2018-2019学年数学人教版九年级上册21.2.3 解一元二次方程（3） 同步训练
一、选择题
1．方程x2﹣2x=0的解为（ ）
A．x1=0，x2=2 B．x1=0，x2=﹣2
C．x1=x2=1 D．x=2
【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x（x-2）=0，
x=0或x-2=0，
所以x1=0，x2=2．
故答案为：A
【分析】利用提公因式法分解因式，根据两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个为0，将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程，得出原方程的解。
2．解方程（5x﹣1）2=3（5x﹣1）的适当方法是（ ）
A．开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】
即用了因式分解法，
故答案为：D
【分析】将方程的右边整体移到左边，利用提公因式法分解因式，就能将方程变形成两个因式的乘积等于0的形式。
3．方程 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为
A．6 B．8 C．10 D．8或10
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】 ，
或 ，
， ，
当2为腰，4为底时， ，不符合三角形三边的关系，
等腰三角形的底为2，腰为4，
这个等腰三角形的周长 ，
故答案为：C
【分析】根据两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个为0，将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程，得出原方程的解，然后分：2为腰，4为底与底为2，腰为4，两种情况，根据三角形三边之间的关系判断出能否围成三角形，能的利用三角形周长的计算方法算出答案。
4．方程x（x﹣2）+x﹣2=0的两个根为（ ）
A．x=﹣1 B．x=﹣2
C．x1=1，x2=﹣2 D．x1=﹣1，x2=2
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：因式分解，得：(x-2)(x+1)=0
∴x-2=0或x+1=0
解得：x1=-1，x2=2
故送D.
【分析】把x-2看成一个整体，利用提公因式法分解因式，根据两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个为0，将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程，得出原方程的解。
5．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（ ）
A．(2x－2)(3x－4)=0 ， ∴2x－2=0或3x－4=0
B．(x+3)(x－1)=1 ，∴x+3=0或x－1=1
C．(x－2)(x－3)=2×3 ， ∴x－2=2或x－3=3
D．x(x+2)=0 ，∴x+2=0
【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： 用因式分解法时，方程的右边为0，才可以达到化为两个一次方程的目的．因此第二、第三个不对，
第四个漏了一个一次方程，应该是x＝0，x＋2＝0．
所以第一个正确．
故答案为：A
【分析】用因式分解法时，方程的右边必须为0，根据两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个为0，才能将方程降次为两个一元一次方程。
6．已知代数式x2﹣2x﹣3与﹣1﹣x互为相反数，则x的值是（ ）
A．x1=﹣4，x2=1 B．x1=4，x2=﹣1
C．x1=x2=4 D．x=﹣1
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2-2x-3+（-1-x）=0
x2-3x-4=0
（x-4）（x+1）=0
解得x1=4，x2=-1
故答案为：B
【分析】根据互为相反数的两数相加等于0，列出方程，然后利用因式分解法解方程即可求出x的值。
7．关于x的一元二次方程 的常数项是0，则m的值（ ）
A．1 B．1或2 C．2 D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】∵关于 的一元二次方程 的常数项是0，
∴ ，解得： .
故答案为：C
【分析】根据一元二次方程的定义，二次项的系数不能为0，又此方程常数项为0，故得出混合组，求解得出m的值。
8．根据图中的程序，当输入方程x2=2x的解x时，输出结果y=（ ）
A．-4 B．2 C．-4或2 D．2或-2
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2=2x，解得x=0或2，当x=0 1，y=-4，当x=2 1，y=2，故y为-4或者2.故答案为：C
【分析】先求得x的值，再根据程序框图的条件求得y的值即可，需注意所给方程的解有两个.
9．已知m 整数，且满足 ， 则关于 的一元二次方程m2x2-4x-2=（m+2）x2+3x+4 的解为（ ）
A．x1=-2，x2=- 或 x=- B．x1=2，x2=
C．x=- D．x1=-2，x2=-
【答案】A
【知识点】解一元一次方程；因式分解法解一元二次方程；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】由题得 解得 ＜m＜3，
∵m整数；
∴m取1或2；
当m=1时，方程可化为x2 4 x 2 =3x2+3x+4
解得x 1 = 2 ， x 2 =
当m=2时方程可化为4x2 4 x 2 = ( 2+2 )x2 +3x+4
解得：x =
所以x1= 2 ， x2 = 或x = 。
故答案为A
【分析】首先解不等式组，求出其整数解，m取1或2；然后将m=1或m=2分别代入原方程，得出一个一元二次方程与一个一元一次方程，求解得出x的值。
10．如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，作为第一层，第二层每边有两个点，第三 层每边有三个点，依次类推，如果n层六边形点阵的总点数为331，则n等于（ ）
A．n=6 B．n=8 C．n=11 D．n=13
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；探索图形规律
【解析】【解答】观察图形，由题意可得：
第一层的点的个数为：1个；
第二层的点的个数为：6=1×6（个）；
第三层的点的个数为：6+6=2×6（个）；
第四层的点的个数为：6+6+6=3×6（个）；
……；
第n层的点的个数为：(n-1)×6（个），其中 且n为整数；
∴前n层的点的总个数为： 由 解得 （不合题意，舍去）.
故答案为：C
【分析】此题是探寻图形规律的题，首先分别找出前几层中点的数量，然后将这个数量用表示层数的序号的式子表示出来，从而发现规律，利用发现的规律即可得出第n层中点的数量，然后求出前n层的点的总个数为：1+1×6+2×6+3×6+ 6×(n 1)=1+6×[1+2+3+ +(n 1) ]=1+×6= 3n2 3n+1，从而列出方程，利用因式分解法，即可解方程得出n的值。
二、填空题
11．一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是 ．
【答案】2或﹣1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
∵x2﹣x﹣2=0
∴（x﹣2）（x+1）=0
∴x1=2，x2=﹣1
【分析】用十字相乘法，将方程的左边分解因式，根据两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个为0，将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程，得出原方程的解。
12．（2018·滨州模拟）已知3，a，4，b，5这五个数据，其中a，b是方程x2﹣3x+2=0的两个根，则这五个数据的方差是 ．
【答案】2
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】x2﹣3x+2=0，
（x-1）（x-2）=0，
∴x-1=0，x-2=0，
解得x1=1，x2=2，
所以这组数据是：1，2，3，4，5，
=3，
=2，
故答案为：2．
【分析】解一元二次方程可得a、b的值，根据算术平均数=可求得这组数据的平均数，再根据方差的公式可求解。
13．解一元二次方程 时，小明得出方程的根是x=1，则被漏掉的一个根是x= .
【答案】2
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】移项得x(x-2)-(x-2)=0，提取公因式得(x-2)(x-1)=0，所以x-2=0或x-1=0，即x=2或x=1，则被漏掉的一个根是x=2，故答案为2
【分析】将右边整体移到 方程的左边，方程的左边利用提公因式法分解因式，根据两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个为0，将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程，得出原方程的解，从而得出答案。
14．一元二次方程(x－1)(x－2)＝0的两个根为x1，x2，且x1＞x2，则x1－2x2＝ 。
【答案】0
【知识点】代数式求值；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（x﹣1）（x﹣2）=0
x﹣1=0或x﹣2=0
∵x1＞x2，∴x1=2，x2=1，∴x1－2x2＝2-2=0．故答案为：0
【分析】根据两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个为0，将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程，再根据x1＞x2，得出原方程的解，将解代入代数式即可算出答案。
15．若（a+b）（a+b+2）=8，则a+b= ．
【答案】2或-4
【知识点】代数式求值；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】设a+b=y，所以原方程变化为：y2+2y﹣8=0，解得y=2或﹣4，所以a+b=2或﹣4，故答案为2或-4.
【分析】用换元法解一元二次方程，设a+b=y，所以原方程变化为：y2+2y﹣8=0，然后利用十字相乘法将左边分解因式，根据两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个为0，将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程，得出答案。
16．已知c为实数，并且方程x2﹣3x+c=0的一个根的相反数是方程x2+3x﹣c=0的一个根，则方程x2+3x﹣c=0的解是 ．
【答案】x1=0，x2=﹣3
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设方程x2﹣3x+c=0一个根为t，则t2﹣3t+c=0①，因为﹣t为方程x2+3x﹣c=0的一个根，所以t2﹣3t﹣c=0②，由①②得：c=0，解方程x2+3x=0得：x1=0，x2=﹣3．故答案为：x1=0，x2=﹣3
【分析】根据方程根的概念，设方程x2﹣3x+c=0一个根为t，则t2﹣3t+c=0①，由于方程x2﹣3x+c=0的一个根的相反数是方程x2+3x﹣c=0的一个根，故将x=-t代入方程x2+3x﹣c=0得t2﹣3t﹣c=0②，由①②得：c=0，将c=0代入x2+3x﹣c=0，利用因式分解法即可求出方程的解。
三、解答题
17．用适当的方法求解：
（1）（x+6）2﹣9=0；
（2）2（x﹣3）2=x（x﹣3）；
（3）（3﹣x）2+x2=9；
（4）（x﹣1）2=（5﹣2x）2．
【答案】（1）解：(x+6)2=9，
∴x+6=±3
∴x1=﹣3，x2=﹣9
（2）解：2(x﹣3)2﹣x(x﹣3)=0
(x﹣3)(2x﹣6﹣x)=0
(x﹣3)(x﹣6)=0，
x1=3，x2=6
（3）解：(3﹣x)2+x2=9
展开得x2﹣3x=0，
x(x﹣3)=0
∴x1=0，x2=3
（4）解：(x﹣1)2=(5﹣2x)2
x﹣1=±(5﹣2x)
即x1=2，x2=4
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）将常数项移到方程的右边，然后利用直接开平方法将方程降次为两个一元一次方程，求解得出原方程的解；
（2）利用因式分解法解方程，把右边作为一个整体移到方程的左边，然后利用提公因式法分解因式，根据两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个为0，将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程，得出原方程的解；
（3）将方程整理成一般形式，然后左边利用提公因式法分解因式，根据两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个为0，将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程，得出原方程的解；
（4）利用直接开平方法将方程降次为两个一元一次方程，求解得出原方程的解。
18．解方程：
我们已经学习了一元二次方程的多种解法：如因式分解法，开平方法，配方法和公式法，还可以运用十字相乘法，请从以下一元二次方程中任选两个，并选择你认为适当的方法解这个方程．
①②③④
我选择第几个方程。
【答案】解：我选第①个方程，解法如下：x2-4x-1=0，这里a=1，b=-4，c=-1，∵△=16+4=20，∴x= =2± ，则x1=2+ ，x2=2- ；我选第②个方程，解法如下：x（2x+1）=8x-3，整理得：2x2-7x+3=0，分解因式得：（2x-1）（x-3）=0，可得2x-1=0或x-3=0，解得：x1= ，x2=3；我选第③个方程，解法如下：x2+3x+1=0，这里a=1，b=3，c=1，∵△=9-4=5，∴x= ，则x1= ，x2= ；我选第④个方程，解法如下：x2-9=4（x-3），变形得，（x+3）（x-3）-4（x-3）=0，因式分解得，（x-3）（x+3-4）=0，∴x-3=0或x+3-4=0，∴x1=3，x2=1
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）我选第①个方程，解法如下：利用公式法解方程，首先算出根的判别式的值，根据根的判别式的值大于0，然后直接利用求根公式即可得出该方程的两个根；
（2）我选第②个方程，解法如下：首先将方程整理成一般形式利用因式分解法解方程，将方程的左边分解因式，根据两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个为0，将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程，得出原方程的解。
（3）我选第③个方程，解法如下：利用公式法解方程，首先算出根的判别式的值，根据根的判别式的值大于0，然后直接利用求根公式即可得出该方程的两个根；
（4）我选第④个方程，解法如下：利用因式分解法解方程，左边利用平方差公式分解因式，把右边作为一个整体移到方程的左边，然后利用提公因式法分解因式，根据两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个为0，将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程，得出原方程的解。
19．先化简，再求值： ，其中m满足一元二次方程 .
【答案】解：
原式=
=
=
解方程m2-2m-8=0得：m=4或m=-2，
∵当m=-2时，原分式无意义，
∴m=4，
∴原式=
【知识点】分式的化简求值；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】再计算除法，把各个分式的分子分母能分解因式的分别分解因式，再将除式的分子分母交换位置，将除法转变为乘法，然后约分化为最简分式，再把整式看成分母为1的式子然后通分计算异分母分式的减法；用因式分解法求出一元二次方程的两个根，根据分式有意义的条件得出m不能为0，-2，±1，故m取4，将m=4代入分式运算化简的结果，按有理数的计算方法即可算出答案，
20．已知，关于x的一元二次方程x2+（1﹣k）x﹣k=0 （其中k为常数）．
（1）判断方程根的情况并说明理由；
（2）若﹣1＜k＜0，设方程的两根分别为m，n（m＜n），求它的两个根m和n；
（3）在（2）的条件下，若直线y=kx﹣1与x轴交于点C，x轴上另两点A（m，0）、点B（n，0），试说明是否存在k的值，使这三点中相邻两点之间的距离相等？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵△=（1﹣k）2+4k=k2﹣2k+1+4k=k2+2k+1=（k+1）2≥0，∴方程有两个实数根
（2）解：∵x2+（1﹣k）x﹣k=0，∴（x﹣k）（x+1）=0，∴x=k或﹣1．
∵﹣1＜k＜0，设方程的两根分别为m，n（m＜n），∴m=-1，n=k
（3）不存在．
理由：由题意A（-1，0），B（k，0），C（ ，0）．
∵﹣1＜k＜0，
∴＜﹣1＜k ．
∵AC=AB，
∴-1﹣ =1+k，整理得：(k+1)2=0，解得：k=-1（不符合题意），
故不存在
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）算出根的判别式的值，根据偶次方的非负性知根的判别式一定不为负数，从而得出结论：方程有两个实数根；
（2）利用因式分解法.解出方程的两根x=k或﹣1．又﹣1＜k＜0，设方程的两根分别为m，n（m＜n），故m=-1，n=k；
（3）不存在，根据直线与x轴交点的坐标特点，得出C点的坐标，根据﹣1＜k＜0，∴＜﹣1＜k．从而判断出A应该介于B，C之间，由AC=AB，列出方程，求解得出k的值，再检验即可得出答案。
21．如图7，已知平行四边形ABCD的周长是32cm，AB︰BC=5︰3，AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F，∠EAF=2∠C.
（1）求∠C的度数；
（2）已知DF的长是关于 的方程 - -6=0的一个根，求该方程的另一个根.
【答案】（1）解：∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠E=∠F=90°，∵四边形AECF的内角和为360°，
∴∠EAF+∠C=360°-2×90°=180°，
∵∠EAF=2∠C，
∴2∠C+∠C=180°，
∴∠C=60°
（2）解：∵ABCD为平行四边形，∴∠DAB=∠C=60°，CD∥AB，
由已知AF⊥CD，得AF⊥AB，
∴∠FAB=90°，
∴∠FAD=∠FAB-∠DAB=30°，
由平行四边形的性质，知AB=CD，AD=BC，
由周长为32cm，得AB+BC=16cm，
由AB︰BC=5︰3，可求得BC=6cm，∴AD=BC=6cm，
在Rt△ADF中，∵∠FAD=30°，
∴DF= AD=3cm，
把DF的长代入方程中，求得 =1，
∴原方程为 - -6=0，解该方程得 =3， =-2，
∴方程的另一个根为 =-2
【知识点】一元二次方程的根；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得出∠E=∠F=90°，根据四边形的内角和得出∠EAF+∠C=360°-2×90°=180°，又∠EAF=2∠C，故2∠C+∠C=180°，求解得出∠C的度数；
（2）根据平行四边形的性质得出∠DAB=∠C=60°，CD∥AB，由已知AF⊥CD，得AF⊥AB，根据角的和差得出∠FAD=∠FAB-∠DAB=30°，由平行四边形的性质，知AB=CD，AD=BC，故AB+BC=16cm，由AB︰BC=5︰3，可求得BC=6cm，∴AD=BC=6cm，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出DF= AD=3cm，根据一元二次方程根的定义，将DF的长代入方程中，求得 a =1，将a的值代入原方程，求解即可得出方程的另一个根。
1 / 12018-2019学年数学人教版九年级上册21.2.3 解一元二次方程（3） 同步训练
一、选择题
1．方程x2﹣2x=0的解为（ ）
A．x1=0，x2=2 B．x1=0，x2=﹣2
C．x1=x2=1 D．x=2
2．解方程（5x﹣1）2=3（5x﹣1）的适当方法是（ ）
A．开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
3．方程 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为
A．6 B．8 C．10 D．8或10
4．方程x（x﹣2）+x﹣2=0的两个根为（ ）
A．x=﹣1 B．x=﹣2
C．x1=1，x2=﹣2 D．x1=﹣1，x2=2
5．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（ ）
A．(2x－2)(3x－4)=0 ， ∴2x－2=0或3x－4=0
B．(x+3)(x－1)=1 ，∴x+3=0或x－1=1
C．(x－2)(x－3)=2×3 ， ∴x－2=2或x－3=3
D．x(x+2)=0 ，∴x+2=0
6．已知代数式x2﹣2x﹣3与﹣1﹣x互为相反数，则x的值是（ ）
A．x1=﹣4，x2=1 B．x1=4，x2=﹣1
C．x1=x2=4 D．x=﹣1
7．关于x的一元二次方程 的常数项是0，则m的值（ ）
A．1 B．1或2 C．2 D．
8．根据图中的程序，当输入方程x2=2x的解x时，输出结果y=（ ）
A．-4 B．2 C．-4或2 D．2或-2
9．已知m 整数，且满足 ， 则关于 的一元二次方程m2x2-4x-2=（m+2）x2+3x+4 的解为（ ）
A．x1=-2，x2=- 或 x=- B．x1=2，x2=
C．x=- D．x1=-2，x2=-
10．如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，作为第一层，第二层每边有两个点，第三 层每边有三个点，依次类推，如果n层六边形点阵的总点数为331，则n等于（ ）
A．n=6 B．n=8 C．n=11 D．n=13
二、填空题
11．一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是 ．
12．（2018·滨州模拟）已知3，a，4，b，5这五个数据，其中a，b是方程x2﹣3x+2=0的两个根，则这五个数据的方差是 ．
13．解一元二次方程 时，小明得出方程的根是x=1，则被漏掉的一个根是x= .
14．一元二次方程(x－1)(x－2)＝0的两个根为x1，x2，且x1＞x2，则x1－2x2＝ 。
15．若（a+b）（a+b+2）=8，则a+b= ．
16．已知c为实数，并且方程x2﹣3x+c=0的一个根的相反数是方程x2+3x﹣c=0的一个根，则方程x2+3x﹣c=0的解是 ．
三、解答题
17．用适当的方法求解：
（1）（x+6）2﹣9=0；
（2）2（x﹣3）2=x（x﹣3）；
（3）（3﹣x）2+x2=9；
（4）（x﹣1）2=（5﹣2x）2．
18．解方程：
我们已经学习了一元二次方程的多种解法：如因式分解法，开平方法，配方法和公式法，还可以运用十字相乘法，请从以下一元二次方程中任选两个，并选择你认为适当的方法解这个方程．
①②③④
我选择第几个方程。
19．先化简，再求值： ，其中m满足一元二次方程 .
20．已知，关于x的一元二次方程x2+（1﹣k）x﹣k=0 （其中k为常数）．
（1）判断方程根的情况并说明理由；
（2）若﹣1＜k＜0，设方程的两根分别为m，n（m＜n），求它的两个根m和n；
（3）在（2）的条件下，若直线y=kx﹣1与x轴交于点C，x轴上另两点A（m，0）、点B（n，0），试说明是否存在k的值，使这三点中相邻两点之间的距离相等？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
21．如图7，已知平行四边形ABCD的周长是32cm，AB︰BC=5︰3，AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F，∠EAF=2∠C.
（1）求∠C的度数；
（2）已知DF的长是关于 的方程 - -6=0的一个根，求该方程的另一个根.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x（x-2）=0，
x=0或x-2=0，
所以x1=0，x2=2．
故答案为：A
【分析】利用提公因式法分解因式，根据两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个为0，将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程，得出原方程的解。
2．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】
即用了因式分解法，
故答案为：D
【分析】将方程的右边整体移到左边，利用提公因式法分解因式，就能将方程变形成两个因式的乘积等于0的形式。
3．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】 ，
或 ，
， ，
当2为腰，4为底时， ，不符合三角形三边的关系，
等腰三角形的底为2，腰为4，
这个等腰三角形的周长 ，
故答案为：C
【分析】根据两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个为0，将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程，得出原方程的解，然后分：2为腰，4为底与底为2，腰为4，两种情况，根据三角形三边之间的关系判断出能否围成三角形，能的利用三角形周长的计算方法算出答案。
4．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：因式分解，得：(x-2)(x+1)=0
∴x-2=0或x+1=0
解得：x1=-1，x2=2
故送D.
【分析】把x-2看成一个整体，利用提公因式法分解因式，根据两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个为0，将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程，得出原方程的解。
5．【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： 用因式分解法时，方程的右边为0，才可以达到化为两个一次方程的目的．因此第二、第三个不对，
第四个漏了一个一次方程，应该是x＝0，x＋2＝0．
所以第一个正确．
故答案为：A
【分析】用因式分解法时，方程的右边必须为0，根据两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个为0，才能将方程降次为两个一元一次方程。
6．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2-2x-3+（-1-x）=0
x2-3x-4=0
（x-4）（x+1）=0
解得x1=4，x2=-1
故答案为：B
【分析】根据互为相反数的两数相加等于0，列出方程，然后利用因式分解法解方程即可求出x的值。
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】∵关于 的一元二次方程 的常数项是0，
∴ ，解得： .
故答案为：C
【分析】根据一元二次方程的定义，二次项的系数不能为0，又此方程常数项为0，故得出混合组，求解得出m的值。
8．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2=2x，解得x=0或2，当x=0 1，y=-4，当x=2 1，y=2，故y为-4或者2.故答案为：C
【分析】先求得x的值，再根据程序框图的条件求得y的值即可，需注意所给方程的解有两个.
9．【答案】A
【知识点】解一元一次方程；因式分解法解一元二次方程；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】由题得 解得 ＜m＜3，
∵m整数；
∴m取1或2；
当m=1时，方程可化为x2 4 x 2 =3x2+3x+4
解得x 1 = 2 ， x 2 =
当m=2时方程可化为4x2 4 x 2 = ( 2+2 )x2 +3x+4
解得：x =
所以x1= 2 ， x2 = 或x = 。
故答案为A
【分析】首先解不等式组，求出其整数解，m取1或2；然后将m=1或m=2分别代入原方程，得出一个一元二次方程与一个一元一次方程，求解得出x的值。
10．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；探索图形规律
【解析】【解答】观察图形，由题意可得：
第一层的点的个数为：1个；
第二层的点的个数为：6=1×6（个）；
第三层的点的个数为：6+6=2×6（个）；
第四层的点的个数为：6+6+6=3×6（个）；
……；
第n层的点的个数为：(n-1)×6（个），其中 且n为整数；
∴前n层的点的总个数为： 由 解得 （不合题意，舍去）.
故答案为：C
【分析】此题是探寻图形规律的题，首先分别找出前几层中点的数量，然后将这个数量用表示层数的序号的式子表示出来，从而发现规律，利用发现的规律即可得出第n层中点的数量，然后求出前n层的点的总个数为：1+1×6+2×6+3×6+ 6×(n 1)=1+6×[1+2+3+ +(n 1) ]=1+×6= 3n2 3n+1，从而列出方程，利用因式分解法，即可解方程得出n的值。
11．【答案】2或﹣1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
∵x2﹣x﹣2=0
∴（x﹣2）（x+1）=0
∴x1=2，x2=﹣1
【分析】用十字相乘法，将方程的左边分解因式，根据两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个为0，将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程，得出原方程的解。
12．【答案】2
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】x2﹣3x+2=0，
（x-1）（x-2）=0，
∴x-1=0，x-2=0，
解得x1=1，x2=2，
所以这组数据是：1，2，3，4，5，
=3，
=2，
故答案为：2．
【分析】解一元二次方程可得a、b的值，根据算术平均数=可求得这组数据的平均数，再根据方差的公式可求解。
13．【答案】2
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】移项得x(x-2)-(x-2)=0，提取公因式得(x-2)(x-1)=0，所以x-2=0或x-1=0，即x=2或x=1，则被漏掉的一个根是x=2，故答案为2
【分析】将右边整体移到 方程的左边，方程的左边利用提公因式法分解因式，根据两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个为0，将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程，得出原方程的解，从而得出答案。
14．【答案】0
【知识点】代数式求值；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（x﹣1）（x﹣2）=0
x﹣1=0或x﹣2=0
∵x1＞x2，∴x1=2，x2=1，∴x1－2x2＝2-2=0．故答案为：0
【分析】根据两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个为0，将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程，再根据x1＞x2，得出原方程的解，将解代入代数式即可算出答案。
15．【答案】2或-4
【知识点】代数式求值；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】设a+b=y，所以原方程变化为：y2+2y﹣8=0，解得y=2或﹣4，所以a+b=2或﹣4，故答案为2或-4.
【分析】用换元法解一元二次方程，设a+b=y，所以原方程变化为：y2+2y﹣8=0，然后利用十字相乘法将左边分解因式，根据两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个为0，将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程，得出答案。
16．【答案】x1=0，x2=﹣3
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设方程x2﹣3x+c=0一个根为t，则t2﹣3t+c=0①，因为﹣t为方程x2+3x﹣c=0的一个根，所以t2﹣3t﹣c=0②，由①②得：c=0，解方程x2+3x=0得：x1=0，x2=﹣3．故答案为：x1=0，x2=﹣3
【分析】根据方程根的概念，设方程x2﹣3x+c=0一个根为t，则t2﹣3t+c=0①，由于方程x2﹣3x+c=0的一个根的相反数是方程x2+3x﹣c=0的一个根，故将x=-t代入方程x2+3x﹣c=0得t2﹣3t﹣c=0②，由①②得：c=0，将c=0代入x2+3x﹣c=0，利用因式分解法即可求出方程的解。
17．【答案】（1）解：(x+6)2=9，
∴x+6=±3
∴x1=﹣3，x2=﹣9
（2）解：2(x﹣3)2﹣x(x﹣3)=0
(x﹣3)(2x﹣6﹣x)=0
(x﹣3)(x﹣6)=0，
x1=3，x2=6
（3）解：(3﹣x)2+x2=9
展开得x2﹣3x=0，
x(x﹣3)=0
∴x1=0，x2=3
（4）解：(x﹣1)2=(5﹣2x)2
x﹣1=±(5﹣2x)
即x1=2，x2=4
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）将常数项移到方程的右边，然后利用直接开平方法将方程降次为两个一元一次方程，求解得出原方程的解；
（2）利用因式分解法解方程，把右边作为一个整体移到方程的左边，然后利用提公因式法分解因式，根据两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个为0，将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程，得出原方程的解；
（3）将方程整理成一般形式，然后左边利用提公因式法分解因式，根据两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个为0，将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程，得出原方程的解；
（4）利用直接开平方法将方程降次为两个一元一次方程，求解得出原方程的解。
18．【答案】解：我选第①个方程，解法如下：x2-4x-1=0，这里a=1，b=-4，c=-1，∵△=16+4=20，∴x= =2± ，则x1=2+ ，x2=2- ；我选第②个方程，解法如下：x（2x+1）=8x-3，整理得：2x2-7x+3=0，分解因式得：（2x-1）（x-3）=0，可得2x-1=0或x-3=0，解得：x1= ，x2=3；我选第③个方程，解法如下：x2+3x+1=0，这里a=1，b=3，c=1，∵△=9-4=5，∴x= ，则x1= ，x2= ；我选第④个方程，解法如下：x2-9=4（x-3），变形得，（x+3）（x-3）-4（x-3）=0，因式分解得，（x-3）（x+3-4）=0，∴x-3=0或x+3-4=0，∴x1=3，x2=1
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）我选第①个方程，解法如下：利用公式法解方程，首先算出根的判别式的值，根据根的判别式的值大于0，然后直接利用求根公式即可得出该方程的两个根；
（2）我选第②个方程，解法如下：首先将方程整理成一般形式利用因式分解法解方程，将方程的左边分解因式，根据两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个为0，将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程，得出原方程的解。
（3）我选第③个方程，解法如下：利用公式法解方程，首先算出根的判别式的值，根据根的判别式的值大于0，然后直接利用求根公式即可得出该方程的两个根；
（4）我选第④个方程，解法如下：利用因式分解法解方程，左边利用平方差公式分解因式，把右边作为一个整体移到方程的左边，然后利用提公因式法分解因式，根据两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个为0，将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程，得出原方程的解。
19．【答案】解：
原式=
=
=
解方程m2-2m-8=0得：m=4或m=-2，
∵当m=-2时，原分式无意义，
∴m=4，
∴原式=
【知识点】分式的化简求值；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】再计算除法，把各个分式的分子分母能分解因式的分别分解因式，再将除式的分子分母交换位置，将除法转变为乘法，然后约分化为最简分式，再把整式看成分母为1的式子然后通分计算异分母分式的减法；用因式分解法求出一元二次方程的两个根，根据分式有意义的条件得出m不能为0，-2，±1，故m取4，将m=4代入分式运算化简的结果，按有理数的计算方法即可算出答案，
20．【答案】（1）解：∵△=（1﹣k）2+4k=k2﹣2k+1+4k=k2+2k+1=（k+1）2≥0，∴方程有两个实数根
（2）解：∵x2+（1﹣k）x﹣k=0，∴（x﹣k）（x+1）=0，∴x=k或﹣1．
∵﹣1＜k＜0，设方程的两根分别为m，n（m＜n），∴m=-1，n=k
（3）不存在．
理由：由题意A（-1，0），B（k，0），C（ ，0）．
∵﹣1＜k＜0，
∴＜﹣1＜k ．
∵AC=AB，
∴-1﹣ =1+k，整理得：(k+1)2=0，解得：k=-1（不符合题意），
故不存在
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）算出根的判别式的值，根据偶次方的非负性知根的判别式一定不为负数，从而得出结论：方程有两个实数根；
（2）利用因式分解法.解出方程的两根x=k或﹣1．又﹣1＜k＜0，设方程的两根分别为m，n（m＜n），故m=-1，n=k；
（3）不存在，根据直线与x轴交点的坐标特点，得出C点的坐标，根据﹣1＜k＜0，∴＜﹣1＜k．从而判断出A应该介于B，C之间，由AC=AB，列出方程，求解得出k的值，再检验即可得出答案。
21．【答案】（1）解：∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠E=∠F=90°，∵四边形AECF的内角和为360°，
∴∠EAF+∠C=360°-2×90°=180°，
∵∠EAF=2∠C，
∴2∠C+∠C=180°，
∴∠C=60°
（2）解：∵ABCD为平行四边形，∴∠DAB=∠C=60°，CD∥AB，
由已知AF⊥CD，得AF⊥AB，
∴∠FAB=90°，
∴∠FAD=∠FAB-∠DAB=30°，
由平行四边形的性质，知AB=CD，AD=BC，
由周长为32cm，得AB+BC=16cm，
由AB︰BC=5︰3，可求得BC=6cm，∴AD=BC=6cm，
在Rt△ADF中，∵∠FAD=30°，
∴DF= AD=3cm，
把DF的长代入方程中，求得 =1，
∴原方程为 - -6=0，解该方程得 =3， =-2，
∴方程的另一个根为 =-2
【知识点】一元二次方程的根；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得出∠E=∠F=90°，根据四边形的内角和得出∠EAF+∠C=360°-2×90°=180°，又∠EAF=2∠C，故2∠C+∠C=180°，求解得出∠C的度数；
（2）根据平行四边形的性质得出∠DAB=∠C=60°，CD∥AB，由已知AF⊥CD，得AF⊥AB，根据角的和差得出∠FAD=∠FAB-∠DAB=30°，由平行四边形的性质，知AB=CD，AD=BC，故AB+BC=16cm，由AB︰BC=5︰3，可求得BC=6cm，∴AD=BC=6cm，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出DF= AD=3cm，根据一元二次方程根的定义，将DF的长代入方程中，求得 a =1，将a的值代入原方程，求解即可得出方程的另一个根。
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