2018-2019学年数学沪科版九年级上册21.3 二次函数与一元二次方程 同步练习
一、选择题
1．（2018·苏州模拟）函数y＝ax2＋1的图像经过点（－2，0），则 的方程 的实数根为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．若抛物线y=x2﹣2x﹣1与x轴的交点坐标为（a，0），则代数式a2﹣2a+2017的值为（ ）
A．2019 B．2018 C．2017 D．2016
3．（2017九下·滨海开学考）二次函数y＝ax2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则方程ax2＋bx＋c＝0的一个解的范围是（ ）
x 6.17 6.18 6.19
y －0.03 －0.01 0.02
A．－0.03＜x＜－0.01 B．－0.01＜x＜0.02
C．6.18＜x＜6.19 D．6.17＜x＜6.18
4．二次函数y=x2+2x﹣m2+1的图像与直线y=1的公共点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
5．根据下表，确定方程ax2+bx+c=0的一个解的取值范围是（ ）
x 2 2.23 2.24 2.25
ax2+bx+c ﹣0.05 ﹣0.02 0.03 0.07
A．2＜x＜2.23 B．2.23＜x＜2.24
C．2.24＜x＜2.25 D．2.24＜x≤2.25
6．（2018·嘉定模拟）抛物线y=2（x+1）2﹣2与y轴的交点的坐标是（ ）
A．（0，﹣2） B．（﹣2，0） C．（0，﹣1） D．（0，0）
7．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=-1，有以下结论：①abc>0；②4ac2．其中正确的结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．二次函数 的图象如图，若一元二次方程 有实数解，则k的最小值为（ ）
A．-4 B．-6 C．-8 D．0
9．如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣5）（0≤x≤5），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，得到一“波浪线”，若点P（2018，m）在此“波浪线”上，则m的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣6 D．6
10．（2018·玄武模拟）已知二次函数y＝x2－5x＋m 的图像与 轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为（ ）
A．（－1，0） B．（4，0） C．（5，0） D．（－6，0）
二、填空题
11．抛物线y＝2(x＋3)(x－2)与x轴的交点坐标分别为 ．
12．二次函数 的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则 的最大值为 ．
13．（2018·资中模拟）抛物线y=（2x﹣1）2+t与x轴的两个交点之间的距离为4，则t的值是 ．
14．二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx=m有实数根，则m的最小值为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= x2﹣x与x轴交于点A，点P在抛物线上，连结AP．若△OAP是以OA为底边的等腰三角形，则△OAP的面积是 ．
16．已知抛物线 交x轴于点A，B (B在x轴正半轴上），交y轴于点C，△ABC是等腰三角形，则a的值为 ．
三、解答题
17．抛物线y=-x2+bx+c过点（0，-3）和（2，1），试确定抛物线的解析式，并求出抛物线与x轴的交点坐标．
18．已知在平面直角坐标系内，抛物线y=x2+bx+6经过x轴上两点A， B，点B的坐标为（3，0），与y轴相交于点C；
（1）求抛物线的表达式；
（2）求△ABC的面积．
19．使得函数值为0的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y=x﹣1，令y=0可得x=1，我们说1是函数y=x﹣1的零点．已知函数y=x2﹣2mx﹣2（m+3）（m为常数）
（1）当m=0时，求该函数的零点．
（2）证明：无论m取何值，该函数总有两个零点．
20．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k取小于1的整数，且此方程的解为整数，则求出此方程的两个整数根；
（3）在（2）的条件下，二次函数 与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），D点在此抛物线的对称轴上，若∠DAB=60 ，直接写出D点的坐标．
21．已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣5）x+1﹣k=0（其中k为常数）.
（1）求证无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）已知函数y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；
（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】∵二次函数y=ax2+1的图象经过点（-2，0），
∴4a+1=0，
∴a=- ，
∴方程a（x-2）2+1=0为：方程- （x-2）2+1=0，
解得：x1=0，x2=4，
故答案为：A．
【分析】本题主要考察一元二次方程与二次函数的关系，把点的坐标代入解析式 ，再用直接开平方法解方程即可求得，掌握一元二次方程与二次函数的关系是突破口，正确解方程是关键。
2．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】将（a，0）代入y=x2﹣2x﹣1，
∴a2﹣2a﹣1=0，
把a2﹣2a=1代入a2﹣2a+2017，
∴原式=1+2017=2018，
故答案为：B．
【分析】将已知点的坐标代入函数解析式，可出a2﹣2a=1，再整体代入代数式求值即可。解决本题的关键是整体代入法的运用。
3．【答案】C
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：当y=0时，-0.01答案为：C.
【分析】方程的解就是y=0时的函数值，观察y=0界于-0.01与0.02之间，对应的x值界于6.18与6.19之间。故答案C符合题意。
4．【答案】C
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：根据题意可得：x2+2x﹣m2+1=1，即 ，
∵△=4+4 ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴两个函数的交点为两个， 故答案为：C．
【分析】二次函数y=x2+2x﹣m2+1的图像与直线y=1的公共点个数是即是方程x2+2x﹣m2+1=1的根的个数，先计算判别式的值大于 0，可知方程有两个不等实数根，所以图像与直线有两个交点。
5．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】∵对于函数y=ax2+bx+c，当x=2.23时y＜0，当x=2.24时y＞0，可见，x取2.23与2.24之间的某一值时，y=0，则方程ax2+bx+c=0的一个解的取值范围是2.23＜x＜2.24．故选B．
【分析】将方程ax2+bx+c=0的解理解为函数y=ax2+bx+c当函数值y=0时自变量x的值，即图像与x轴交点的横坐标，再解答．
6．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】把x=0代入y=2（x+1）2-2得y=2-2=0．
所以抛物线y轴的交点坐标为（0，0），
故答案为：D．
【分析】二次函数图象与y轴相交，则x=0，代入函数解析式求出对应的y的值，就可得出抛物线y轴的交点坐标。
7．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x= =﹣1，∴b=2a＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＞0，所以①正确；
②∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2-4ac＞0，∴4ac ③∵b=2a，∴2a﹣b=0，所以③错误；
④∵x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，所以④正确．
故答案为：C
`【分析】本题主要考察二次函数的图象与性质，由抛物线的开口方向，对称轴，图像与y轴 的交点可判定a、b、c的正负；，由图像与x轴的交点个数可对②做出判断；由对称轴为直线x=-1可得b=2a<0；有图像可知，x=2时图像在x轴上方，可对④做出判断。
8．【答案】A
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+k=0有实数解，
∴可以理解为y=ax2+bx和y= k有交点，
由图可得， k≤4，
∴k≥ 4，
∴k的最小值为 4.
故答案为：A.
【分析】一元二次方程ax2+bx+k=0有实数解，即为y=ax2+bx和y= k有交点，由图像可知，y=ax2+bx的最大值为4，所以： k≤4，
9．【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；图形的旋转
【解析】【解答】解：当y=0时，﹣x（x﹣5）=0，解得x
1=0，x
2=5，则A
1（5，0），
∴OA1=5，
∵将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…；如此进行下去，得到一“波浪线”，
∴A1A2=A2A3=…=OA1=5，
∴抛物线C404的解析式为y=（x﹣5×403）（x﹣5×404），即y=（x﹣2015）（x﹣2020），
当x=2018时，y=（2018﹣2015）（2018﹣2020）=﹣6，
即m=﹣6．
故答案为：C
【分析】先求出抛物线C1与x轴的交点坐标，观察图形可知第奇数个抛物线都在x轴上方，第偶数个抛物线都在x轴下方，2018÷5=403·····3，可判断点P在第404个抛物线上，用待定系数法先求出该抛物线的解析式，然后把点P的坐标代入计算即可得解．
10．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数y=x 5x+m的图象的对称轴为x= ，与x轴的一个交点的坐标是(1，0)，∴由二次函数图象的对称性得：二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标是(4，0)；
故答案为：B.
【分析】根据抛物线的对称轴公式得出，二次函数y=x 5x+m的图象的对称轴为x=，又抛物线与x轴的一个交点的坐标是(1，0)，由二次函数图象的对称性得即可得出二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标。
11．【答案】(－3，0)，(2，0)
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】令y=0，2(x＋3)(x－2)=0，x=-3或2，所以抛物线与x轴交点坐标分别为(－3，0)，(2，0)
【分析】由y=0，解方程可得出此方程有两个不同的解，即可解答。
12．【答案】3
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为-3，
∴a＞0．
， 即b2=12a，
∵一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，
∴△=b2-4am≥0，即12a-4am≥0，即12-4m≥0，解得m≤3，
∴m的最大值为3，
故答案是：3．
【分析】先由抛物线的顶点纵坐标公式可求得a、b的关系，代入一元二次方程根的判别式，再由根的情况可得到关于m的不等式，解不等式即可。
13．【答案】-16
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】当 时，有
解得：
∴抛物线与x轴的两个交点分别为 和
∵两个交点之间的距离为4，
∴
解得：
故答案为：
【分析】根据题意求得抛物线与x轴的两个交点，再根据两个交点之间的距离为4=即可求解。
14．【答案】-3
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：由图象可知二次函数y=ax2+bx的最小值为﹣3，
∴ ，解得b2=12a，
∵一元二次方程ax2+bx=m有实数根，
∴△≥0，即b2+4am≥0，
∴12a+4am≥0，
∵a＞0，
∴12+4m≥0，
∴m≥﹣3，即m的最小值为﹣3，
故答案为：﹣3
【分析】由抛物线顶点坐标公式可求得a、b的关系，则可表示出一元二次方程的判别式，由根的情况则可得关于m的不等式，可求得m的取值范围，从而可求得m的最小值。
15．【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：令y=0，则 x2 x=0，解得x=0或2，
∴点A坐标(2，0)，
∵△OAP是以OA为底边的等腰三角形，
∴点P是抛物线顶点，
∴点P坐标(1， )，
∴S△OAP= ×2× =
【分析】先求出抛物线与x轴的交点坐标即得OA的长，再由抛物线和等腰三角形的对称性可知点P在抛物线的顶点上，求出抛物线的顶点坐标即可解决。
16．【答案】 或 或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：令x=0，得：y=4，所以C(0，4)，令y=0，得： =0，∴ ，∴x1=- ，x2=－3，∴A（-3，0），B-（- ，0）（a＜0），∴AC= ，AB= ，BC= ．
∵△ABC是等腰三角形，∴分三种情况讨论：
①AB=AC，∴ =5，解得：a= ；
②AC=BC，∴ =5，解得：a= （正数舍去），∴a=
③AB=BC，∴ = ，解得：a= ．
综上所述：a的值为 或 或 ．
故答案为： 或 或
【分析】先求出 二次函数图象与坐标轴的交点，即可得A、B、C的坐标，再用含a的式子表示出△ABC三边的长，两两相等可得三个关于a的方程，解方程即可。
17．【答案】解：∵抛物线y=-x2+bx+c过点（0，-3）和（2，1），
∴ ，解得 ，
抛物线的解析式为y=-x2+4x-3，
令y=0，得-x2+4x-3=0，即x2-4x+3=0，
∴x1=1，x2=3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）、（3，0）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】运用待定系数法将两点坐标分别代入y=-x2+bx+c，得到关于b、c的方程组，解方程组可求出b、c的值。将 y=0代入求得的解析式中，得一个一元二次方程，解方程所求的未知数的值即是交点横坐标
18．【答案】（1）解：把点B的坐标（3，0）代入抛物线y=x2+bx+6得0=9+3b+6，解得b=-5，所以抛物线的表达式y=x2-5x+6；
（2）解：∵抛物线的表达式为
当 时， 即就是
解得
当 时，
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）把点B的坐标（3，0）代入抛物线y=x2+bx+6得0=9+3b+6，求出b的值即可得抛物线的表达 式。
（2）分别将x=0、y=0代入抛物线的表达式y=x2-5x+6得 A（2，0），B（3，0），C（0，6），所以AB=1，再利用三角形面积公式求 三角形面
19．【答案】（1）解：当m=0时，令y=0，则x2﹣6=0， 解得x=± ，
所以，m=0时，该函数的零点为±
（2）证明：令y=0，则x2﹣2mx﹣2（m+3）=0，
△=b2﹣4ac=（﹣2m）2﹣4×1×2（m+3）=4m2+8m+24=4（m+1）2+20，
∵无论m为何值时，4（m+1）2≥0， ∴△=4（m+1）2+20＞0，
∴关于x的方程总有不相等的两个实数根，
即，无论m取何值，该函数总有两个零点
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；配方法的应用
【解析】【分析】（1）根据题意，先将m=0代入y=x2﹣2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；（2）令y=0，函数变为一元二次方程，证明方程有两个解，只需证明△＞0即可；证明时要注意正确运用配方法。
20．【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2-4x+1-2k=0有两个不等的实根，
∴△=（-4）2-4×1×（1-2k）=12+8k＞0，
解得，k＞-
（2）解：∵k取小于1的整数，
∴k=-1或0，
①当k=-1时，方程为x2-4x+3=0，
即（x-2）2=1，
∴x-2=1或x-2=-1，
解得x1=3，x2=1，
②当k=0时，方程为x2-4x+1=0，
即（x-2）2=3，
∵方程的解为整数，
∴k=0不符合，
∴k=-1，此时方程的两个整数根是x1=3，x2=1
（3）解：如图所示，根据（2），二次函数解析式为，y=x2-4x+3，
∴点A、B的坐标分别为A（1，0），B（3，0），
∴对称轴为x=2，
∴AC= （3-1）=1，
∵∠DAB=60°，
∴AD=2AC=2，
∴CD= ，
当点D在AB的上方时，坐标为（2， ），在AB的下方时，坐标为（2，- ），
∴点D的坐标为（2， ）或（2，- ）．
【知识点】配方法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】
（1）当方程有两个不等的实根时，根的判别式△=b2-4ac＞0，可得关于k的不等式，解之即可得到k的取值范围；
（2）利用（1）中k的取值范围可得k的整数解，然后将其代入方程x2-4x+1-2k=0，解方程取其整数解即可。
（3）先求出二次函数的解析式，然后由y=0求出抛物线与x轴的交点，再由交点求出对称轴及AB的长，最后根据∠DAB=60°求出点D到x轴的距离，然后根据点D在AB的上方与下方两种情况可得满足条件的D 的坐标。
21．【答案】（1）证明：∵△=（k﹣5）2﹣4（1﹣k）=k2﹣6k+21=（k﹣3）2+12＞0，∴无论k为何值，方程总有两个不相等实数根
（2）解：∵二次函数 的图象不经过第三象限，∵二次项系数a=1，∴抛物线开口方向向上，∵△=（k﹣3）2+12＞0，∴抛物线与x轴有两个交点，设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，∴x1+x2=5﹣k＞0，x1x2=1﹣k≥0，解得k≤1，即k的取值范围是k≤1
（3）解：设方程的两个根分别是x1，x2，根据题意，得（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，即x1x2﹣3（x1+x2）+9＜0，又x1+x2=5﹣k，x1x2=1﹣k，代入得，1﹣k﹣3（5﹣k）+9＜0，解得k＜ ．则k的最大整数值为2．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】
（1）求出方程的判别式△的值，利用配方法得出△>0，即可证明；
（2）由a>0知抛物线开口向上，二次函数y=x2+（k-5）x+1-k的图象不经过第三象限，又△>0，可知抛物线的顶点在x轴的下方，图像经过一、二、四象限，所以两根的和与积都大于0，由此可得关于k的不等式组，解不等式组即可求解；
（3）设方程的两个根分别是x1，x2，根据题意得（x1-3）（x2-3）<0，根据一元二次方程根与系数的关系求得k的取值范围，再进一步求出k的最大整数值．
1 / 12018-2019学年数学沪科版九年级上册21.3 二次函数与一元二次方程 同步练习
一、选择题
1．（2018·苏州模拟）函数y＝ax2＋1的图像经过点（－2，0），则 的方程 的实数根为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】∵二次函数y=ax2+1的图象经过点（-2，0），
∴4a+1=0，
∴a=- ，
∴方程a（x-2）2+1=0为：方程- （x-2）2+1=0，
解得：x1=0，x2=4，
故答案为：A．
【分析】本题主要考察一元二次方程与二次函数的关系，把点的坐标代入解析式 ，再用直接开平方法解方程即可求得，掌握一元二次方程与二次函数的关系是突破口，正确解方程是关键。
2．若抛物线y=x2﹣2x﹣1与x轴的交点坐标为（a，0），则代数式a2﹣2a+2017的值为（ ）
A．2019 B．2018 C．2017 D．2016
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】将（a，0）代入y=x2﹣2x﹣1，
∴a2﹣2a﹣1=0，
把a2﹣2a=1代入a2﹣2a+2017，
∴原式=1+2017=2018，
故答案为：B．
【分析】将已知点的坐标代入函数解析式，可出a2﹣2a=1，再整体代入代数式求值即可。解决本题的关键是整体代入法的运用。
3．（2017九下·滨海开学考）二次函数y＝ax2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则方程ax2＋bx＋c＝0的一个解的范围是（ ）
x 6.17 6.18 6.19
y －0.03 －0.01 0.02
A．－0.03＜x＜－0.01 B．－0.01＜x＜0.02
C．6.18＜x＜6.19 D．6.17＜x＜6.18
【答案】C
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：当y=0时，-0.01答案为：C.
【分析】方程的解就是y=0时的函数值，观察y=0界于-0.01与0.02之间，对应的x值界于6.18与6.19之间。故答案C符合题意。
4．二次函数y=x2+2x﹣m2+1的图像与直线y=1的公共点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
【答案】C
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：根据题意可得：x2+2x﹣m2+1=1，即 ，
∵△=4+4 ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴两个函数的交点为两个， 故答案为：C．
【分析】二次函数y=x2+2x﹣m2+1的图像与直线y=1的公共点个数是即是方程x2+2x﹣m2+1=1的根的个数，先计算判别式的值大于 0，可知方程有两个不等实数根，所以图像与直线有两个交点。
5．根据下表，确定方程ax2+bx+c=0的一个解的取值范围是（ ）
x 2 2.23 2.24 2.25
ax2+bx+c ﹣0.05 ﹣0.02 0.03 0.07
A．2＜x＜2.23 B．2.23＜x＜2.24
C．2.24＜x＜2.25 D．2.24＜x≤2.25
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】∵对于函数y=ax2+bx+c，当x=2.23时y＜0，当x=2.24时y＞0，可见，x取2.23与2.24之间的某一值时，y=0，则方程ax2+bx+c=0的一个解的取值范围是2.23＜x＜2.24．故选B．
【分析】将方程ax2+bx+c=0的解理解为函数y=ax2+bx+c当函数值y=0时自变量x的值，即图像与x轴交点的横坐标，再解答．
6．（2018·嘉定模拟）抛物线y=2（x+1）2﹣2与y轴的交点的坐标是（ ）
A．（0，﹣2） B．（﹣2，0） C．（0，﹣1） D．（0，0）
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】把x=0代入y=2（x+1）2-2得y=2-2=0．
所以抛物线y轴的交点坐标为（0，0），
故答案为：D．
【分析】二次函数图象与y轴相交，则x=0，代入函数解析式求出对应的y的值，就可得出抛物线y轴的交点坐标。
7．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=-1，有以下结论：①abc>0；②4ac2．其中正确的结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x= =﹣1，∴b=2a＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＞0，所以①正确；
②∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2-4ac＞0，∴4ac ③∵b=2a，∴2a﹣b=0，所以③错误；
④∵x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，所以④正确．
故答案为：C
`【分析】本题主要考察二次函数的图象与性质，由抛物线的开口方向，对称轴，图像与y轴 的交点可判定a、b、c的正负；，由图像与x轴的交点个数可对②做出判断；由对称轴为直线x=-1可得b=2a<0；有图像可知，x=2时图像在x轴上方，可对④做出判断。
8．二次函数 的图象如图，若一元二次方程 有实数解，则k的最小值为（ ）
A．-4 B．-6 C．-8 D．0
【答案】A
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+k=0有实数解，
∴可以理解为y=ax2+bx和y= k有交点，
由图可得， k≤4，
∴k≥ 4，
∴k的最小值为 4.
故答案为：A.
【分析】一元二次方程ax2+bx+k=0有实数解，即为y=ax2+bx和y= k有交点，由图像可知，y=ax2+bx的最大值为4，所以： k≤4，
9．如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣5）（0≤x≤5），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，得到一“波浪线”，若点P（2018，m）在此“波浪线”上，则m的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣6 D．6
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；图形的旋转
【解析】【解答】解：当y=0时，﹣x（x﹣5）=0，解得x
1=0，x
2=5，则A
1（5，0），
∴OA1=5，
∵将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…；如此进行下去，得到一“波浪线”，
∴A1A2=A2A3=…=OA1=5，
∴抛物线C404的解析式为y=（x﹣5×403）（x﹣5×404），即y=（x﹣2015）（x﹣2020），
当x=2018时，y=（2018﹣2015）（2018﹣2020）=﹣6，
即m=﹣6．
故答案为：C
【分析】先求出抛物线C1与x轴的交点坐标，观察图形可知第奇数个抛物线都在x轴上方，第偶数个抛物线都在x轴下方，2018÷5=403·····3，可判断点P在第404个抛物线上，用待定系数法先求出该抛物线的解析式，然后把点P的坐标代入计算即可得解．
10．（2018·玄武模拟）已知二次函数y＝x2－5x＋m 的图像与 轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为（ ）
A．（－1，0） B．（4，0） C．（5，0） D．（－6，0）
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数y=x 5x+m的图象的对称轴为x= ，与x轴的一个交点的坐标是(1，0)，∴由二次函数图象的对称性得：二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标是(4，0)；
故答案为：B.
【分析】根据抛物线的对称轴公式得出，二次函数y=x 5x+m的图象的对称轴为x=，又抛物线与x轴的一个交点的坐标是(1，0)，由二次函数图象的对称性得即可得出二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标。
二、填空题
11．抛物线y＝2(x＋3)(x－2)与x轴的交点坐标分别为 ．
【答案】(－3，0)，(2，0)
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】令y=0，2(x＋3)(x－2)=0，x=-3或2，所以抛物线与x轴交点坐标分别为(－3，0)，(2，0)
【分析】由y=0，解方程可得出此方程有两个不同的解，即可解答。
12．二次函数 的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则 的最大值为 ．
【答案】3
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为-3，
∴a＞0．
， 即b2=12a，
∵一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，
∴△=b2-4am≥0，即12a-4am≥0，即12-4m≥0，解得m≤3，
∴m的最大值为3，
故答案是：3．
【分析】先由抛物线的顶点纵坐标公式可求得a、b的关系，代入一元二次方程根的判别式，再由根的情况可得到关于m的不等式，解不等式即可。
13．（2018·资中模拟）抛物线y=（2x﹣1）2+t与x轴的两个交点之间的距离为4，则t的值是 ．
【答案】-16
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】当 时，有
解得：
∴抛物线与x轴的两个交点分别为 和
∵两个交点之间的距离为4，
∴
解得：
故答案为：
【分析】根据题意求得抛物线与x轴的两个交点，再根据两个交点之间的距离为4=即可求解。
14．二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx=m有实数根，则m的最小值为 ．
【答案】-3
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：由图象可知二次函数y=ax2+bx的最小值为﹣3，
∴ ，解得b2=12a，
∵一元二次方程ax2+bx=m有实数根，
∴△≥0，即b2+4am≥0，
∴12a+4am≥0，
∵a＞0，
∴12+4m≥0，
∴m≥﹣3，即m的最小值为﹣3，
故答案为：﹣3
【分析】由抛物线顶点坐标公式可求得a、b的关系，则可表示出一元二次方程的判别式，由根的情况则可得关于m的不等式，可求得m的取值范围，从而可求得m的最小值。
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= x2﹣x与x轴交于点A，点P在抛物线上，连结AP．若△OAP是以OA为底边的等腰三角形，则△OAP的面积是 ．
【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：令y=0，则 x2 x=0，解得x=0或2，
∴点A坐标(2，0)，
∵△OAP是以OA为底边的等腰三角形，
∴点P是抛物线顶点，
∴点P坐标(1， )，
∴S△OAP= ×2× =
【分析】先求出抛物线与x轴的交点坐标即得OA的长，再由抛物线和等腰三角形的对称性可知点P在抛物线的顶点上，求出抛物线的顶点坐标即可解决。
16．已知抛物线 交x轴于点A，B (B在x轴正半轴上），交y轴于点C，△ABC是等腰三角形，则a的值为 ．
【答案】 或 或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：令x=0，得：y=4，所以C(0，4)，令y=0，得： =0，∴ ，∴x1=- ，x2=－3，∴A（-3，0），B-（- ，0）（a＜0），∴AC= ，AB= ，BC= ．
∵△ABC是等腰三角形，∴分三种情况讨论：
①AB=AC，∴ =5，解得：a= ；
②AC=BC，∴ =5，解得：a= （正数舍去），∴a=
③AB=BC，∴ = ，解得：a= ．
综上所述：a的值为 或 或 ．
故答案为： 或 或
【分析】先求出 二次函数图象与坐标轴的交点，即可得A、B、C的坐标，再用含a的式子表示出△ABC三边的长，两两相等可得三个关于a的方程，解方程即可。
三、解答题
17．抛物线y=-x2+bx+c过点（0，-3）和（2，1），试确定抛物线的解析式，并求出抛物线与x轴的交点坐标．
【答案】解：∵抛物线y=-x2+bx+c过点（0，-3）和（2，1），
∴ ，解得 ，
抛物线的解析式为y=-x2+4x-3，
令y=0，得-x2+4x-3=0，即x2-4x+3=0，
∴x1=1，x2=3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）、（3，0）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】运用待定系数法将两点坐标分别代入y=-x2+bx+c，得到关于b、c的方程组，解方程组可求出b、c的值。将 y=0代入求得的解析式中，得一个一元二次方程，解方程所求的未知数的值即是交点横坐标
18．已知在平面直角坐标系内，抛物线y=x2+bx+6经过x轴上两点A， B，点B的坐标为（3，0），与y轴相交于点C；
（1）求抛物线的表达式；
（2）求△ABC的面积．
【答案】（1）解：把点B的坐标（3，0）代入抛物线y=x2+bx+6得0=9+3b+6，解得b=-5，所以抛物线的表达式y=x2-5x+6；
（2）解：∵抛物线的表达式为
当 时， 即就是
解得
当 时，
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）把点B的坐标（3，0）代入抛物线y=x2+bx+6得0=9+3b+6，求出b的值即可得抛物线的表达 式。
（2）分别将x=0、y=0代入抛物线的表达式y=x2-5x+6得 A（2，0），B（3，0），C（0，6），所以AB=1，再利用三角形面积公式求 三角形面
19．使得函数值为0的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y=x﹣1，令y=0可得x=1，我们说1是函数y=x﹣1的零点．已知函数y=x2﹣2mx﹣2（m+3）（m为常数）
（1）当m=0时，求该函数的零点．
（2）证明：无论m取何值，该函数总有两个零点．
【答案】（1）解：当m=0时，令y=0，则x2﹣6=0， 解得x=± ，
所以，m=0时，该函数的零点为±
（2）证明：令y=0，则x2﹣2mx﹣2（m+3）=0，
△=b2﹣4ac=（﹣2m）2﹣4×1×2（m+3）=4m2+8m+24=4（m+1）2+20，
∵无论m为何值时，4（m+1）2≥0， ∴△=4（m+1）2+20＞0，
∴关于x的方程总有不相等的两个实数根，
即，无论m取何值，该函数总有两个零点
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；配方法的应用
【解析】【分析】（1）根据题意，先将m=0代入y=x2﹣2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；（2）令y=0，函数变为一元二次方程，证明方程有两个解，只需证明△＞0即可；证明时要注意正确运用配方法。
20．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k取小于1的整数，且此方程的解为整数，则求出此方程的两个整数根；
（3）在（2）的条件下，二次函数 与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），D点在此抛物线的对称轴上，若∠DAB=60 ，直接写出D点的坐标．
【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2-4x+1-2k=0有两个不等的实根，
∴△=（-4）2-4×1×（1-2k）=12+8k＞0，
解得，k＞-
（2）解：∵k取小于1的整数，
∴k=-1或0，
①当k=-1时，方程为x2-4x+3=0，
即（x-2）2=1，
∴x-2=1或x-2=-1，
解得x1=3，x2=1，
②当k=0时，方程为x2-4x+1=0，
即（x-2）2=3，
∵方程的解为整数，
∴k=0不符合，
∴k=-1，此时方程的两个整数根是x1=3，x2=1
（3）解：如图所示，根据（2），二次函数解析式为，y=x2-4x+3，
∴点A、B的坐标分别为A（1，0），B（3，0），
∴对称轴为x=2，
∴AC= （3-1）=1，
∵∠DAB=60°，
∴AD=2AC=2，
∴CD= ，
当点D在AB的上方时，坐标为（2， ），在AB的下方时，坐标为（2，- ），
∴点D的坐标为（2， ）或（2，- ）．
【知识点】配方法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】
（1）当方程有两个不等的实根时，根的判别式△=b2-4ac＞0，可得关于k的不等式，解之即可得到k的取值范围；
（2）利用（1）中k的取值范围可得k的整数解，然后将其代入方程x2-4x+1-2k=0，解方程取其整数解即可。
（3）先求出二次函数的解析式，然后由y=0求出抛物线与x轴的交点，再由交点求出对称轴及AB的长，最后根据∠DAB=60°求出点D到x轴的距离，然后根据点D在AB的上方与下方两种情况可得满足条件的D 的坐标。
21．已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣5）x+1﹣k=0（其中k为常数）.
（1）求证无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）已知函数y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；
（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值.
【答案】（1）证明：∵△=（k﹣5）2﹣4（1﹣k）=k2﹣6k+21=（k﹣3）2+12＞0，∴无论k为何值，方程总有两个不相等实数根
（2）解：∵二次函数 的图象不经过第三象限，∵二次项系数a=1，∴抛物线开口方向向上，∵△=（k﹣3）2+12＞0，∴抛物线与x轴有两个交点，设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，∴x1+x2=5﹣k＞0，x1x2=1﹣k≥0，解得k≤1，即k的取值范围是k≤1
（3）解：设方程的两个根分别是x1，x2，根据题意，得（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，即x1x2﹣3（x1+x2）+9＜0，又x1+x2=5﹣k，x1x2=1﹣k，代入得，1﹣k﹣3（5﹣k）+9＜0，解得k＜ ．则k的最大整数值为2．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】
（1）求出方程的判别式△的值，利用配方法得出△>0，即可证明；
（2）由a>0知抛物线开口向上，二次函数y=x2+（k-5）x+1-k的图象不经过第三象限，又△>0，可知抛物线的顶点在x轴的下方，图像经过一、二、四象限，所以两根的和与积都大于0，由此可得关于k的不等式组，解不等式组即可求解；
（3）设方程的两个根分别是x1，x2，根据题意得（x1-3）（x2-3）<0，根据一元二次方程根与系数的关系求得k的取值范围，再进一步求出k的最大整数值．
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