湘教版八年级数学上册 2.3.1等腰三角形的性质 同步练习
一、选择题
1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=40°，D为BC上一点，且AB=BD，则∠DAC的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：因为，AB=AC，∠B=40°，
所以，∠C=∠B=40°
因为，AB=BD，
所以，∠BAD=∠BDA= ，
因为，∠BDA是三角形ACD的外角，
所以，∠DAC=∠BDA-∠C=70o-40o=30o.
故答案为：B
【分析】根据等腰三角形等边对等角，再利用三角形内角和与外角的性质可以求出∠DAC
2．如图，在 中，以点 为圆心，以 长为半径画弧交边 于点 ，连接 .若 ， ，则 的度数是（ ）
A．70° B．44° C．34° D．24°
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=BD，∠B=40°，
∴∠ADB=70°，
∵∠C=36°，
∴∠DAC=∠ADB-∠C=34°．
故答案为：C.
【分析】在三角形ABC中，已知∠B和∠C，根据内角和为180°，即可求得∠BAC的度数；在三角形BAD中，根据∠B的度数，BA=BD，即可得到∠BAD的度数，即可求得∠DAC的度数。
3．（2018·湖州）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（ ）
A．20° B．35° C．40° D．70°
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AD是△ABC的中线，AB=AC，∠CAD=20°，
∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB= （180°-∠CAB）=70°．
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE= ∠ACB=35°．
故答案为：B．
【分析】根据等腰三角形的性质得出∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB= （180°-∠CAB）=70°．根据角平分线的定义即可得出答案。
4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点A，点C分别在直线a，b上，且a∥b．若∠1=60°，则∠2的度数为（ ）
A．105° B．75° C．135° D．155°
【答案】A
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图：
∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠3=180° 60° 45°=75°，
∵a∥b，
∴∠2=180° ∠3=105°.
故答案为：A.
【分析】在△ABC中，根据AB=AC，∠BAC=90°，即可求得∠ACB的度数；根据平角等于180°，即可得到∠3的度数。根据两直线平行，同旁内角互补，即可得到∠2的度数。
5．（2017八上·武昌期中）等腰三角形中有一个角是40°，则另外两个角的度数是（ ）
A．70°，70° B．40°，100°
C．70°，40° D．70°，70°或40°，100°
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：若40°的角是顶角，则底角为： （180°﹣40°）=70°，
∴此时另外两个角的度数是70°，70°；
若40°的角是底角，则另一底角为40°，
∴顶角为：180°﹣40°﹣40°=100°，
∴此时另外两个角的度数是100°，40°．
∴另外两个角的度数是：70°、70°或40°、100°．
故答案为：D．
【分析】分情况讨论：若40°的角是顶角；40°的角是底角，再利用三角形内角和定理，可求出结果。
二、填空题
6．如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD= ．
【答案】30°
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴
又点D是边BC的中点，
∴
故答案是：30°
【分析】根据△ABC为等边三角形，可得∠BAC=60°，AB=AC；根据等腰三角形三线合一的性质，可得AD为∠BAC的角平分线，可得∠BAD的度数。
7．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为 ．
【答案】130°或90°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，
∴∠B=∠C=40°，
∵点D在BC边上，△ABD为直角三角形，
∴当∠BAD=90°时，则∠ADB=50°，
∴∠ADC=130°，
当∠ADB=90°时，则
∠ADC=90°，
故答案为：130°或90°.
【分析】根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C=40°，根据△ABD为直角三角形分∠BAD=90°和∠ADB=90°两种情况进行解答即可。
8．如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB=AC，∠A=50°，折叠该纸片，使点A落在点B处，折痕为DE，则∠CBE= ．
【答案】15°
【知识点】等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠A=50°，
∴∠ACB=∠ABC= （180°﹣50°）=65°.
∵将△ABC折叠，使点A落在点B处，折痕为DE，∠A=50°，∴∠ABE=∠A=50°.
∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=65°﹣50°=15°．
故答案为：15°.
【分析】根据等腰三角形的性质得出∠ACB和∠ABC的度数，根据折叠可得出∠ABE=∠A，再根据∠CBE=∠ABC﹣∠ABE进行解答即可。
9．如图，在三角形ABC中，AD=AC=BC，∠CDA=70°，则∠DCB的度数是 .
【答案】30°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AC=AD，∠CDA=70°，
∴∠ACD=∠ADC=70°，
∴∠A=40°，
∵AC=BC，
∴∠B=∠A=40°，
∴∠DCB=30°．
故答案为：30°.
【分析】在三角形ACD中，根据AC=AD，∠CDA=70°，可得∠A的度数；在△ABC中，根据AC=BC以及∠A的度数，即可求得∠ACB的度数，继而得到∠DCB的度数。
三、解答题
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，求∠ABD的度数．
【答案】解：∵AB＝AC，∠ABC＝72°，
∴∠ACB＝∠ABC＝72°，
∴∠A＝36°.
∵BD⊥AC，
∴∠ABD＝90°－36°＝54°.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【分析】在△ABC中，根据AB=AC，∠ABC的度数即可求得∠A；在直角三角形BDC中，根据三角形内角和为180°，即可求出∠DBC的度数，从而得到∠ABD的度数。
11．如图所示，△ABC中，AB=AC，E在AC上，D在BA的延长线上，且AD=AE，连接DE．
求证：DE⊥BC．
【答案】解：如图，过A作AM⊥BC于点M．
∵AB=AC，
∴∠BAC=2∠BAM，
∵AD=AE，
∴∠D=∠AED，
∴∠BAC=∠D+∠AED=2∠D，
∴∠BAC=2∠BAM=2∠D，
∴∠BAM=∠D，
∴DE∥AM，
∵AM⊥BC，
∴DE⊥BC．
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】 另一种解法：过A作AM⊥BC于点M，根据AB=AC，AM⊥BC，所以可得∠BAM=∠CAM；根据∠BAC为三角形ADE的外角，所以根据AD=AE即可得到∠MAC=∠AED，即根据同位角相等，两直线平行，可得AM∥DE，根据两直线平行，同旁内角互补，即可得到DE⊥BC。
12．如图，在△ABC中，AD＝AC，BE＝BC.
（1）若∠ACB＝96°，求∠DCE的度数．
（2）问：∠DCE与∠A，∠B之间存在怎样的数量关系(直接写出答案)
【答案】（1）解：∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD.
∴∠A＝180°－2∠ADC.
∵BE＝BC，
∴∠CEB＝∠ECB.
∴∠B＝180°－2∠CEB.
∵∠ACB＝96°，
∴∠A＋∠B＝84°.
∴(180°－2∠ADC)＋(180°－2∠CEB)＝84°.
∴∠CEB＋∠ADC＝138°.
∴∠DCE＝42°
（2）解：∠DCE＝ (∠A＋∠B)
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）在三角形ACD中，根据AD=AC，即可表示出∠A的度数；同理可得∠B的度数；在三角形ACB中，根据三角形的内角和为180°，即可求得∠DCE的度数。
（2）根据在（1）中证明的步骤，可得 ∠DCE＝ (∠A＋∠B) 。
1 / 1湘教版八年级数学上册 2.3.1等腰三角形的性质 同步练习
一、选择题
1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=40°，D为BC上一点，且AB=BD，则∠DAC的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
2．如图，在 中，以点 为圆心，以 长为半径画弧交边 于点 ，连接 .若 ， ，则 的度数是（ ）
A．70° B．44° C．34° D．24°
3．（2018·湖州）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（ ）
A．20° B．35° C．40° D．70°
4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点A，点C分别在直线a，b上，且a∥b．若∠1=60°，则∠2的度数为（ ）
A．105° B．75° C．135° D．155°
5．（2017八上·武昌期中）等腰三角形中有一个角是40°，则另外两个角的度数是（ ）
A．70°，70° B．40°，100°
C．70°，40° D．70°，70°或40°，100°
二、填空题
6．如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD= ．
7．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为 ．
8．如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB=AC，∠A=50°，折叠该纸片，使点A落在点B处，折痕为DE，则∠CBE= ．
9．如图，在三角形ABC中，AD=AC=BC，∠CDA=70°，则∠DCB的度数是 .
三、解答题
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，求∠ABD的度数．
11．如图所示，△ABC中，AB=AC，E在AC上，D在BA的延长线上，且AD=AE，连接DE．
求证：DE⊥BC．
12．如图，在△ABC中，AD＝AC，BE＝BC.
（1）若∠ACB＝96°，求∠DCE的度数．
（2）问：∠DCE与∠A，∠B之间存在怎样的数量关系(直接写出答案)
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：因为，AB=AC，∠B=40°，
所以，∠C=∠B=40°
因为，AB=BD，
所以，∠BAD=∠BDA= ，
因为，∠BDA是三角形ACD的外角，
所以，∠DAC=∠BDA-∠C=70o-40o=30o.
故答案为：B
【分析】根据等腰三角形等边对等角，再利用三角形内角和与外角的性质可以求出∠DAC
2．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=BD，∠B=40°，
∴∠ADB=70°，
∵∠C=36°，
∴∠DAC=∠ADB-∠C=34°．
故答案为：C.
【分析】在三角形ABC中，已知∠B和∠C，根据内角和为180°，即可求得∠BAC的度数；在三角形BAD中，根据∠B的度数，BA=BD，即可得到∠BAD的度数，即可求得∠DAC的度数。
3．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AD是△ABC的中线，AB=AC，∠CAD=20°，
∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB= （180°-∠CAB）=70°．
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE= ∠ACB=35°．
故答案为：B．
【分析】根据等腰三角形的性质得出∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB= （180°-∠CAB）=70°．根据角平分线的定义即可得出答案。
4．【答案】A
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图：
∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠3=180° 60° 45°=75°，
∵a∥b，
∴∠2=180° ∠3=105°.
故答案为：A.
【分析】在△ABC中，根据AB=AC，∠BAC=90°，即可求得∠ACB的度数；根据平角等于180°，即可得到∠3的度数。根据两直线平行，同旁内角互补，即可得到∠2的度数。
5．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：若40°的角是顶角，则底角为： （180°﹣40°）=70°，
∴此时另外两个角的度数是70°，70°；
若40°的角是底角，则另一底角为40°，
∴顶角为：180°﹣40°﹣40°=100°，
∴此时另外两个角的度数是100°，40°．
∴另外两个角的度数是：70°、70°或40°、100°．
故答案为：D．
【分析】分情况讨论：若40°的角是顶角；40°的角是底角，再利用三角形内角和定理，可求出结果。
6．【答案】30°
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴
又点D是边BC的中点，
∴
故答案是：30°
【分析】根据△ABC为等边三角形，可得∠BAC=60°，AB=AC；根据等腰三角形三线合一的性质，可得AD为∠BAC的角平分线，可得∠BAD的度数。
7．【答案】130°或90°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，
∴∠B=∠C=40°，
∵点D在BC边上，△ABD为直角三角形，
∴当∠BAD=90°时，则∠ADB=50°，
∴∠ADC=130°，
当∠ADB=90°时，则
∠ADC=90°，
故答案为：130°或90°.
【分析】根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C=40°，根据△ABD为直角三角形分∠BAD=90°和∠ADB=90°两种情况进行解答即可。
8．【答案】15°
【知识点】等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠A=50°，
∴∠ACB=∠ABC= （180°﹣50°）=65°.
∵将△ABC折叠，使点A落在点B处，折痕为DE，∠A=50°，∴∠ABE=∠A=50°.
∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=65°﹣50°=15°．
故答案为：15°.
【分析】根据等腰三角形的性质得出∠ACB和∠ABC的度数，根据折叠可得出∠ABE=∠A，再根据∠CBE=∠ABC﹣∠ABE进行解答即可。
9．【答案】30°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AC=AD，∠CDA=70°，
∴∠ACD=∠ADC=70°，
∴∠A=40°，
∵AC=BC，
∴∠B=∠A=40°，
∴∠DCB=30°．
故答案为：30°.
【分析】在三角形ACD中，根据AC=AD，∠CDA=70°，可得∠A的度数；在△ABC中，根据AC=BC以及∠A的度数，即可求得∠ACB的度数，继而得到∠DCB的度数。
10．【答案】解：∵AB＝AC，∠ABC＝72°，
∴∠ACB＝∠ABC＝72°，
∴∠A＝36°.
∵BD⊥AC，
∴∠ABD＝90°－36°＝54°.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【分析】在△ABC中，根据AB=AC，∠ABC的度数即可求得∠A；在直角三角形BDC中，根据三角形内角和为180°，即可求出∠DBC的度数，从而得到∠ABD的度数。
11．【答案】解：如图，过A作AM⊥BC于点M．
∵AB=AC，
∴∠BAC=2∠BAM，
∵AD=AE，
∴∠D=∠AED，
∴∠BAC=∠D+∠AED=2∠D，
∴∠BAC=2∠BAM=2∠D，
∴∠BAM=∠D，
∴DE∥AM，
∵AM⊥BC，
∴DE⊥BC．
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】 另一种解法：过A作AM⊥BC于点M，根据AB=AC，AM⊥BC，所以可得∠BAM=∠CAM；根据∠BAC为三角形ADE的外角，所以根据AD=AE即可得到∠MAC=∠AED，即根据同位角相等，两直线平行，可得AM∥DE，根据两直线平行，同旁内角互补，即可得到DE⊥BC。
12．【答案】（1）解：∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD.
∴∠A＝180°－2∠ADC.
∵BE＝BC，
∴∠CEB＝∠ECB.
∴∠B＝180°－2∠CEB.
∵∠ACB＝96°，
∴∠A＋∠B＝84°.
∴(180°－2∠ADC)＋(180°－2∠CEB)＝84°.
∴∠CEB＋∠ADC＝138°.
∴∠DCE＝42°
（2）解：∠DCE＝ (∠A＋∠B)
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）在三角形ACD中，根据AD=AC，即可表示出∠A的度数；同理可得∠B的度数；在三角形ACB中，根据三角形的内角和为180°，即可求得∠DCE的度数。
（2）根据在（1）中证明的步骤，可得 ∠DCE＝ (∠A＋∠B) 。
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