湘教版八年级数学上册 2.1.2三角形的内角和与外角 同步练习
一、选择题
1．直角三角形中两锐角之差为20°，则较大锐角为（ ）
A．45° B．55° C．65° D．50°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：设两个锐角分别为x、y，
由题意得， ，
解得 ，
所以，最大锐角为55°．
故答案为：B.
【分析】根据直角三角形的内角和为180度和其中一个角为直角，可计算出较大锐角。
2．（2018·南宁）如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，则∠ECD等于（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】∵∠A=60°，∠B=40°，
∴∠ACD=∠A+∠B=100°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD= ∠ACD=50°，
故答案为：C．
【分析】△ABC的外角∠ACD等于不相邻两个内角的和，即∠ACD=∠A+∠B=100°，又由CE平分∠ACD，可得∠ECD= ∠ACD。
3．（2018·达州）如图，AB∥CD，∠1=45°，∠3=80°，则∠2的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，
∵AB∥CD，∠1=45°，
∴∠4=∠1=45°，
∵∠3=80°，
∴∠2=∠3-∠4=80°-45°=35°，
故答案为：B．
【分析】根据二直线平行内错角相等得出∠4=∠1=45°，根据三角形的外角性质，∠2=∠3-∠4即可算出答案。
4．（2018·宿迁）如图，点D在△ABC的边AB的延长线上，DE∥BC，若∠A＝35°，∠C＝24°，则∠D的度数是（ ）。
A．24° B．59° C．60° D．69°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠A=35°，∠C=24°，
∴∠DBC=∠A+∠C=35°+24°=59°，
又∵DE∥BC，
∴∠D=∠DBC=59°.
故答案为：B.
【分析】根据三角形外角性质得∠DBC=∠A+∠C，再由平行线性质得∠D=∠DBC.
5．在下列条件中：①∠A+∠B=∠C；②∠A：∠B：∠C=1：2：3；③∠A= ∠B= ∠C；④∠A=∠B=2∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：①∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A+∠B=∠C= ×180°=90°，
∴△ABC是直角三角形，故本小题正确；
②∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，
∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，故本小题正确；
③设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，则x+2x+3x=180°，
解得x=30°，故3x=90°，
∴△ABC是直角三角形，故本小题正确；
④∵设∠C=x，则∠A=∠B=2x，
∴2x+2x+x=180°，解得x=36°，
∴2x=72°，故本小题错误；
综上所述，是直角三角形的是①②③共3个。
故答案为：B.
【分析】根据三角形的内角和以及所给的三个角的关系，可判断出正确的选项。
二、填空题
6．（2018·滨州）在△ABC中，若∠A=30°，∠B=50°，则∠C= ．
【答案】100°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，
∴∠C=180°﹣30°﹣50°=100°．
故答案为：100°
【分析】根据三角形的内角和即可得出答案。
7．在直角三角形中，一个锐角比另外一个锐角的 3 倍还多10°，则这两个角分别为 。
【答案】20°，70°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：设其中一个锐角的度数是x度，则另一个锐角的度数就是3x+10度，
由题意得，
x+3x+10=90
4x=80
x=20
3x+10=3×20+10=70
∴这两个角分别为20°，70°.
故答案为：20°，70°.
【分析】根据直角三角形的内角和为180度，可列出方程，计算出角的度数。
8．如图，在 中，点 、 分别在 、 上，且 // ， ， ，则∠ABC= .
【答案】45°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵DE∥AC，
∴∠BDE=∠A=80°，
∵∠BED=55°，
∴∠ABC=180-80-55=45°.
故答案为：45°.
【分析】根据两条平行线所分的同位角相等以及三角形的内角和为180°，可解出∠ABC的度数。
9．如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条高线，若∠A=65°，则∠1+∠2的度数为 .
【答案】65°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠A=65°，
∴∠ABC+∠ACB=115°，
∵BD和CE是△ABC的两条高线，
∴∠1+∠ACB=90°，∠2+∠ABC=90，
∴∠1+∠2+∠ACB+∠ABC=180°，
∴∠1+∠2=180°-（∠ACB+∠ABC）=65°
故答案为：65°
【分析】根据三角形高的性质以及三角形的内角和为180°，可解出∠1＋∠2的度数。
三、解答题
10．已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C=180°．
【答案】证明：如图，过点A作EF∥BC，
∵EF∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠C，
∵∠1+∠2+∠BAC=180°，
∴∠BAC+∠B+∠C=180°，
即∠A+∠B+∠C=180°.
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】做出辅助线，通过平行线所分的内错角相等，可求证三角形内角和为180°。
11．（2017八上·武昌期中）△ABC中，∠C=60°，∠B的两倍比∠A大15°，求∠A和∠B的大小．
【答案】解：∠A=2∠B﹣15°， △ABC中， ∠A+∠B+∠C=180°， ∠2∠B﹣15°+∠B+60°=180°， 解得∠B=45°， ∠A=2∠B﹣15°=2×45﹣15°=75°； 答：∠A是75°，∠B是45°．
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【分析】由已知可得出 ∠A=2∠B﹣15° ，再由三角形内角和定理，可得出∠A+∠B+∠C=180°，解方程组，就可求得∠A、∠B的值。
12．如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝72°，CD是AB边上的高，CE是∠ACB的平分线，DF⊥CE于F，求∠CDF的度数．
【答案】解：∵∠A=40°，∠A=72°
∴∠ACB=180°-40°-72°=68°
∵CE是∠ACB的平分线
∴∠BCE= ∠ACB=
∵CD⊥AB即∠CDB=90°
∴∠DCB=180°-90°-72°=18°
∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=34°-18°=16°
∵DF⊥CE即∠DFC=90°
∴∠CDF=180°-90°-16°=74°
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线以及三角形的内角和为180°，可解出∠CDF的度数。
1 / 1湘教版八年级数学上册 2.1.2三角形的内角和与外角 同步练习
一、选择题
1．直角三角形中两锐角之差为20°，则较大锐角为（ ）
A．45° B．55° C．65° D．50°
2．（2018·南宁）如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，则∠ECD等于（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
3．（2018·达州）如图，AB∥CD，∠1=45°，∠3=80°，则∠2的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
4．（2018·宿迁）如图，点D在△ABC的边AB的延长线上，DE∥BC，若∠A＝35°，∠C＝24°，则∠D的度数是（ ）。
A．24° B．59° C．60° D．69°
5．在下列条件中：①∠A+∠B=∠C；②∠A：∠B：∠C=1：2：3；③∠A= ∠B= ∠C；④∠A=∠B=2∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
6．（2018·滨州）在△ABC中，若∠A=30°，∠B=50°，则∠C= ．
7．在直角三角形中，一个锐角比另外一个锐角的 3 倍还多10°，则这两个角分别为 。
8．如图，在 中，点 、 分别在 、 上，且 // ， ， ，则∠ABC= .
9．如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条高线，若∠A=65°，则∠1+∠2的度数为 .
三、解答题
10．已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C=180°．
11．（2017八上·武昌期中）△ABC中，∠C=60°，∠B的两倍比∠A大15°，求∠A和∠B的大小．
12．如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝72°，CD是AB边上的高，CE是∠ACB的平分线，DF⊥CE于F，求∠CDF的度数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：设两个锐角分别为x、y，
由题意得， ，
解得 ，
所以，最大锐角为55°．
故答案为：B.
【分析】根据直角三角形的内角和为180度和其中一个角为直角，可计算出较大锐角。
2．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】∵∠A=60°，∠B=40°，
∴∠ACD=∠A+∠B=100°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD= ∠ACD=50°，
故答案为：C．
【分析】△ABC的外角∠ACD等于不相邻两个内角的和，即∠ACD=∠A+∠B=100°，又由CE平分∠ACD，可得∠ECD= ∠ACD。
3．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，
∵AB∥CD，∠1=45°，
∴∠4=∠1=45°，
∵∠3=80°，
∴∠2=∠3-∠4=80°-45°=35°，
故答案为：B．
【分析】根据二直线平行内错角相等得出∠4=∠1=45°，根据三角形的外角性质，∠2=∠3-∠4即可算出答案。
4．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠A=35°，∠C=24°，
∴∠DBC=∠A+∠C=35°+24°=59°，
又∵DE∥BC，
∴∠D=∠DBC=59°.
故答案为：B.
【分析】根据三角形外角性质得∠DBC=∠A+∠C，再由平行线性质得∠D=∠DBC.
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：①∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A+∠B=∠C= ×180°=90°，
∴△ABC是直角三角形，故本小题正确；
②∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，
∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，故本小题正确；
③设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，则x+2x+3x=180°，
解得x=30°，故3x=90°，
∴△ABC是直角三角形，故本小题正确；
④∵设∠C=x，则∠A=∠B=2x，
∴2x+2x+x=180°，解得x=36°，
∴2x=72°，故本小题错误；
综上所述，是直角三角形的是①②③共3个。
故答案为：B.
【分析】根据三角形的内角和以及所给的三个角的关系，可判断出正确的选项。
6．【答案】100°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，
∴∠C=180°﹣30°﹣50°=100°．
故答案为：100°
【分析】根据三角形的内角和即可得出答案。
7．【答案】20°，70°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：设其中一个锐角的度数是x度，则另一个锐角的度数就是3x+10度，
由题意得，
x+3x+10=90
4x=80
x=20
3x+10=3×20+10=70
∴这两个角分别为20°，70°.
故答案为：20°，70°.
【分析】根据直角三角形的内角和为180度，可列出方程，计算出角的度数。
8．【答案】45°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵DE∥AC，
∴∠BDE=∠A=80°，
∵∠BED=55°，
∴∠ABC=180-80-55=45°.
故答案为：45°.
【分析】根据两条平行线所分的同位角相等以及三角形的内角和为180°，可解出∠ABC的度数。
9．【答案】65°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠A=65°，
∴∠ABC+∠ACB=115°，
∵BD和CE是△ABC的两条高线，
∴∠1+∠ACB=90°，∠2+∠ABC=90，
∴∠1+∠2+∠ACB+∠ABC=180°，
∴∠1+∠2=180°-（∠ACB+∠ABC）=65°
故答案为：65°
【分析】根据三角形高的性质以及三角形的内角和为180°，可解出∠1＋∠2的度数。
10．【答案】证明：如图，过点A作EF∥BC，
∵EF∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠C，
∵∠1+∠2+∠BAC=180°，
∴∠BAC+∠B+∠C=180°，
即∠A+∠B+∠C=180°.
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】做出辅助线，通过平行线所分的内错角相等，可求证三角形内角和为180°。
11．【答案】解：∠A=2∠B﹣15°， △ABC中， ∠A+∠B+∠C=180°， ∠2∠B﹣15°+∠B+60°=180°， 解得∠B=45°， ∠A=2∠B﹣15°=2×45﹣15°=75°； 答：∠A是75°，∠B是45°．
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【分析】由已知可得出 ∠A=2∠B﹣15° ，再由三角形内角和定理，可得出∠A+∠B+∠C=180°，解方程组，就可求得∠A、∠B的值。
12．【答案】解：∵∠A=40°，∠A=72°
∴∠ACB=180°-40°-72°=68°
∵CE是∠ACB的平分线
∴∠BCE= ∠ACB=
∵CD⊥AB即∠CDB=90°
∴∠DCB=180°-90°-72°=18°
∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=34°-18°=16°
∵DF⊥CE即∠DFC=90°
∴∠CDF=180°-90°-16°=74°
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线以及三角形的内角和为180°，可解出∠CDF的度数。
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