上海市静安区风华中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题（含答案）

风华中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题 2023.11
(满分 150分, 时间120分钟)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：_________
填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)
1.已知集合则
2.不等式的解集为
3.函数 的零点为
4.若实数x,y满足则 的最小值为
5.已知幂函数的图像经过点 则f(x)的定义域为
6.设x∈R, 则使方程 成立的x的取值范围是
7. 已知 则 在a方向上的数量投影为
8. 已知 α是第三象限角，则
9.设函数f(x)定义域为D.若对D内任意 有
恒成立，则称函数f(x)为“Z函数”：①
.其中“Z函数”的序号是 (写出所有的正确序号)
10.设函数 则使得 成立的x的取值范围是
11.若函数 ,则图像上关于原点对称的点共 对
12. 已知函数f(x)的定义域是R，且和 对任意 恒成立.若当 时, f(x)的值域为[1,2],则当|时,函数f(x)的值域为
二.选择题(本大题共有4题, 13.14每题4分, 15.16每题5分, 满分18分)
13.“x≥1”是“x>1 ”的( )条件
A. 充分不必要 B.必要不充分 C. 充要 D.既不充分也不必要
14. 若aA.0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
15.狄利克雷函数是有名的“以概念代替直觉”的函数，现定义“L函数”
满足 则关于狄利克雷函数与L函数有以下四个结论：
①D(1)=L(1); ②L函数是偶函数;
③ L函数图像上存在四个点A，B，C，D使得四边形 ABCD是菱形;
④ L函数图像上存在四个点A，B，C，D使得四边形 ABCD是矩形;
其中所有正确结论的序号是 ( ) A.① B. ②③ C. ①③ D. ①④
16.已知A，B是平面内两个定点，且AB=2，该平面上的动线段PQ的两个端点P，Q满足
则动线段PQ所围成的面积为( ) B. 108 B. 72 C. 60 D. 50
三.解答题(本题共5道题，满分78分)
17.(本题满分14分,第1题6分, 第2题8分)
已知直线过点A(2，1)且它的一个法向量为(1，2)，直线
写出直线的方程, 并求当a=-2时,与的夹角θ;
(2)若求实数a的值，并求此时直线到直线的距离d.
18.(本题满分14分,第1题6分, 第2题8分)
已知A,B,C为 的三个内角, a,b,c分别是A,B,C所对的边,.
若 求b,c; (2)若 求c.
19.(本题满分14分,第1题6分, 第2题8分)设 函数
(1)求a的值,使得f(x)为奇函数;(2)若 对任意. 恒成立，求a的取值范围.
20.(本题满分18分,第1题4分, 第2题6分,第3小题满分8分)
已知 且c>0.
若时,函数f(x)的最小正周期为π,求f(x);
当时,求函数f(x)在 上的严格减区间；(3)若时，
函数 在 内有且仅有2023个零点，求正实数c的取值范围.
21.(本题满分18分,第1题4分, 第2题6分,第3小题满分8分)
已知函数令
(1)当 时，求函数. 在处的切线方程；
(2)当a为正数且 时，f(x)的最小值为,求a的最小值；
(3)若 对一切 都成立，求a的取值范围.
风华中学2023-2024学年高三上学期期中数学试题解析 2023.11
(满分 150分, 时间120分钟)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：_________
一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)
1. 2. 3.1 4. 5. 6.
7. 8. 9. 10. 11. 12.
10.【详解】函数 且函数f(x)在 )上单调递增.
化为:解得：或
∴使得成立的x的取值范围是故答案为：
11.图象上关于原点O对称的点的个数只需观察的图象与关于原点对称的函数的图象交点个数即可，
由上图可知：两个图象交点个数为4个，故答案为: 4.
12.由f(x)·f(-x)=1可得, ,由f(1﹢x)·f(1﹣x)=4可得
令1-x = t可得; 由f(x)·f(-x)=1可得, ;
①②联立可得,f(t+2)=4f(t),∴f(x+2)=4f(x),∵当x∈[0,1], f(x)的值城为[1,2],
设x∈[-1,0]时, -x∈[0,1], 则∴x+2∈[1,2]时,f(x﹢2)=4f(x)∈[2,4];
以此类推，区间每增加2个长度，值域变为上个区间的4倍, 且x∈[ 1,1]时, 值域为2],
则当x∈[-100,100]时, 函数f(x)的值域为故答案为：
二、选择题(本大题共有4题, 13、14每题4分, 15、16每题5分, 满分18分)
13.B 14.B 15.D 16.C
15. C.【分析】根据狄利克雷函数和L函数的定义，结合奇偶性即可判断①②，在L函数图象取适当的点，
并验证满足条件，即可判断③④.【详解】由题意得, D(x)的取值为0或1,则 故①正确；
∴L(x)为奇函数,故②错误；
取L函数图像上四个点A(3,3),0) 并且
即对角线相等，且互相平分，∴L函数图象上存在四个点A、B、C、D, 使得四边形ABCD为矩形，
故③错误，④正确；故答案为:D.
16.C【分析】根据题意建立平面直角坐标系，根据和，得到动点在直线上，且，进而得到扫过的三角形的面积，再由，同理得到扫过的三角形的面积，两者求和即可.
【详解】根据题意建立平面直角坐标系，如图所示：
则，，设，∴，；
由，得；又，
∴，；∴；∴，
∴动点在直线上，且，即线段CD上，
则,则扫过的三角形的面积为，
设点∵，
∴，∴，，
∴动点在直线上，且，即线段MN上，
则,∴扫过的三角形的面积为，
∴因此和为60，故选：B.【点睛】本题关键是由和，得到动点的轨迹，进而得到扫过的
三角形的面积而得解.
三、解答题(本题共5道题，满分78分)
17.(1)直线:x+2y-4=0,与的夹角θ=arc;(2)a= d=.
(1)b=1,c= ;(2)c=
【分析】(1)由已知利用正弦定理即可求解b的值； 利用余弦定理即可求解c的值.(2)根据已知利用两角差的
余弦公式，同角三角函数基本关系式可求得cosA、 sinA、sinC的值，进而根据正弦定理可得c的值.
【详解】
因为可得又可得由于, 可得
因为 可得 又可解得
或 因为 可得
可得C为钝角，若 可得 可得
可得B为钝角，这与C为钝角矛盾，舍去，
所以 由正弦定理 可得
19.(1)a=-1;(2)[0，2].
【分析】(1)由f(x)在R上为奇函数,可得f(0)，解方程可得a的值，检验即可；(2) 由题意可得即为
恒成立，等价为即有：讨论 由参数分离，求得
右边的范围，运用恒成立思想即可得到a的范围.
【详解】(1)由f(x)的定义域为R,且f(x)为奇函数,可得即有解得
则 则满足题意；
对任意成立，即为 恒成立，等价为 即有
①当时,恒成立；
②当时, 由可得 解得
③当时, 不恒成立.综上可得，a的取值范围是[0，2].
20.(本题满分18分,第1题4分, 第2题6分,第3小题满分8分)
【详解】
（1）若a=0,b=1时f(x)=函数f(x)的最小正周期为=π,则c=2,f(x)=
(2)当a=1,b=0时,
+=cos2x=2sin,
∴令t=∈且f(x)单调递减， 此时t=∈即，
故函数f(x)在 上的严格减区间为；
若a=0,b=1时=
即方程=0即在(0,1)内有且仅有2023个解；令t=cx(0,c)
则在(0,c)内有且仅有2023个解.∴c即c.
21.【分析】(1)把代入，对函数求导，结合导数几何意义求出切线斜率，进而可求切线方程；(2)结合
导数与单调性及最值关系分析函数的最小值的取得条件，即可求解；(3)已知不等式可转化为++
对一切都成立，结合已知不等式考虑构造函数
从而有F(x)在上单调递增，结合导数与单调性关系可求.
【详解】 时, 故
所以在处的切线方程为即
(
则 ,因为
①当l时,易得f(x)在[1,e]上单调递增,
②当时, f(x)在上单调递减，在上单调递增，故 不合题意；
③当时,f(x)在[1,e]上单调递减,f(x)在[1,e]上的最小值.，不符合题意，
故a的最小值为1；
若对一切都成立，则2-2对一切都成立，
所以+2对一切都成立，令,
则F(x)在)上单调递增，所以,
在时恒成立，即在时恒成立，
当时, 在时恒成立，符合题意，
当时，因为过定点(0,1), 对称轴 则只要
所以故a的取值范围为[0,8].