2018-2019学年数学人教版九年级上册21.2.4 根与系数的关系 同步训练
一、选择题
1．（2018·莘县模拟）关于x的方程x2+5x+m=0的一个根为﹣2，则另一个根是（ ）
A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．6
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为n，则有﹣2+n=﹣5，解得：n=﹣3．故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程根与系数之间的关系，由两根之和等于-即可得出答案。
2．（2018·泸县模拟）设x1、x2是方程2x2﹣4x﹣3=0的两根，则x1+x2的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1、x2是方程2x2﹣4x﹣3=0的两根，∴x1+x2=2．故答案为：A．
【分析】由一元二次方程的根据与系数的关系可得x1+x2=-=-=2.
3．如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，那么这个一元二次方程是（ ）
A．x2+3x+4=0 B．x2﹣4x+3=0 C．x2+4x﹣3=0 D．x2+3x﹣4=0
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 的两根分别为
故答案为：B
【分析】根据根与系数的关系得出x1+x2=3+1= p ， x1·x2=3×1=q ，从而得出答案。
4．若α、β为方程的两个实数根，则的值为（ ）。
A． B．12 C．14 D．15
【答案】B
【知识点】代数式求值；一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵α为2x2-5x-1=0的实数根，
∴2α2-5α-1=0，即2α2=5α+1，
∴2α2+3αβ+5β=5α+1+3αβ+5β=5（α+β）+3αβ+1，
∵α、β为方程2x2-5x-1=0的两个实数根，
∴α+β= ，αβ=- ，
∴2α2+3αβ+5β=5× +3×（- ）+1=12．
故答案为：B
【分析】根据方程根的概念得出2α2-5α-1=0，即2α2=5α+1，然后整体代入代数式得出2α2+3αβ+5β=5α+1+3αβ+5β=5（α+β）+3αβ+1，根据根与系数的关系得出α+β=，αβ=-，再整体代入即可算出答案。
5．已知α，β是关于x的一元二次方程x2+ (2m+3)x+m2=0 的两个不相等的实数根，且满足 = -1，则m的值是（ ）.
A．3或 -1 B．3 C．-1 D．-3 或 1
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵α、β是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根；
∴α+β= 2m 3，α β=m2；
∴ = = 2m 3m2= 1；
∴m2 2m 3=0；
解得m=3或m= 1；
∵一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0有两个不相等的实数根；
∴△=(2m+3)2 4×1×m2=12m+9>0；
∴m> ；
∴m= 1不合题意舍去；
∴m=3.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出α+β= 2m 3，α β=m2；然后将分式方程的左边按异分母分式加法的算法算出结果，再整体代入即可得出关于m的方程，求解得出m的值，再根据m的值是否满足原方程的判别式的值为正数进行检验即可得出答案。
6．关于x的方程 的两根互为相反数，则k的值是（ ）
A．2 B．±2 C．-2 D．-3
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设原方程的两根为 ，则
由题意，得
∴
又∵
∴当k1=2时，△= 4<0，原方程无实根；
当k2= 2时，△=12>0，原方程有实根。
∴k= 2.
故答案为：C
【分析】设原方程的两根为 x1 、 x2 根据一元二次方程根与系数的关系则 x1+x2=4 k2 ； 又知此方程的两根互为相反数，故 x1+x2=0，从而列出关于k的方程，求解得出k的值，再根据k的值是否满足根的判别式的值不为负数进行检验即可得出答案。
7．已知x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣k﹣1=0的两根，且x1x2=﹣3，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+2x-k-1=0的两根，
∴x1x2=-k-1．
∵x1x2=-3，
∴-k-1=-3，
解得：k=2．
故答案为：B
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出x1x2=-k-1．又x1x2=-3，故可得出关于k的方程，求解得出k的值。
8．已知α，β是方程x2+2006x+1=0的两个根，则（1+2008α+α2）（1+2008β+β2）的值为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵α、β是方程x2+2006x+1=0的两个根，
∴α2+2006α+1=0，β2+2006β+1=0，
∴（1+2008α+α2）（1+2008β+β2）=2α 2β=4αβ，
∵α、β是方程x2+2006x+1=0的两个根，
∴αβ=1，
∴（1+2008α+α2）（1+2008β+β2）=4×1=4．
故答案为：D
【分析】根据方程根的概念得出α2+2006α+1=0，β2+2006β+1=0，然后整体代入代数式得出（1+2008α+α2）（1+2008β+β2）=2α 2β=4αβ，根据一元二次方程根与系数的关系得出αβ=1，再整体代入即可得出答案。
9．（2017·杜尔伯特模拟）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a﹣b+c=0那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则下列结论正确的是（ ）
A．方有两个相等的实数根 B．方程有一根等于0
C．方程两根之和等于0 D．方程两根之积等于0
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵把x=1代入方程ax2+bx+c=0得出：a+b+c=0，
把x=﹣1代入方程ax2+bx+c=0得出a﹣b+c=0，
∴方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根x=1和x=﹣1，
∴1+（﹣1）=0，
即只有选项C正确；选项A、B、D都错误；
故选C．
【分析】根据已知得出方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根x=1和x=﹣1，再判断即可．
10．已知a≥2，m2﹣2am+2=0，n2﹣2an+2=0，m≠n，则（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值是（ ）
A．6 B．3 C．﹣3 D．0
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】已知m2﹣2am+2=0，n2﹣2an+2=0，可得m，n是关于x的方程x2﹣2ax+2=0的两个根，根据根与系数的关系可得m+n=2a，mn=2，再由（m﹣1）2+（n﹣1）2=m2﹣2m+1+n2﹣2n+1=（m+n）2﹣2mn﹣2（m+n）+2=4a2﹣4﹣4a+2=4（a﹣ ）2﹣3，因a≥2，所以当a=2时，（m﹣1）2+（n﹣1）2有最小值，即（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值=4（a﹣ ）2-3=4（2﹣ ）2﹣3=6，故答案为：A
【分析】由题意知：m，n是关于x的方程x2﹣2ax+2=0的两个根，根据根与系数的关系可得m+n=2a，mn=2，将代数式用完全平方公式展开，再根据完全平方公式恒等变形为（m﹣1）2+（n﹣1）2=m2﹣2m+1+n2﹣2n+1=（m+n）2﹣2mn﹣2（m+n）+2，然后整体代入，根据代数式极值的算法得出答案。
二、填空题
11．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个不相等的实数根，且该方程与x2+mx﹣1=0有一个相同的根．当k为符合条件的最大整数时，m的值为 ．
【答案】0或
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵关于x的一元一次方程x4x+k=0有两个不相等的实数根，
△=16-4k>0，解得k<4
∴k的最大整数值是3，即k=3；
即
解得，x=1或x=3；
① 当与x2+mx-1=0相同的根是x=1时，1+m-1=0，解得m=0；
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② 当与x2+mx-1=0相同的根是x=3时，9+3m-1=0，解得m=-
综合①②知，符合条件的的值为0或-
故答案为：0或-
【分析】由于关于x的一元一次方程x4x+k=0有两个不相等的实数根，故其根的判别式应该大于0，从而列出关于k的不等式，求解得出其最大整数解，然后将k值代入方程，求解得出方程的两个根，然后分① 当与x2+mx-1=0相同的根是x=1时，与② 当与x2+mx-1=0相同的根是x=3时，两种情况，分别将x值代入方程，求解即可得出答案。
12．已知方程x2－mx－3m＝0的两根是x1、x2，若x1＋x2＝1，则 x1x2＝ ．
【答案】－3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ ， ∴
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出x1＋x2==m，又x1＋x2＝1，故m=1，从而得出 x1x2==-3m=-3.
13．已知关于 的一元二次方程 有两个实数根 和 ．若 时，则 = ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由两根关系，得根x1+x2=-（2m-1），x1 x2=m2，
由x12-x22=0得（x1+x2）（x1-x2）=0，
若x1+x2=0，即-（2m-1）=0，解得m= ，
∵ ＞ ，
∴m= 不合题意，舍去，
若x1-x2=0，即x1=x2
∴△=0，由（1）知，m= ，
故当x12-x22=0时，m= ．
故答案为：
【分析】由两根关系，得根x1+x2=-（2m-1），x1 x2=m2，将方程x12-x22=0左边利用平方差公式分解因式为：（x1+x2）（x1-x2）=0，根据两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个为0，若x1+x2=0，即-（2m-1）=0，解得m= ，若x1-x2=0，即x1=x2，根据方程有两个相等的实根，故原方程的判别式等于0，从而得出方程，求解得出m的值。
14．当关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根，且其中一个根为另一个根的2倍时，称之为“倍根方程”. 如果关于x的一元二次方程x2+(m-2)x-2m=0是“倍根方程”，那么m的值为 .
【答案】-1或-4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意设“倍根方程” 的一个根为 ，另一根为 ，则由一元二次方程根与系数的关系可得：
，
∴ ，
∴ ，
化简整理得： ，解得 .
故答案为：-1或-4
【分析】根据倍根方程的定义，设方程的一个根为 α ，另一根为 2 α ，则由一元二次方程根与系数的关系可得：α+2α= (m 2) ， 2α α= 2m，整理得出关于m的方程，求解得出m的值。
15．我们知道若关于x的一元二次方程 有一根是1，则a+b+c=0，那么如果 ，则方程 有一根为
【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】根据一元二次方程的解的定义知，当x=-3时，9a-3b+c=0，即9a+c=3b，因此可知x=-3满足方程ax2+bx+c=0，所以方程ax2+bx+c=0的另一根是x=-3．
故答案为：-3
【分析】根据一元二次方程的解的定义知，当x=-3时，9a-3b+c=0，即9a+c=3b，故可得出答案。
16．若关于 的一元二次方程 的两个不等实数根分别为 ，且 ，则 的值为 .
【答案】-5
【知识点】代数式求值；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0（a≠0）的两个不相等的实数根分别为p和q，∴p+q=3，pq=a．
∵ ，∴（p+q）2﹣3pq=18，∴9﹣3a=18，解得：a=﹣3，即pq=﹣3，
∴ = = = =﹣5．
故答案为：﹣5
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出p+q=3，pq=a．根据完全平方公式恒等变形将方程 p2 pq+q2=18 变为（p+q）2﹣3pq=18，再整体代入即可求出a的值，然后通分计算异分母分式的加法，将计算结果恒等变形再整体代入即可算出答案。
三、解答题
17．设x1、x2是一元二次方程2x2﹣7x+5=0的两根，利用一元二次方程根与系数的关系，求下列各式的值．
（1）x12x2+x1x22；
（2）（x1﹣x2）2
【答案】（1）解：x12x2+x1x22=x1x2（x1+x2）= × =
（2）解：（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2= ﹣4× =
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2=，x1x2=，将代数式x12x2+x1x22利用提公因式法分解因式为： x1x2（x1+x2).再整体代入即可算出答案；
（2）利用完全平方公式的恒等变形将（x1﹣x2）2变为（x1+x2）2﹣4x1x2再整体代入即可算出答案。
18．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0．
（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）设x1、x2是方程的两根，且x12+x22=22+x1x2，求实数m的值．
【答案】（1）解：由题意可得：在关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0中，△=[﹣2（m+1）]2﹣4（m2﹣3）=8m+16，∵关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0有两个不相等的实数根时，
∴△＞0，即8m+16＞0，解得m＞﹣2
（2）解：根据一元二次方程根与系数之间的关系，得x1+x2=2（m+1），x1x2=m2﹣3，
∵x12+x22=22+x1x2=（x1+x2）2﹣2x1x2，
∴[2（m+1）]﹣2（m2﹣3）=6+（m2﹣3），化简，得m2+8m﹣9=0，解得m=1或m=﹣9（不合题意，舍去），∴实数m的值为1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）首先算出其根的判别式的值，根据此方程有两个不相等的实数根时，其根的判别式应该要大于0，从而列出不等式，求解得出m的取值范围；
（2）根据一元二次方程根与系数之间的关系，得x1+x2=2（m+1），x1x2=m2﹣3，根据完全平方公式的恒等变形，将方程x12+x22=22+x1x2变为（x1+x2）2﹣2x1x2=22+x1x2，然后整体代入，求解并根据（1）中m的取值范围检验得出m的值。
19．已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+ =0.
（1）若方程有实根，求实数m的取值范围．
（2）若方程两实根分别为x1、x2且满足x12+x22=|x1x2|+ ，求实数m的值．
【答案】（1）解：由关于x的方程 得
解得
（2）解：由根于系数的关系，得
解得 (不符合题意，舍)，
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）首先算出方程根的判别式的值，根据一元二次方程有实数根得出其判别式不为负数，从而列出不等式，求解得出m的取值范围；
（2）由根于系数的关系，得 x1+x2=m+3 ， x1x2=，再根据完全平方公式的恒等变形将方程变形为 ( x1+x2 )2=3x1x2+，求解再根据（1） m的取值范围进行检验即可得出答案。
20．已知x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．
（1）是否存在实数a，使﹣x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；
（2）求使（x1+1）（x2+1）为正整数的实数a的整数值．
【答案】（1）解：∵
∴
即
解得，a=24>0；
∴存在实数a，使 成立，a的值是24
（2）解：∵
∴当 为正整数时， 且a 6是6的约数，
∴
∴使 为正整数的实数a的整数值有
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2=，x1·x2=，将方程﹣x1+x1x2=4+x2变形为 x1x2=4+(x1+x2 ) ， 再整体代入得出即可求出a的值；
（2）将（x1+1)(x2+1）利用多项式乘以多项式展开得出x1x2+(x1+x2)+1，再整体代入，通分计算异分母分式的加减法，化为最简形式，然后根据代数式值为正整数，故 a 6<0 ， 且a 6是6的约数，从而得出整数a的值。
21．（1）解方程： ；
（2）已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
①如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
②如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
③如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【答案】（1）解：移项，得
（3-x）2-2x（3-x）=0，
（3-x）（3-x-2x）=0，
∴3-x=0或3-3x=0，
∴x1=3，x2=1
（2）解：①△ABC是等腰三角形；理由：∵x=-1是方程的根，∴（a+c）×（-1）2-2b+（a-c）=0，∴a+c-2b+a-c=0，∴a-b=0，∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形；
②∵方程有两个相等的实数根，
∴（2b）2-4（a+c）（a-c）=0，∴4b2-4a2+4c2=0，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
③当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a-c）=0，可整理为：
2ax2+2ax=0，
∴x2+x=0，
解得：x1=0，x2=-1
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的判定；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）将右边整体移到左边，然后利用提公因式将左边分解因式，根据两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个为0，将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程，得出原方程的解；
（2）①△ABC是等腰三角形；理由如下：根据方程根的概念，将x=-1代入(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0得a=b，故△ABC是等腰三角形；②根据关于x的方程有两个相等的实数根，故其根的判别式等于0，从而列出方程，化简得出a2=b2+c2，根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形；③当△ABC是等边三角形，根据等边三角形的三边相等整理得出x2+x=0，利用因式分解法即可求出方程的根。
22．已知关于x的方程x2﹣（m+n+1）x+m（n≥0）的两个实数根为α、β，且α≤β．
（1）试用含α、β的代数式表示m和n；
（2）求证：α≤1≤β；
（3）若点P（α，β）在△ABC的三条边上运动，且△ABC顶点的坐标分别为A（1，2）、B（ ，1）、C（1，1），问是否存在点P，使m+n= ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵α、β为方程x2﹣（m+n+1）x+m=0（n≥0）的两个实数根，∴判别式△=（m+n+1）2﹣4n=（m+n﹣1）2+4n≥0，且α+β=m+n+1，αβ=m，
于是m=αβ，n=α+β﹣m﹣1=α+β﹣αβ﹣1
（2）解：∵（1﹣α）（1﹣β）=1﹣（α+β）+αβ=﹣n≤0（n≥0），又α≤β，∴α≤1≤β
（3）解：若使m+n成立，只需α+β=m+n+1= ，①当点M（α，β）在BC边上运动时，由B（ ，1），C（1，1），得 ≤α≤1，β=1，
而α= ﹣β= ﹣1= ＞1，故在BC边上存在满足条件的点，其坐标为（ ，1）所以不符合题意舍去； 即在BC边上不存在满足条件的点
②当点M（α，β）在AC边上运动时，由A（1，2），C（1，1），得α=1，1≤β≤2，
此时β= ﹣α= ﹣1= ，又因为1＜ ＜2，故在AC边上存在满足条件的点，其坐标为（1， ）；
③当点M（α，β）在AB边上运动时，由A（1，2），B（ ，1），得 ≤α≤1，1≤β≤2，
由平面几何知识得， ，于是β=2α，由 ，解得α= ，β= ，
又因为 ＜ ＜1，1＜ ＜2，故在AB边上存在满足条件的点，其坐标为（ ， ）．
综上所述，当点M（α，β）在△ABC的三条边上运动时，存在点（1， ）和点（ ， ），使m+n= 成立
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）根据根与系数的关系得出α+β=m+n+1，αβ=m，于是m=αβ，n=α+β﹣m﹣1=α+β﹣αβ﹣1；
（2）利用求差法，及有理数的乘法法则，得出（1﹣α)(1﹣β）=1-(α+β）+αβ，再整体代入得出（1﹣α)(1﹣β)=-n≤0（n≥0），又α≤β，故α≤1≤β；
（3）若使m+n=成立，只需α+β=m+n+1= ，①当点M（α，β）在BC边上运动时，得 ≤α≤1，β=1，而α= ﹣β= ﹣1= ＞1，故在BC边上存在满足条件的点，其坐标为（ ，1）所以不符合题意舍去； 即在BC边上不存在满足条件的点故在BC边上存在满足条件的点；②当点M（α，β）在AC边上运动时，得α=1，1≤β≤2，此时β= ﹣α= ﹣1= ，又因为1＜ ＜2，故在AC边上存在满足条件的点，其坐标为（1， ）；③当点M（α，β）在AB边上运动时，得 ≤α≤1，1≤β≤2，及方程组求解得出α，β的值，又因为 ＜ ＜1，1＜ ＜2，故在AB边上存在满足条件的点，其坐标为（ ， ）．
1 / 12018-2019学年数学人教版九年级上册21.2.4 根与系数的关系 同步训练
一、选择题
1．（2018·莘县模拟）关于x的方程x2+5x+m=0的一个根为﹣2，则另一个根是（ ）
A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．6
2．（2018·泸县模拟）设x1、x2是方程2x2﹣4x﹣3=0的两根，则x1+x2的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
3．如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，那么这个一元二次方程是（ ）
A．x2+3x+4=0 B．x2﹣4x+3=0 C．x2+4x﹣3=0 D．x2+3x﹣4=0
4．若α、β为方程的两个实数根，则的值为（ ）。
A． B．12 C．14 D．15
5．已知α，β是关于x的一元二次方程x2+ (2m+3)x+m2=0 的两个不相等的实数根，且满足 = -1，则m的值是（ ）.
A．3或 -1 B．3 C．-1 D．-3 或 1
6．关于x的方程 的两根互为相反数，则k的值是（ ）
A．2 B．±2 C．-2 D．-3
7．已知x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣k﹣1=0的两根，且x1x2=﹣3，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知α，β是方程x2+2006x+1=0的两个根，则（1+2008α+α2）（1+2008β+β2）的值为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2017·杜尔伯特模拟）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a﹣b+c=0那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则下列结论正确的是（ ）
A．方有两个相等的实数根 B．方程有一根等于0
C．方程两根之和等于0 D．方程两根之积等于0
10．已知a≥2，m2﹣2am+2=0，n2﹣2an+2=0，m≠n，则（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值是（ ）
A．6 B．3 C．﹣3 D．0
二、填空题
11．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个不相等的实数根，且该方程与x2+mx﹣1=0有一个相同的根．当k为符合条件的最大整数时，m的值为 ．
12．已知方程x2－mx－3m＝0的两根是x1、x2，若x1＋x2＝1，则 x1x2＝ ．
13．已知关于 的一元二次方程 有两个实数根 和 ．若 时，则 = ．
14．当关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根，且其中一个根为另一个根的2倍时，称之为“倍根方程”. 如果关于x的一元二次方程x2+(m-2)x-2m=0是“倍根方程”，那么m的值为 .
15．我们知道若关于x的一元二次方程 有一根是1，则a+b+c=0，那么如果 ，则方程 有一根为
16．若关于 的一元二次方程 的两个不等实数根分别为 ，且 ，则 的值为 .
三、解答题
17．设x1、x2是一元二次方程2x2﹣7x+5=0的两根，利用一元二次方程根与系数的关系，求下列各式的值．
（1）x12x2+x1x22；
（2）（x1﹣x2）2
18．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0．
（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）设x1、x2是方程的两根，且x12+x22=22+x1x2，求实数m的值．
19．已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+ =0.
（1）若方程有实根，求实数m的取值范围．
（2）若方程两实根分别为x1、x2且满足x12+x22=|x1x2|+ ，求实数m的值．
20．已知x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．
（1）是否存在实数a，使﹣x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；
（2）求使（x1+1）（x2+1）为正整数的实数a的整数值．
21．（1）解方程： ；
（2）已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
①如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
②如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
③如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
22．已知关于x的方程x2﹣（m+n+1）x+m（n≥0）的两个实数根为α、β，且α≤β．
（1）试用含α、β的代数式表示m和n；
（2）求证：α≤1≤β；
（3）若点P（α，β）在△ABC的三条边上运动，且△ABC顶点的坐标分别为A（1，2）、B（ ，1）、C（1，1），问是否存在点P，使m+n= ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为n，则有﹣2+n=﹣5，解得：n=﹣3．故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程根与系数之间的关系，由两根之和等于-即可得出答案。
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1、x2是方程2x2﹣4x﹣3=0的两根，∴x1+x2=2．故答案为：A．
【分析】由一元二次方程的根据与系数的关系可得x1+x2=-=-=2.
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 的两根分别为
故答案为：B
【分析】根据根与系数的关系得出x1+x2=3+1= p ， x1·x2=3×1=q ，从而得出答案。
4．【答案】B
【知识点】代数式求值；一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵α为2x2-5x-1=0的实数根，
∴2α2-5α-1=0，即2α2=5α+1，
∴2α2+3αβ+5β=5α+1+3αβ+5β=5（α+β）+3αβ+1，
∵α、β为方程2x2-5x-1=0的两个实数根，
∴α+β= ，αβ=- ，
∴2α2+3αβ+5β=5× +3×（- ）+1=12．
故答案为：B
【分析】根据方程根的概念得出2α2-5α-1=0，即2α2=5α+1，然后整体代入代数式得出2α2+3αβ+5β=5α+1+3αβ+5β=5（α+β）+3αβ+1，根据根与系数的关系得出α+β=，αβ=-，再整体代入即可算出答案。
5．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵α、β是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根；
∴α+β= 2m 3，α β=m2；
∴ = = 2m 3m2= 1；
∴m2 2m 3=0；
解得m=3或m= 1；
∵一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0有两个不相等的实数根；
∴△=(2m+3)2 4×1×m2=12m+9>0；
∴m> ；
∴m= 1不合题意舍去；
∴m=3.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出α+β= 2m 3，α β=m2；然后将分式方程的左边按异分母分式加法的算法算出结果，再整体代入即可得出关于m的方程，求解得出m的值，再根据m的值是否满足原方程的判别式的值为正数进行检验即可得出答案。
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设原方程的两根为 ，则
由题意，得
∴
又∵
∴当k1=2时，△= 4<0，原方程无实根；
当k2= 2时，△=12>0，原方程有实根。
∴k= 2.
故答案为：C
【分析】设原方程的两根为 x1 、 x2 根据一元二次方程根与系数的关系则 x1+x2=4 k2 ； 又知此方程的两根互为相反数，故 x1+x2=0，从而列出关于k的方程，求解得出k的值，再根据k的值是否满足根的判别式的值不为负数进行检验即可得出答案。
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+2x-k-1=0的两根，
∴x1x2=-k-1．
∵x1x2=-3，
∴-k-1=-3，
解得：k=2．
故答案为：B
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出x1x2=-k-1．又x1x2=-3，故可得出关于k的方程，求解得出k的值。
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵α、β是方程x2+2006x+1=0的两个根，
∴α2+2006α+1=0，β2+2006β+1=0，
∴（1+2008α+α2）（1+2008β+β2）=2α 2β=4αβ，
∵α、β是方程x2+2006x+1=0的两个根，
∴αβ=1，
∴（1+2008α+α2）（1+2008β+β2）=4×1=4．
故答案为：D
【分析】根据方程根的概念得出α2+2006α+1=0，β2+2006β+1=0，然后整体代入代数式得出（1+2008α+α2）（1+2008β+β2）=2α 2β=4αβ，根据一元二次方程根与系数的关系得出αβ=1，再整体代入即可得出答案。
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵把x=1代入方程ax2+bx+c=0得出：a+b+c=0，
把x=﹣1代入方程ax2+bx+c=0得出a﹣b+c=0，
∴方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根x=1和x=﹣1，
∴1+（﹣1）=0，
即只有选项C正确；选项A、B、D都错误；
故选C．
【分析】根据已知得出方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根x=1和x=﹣1，再判断即可．
10．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】已知m2﹣2am+2=0，n2﹣2an+2=0，可得m，n是关于x的方程x2﹣2ax+2=0的两个根，根据根与系数的关系可得m+n=2a，mn=2，再由（m﹣1）2+（n﹣1）2=m2﹣2m+1+n2﹣2n+1=（m+n）2﹣2mn﹣2（m+n）+2=4a2﹣4﹣4a+2=4（a﹣ ）2﹣3，因a≥2，所以当a=2时，（m﹣1）2+（n﹣1）2有最小值，即（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值=4（a﹣ ）2-3=4（2﹣ ）2﹣3=6，故答案为：A
【分析】由题意知：m，n是关于x的方程x2﹣2ax+2=0的两个根，根据根与系数的关系可得m+n=2a，mn=2，将代数式用完全平方公式展开，再根据完全平方公式恒等变形为（m﹣1）2+（n﹣1）2=m2﹣2m+1+n2﹣2n+1=（m+n）2﹣2mn﹣2（m+n）+2，然后整体代入，根据代数式极值的算法得出答案。
11．【答案】0或
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵关于x的一元一次方程x4x+k=0有两个不相等的实数根，
△=16-4k>0，解得k<4
∴k的最大整数值是3，即k=3；
即
解得，x=1或x=3；
① 当与x2+mx-1=0相同的根是x=1时，1+m-1=0，解得m=0；
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② 当与x2+mx-1=0相同的根是x=3时，9+3m-1=0，解得m=-
综合①②知，符合条件的的值为0或-
故答案为：0或-
【分析】由于关于x的一元一次方程x4x+k=0有两个不相等的实数根，故其根的判别式应该大于0，从而列出关于k的不等式，求解得出其最大整数解，然后将k值代入方程，求解得出方程的两个根，然后分① 当与x2+mx-1=0相同的根是x=1时，与② 当与x2+mx-1=0相同的根是x=3时，两种情况，分别将x值代入方程，求解即可得出答案。
12．【答案】－3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ ， ∴
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出x1＋x2==m，又x1＋x2＝1，故m=1，从而得出 x1x2==-3m=-3.
13．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由两根关系，得根x1+x2=-（2m-1），x1 x2=m2，
由x12-x22=0得（x1+x2）（x1-x2）=0，
若x1+x2=0，即-（2m-1）=0，解得m= ，
∵ ＞ ，
∴m= 不合题意，舍去，
若x1-x2=0，即x1=x2
∴△=0，由（1）知，m= ，
故当x12-x22=0时，m= ．
故答案为：
【分析】由两根关系，得根x1+x2=-（2m-1），x1 x2=m2，将方程x12-x22=0左边利用平方差公式分解因式为：（x1+x2）（x1-x2）=0，根据两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个为0，若x1+x2=0，即-（2m-1）=0，解得m= ，若x1-x2=0，即x1=x2，根据方程有两个相等的实根，故原方程的判别式等于0，从而得出方程，求解得出m的值。
14．【答案】-1或-4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意设“倍根方程” 的一个根为 ，另一根为 ，则由一元二次方程根与系数的关系可得：
，
∴ ，
∴ ，
化简整理得： ，解得 .
故答案为：-1或-4
【分析】根据倍根方程的定义，设方程的一个根为 α ，另一根为 2 α ，则由一元二次方程根与系数的关系可得：α+2α= (m 2) ， 2α α= 2m，整理得出关于m的方程，求解得出m的值。
15．【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】根据一元二次方程的解的定义知，当x=-3时，9a-3b+c=0，即9a+c=3b，因此可知x=-3满足方程ax2+bx+c=0，所以方程ax2+bx+c=0的另一根是x=-3．
故答案为：-3
【分析】根据一元二次方程的解的定义知，当x=-3时，9a-3b+c=0，即9a+c=3b，故可得出答案。
16．【答案】-5
【知识点】代数式求值；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0（a≠0）的两个不相等的实数根分别为p和q，∴p+q=3，pq=a．
∵ ，∴（p+q）2﹣3pq=18，∴9﹣3a=18，解得：a=﹣3，即pq=﹣3，
∴ = = = =﹣5．
故答案为：﹣5
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出p+q=3，pq=a．根据完全平方公式恒等变形将方程 p2 pq+q2=18 变为（p+q）2﹣3pq=18，再整体代入即可求出a的值，然后通分计算异分母分式的加法，将计算结果恒等变形再整体代入即可算出答案。
17．【答案】（1）解：x12x2+x1x22=x1x2（x1+x2）= × =
（2）解：（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2= ﹣4× =
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2=，x1x2=，将代数式x12x2+x1x22利用提公因式法分解因式为： x1x2（x1+x2).再整体代入即可算出答案；
（2）利用完全平方公式的恒等变形将（x1﹣x2）2变为（x1+x2）2﹣4x1x2再整体代入即可算出答案。
18．【答案】（1）解：由题意可得：在关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0中，△=[﹣2（m+1）]2﹣4（m2﹣3）=8m+16，∵关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0有两个不相等的实数根时，
∴△＞0，即8m+16＞0，解得m＞﹣2
（2）解：根据一元二次方程根与系数之间的关系，得x1+x2=2（m+1），x1x2=m2﹣3，
∵x12+x22=22+x1x2=（x1+x2）2﹣2x1x2，
∴[2（m+1）]﹣2（m2﹣3）=6+（m2﹣3），化简，得m2+8m﹣9=0，解得m=1或m=﹣9（不合题意，舍去），∴实数m的值为1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）首先算出其根的判别式的值，根据此方程有两个不相等的实数根时，其根的判别式应该要大于0，从而列出不等式，求解得出m的取值范围；
（2）根据一元二次方程根与系数之间的关系，得x1+x2=2（m+1），x1x2=m2﹣3，根据完全平方公式的恒等变形，将方程x12+x22=22+x1x2变为（x1+x2）2﹣2x1x2=22+x1x2，然后整体代入，求解并根据（1）中m的取值范围检验得出m的值。
19．【答案】（1）解：由关于x的方程 得
解得
（2）解：由根于系数的关系，得
解得 (不符合题意，舍)，
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）首先算出方程根的判别式的值，根据一元二次方程有实数根得出其判别式不为负数，从而列出不等式，求解得出m的取值范围；
（2）由根于系数的关系，得 x1+x2=m+3 ， x1x2=，再根据完全平方公式的恒等变形将方程变形为 ( x1+x2 )2=3x1x2+，求解再根据（1） m的取值范围进行检验即可得出答案。
20．【答案】（1）解：∵
∴
即
解得，a=24>0；
∴存在实数a，使 成立，a的值是24
（2）解：∵
∴当 为正整数时， 且a 6是6的约数，
∴
∴使 为正整数的实数a的整数值有
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2=，x1·x2=，将方程﹣x1+x1x2=4+x2变形为 x1x2=4+(x1+x2 ) ， 再整体代入得出即可求出a的值；
（2）将（x1+1)(x2+1）利用多项式乘以多项式展开得出x1x2+(x1+x2)+1，再整体代入，通分计算异分母分式的加减法，化为最简形式，然后根据代数式值为正整数，故 a 6<0 ， 且a 6是6的约数，从而得出整数a的值。
21．【答案】（1）解：移项，得
（3-x）2-2x（3-x）=0，
（3-x）（3-x-2x）=0，
∴3-x=0或3-3x=0，
∴x1=3，x2=1
（2）解：①△ABC是等腰三角形；理由：∵x=-1是方程的根，∴（a+c）×（-1）2-2b+（a-c）=0，∴a+c-2b+a-c=0，∴a-b=0，∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形；
②∵方程有两个相等的实数根，
∴（2b）2-4（a+c）（a-c）=0，∴4b2-4a2+4c2=0，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
③当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a-c）=0，可整理为：
2ax2+2ax=0，
∴x2+x=0，
解得：x1=0，x2=-1
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的判定；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）将右边整体移到左边，然后利用提公因式将左边分解因式，根据两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个为0，将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程，得出原方程的解；
（2）①△ABC是等腰三角形；理由如下：根据方程根的概念，将x=-1代入(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0得a=b，故△ABC是等腰三角形；②根据关于x的方程有两个相等的实数根，故其根的判别式等于0，从而列出方程，化简得出a2=b2+c2，根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形；③当△ABC是等边三角形，根据等边三角形的三边相等整理得出x2+x=0，利用因式分解法即可求出方程的根。
22．【答案】（1）解：∵α、β为方程x2﹣（m+n+1）x+m=0（n≥0）的两个实数根，∴判别式△=（m+n+1）2﹣4n=（m+n﹣1）2+4n≥0，且α+β=m+n+1，αβ=m，
于是m=αβ，n=α+β﹣m﹣1=α+β﹣αβ﹣1
（2）解：∵（1﹣α）（1﹣β）=1﹣（α+β）+αβ=﹣n≤0（n≥0），又α≤β，∴α≤1≤β
（3）解：若使m+n成立，只需α+β=m+n+1= ，①当点M（α，β）在BC边上运动时，由B（ ，1），C（1，1），得 ≤α≤1，β=1，
而α= ﹣β= ﹣1= ＞1，故在BC边上存在满足条件的点，其坐标为（ ，1）所以不符合题意舍去； 即在BC边上不存在满足条件的点
②当点M（α，β）在AC边上运动时，由A（1，2），C（1，1），得α=1，1≤β≤2，
此时β= ﹣α= ﹣1= ，又因为1＜ ＜2，故在AC边上存在满足条件的点，其坐标为（1， ）；
③当点M（α，β）在AB边上运动时，由A（1，2），B（ ，1），得 ≤α≤1，1≤β≤2，
由平面几何知识得， ，于是β=2α，由 ，解得α= ，β= ，
又因为 ＜ ＜1，1＜ ＜2，故在AB边上存在满足条件的点，其坐标为（ ， ）．
综上所述，当点M（α，β）在△ABC的三条边上运动时，存在点（1， ）和点（ ， ），使m+n= 成立
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）根据根与系数的关系得出α+β=m+n+1，αβ=m，于是m=αβ，n=α+β﹣m﹣1=α+β﹣αβ﹣1；
（2）利用求差法，及有理数的乘法法则，得出（1﹣α)(1﹣β）=1-(α+β）+αβ，再整体代入得出（1﹣α)(1﹣β)=-n≤0（n≥0），又α≤β，故α≤1≤β；
（3）若使m+n=成立，只需α+β=m+n+1= ，①当点M（α，β）在BC边上运动时，得 ≤α≤1，β=1，而α= ﹣β= ﹣1= ＞1，故在BC边上存在满足条件的点，其坐标为（ ，1）所以不符合题意舍去； 即在BC边上不存在满足条件的点故在BC边上存在满足条件的点；②当点M（α，β）在AC边上运动时，得α=1，1≤β≤2，此时β= ﹣α= ﹣1= ，又因为1＜ ＜2，故在AC边上存在满足条件的点，其坐标为（1， ）；③当点M（α，β）在AB边上运动时，得 ≤α≤1，1≤β≤2，及方程组求解得出α，β的值，又因为 ＜ ＜1，1＜ ＜2，故在AB边上存在满足条件的点，其坐标为（ ， ）．
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