甘肃省张掖市高台县部分校联考2023-2024学年九年级上学期入学检测数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2023九上·高台开学考） 下列美丽的图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022七下·周村期末）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023九上·高台开学考） 下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．b B．
C． D．
4．（2023九上·高台开学考）下列分式中是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023九上·高台开学考） 一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．三角形三条边的垂直平分线的交点
B．三角形三条角平分线的交点
C．三角形三条高所在直线的交点
D．三角形三条中线的交点
6．（2021八下·中山期末）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线互相垂直且相等
7．如图，△OAB绕点O逆时针旋转85°得到△OCD，若∠A=110°，∠D=40°，则∠α的度数是（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
8．（2023九上·高台开学考）函数y＝2x-6的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围为（ ）
A．x＞6 B．x＜3 C．x＞3 D．x＜0
9．（2023九上·高台开学考）如图，在Rt△ABC中，已知∠B＝30°，AB＝6cm，则BC的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．3cm D．4cm
10．（2015八下·滦县期中）如图所示， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE=EB，OE=3，AB=5， ABCD的周长（ ）
A．11 B．13 C．16 D．22
二、填空题（本大题共8小题，共32分）
11．（2021八下·哈尔滨开学考）分解因式： ．
12．（2023九上·高台开学考）已知菱形的周长等于，两对角线长的比为，则较短对角线的长是 ．
13．（2018·仙桃）若一个多边形的每个外角都等于30°，则这个多边形的边数为 ．
14．（2023九上·高台开学考）若代数式的值等于零，则x= ．
15．（2023九上·高台开学考）某次知识竞赛共有20题，答对一题得10分，答错或不答扣5分，小华得分要超过120分，他至少要答对的题的个数为 ．
16．（2019八上·河东期中）如图，在△ABC 中，AB＝AC，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于 D 点．若 BD 平分∠ABC, 则∠A＝ °．
17．（2023八下·酒泉期末）如图，在中，，将沿着BC的方向平移至，若平移的距离是3，则图中阴影部分的面积为 ．
18．（2023九上·高台开学考）如图，E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置.若四边形AECF的面积为25，DE＝2，则AE的长为 ．
三、解答题（共88分）
19．（2023九上·高台开学考）
（1）分解因式：
（2）计算：
20．（2019八上·伊通期末）解分式方程： =1．
21．（2021九上·西安月考）解不等式组：
22．（2023九上·高台开学考）先化简，再从0、、2、中取一个数代入求值。
23．（2023九上·高台开学考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：
⑴画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．
⑵画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．
24．（2018·吉林模拟）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3
（1）求证：BN=DN；
（2）求△ABC的周长
25．（2021九上·兰州期末）如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，CF⊥AB于点F，且AE＝CF，求证： ABCD是菱形.
26．（2023九上·高台开学考）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是线段BC，AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.
（1）求证：△BDE≌△FAE；
（2）求证：四边形ADCF为矩形.
27．（2023九上·高台开学考）在争创文明城市的活动中，某市一“少年突击队”决定清运一堆重达100吨的垃圾，开工后附近居民主动参加到义务劳动中，使清运垃圾的速度比原计划提高了一倍，结果提前4小时完成，“少年突击队”原计划每小时清运垃圾多少吨？
28．（2023九上·高台开学考）如图，用硬纸板剪一个平行四边形ABCD，找到对角线交点O，用大头针在点O处将一根平放在平行四边形上的细直木条固定，并使细木条可以绕点O转动，拨动细木条，可随意停留在任意位置．
（1）木条把平行四边形ABCD分成了两部分，在拨动细木条的过程中，两部分的面积是否始终相等？答： （填“是”或“否”）；
（2）木条与 ABCD的边AD，BC相交于点E，F．
①请判断OE与OF是否始终相等，并说明理由；
②以A，E，C，F为顶点的四边形是平行四边形吗？为什么？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A.是中心对称图形，符合题意；
B.不是中心对称图形，不符合题意；
C.不是中心对称图形，不符合题意；
D.不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】一个图形绕着一点旋转后能与原来的图形重合，这样的图形就是中心对称图形。
2．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：，
得x≥2.
表示在数轴上为：
故答案为：D.
【分析】利用不等式的性质及不等式的解法求出解集并在数轴上画出解集即可。
3．【答案】D
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A. ，右边不是因式积的形式，不是因式分解，该选项不符合题意；
B. ，右边不是因式积的形式，不是因式分解，该选项不符合题意；
C. ，右边不是因式积的形式，不是因式分解，该选项不符合题意；
D. ，右边是因式积的形式，是因式分解，该选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】把一个多项式分解为几个因式的积的形式，叫因式分解。
4．【答案】A
【知识点】最简分式
【解析】【解答】解：A.分子和分母没有公因式，是最简分式，符合题意；
B. ，不是最简分式，不符合题意；
C. ，不是最简分式，不符合题意；
D. ， 不是最简分式，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】分子和分母没有公因式，这样的分式就是最简分式。
5．【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，因此， 要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选三角形三条角平分线的交点。
故答案为：B.
【分析】到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。
6．【答案】B
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立．
故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．
故答案为：B．
【分析】 矩形、菱形、正方形都具有的是平行四边形的性质，据此判断即可.
7．【答案】C
【知识点】生活中的旋转现象
【解析】【解答】解：由题意可知：∠DOB=85°，
∵△DCO≌△BAO，
∴∠D=∠B=40°，
∴∠AOB=180°﹣40°﹣110°=30°
∴∠α=85°﹣30°=55°
故选（C）
【分析】根据旋转的性质即可求出答案．
8．【答案】C
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解： 当y＞0时， 有 2x-6＞0，解得：x＞3.
故答案为：C.
【分析】y＞0就是指在x轴上方的图象，在找出这部分图象对应的x的取值范围即可。
9．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解： 在Rt△ABC中，已知∠B＝30°，
，
。
故答案为：C.
【分析】在直角三角形中， 30° 角所对的直角边等于斜边的一半。
10．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OA=OC，AD=BC，AB=CD=5，
∵AE=EB，OE=3，
∴BC=2OE=6，
∴ ABCD的周长=2×（AB+BC）=22．
故选D．
【分析】由 ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE=EB，易得DE是△ABC的中位线，即可求得BC的长，继而求得答案．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为： ．
【分析】利用公式法解答即可。
12．【答案】12cm
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：设菱形的两条对角线的长为3xcm、4xcm，
菱形的周长为40cm，则菱形的边长为10cm，
由勾股定理，得，
解得：x=4（负根舍去），
较短对角线的长
故答案为： 12cm .
【分析】菱形的对角线垂直平分，半对角线与边形成直角三角形。
13．【答案】12
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵一个多边形的每个外角都等于30°，
又∵多边形的外角和等于360°，
∴多边形的边数是 =12，
故答案为：12．
【分析】任何多边形的外角和都等于360，故用外角的总数除以每个外角的度数，即可得出外角的个数，即多边形的边数。
14．【答案】-3
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解： 由题意，得x+3=0，且x-5 ≠ 0，
解得：x=-3。
故答案为：-3.
【分析】分式的值为零的条件：分子=0，分母 ≠ 0.
15．【答案】15
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设答对的题的个数为x道，根据题意，得
10x-5(20-x)>120，
解得：，
整数x的最小值是15.
答： 他至少要答对的题的个数为 15.
故答案为：15.
【分析】小华的得分=答对的试题的得分-答错的试题的扣分。
16．【答案】36
【知识点】线段垂直平分线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵AB的垂直平分线MN交AC于D点．
∴∠A＝∠ABD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠C＝2∠A＝∠ABC，
设∠A为x，
可得：x+x+x+2x＝180°，
解得：x＝36°，
故答案为：36．
【分析】根据角平分线的定义和线段垂直平分线的性质可推出∠C＝2∠A＝∠ABC，利用三角形内角和定理即可求得∠A的度数.
17．【答案】30
【知识点】平移的性质；图形的平移
【解析】【解答】解：∵沿着BC的方向平移至，平移的距离是3，
∴AD=BE=CF=3，四边形ACFD是平行四边形，
∴S阴影=S平行四边形ACFD=CF×AB=3×10=30
故答案为：30.
【分析】利用平移的性质求出AD=BE=CF=3，再利用平行四边形的面积公式求解即可.
18．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解： ∵把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，
∴ 正方形ABCD的面积= 四边形AECF的面积 =25，即AD2=25，
∴，
故答案为： .
【分析】由旋转的性质可得正方形的面积等于 四边形AECF的面积 ，再用勾股定理求解即可。
19．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；分式的加减法
【解析】【解答】解：（1）；
（2）
【分析】（1）先提公因式-x，再用完全平方公式分解；
（2）先找最简公分母为(x+3）(x-3)，再通分约分即可。
20．【答案】解：原式=2x(2x+3)-(2x-3)=(2x-3)(2x+3)，
整理得4x=-12，
x=-3，
经检验x=-3是原方程的根.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】观察可得最简公分母是(2x+3)(2x-3)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．两边同乘以（2x+3）（2x-3）得2x(2x+3)-(2x-3)=(2x-3)(2x+3)，
整理得4x=-12，x=-3，经检验x=-3是原方程的根.
21．【答案】解：
解不等式（1）得 ；
解不等式（2）得 ；
所以原不等式组的解集是 .
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】首先分别求出两个不等式的解集，然后取其公共部分即为不等式组的解集.
22．【答案】解：原式
由分式有意义的条件可知a不能取，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先算括号里面的减法，再算括号外面的除法，从中选取使分式有意义的数代入求值。
23．【答案】解：⑴由题意可得如图所示，点A1的坐标（2，-4）．
⑵如图所示，点A2的坐标（-2，4）．
【知识点】点的坐标；作图﹣轴对称；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）先画 A、B、C关于x轴对称的点A1、B1、C1，再连接并写出点 点A1的坐标 ；
（2）先画 A1、B1、C1绕原点O旋转180°后得到的点A2、B2、C2，再连接并写出点A2的坐标．
24．【答案】（1）证明：在△ABN和△ADN中，∵ ，∴△ABN≌△ADN（ASA），
∴BN=DN
（2）解：∵△ABN≌△ADN，∴AD=AB=10，又∵点M是BC中点，∴MN是△BDC的中位线，
∴CD=2MN=6，
故△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41
【知识点】全等三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由ASA判断出△ABN≌△ADN，根据全等三角形对应边相等得出BN=DN；
（2）根据全等三角形对应边相等得出AD=AB=10，根据中位线定理得出CD=2MN=6，由△ABC的周长=AB+BC+CD+AD算出答案。
25．【答案】证明：∵AE⊥BC于点E，CF⊥AB于点F，
∴∠CFB＝∠AEB＝90°，
在△ABE与△CBF中
，
∴△ABE≌△CBF（AAS），
∴BC＝BA
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ABCD是菱形.
【知识点】菱形的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】由垂直的概念可得∠CFB＝∠AEB＝90°，证明△ABE≌△CBF，得到BC＝BA，然后结合菱形的判定定理进行证明.
26．【答案】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE.
∵E是线段AD的中点，∴AE＝DE.
∵∠AEF＝∠DEB，∴△BDE≌△FAE(AAS).
（2）证明：由(1)知△BDE≌△FAE，∴AF＝BD.
∵D是线段BC的中点，∴BD＝CD，∴AF＝CD.
∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形.
∵AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，
∴ ADCF为矩形
【知识点】矩形的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）用 AAS 证明 △BDE≌△FAE；
（2）证明AF＝CD，AF∥CD可得四边形ADCF是平行四边形，再证∠ADC＝90° 可得 四边形ADCF为矩形.
27．【答案】解：设原计划每小时清运x吨，根据题意得：
，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：“少年突击队”原计划每小时清运垃圾吨．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】 设原计划每小时清运x吨， 实际每小时清运2x吨，根据表示计划的时间和实际的时间，再利用工作时间的关系建立方程，解方程后一定要检验。
28．【答案】（1）是
（2）解：①OE与OF始终相等，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA＝OC．
∴∠OAE＝∠OCF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF；
②四边形是AECF平行四边形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
由①可得：OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：（1） ∵ 平行四边形是中心对称图形，木条经过中心点O，
∴木条把平行四边形ABCD分成了两部分 的面积相等。
故答案为：是。
【分析】（1）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对称线的交点；
（2） ① 用 ASA 证明 △AOE≌△COF 即可得证；
② 用对称线互相平分证明四边形AECF是平行四边形．
1 / 1甘肃省张掖市高台县部分校联考2023-2024学年九年级上学期入学检测数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2023九上·高台开学考） 下列美丽的图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A.是中心对称图形，符合题意；
B.不是中心对称图形，不符合题意；
C.不是中心对称图形，不符合题意；
D.不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】一个图形绕着一点旋转后能与原来的图形重合，这样的图形就是中心对称图形。
2．（2022七下·周村期末）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：，
得x≥2.
表示在数轴上为：
故答案为：D.
【分析】利用不等式的性质及不等式的解法求出解集并在数轴上画出解集即可。
3．（2023九上·高台开学考） 下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．b B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A. ，右边不是因式积的形式，不是因式分解，该选项不符合题意；
B. ，右边不是因式积的形式，不是因式分解，该选项不符合题意；
C. ，右边不是因式积的形式，不是因式分解，该选项不符合题意；
D. ，右边是因式积的形式，是因式分解，该选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】把一个多项式分解为几个因式的积的形式，叫因式分解。
4．（2023九上·高台开学考）下列分式中是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简分式
【解析】【解答】解：A.分子和分母没有公因式，是最简分式，符合题意；
B. ，不是最简分式，不符合题意；
C. ，不是最简分式，不符合题意；
D. ， 不是最简分式，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】分子和分母没有公因式，这样的分式就是最简分式。
5．（2023九上·高台开学考） 一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．三角形三条边的垂直平分线的交点
B．三角形三条角平分线的交点
C．三角形三条高所在直线的交点
D．三角形三条中线的交点
【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，因此， 要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选三角形三条角平分线的交点。
故答案为：B.
【分析】到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。
6．（2021八下·中山期末）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线互相垂直且相等
【答案】B
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立．
故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．
故答案为：B．
【分析】 矩形、菱形、正方形都具有的是平行四边形的性质，据此判断即可.
7．如图，△OAB绕点O逆时针旋转85°得到△OCD，若∠A=110°，∠D=40°，则∠α的度数是（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】C
【知识点】生活中的旋转现象
【解析】【解答】解：由题意可知：∠DOB=85°，
∵△DCO≌△BAO，
∴∠D=∠B=40°，
∴∠AOB=180°﹣40°﹣110°=30°
∴∠α=85°﹣30°=55°
故选（C）
【分析】根据旋转的性质即可求出答案．
8．（2023九上·高台开学考）函数y＝2x-6的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围为（ ）
A．x＞6 B．x＜3 C．x＞3 D．x＜0
【答案】C
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解： 当y＞0时， 有 2x-6＞0，解得：x＞3.
故答案为：C.
【分析】y＞0就是指在x轴上方的图象，在找出这部分图象对应的x的取值范围即可。
9．（2023九上·高台开学考）如图，在Rt△ABC中，已知∠B＝30°，AB＝6cm，则BC的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．3cm D．4cm
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解： 在Rt△ABC中，已知∠B＝30°，
，
。
故答案为：C.
【分析】在直角三角形中， 30° 角所对的直角边等于斜边的一半。
10．（2015八下·滦县期中）如图所示， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE=EB，OE=3，AB=5， ABCD的周长（ ）
A．11 B．13 C．16 D．22
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OA=OC，AD=BC，AB=CD=5，
∵AE=EB，OE=3，
∴BC=2OE=6，
∴ ABCD的周长=2×（AB+BC）=22．
故选D．
【分析】由 ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE=EB，易得DE是△ABC的中位线，即可求得BC的长，继而求得答案．
二、填空题（本大题共8小题，共32分）
11．（2021八下·哈尔滨开学考）分解因式： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为： ．
【分析】利用公式法解答即可。
12．（2023九上·高台开学考）已知菱形的周长等于，两对角线长的比为，则较短对角线的长是 ．
【答案】12cm
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：设菱形的两条对角线的长为3xcm、4xcm，
菱形的周长为40cm，则菱形的边长为10cm，
由勾股定理，得，
解得：x=4（负根舍去），
较短对角线的长
故答案为： 12cm .
【分析】菱形的对角线垂直平分，半对角线与边形成直角三角形。
13．（2018·仙桃）若一个多边形的每个外角都等于30°，则这个多边形的边数为 ．
【答案】12
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵一个多边形的每个外角都等于30°，
又∵多边形的外角和等于360°，
∴多边形的边数是 =12，
故答案为：12．
【分析】任何多边形的外角和都等于360，故用外角的总数除以每个外角的度数，即可得出外角的个数，即多边形的边数。
14．（2023九上·高台开学考）若代数式的值等于零，则x= ．
【答案】-3
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解： 由题意，得x+3=0，且x-5 ≠ 0，
解得：x=-3。
故答案为：-3.
【分析】分式的值为零的条件：分子=0，分母 ≠ 0.
15．（2023九上·高台开学考）某次知识竞赛共有20题，答对一题得10分，答错或不答扣5分，小华得分要超过120分，他至少要答对的题的个数为 ．
【答案】15
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设答对的题的个数为x道，根据题意，得
10x-5(20-x)>120，
解得：，
整数x的最小值是15.
答： 他至少要答对的题的个数为 15.
故答案为：15.
【分析】小华的得分=答对的试题的得分-答错的试题的扣分。
16．（2019八上·河东期中）如图，在△ABC 中，AB＝AC，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于 D 点．若 BD 平分∠ABC, 则∠A＝ °．
【答案】36
【知识点】线段垂直平分线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵AB的垂直平分线MN交AC于D点．
∴∠A＝∠ABD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠C＝2∠A＝∠ABC，
设∠A为x，
可得：x+x+x+2x＝180°，
解得：x＝36°，
故答案为：36．
【分析】根据角平分线的定义和线段垂直平分线的性质可推出∠C＝2∠A＝∠ABC，利用三角形内角和定理即可求得∠A的度数.
17．（2023八下·酒泉期末）如图，在中，，将沿着BC的方向平移至，若平移的距离是3，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】30
【知识点】平移的性质；图形的平移
【解析】【解答】解：∵沿着BC的方向平移至，平移的距离是3，
∴AD=BE=CF=3，四边形ACFD是平行四边形，
∴S阴影=S平行四边形ACFD=CF×AB=3×10=30
故答案为：30.
【分析】利用平移的性质求出AD=BE=CF=3，再利用平行四边形的面积公式求解即可.
18．（2023九上·高台开学考）如图，E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置.若四边形AECF的面积为25，DE＝2，则AE的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解： ∵把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，
∴ 正方形ABCD的面积= 四边形AECF的面积 =25，即AD2=25，
∴，
故答案为： .
【分析】由旋转的性质可得正方形的面积等于 四边形AECF的面积 ，再用勾股定理求解即可。
三、解答题（共88分）
19．（2023九上·高台开学考）
（1）分解因式：
（2）计算：
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；分式的加减法
【解析】【解答】解：（1）；
（2）
【分析】（1）先提公因式-x，再用完全平方公式分解；
（2）先找最简公分母为(x+3）(x-3)，再通分约分即可。
20．（2019八上·伊通期末）解分式方程： =1．
【答案】解：原式=2x(2x+3)-(2x-3)=(2x-3)(2x+3)，
整理得4x=-12，
x=-3，
经检验x=-3是原方程的根.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】观察可得最简公分母是(2x+3)(2x-3)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．两边同乘以（2x+3）（2x-3）得2x(2x+3)-(2x-3)=(2x-3)(2x+3)，
整理得4x=-12，x=-3，经检验x=-3是原方程的根.
21．（2021九上·西安月考）解不等式组：
【答案】解：
解不等式（1）得 ；
解不等式（2）得 ；
所以原不等式组的解集是 .
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】首先分别求出两个不等式的解集，然后取其公共部分即为不等式组的解集.
22．（2023九上·高台开学考）先化简，再从0、、2、中取一个数代入求值。
【答案】解：原式
由分式有意义的条件可知a不能取，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先算括号里面的减法，再算括号外面的除法，从中选取使分式有意义的数代入求值。
23．（2023九上·高台开学考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：
⑴画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．
⑵画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．
【答案】解：⑴由题意可得如图所示，点A1的坐标（2，-4）．
⑵如图所示，点A2的坐标（-2，4）．
【知识点】点的坐标；作图﹣轴对称；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）先画 A、B、C关于x轴对称的点A1、B1、C1，再连接并写出点 点A1的坐标 ；
（2）先画 A1、B1、C1绕原点O旋转180°后得到的点A2、B2、C2，再连接并写出点A2的坐标．
24．（2018·吉林模拟）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3
（1）求证：BN=DN；
（2）求△ABC的周长
【答案】（1）证明：在△ABN和△ADN中，∵ ，∴△ABN≌△ADN（ASA），
∴BN=DN
（2）解：∵△ABN≌△ADN，∴AD=AB=10，又∵点M是BC中点，∴MN是△BDC的中位线，
∴CD=2MN=6，
故△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41
【知识点】全等三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由ASA判断出△ABN≌△ADN，根据全等三角形对应边相等得出BN=DN；
（2）根据全等三角形对应边相等得出AD=AB=10，根据中位线定理得出CD=2MN=6，由△ABC的周长=AB+BC+CD+AD算出答案。
25．（2021九上·兰州期末）如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，CF⊥AB于点F，且AE＝CF，求证： ABCD是菱形.
【答案】证明：∵AE⊥BC于点E，CF⊥AB于点F，
∴∠CFB＝∠AEB＝90°，
在△ABE与△CBF中
，
∴△ABE≌△CBF（AAS），
∴BC＝BA
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ABCD是菱形.
【知识点】菱形的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】由垂直的概念可得∠CFB＝∠AEB＝90°，证明△ABE≌△CBF，得到BC＝BA，然后结合菱形的判定定理进行证明.
26．（2023九上·高台开学考）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是线段BC，AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.
（1）求证：△BDE≌△FAE；
（2）求证：四边形ADCF为矩形.
【答案】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE.
∵E是线段AD的中点，∴AE＝DE.
∵∠AEF＝∠DEB，∴△BDE≌△FAE(AAS).
（2）证明：由(1)知△BDE≌△FAE，∴AF＝BD.
∵D是线段BC的中点，∴BD＝CD，∴AF＝CD.
∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形.
∵AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，
∴ ADCF为矩形
【知识点】矩形的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）用 AAS 证明 △BDE≌△FAE；
（2）证明AF＝CD，AF∥CD可得四边形ADCF是平行四边形，再证∠ADC＝90° 可得 四边形ADCF为矩形.
27．（2023九上·高台开学考）在争创文明城市的活动中，某市一“少年突击队”决定清运一堆重达100吨的垃圾，开工后附近居民主动参加到义务劳动中，使清运垃圾的速度比原计划提高了一倍，结果提前4小时完成，“少年突击队”原计划每小时清运垃圾多少吨？
【答案】解：设原计划每小时清运x吨，根据题意得：
，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：“少年突击队”原计划每小时清运垃圾吨．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】 设原计划每小时清运x吨， 实际每小时清运2x吨，根据表示计划的时间和实际的时间，再利用工作时间的关系建立方程，解方程后一定要检验。
28．（2023九上·高台开学考）如图，用硬纸板剪一个平行四边形ABCD，找到对角线交点O，用大头针在点O处将一根平放在平行四边形上的细直木条固定，并使细木条可以绕点O转动，拨动细木条，可随意停留在任意位置．
（1）木条把平行四边形ABCD分成了两部分，在拨动细木条的过程中，两部分的面积是否始终相等？答： （填“是”或“否”）；
（2）木条与 ABCD的边AD，BC相交于点E，F．
①请判断OE与OF是否始终相等，并说明理由；
②以A，E，C，F为顶点的四边形是平行四边形吗？为什么？
【答案】（1）是
（2）解：①OE与OF始终相等，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA＝OC．
∴∠OAE＝∠OCF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF；
②四边形是AECF平行四边形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
由①可得：OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：（1） ∵ 平行四边形是中心对称图形，木条经过中心点O，
∴木条把平行四边形ABCD分成了两部分 的面积相等。
故答案为：是。
【分析】（1）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对称线的交点；
（2） ① 用 ASA 证明 △AOE≌△COF 即可得证；
② 用对称线互相平分证明四边形AECF是平行四边形．
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