2018-2019学年数学北师大版八年级上册1.1《探索勾股定理》同步训练
一、选择题
1．直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，则下列关于a，b，c三边的关系式不正确的是（ ）
A．b2=c2﹣a2 B．a2=c2﹣b2 C．b2=a2﹣c2 D．c2=a2+b2
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】根据勾股定理可得：a2＋b2＝c2，故D不符合题意；
将上式变形可得：b2＝c2﹣a2，a2＝c2﹣b2，故A、B不符合题意，
所以错误的是C，
故答案为：C．
【分析】由直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，利用勾股定理可得出c2=a2+b2或b2=c2﹣a2或a2=c2﹣b2，可得出答案。
2．若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长的平方为（ ）
A．169 B．169或119 C．169或225 D．225
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】若12和5都为直角边，则第三边长平方为169
若12为斜边，5为直角边，则第三边的平方为119，
故答案为：B.
【分析】由已知一直角三角形两边长分别为12和5，因此可得出斜边长为12，一直角边为5，或两直角边为12、5，再利用勾股定理求出第三边的平方。即可解答。
3．如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到该建筑物的高度是（ ）
A．12米 B．13 C．14米 D．15米
【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的应用
【解析】【解答】如图所示，
AB=13米，BC=5米，根据勾股定理AC=12米。
故答案为：A.
【分析】将实际问题转化为数学问题，就是已知一直角三角形的一直角边为5，斜边为13 ，求另一直角边的长。画出图形，利用勾股定理解答。
4．在Rt△ABC中，斜边长BC=3，AB2+AC2+BC2的值为（ ）
A．18 B．9 C．6 D．无法计算
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】∵Rt△ABC中，BC为斜边，
∴AB2＋AC2＝BC2，
∴AB2＋AC2＋BC2＝2BC2＝2×32＝18．
故答案为：A．
【分析】利用勾股定理可得出AB2＋AC2＝BC2，再整体代入即可解答。
二、填空题
5．求出下面直角三角形中未知边的长度：
X= ；y= .
【答案】5；5
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：第一个图形中 =5；
第二个图形中y= =5
【分析】利用勾股定理分别求出两个直角三角形中的x、y的值。
6．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值等于 ．
【答案】8π
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解： ，
所以S1+S2=
【分析】利用勾股定理可得出AC2+BC2=AB2=64，再利用圆的面积公式求出S1+S2= π(AC2+BC2)，然后整体代入，可解答。
7．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】由勾股定理可以求出直角边长分别为5和12的斜边为：13，
设斜边上的高为x，由题意，得
，
解得：x= .
【分析】先利用勾股定理求出斜边的长，再利用直角三角形的两个面积公式可解答。
8．如果直角三角形的斜边与一条直角边分别是15cm和12cm，那么这个直角三角形的面积是 ．
【答案】54cm2
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】根据勾股定理，得
直角三角形的另一条直角边是：9（cm）．
则直角三角形的面积＝ ×12×9＝54（cm2）．
故答案为：54cm2．
【分析】利用勾股定理求出直角三角形的另一条直角边，然后利用直角三角形的面积公式=两直角边之积的一半求解。
9．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A，B，C的面积分别为8cm2，10cm2，14cm2，则正方形D的面积是 cm2．
【答案】17
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】根据勾股定理可知，
∵S正方形1+S正方形2=S大正方形=49，
S正方形C+S正方形D=S正方形2，
S正方形A+S正方形B=S正方形1，
∴S大正方形=S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B=49．
∴正方形D的面积=49-8-10-14=17（cm2）.
【分析】根据勾股定理有S正方形1+S正方形2=S大正方形=49，S正方形C+S正方形D=S2 ，S正方形A+S正方形B=S正方形1，等量代换即可求正方形D的面积。
三、解答题
10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB=8，AC=BC=5，求AD的长．
【答案】解：如图，设BD=x．则CD=x-5
依题意得
即：
解得：x=6.4.
∴
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】利用垂直的定义可得出△ABD和△ADC是直角三角形，它们有公共的直角边AD，因此可得出AB2 BD2=AC2 CD2，设BD=x．则CD=x-5，建立关于x的方程，求出x的值，再利用勾股定理求出AD的长。
11．如图，已知∠A=90°，AC=5，AB=12，BE=3.求长方形BCDE的面积
【答案】解：在RtΔABC中，∠A=90°，AB=12，AC=5，∴BC==13∴长方形BCDE的面积=13×3=39
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】在RtΔABC中，利用勾股定理求出BC的长，再利用长方形的面积公式计算。
12．如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=18cm，BC=24cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出BD的长吗？
【答案】解：解：再Rt△ABC中AB==30由折叠的性质知，AE=AC=18，DE=CD，∠AED=∠C=90°∴BE=AB-AE=30-18=12，在Rt△BDE中，DE2+BE2=BD2即(24-BD)2+12=BD2解得：BD=15cm
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】利用勾股定理求出AB的长，再根据折叠的性质得出AE=AC，DE=CD，∠AED=∠C=90°，然后求出BE的长，在Rt△BDE中，利用勾股定理求出BD的长。
13．正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，
（1）在图①中，画一个面积为10的正方形；
（2）在图②、图③中，分别画两个不全等的直角三角形，使它们的三边长都不是整数．
【答案】（1）解：如图①所示：
（2）解：如图②③所示．
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】（1）利用正方形的面积求出正方形的边长为，利用勾股定理可知，正方形的边长应该放在两直角边长分别为1和3的直角三角形中，即可画出图形。
（2）利用勾股定理按要求画出符合条件的直角三角形即可。
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一、选择题
1．直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，则下列关于a，b，c三边的关系式不正确的是（ ）
A．b2=c2﹣a2 B．a2=c2﹣b2 C．b2=a2﹣c2 D．c2=a2+b2
2．若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长的平方为（ ）
A．169 B．169或119 C．169或225 D．225
3．如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到该建筑物的高度是（ ）
A．12米 B．13 C．14米 D．15米
4．在Rt△ABC中，斜边长BC=3，AB2+AC2+BC2的值为（ ）
A．18 B．9 C．6 D．无法计算
二、填空题
5．求出下面直角三角形中未知边的长度：
X= ；y= .
6．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值等于 ．
7．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为 ．
8．如果直角三角形的斜边与一条直角边分别是15cm和12cm，那么这个直角三角形的面积是 ．
9．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A，B，C的面积分别为8cm2，10cm2，14cm2，则正方形D的面积是 cm2．
三、解答题
10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB=8，AC=BC=5，求AD的长．
11．如图，已知∠A=90°，AC=5，AB=12，BE=3.求长方形BCDE的面积
12．如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=18cm，BC=24cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出BD的长吗？
13．正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，
（1）在图①中，画一个面积为10的正方形；
（2）在图②、图③中，分别画两个不全等的直角三角形，使它们的三边长都不是整数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】根据勾股定理可得：a2＋b2＝c2，故D不符合题意；
将上式变形可得：b2＝c2﹣a2，a2＝c2﹣b2，故A、B不符合题意，
所以错误的是C，
故答案为：C．
【分析】由直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，利用勾股定理可得出c2=a2+b2或b2=c2﹣a2或a2=c2﹣b2，可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】若12和5都为直角边，则第三边长平方为169
若12为斜边，5为直角边，则第三边的平方为119，
故答案为：B.
【分析】由已知一直角三角形两边长分别为12和5，因此可得出斜边长为12，一直角边为5，或两直角边为12、5，再利用勾股定理求出第三边的平方。即可解答。
3．【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的应用
【解析】【解答】如图所示，
AB=13米，BC=5米，根据勾股定理AC=12米。
故答案为：A.
【分析】将实际问题转化为数学问题，就是已知一直角三角形的一直角边为5，斜边为13 ，求另一直角边的长。画出图形，利用勾股定理解答。
4．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】∵Rt△ABC中，BC为斜边，
∴AB2＋AC2＝BC2，
∴AB2＋AC2＋BC2＝2BC2＝2×32＝18．
故答案为：A．
【分析】利用勾股定理可得出AB2＋AC2＝BC2，再整体代入即可解答。
5．【答案】5；5
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：第一个图形中 =5；
第二个图形中y= =5
【分析】利用勾股定理分别求出两个直角三角形中的x、y的值。
6．【答案】8π
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解： ，
所以S1+S2=
【分析】利用勾股定理可得出AC2+BC2=AB2=64，再利用圆的面积公式求出S1+S2= π(AC2+BC2)，然后整体代入，可解答。
7．【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】由勾股定理可以求出直角边长分别为5和12的斜边为：13，
设斜边上的高为x，由题意，得
，
解得：x= .
【分析】先利用勾股定理求出斜边的长，再利用直角三角形的两个面积公式可解答。
8．【答案】54cm2
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】根据勾股定理，得
直角三角形的另一条直角边是：9（cm）．
则直角三角形的面积＝ ×12×9＝54（cm2）．
故答案为：54cm2．
【分析】利用勾股定理求出直角三角形的另一条直角边，然后利用直角三角形的面积公式=两直角边之积的一半求解。
9．【答案】17
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】根据勾股定理可知，
∵S正方形1+S正方形2=S大正方形=49，
S正方形C+S正方形D=S正方形2，
S正方形A+S正方形B=S正方形1，
∴S大正方形=S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B=49．
∴正方形D的面积=49-8-10-14=17（cm2）.
【分析】根据勾股定理有S正方形1+S正方形2=S大正方形=49，S正方形C+S正方形D=S2 ，S正方形A+S正方形B=S正方形1，等量代换即可求正方形D的面积。
10．【答案】解：如图，设BD=x．则CD=x-5
依题意得
即：
解得：x=6.4.
∴
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】利用垂直的定义可得出△ABD和△ADC是直角三角形，它们有公共的直角边AD，因此可得出AB2 BD2=AC2 CD2，设BD=x．则CD=x-5，建立关于x的方程，求出x的值，再利用勾股定理求出AD的长。
11．【答案】解：在RtΔABC中，∠A=90°，AB=12，AC=5，∴BC==13∴长方形BCDE的面积=13×3=39
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】在RtΔABC中，利用勾股定理求出BC的长，再利用长方形的面积公式计算。
12．【答案】解：解：再Rt△ABC中AB==30由折叠的性质知，AE=AC=18，DE=CD，∠AED=∠C=90°∴BE=AB-AE=30-18=12，在Rt△BDE中，DE2+BE2=BD2即(24-BD)2+12=BD2解得：BD=15cm
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】利用勾股定理求出AB的长，再根据折叠的性质得出AE=AC，DE=CD，∠AED=∠C=90°，然后求出BE的长，在Rt△BDE中，利用勾股定理求出BD的长。
13．【答案】（1）解：如图①所示：
（2）解：如图②③所示．
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】（1）利用正方形的面积求出正方形的边长为，利用勾股定理可知，正方形的边长应该放在两直角边长分别为1和3的直角三角形中，即可画出图形。
（2）利用勾股定理按要求画出符合条件的直角三角形即可。
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