上海市上师附高2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题（含答案）

上海市上师附高2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题 2023.11
(满分 150分, 时间120分钟)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：_________
一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)
1、已知集合且 则A∪B= .
2、已知i为虚数单位，若 则|z|= .
3、已知 且a∥b,则x= .
4、若 则sin2α= .
5、若x>0, y>0且 则的最大值为 .
6、若则满足f(x)<0的x的取值范围是 .
7、科学家以里氏震级来度量地震的强度，设I为地震时散发出来的相对能量程度，则里氏震级度量r可定义为
则7.8级地震和6.9级地震的相对能量比值为 (结果精确到个位).
8、正方形ABCD的边长为 2,点E和F分别是边BC和AD上的动点,且CE=AF,则 的最大值为 .
9、在数列{an}中, 若对于任意的正整数n， 恒成立，则实数k的最大值为 .
10、已知函数 若存在实数x ，使得对于任意的实数x都有f(x)≤f()
成立，则实数m的取值范围是 .
已知函数 若存在三个互不相等的实数m、n、p，使得f(m)=f(n)=f(p)=2024,则实数a的
取值范围是 .
若存在实数a及正整数n,使得f(x)=cos2x-asinx在区间(0,n)内恰有2022个零点,则所有满足条件的正整数
n的值共有 个.
二、选择题(本大题共有4题, 13、14每题4分, 15、16每题5分, 满分18分)
是成立的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
14、已知对任意的x∈[0,1],不等式|x+b|≤2恒成立,则实数b值不可能是 ( )A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
15、已知是公比不为1的等比数列，Sn为其前n项和，满足则下列等式成立的是 ( )
16、已知有两个不相等的非零向量，两组向量和均由2个和3个排列而成，
记，表示所有可能取值中的最小值，则下列命题中：
①有3个不同的值； ②若，则与无关；③若，则与无关；
④若，，则与的夹角为. 正确的个数是 ( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
三、解答题(本题共5道题，满分78分)
17. (本题满分14分,第1题 6分, 第2题8分)
已知O为坐标原点，
求函数的最小正周期；(2)当 时, 求函数y=f(x)的值域.
18. (本题满分14分,第1题6分,第2题8分)
(1)若将函数y=f(x)图像向下移m(m>0)个单位后,图像经过(3,0)和(5,0),
求实数a和m的值;(2)若a>-3且a≠0,解关于x的不等式:f(x)≤f(6-x).
19. (本题满分14分,第1题6分, 第2题8分)
某乡镇全面实施乡村振兴战略，大力推广“毛线玩具”加工产业.某生产合作社组建加工毛线玩具的分厂，需要
每年投入固定成本10万元，每加工万件玩具，需要流动成本万元.当年加工量不足15万件时，
；当年加工量不低于15万件时，.通过市场分析，加工后的玩具以
每件元的价格，全部由总厂收购.
(1)求年利润关于年加工量的解析式；（年利润年销售收入-流动成本-年固定成本）
(2)当年加工量为多少万件时，该合作社的年利润最大？最大年利润是多少？
20.(本题满分18分,第1题4分, 第2题6分,第3小题满分8分)
已知函数 (1)求f(x)在( 上的单调区间；
(2)若存在使得成立，求实数k的取值范围；
(3)若对于任意m、不等式恒成立，求实数a的取值范围.
21. (本题满分18分,第1题4分,第2题6分,第3小题满分8分)
已知点是函数图像上不同的点，设首项(常数
记
(1)若数列是一个5项的等比数列，其中当时，试写出数列的前6项;
(2)若数列是一个无穷等差数列,满足当a=0时，求数列的前n项和;
(3)若对于任意都有当数列各项均不为1时,记=若存在常数,使得对于任意不等式都成立，求非负实数a的取值范围.
上海市上师附高2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题详解 2023.11
(满分 150分, 时间120分钟)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：_________
一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)
1. 2. 3.6 4. 5. 6.
7.22 8.-3 9. 10. 11. 12. 5
10.∵函数 若存在实数，使得对于任意的实数x都有成立，
即函数有最大值，又因为当时, 单调递减,且
故当时, , 且故故答案为:
11.【详解】函数所以由得
-1或 时, 时,
f(x)在和上都是递减，在 上递增，
所以f(x)的极小值为的极大值为
由题意，解得 故答案为: (2022,2026).
12.【详解】由题意可得令则有
因为所以方程有两不等实根和(假设 则由韦达定理得：
所以
当时，则有一个周期2π内有两个零点，易知 或
当时，则有一个周期2π内有三个零点，则需要 个周期，即
当时，此时将代入得 解得a<1,
①当-1②当a=-1时,此时个周期2π内有三个零点，则需要 个周期，即n=674×2=1348;
③当a时,此时一个周期2π内有两个零点，易知n=2022或n=2023,
综上所述，这样的正整数n的值有5个，分别为1011, 1348, 2021, 2022, 2023.故答案为: 5.
选择题(本大题共有4题, 13、14每题4分, 15、16每题5分, 满分18分)
B 14.D 15.B 16.B
15．B【分析】先由等比数列结合条件求出 两边同乘化简即可得到答案.【详解】设等比数列的公比为因为即
可得 ①解得：,①左右两边同时乘以得则
即故选: B.
16．B【分析】排列出所有三种情况得到，根据向量的性质和运算依次判断每个选项得到答案.
【详解】可能有三个结果：
；；
；
易知：，故,故③错误，①、②正确；
，，④错误；故答案为：B.
【点睛】本题考查了向量的运算，性质，意在考查学生对于向量知识的综合应用.
三、解答题(本题共5道题，满分78分)
函数f(x)的最小正周期为π；
时,
∴函数f(x)的值域为.
(1) 将函数f(x)图像向下移个单位后,
得 的图像，由函数图像经过点(3,0)和(5,0),
所以 解得 ；
且时，不等式 可化为 ，
等价于,解得：
当时, 解不等式得
当时,解不等式得
综上知，时，不等式 的解集是；
当时,不等式的解集是[3,6).
19．(1)
(2)当年加工量为18万件时，该合作社获得的年利润最大，且最大年利润为156万元.
【分析】（1）依题意，由年利润年销售收入-流动成本-年固定成本，直接写出解析式，化简即可；（2）由（1）中求得的解析式，分别利用导数和基本不等式的性质，分别求得两个式子的最大值，然后作比较，再取较大的值即可.
【详解】（1）当时，，
当时，，
所以年利润关于年加工量的解析式为：；
（2）当时，恒成立，所以在区间上单调递增，
所以，
当时，，
当且仅当，即时取得等号.因为，
所以当年加工量为18万件时，该合作社获得的年利润最大，且最大年利润为156万元.
20.【分析】(1)求出导函数由得增区间, 由 得减区间；(2)问题转化为
在上有解，设 由导数确定g(x)的单调性、最值，分类讨论后可得结论；
(3)由导数求出的取值范围，然后由不等式的性质可得a的范围.
【详解】当1<0；当x>e时,
所以f(x)的减区间是(1,e), 增区间是(e,+∞);
成立，即不等式有解，
题意等价于在(0,1)∪(1﹢∞)上有解.
设
①当k≤0时,≥0, g(x)递增,g(1)=1-k>0,所以存在, 使得g(x )≥0成立;
②当k>0时, 时, >0, g(x)递增, 时,递减，
所以由得 此时
所以存在, 使得成立，综上，
由(1)得f(x)在上递减, 在上递增，,
, 即设则
,h(x)递增, 即 所以，
所以当时，不等式 显然成立，
当时，不等式 恒成立，
即，
所以 即 综上. a的范围是
【分析】(1)根据题意，直接写出数列的前6项；(2)根据题意，可得 然后分n为奇数
与n为偶数讨论，即可得到其前n项和；(3)根据题意，先分与讨论，由然后构造函数 通过对其性质研究，归纳总结，即可得到结果.
【详解】(1)设数列的公比为q，由 得 即
则数列为2, 4, 8, 16, 32, …,由以及知
类似求得即数列的前6项为1, 1, 3, 5, 11, 21;
(2)设设数列的公差为d，由, 可知
于是因此
则②两式相减得再结合 可知
此时数列的奇数项构成以0为首项，3为公差的等差数列;偶数项构成以1为首项，3为公差的等差数列.
记其前n项和为则当n为偶数时,
6
当n为奇数时，为偶数， 且 于是
综上所述， 其中
(3)若 则 下面利用数学归纳法证明：
当时,设
设当时,则时,
而 故成立，而故
综上所述，成立.此时
故取，此时满足不等式都成立.
若 则 下面利用数学归纳法证明：
当时, 设当 时,设
则当时, 而 故成立，
而 故综上所述，成立.
此时 故取 此时满足不等式 都成立.
若由与 时成立，
∵数列各项均不为1， 故故 为等比数列，可得
当 时, 故 故
而，故 而当时, 故
同理而存在常数 ，使得对于任意,不等式( 都成立
故 故故
故 解得 即矛盾.综上, 且