【解析】【分析】由题意可知，纵、横各两刀，中间方形的一块两端各有一块皮。
1 / 12018-2019学年数学北师大版七年级上册1.3《截一个几何体》同步训练
一、选择题
1．用一个平面去截一个圆柱体，截面不可能的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】当截面与轴截面平行时，得到的形状为长方形；当截面与轴截面垂直时，得到的截面形状是圆；当截面与轴截面斜交时，得到的截面的形状是椭圆；所以截面的形状不可能是等腰梯形．
【分析】截一个几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关，根据从不同角度截得几何体的形状进行判断．
2．下面是一个正方体，用一个平面去截这个正方体截面形状不可能为下图中的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】解：无论如何去截，截面也不可能有弧度，因此截面不可能是圆．
故选D．
【分析】正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形．无论如何去截，截面也不可能有弧度，因此截面不可能是圆．
3．下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】A．折叠后少一面，故错误；
B．折叠后两侧面重叠，不能围成三棱柱，故错误；
C．折叠后能围成三棱柱，故正确；
D．折叠后两侧面重叠，不能围成三棱柱，故错误．
【分析】三棱柱表面展开图，上、下两底面应在侧面展开图长方形的两侧，且是全等的三角形，．
4．图（1）是一个小正方体的表面展开图，小正方体从图（2）所示的位置依次翻到第1格.第2格.第3格.第4格，这时小正方体朝上一面的字是（ ）
A．梦 B．水 C．城 D．美
【答案】A
【知识点】立体图形的初步认识
【解析】【解答】第一次翻转梦在下面，第二次翻转中在下面，第三次翻转国在下面，第四次翻转城在下面，城与梦相对，故选：A．
【分析】根据两个面相隔一个面是对面，再根据翻转的规律，可得答案．
5．把一个正方体截去一个角，剩下的几何体最多有几个面（ ）
A．5个面 B．6个面 C．7个面 D．8个面
【答案】C
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】解：如图：
把一个正方体截去一个角，可得到7面体，所以剩下的几何体最多有7个面．
故答案为：C．
【分析】把一个正方体截去一个角，面数增加最多1，可得到7面体．
二、填空题
6．在医学诊断上，有一种医学影像诊断技术叫CT，它的工作原理是 ．
【答案】利用射线截几何体，图象重建原理
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】CT实际上是用取得人体的一个平面，即把人体看做是几何体，把CT的面看做截面，因此工作原理与截“几何体”相似。故答案为：利用射线截几何体，图象重建原理.
【分析】利用射线截几何体，图象重建原理。
7．小明在正方体盒子的每个面上都写了一个字，其平面展开图如下图所示，那么在该正方体盒子的表面，与“祝”相对的面上所写的字应是
【答案】“成”
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
∴“你”与“试”相对，
“祝”与“成”相对，
“考”与“功”相对。
故答案为：“成”.
【分析】根据正方体的表面展开图的特点可知，与“祝”相对的面上所写的字应是“成”。
8．如图是一个正方体，用一个平面去截这个正方体，截面形状不可能是选项中的 （填序号）
【答案】4
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】正方形的截面图不可能出现圆，它不含有圆的因数.
【分析】因为正方体不含有圆，所以截面形状不可能是圆。
9．一个几何体是一个圆锥被一平面截下的，由 个面围成，面与面的交线有 条，其中直线有 条．底面形状是 ．
【答案】3；4；3；有可能是半圆，有可能是弓形，但不可能是扇形
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】如图几何体是一个圆锥被一平面截下的，由3个面围成，面与面的交线有4条，其中直线有3条．底面形状是有可能是半圆，有可能是弓形，但不可能是扇形.
【分析】由题意可知这个几何体是由上下两个底面和一个侧面共3个面围成；面与面的交线有4条，其中直线有3条；根据平面截圆锥的特点可知，底面形状不唯一，可能是半圆，有可能是弓形，但不可能是扇形。
10．一块方形蛋糕，一刀切成相等的两块，两刀最多切成4块，试问：五刀最多可切成 块相等体积的蛋糕，十刀最多可切成 块（要求：竖切，不移动蛋糕）．
【答案】16；56
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】当切1刀时，块数为1+1=2块；
当切2刀时，块数为1+1+2=4块；
当切3刀时，块数为1+1+2+3=7块；
…
当切n刀时，块数=1+（1+2+3…+n）=1+ .
n=5代入公式得16，
n=10，代入公式得56.
【分析】由题意切1刀后的块数=1+1；切2刀的块数=1+1+2；切3刀的块数=1+1+2+3，，以此类推可得切n刀时的块数=1+1+2+3++n=1+，根据这个规律将n=5和n=10代入计算即可求解。
三、解答题
11．把正方体的六个面分别涂上六种不同的颜色，并画上朵数不等的花，各面上的颜色与花的朵数情况见下表：
颜色 红 黄 蓝 白 紫 绿
花的朵数 1 2 3 4 5 6
现将上述大小相同，颜色.花朵分布也完全相同的四个正方体拼成一个水平放置的长方体，如图所示．问：长方体的下底面共有多少朵花
【答案】解：因为长方体是由大小相同，颜色.花朵分布也完全相同的四个正方体拼成的，所以根据图中与红色的面相邻的有紫.白.蓝.黄色的面，可以确定出每个小正方体红色面对绿色面，与黄色面相邻的有白.蓝.红.绿色的面，所以黄色面对紫色面，与蓝色面相邻的有黄.红.绿.紫色的面，所以蓝色面对白色面，所以可知长方体下底面从左到右依次是紫色.黄色.绿色.白色，再由表格中花的朵数可知共有 5+2+6+4=17（朵）
【知识点】截一个几何体
【解析】【分析】由图中的信息可知：与红色的面相邻的有紫、白、蓝、黄色的面，可以确定出每个小正方体红色面对绿色面，与黄色面相邻的有白、蓝、红、绿色的面，所以黄色面对紫色面，与蓝色面相邻的有黄、红、绿、紫色的面，所以蓝色面对白色面，由此可判断长方体下底面从左到右依次所对应的颜色，根据表格中的颜色数量即可求解。
12．如图所示，一个长方体的长.宽.高分别是 10cm，8cm，6cm，有一只蚂蚁从点 A 出发沿棱爬行，每条棱不允许重复，则蚂蚁回到点 A 时，最多爬行多远 并把蚂蚁所爬行的路线用字母按顺序表示出来．
【答案】解：由于不能重复且最后回到点 A 处，那么经过的棱数便等于经过的顶点数，当走的路线最长时必过所有顶点，则选择合理的路线时尽可能多地经过长为 10CM 的棱即可． ，所以最多爬行 68CM．路线举例： ．
【知识点】截一个几何体
【解析】【分析】由题意可知，蚂蚁所爬行的路线经过的棱数即等于经过的顶点数，符合题意的路线尽可能多地经过长为 10CM 的棱即可．
13．如图，截一个正方体，可以得到三角形，但要得到一个最大的等边三角形，你会切吗？你能说出你的切法吗？
【答案】解：如图所示．
沿着对角线切即可
【知识点】截一个几何体
【解析】【分析】要切最大的等边三角形，只须边长最大即可，由题意可知，正方形中最长的线段是对角线，所以只须沿着对角线切即可。
14．如图，有一个立方体，它的表面涂满了红色，在它每个面上切两刀，得到27个小立方体，而且凡是切面都是白色．
问：
（1）小立方体中三面红的有几块？两面红的呢？一面红的呢？没有红色的面呢？
（2）如果每面切三刀，情况又怎样呢？
（3）每面切n刀呢？
【答案】（1）解：三面红色对应8个顶角上的小立方块，8个；两面红色对应6条边每条中间的那2小立方块，12个；一面红色对应6个面每个面中心的那个小立方块，6个；最后各面都没有颜色对应大立方体中心的那个小立方块，1个
（2）解：每面切三刀，可得64个小立方体，三面红色对应8个顶角上的小立方块，8个；两面红色对应6条边每条中间的那4小立方块，24个；一面红色对应6个面每个面中心的那4小立方块，24个；最后各面都没有颜色对应大立方体中心的那个小立方块，23=8个；
（3）解：每面切n刀，可得n3个小立方体，三面红色对应8个顶角上的小立方块，8个；两面红色对应6条边每条中间的那（2n﹣2）小立方块，6（2n﹣2）个；一面红色对应6个面每个面中心的那（n﹣1）2小立方块，6（n﹣1）2个；最后各面都没有颜色对应大立方体中心的那个小立方块，（n﹣1）3个
【知识点】截一个几何体
【解析】【分析】（1）由题意知，三面红色只能是8个顶点处的小立方体，应有8个小立方体；每一面有2个两面红色的小立方体，则共有62=12个小立方体；每一面有1个一面红色的小立方体，则共有61=6个小立方体；只有大正方体中最中间的一个小立方体是没有颜色的；
（2）每面切三刀，共有416=64个小正方体；三面红色的小立方体同（1）；每一面有4个两面红色的小立方体，则共有64=24个小立方体；每一面有4个一面红色的小立方体，则共有64=24个小立方体；没有红色的面有8个；
（3）由（1）（2）可知每面切n刀，共有个小立方体；三面红色有8个小立方体；两面红=6（2n﹣2）个；一面红色=6个小立方体；没有红色的面=个小立方体.
15．小学时，有一道趣味数学题：“稀奇稀奇真稀奇，4刀切成9块瓜，吃完剩下10块皮”，今天你能画图解释一下吗？
【答案】解：西瓜按井字形分割，即横两刀.纵两刀，就可以分成九块，
但井字形中间方形的那块在两端各有一块瓜皮，
所以会剩下十块瓜皮．
【知识点】截一个几何体
【解析】【分析】由题意可知，纵、横各两刀，中间方形的一块两端各有一块皮。
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