高二数学之圆锥曲线培优专题 双曲线 学案

二．双曲线
双曲线的定义 我们把平面内与两个定点 F1，F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于 | F1F2 | )的点的轨
迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
图形
标准方程 x2 y2 2 2
2 2 1(a 0，b 0)
y x
2 2 1(a 0，b 0)a b a b
范围 x ( ， a] [a， ) y R y ( ， a] [a， ) x R
顶点坐标
半轴长
离心率 e c
a
对称性
a、b、c的关系
通径
焦点三角形
与双曲线有关的二级结论：
1. F1、F2 为双曲线的焦点，P 为双曲线上一点，则△PF1F2 为焦点三角形，∠F1PF2= 焦点三角形的面积：
S b
2
PF1F

2
tan
2
x2 y2 b2
2. 已知 A、B 是椭圆 2 2 1上两个不重合的两点，P 为弦 AB 的中点，则有 kOP ka b AB

a2

3. 设圆锥曲线 C 的焦点 F 在 x轴上，过点 F 且斜率为 k的直线 l交曲线 C 于 A、B 两点，若AF FB( 0)，
则 e 1 k 2 | 1 |
1
1
x2 y2 xx yy
4. 过椭圆外一点 P(x0,y0)作椭圆 2 2 1的切线，则切点弦的方程为
0 02 1a b a b2
双曲线基本运算
x2 2
例 1 焦点为(0,6),且与双曲线 y 1有相同的渐近线的双曲线方程是( )
2
x2 y2 y2 x2 2 2 2 2
A. 1 B. 1 y x x yC. 1 D. 1
12 24 12 24 24 12 24 12
x2 2
例 2 双曲线 y 1的顶点到其渐近线的距离等于( )
4
2 4 2 5 4 5
A. B. C. D.
5 5 5 5
x2 y2 5
例 3 双曲线 C： 2 2 1的离心率为 ，则 C 的渐近线方程为( )a b 2
1 1 1
A. y= x B. y= x C. y= x D.y= x
4 3 2
0 x
2 y2 y2 x2
例 4 已知 ,则双曲线 C1： 2 1与 C2： 1的( )4 cos sin 2 sin 2 cos2
A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等
离心率问题
x2 y2 3 x2 y2
例 1 若椭圆 2 2 1的离心率为 ，则双曲线 2 2 1的离心率为( )a b 2 a b
5 5 3 5
A. B. C. D.
4 2 2 4
2
x2 y2
例 2 双曲线 2 2 1的左右焦点分别为 F1、F2，过 F1 作倾斜角为 30°的直线交双曲线右支于 M 点，若 MF2a b
垂直于 x轴，则双曲线的离心率为( )
3
A. 6 B. 3 C. 2 D.
3
例 3 已知 F1、F2 是双曲线的两个焦点，以线段 F1F2 为边作正三角形 MF1F2，若边 MF1的中点在双曲线上，则
双曲线的离心率为( )
3 1
A. 4 2 3 B. 3 1 C. D. 3 1
2
2 2
例 4 设直线 x 3y m 0(m 0) x y与双曲线 2 2 1两条渐近线分别交于点 A、B，若点 P(m,0)满足 PA=PB，a b
则该双曲线的离心率为______
x2 y2
例 5 双曲线 2 2 1的两个焦点为 F1、F2，若 P 为其上一点，且 PF1=2PF2，则双曲线离心率的取值范围是( )a b
A. (1,3) B.(1,3] C.(3,+ ) D.[3,+ )
C x
2
6 F F ： +y 2例 如图， 1、 2是椭圆 1 1与双曲线 C2 的公共焦点，A、B 分别是 C1，C2 在第二、四象限的公4
共点，若四边形 AF1BF2为矩形，则 C2 的离心率为( )
A. 2 B. 3
3 6
C. D.
2 2
3
例 7 已知 F1、F2是两个定点，点 P 是以 F1 和 F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且 PF1⊥PF2，e1,e2
分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有( )
1 1 1 1
A. 2 2 4 B. 2 e e e e2
2
1 2 1 2
C. e21 e
2
2 4 D. e
2
1 e
2
2 2

例 8 已知 F1、F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且∠F1PF2= ，则椭圆和双曲线的离心
3
率的倒数之和的最大值为( )
4 3 2 3
A. B. C.3 D.2
3 3
x2 y2
例 9 已知双曲线 2 2 1的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60°的直线与双曲线的右支有且只一个交点，a b
则此双曲线的离心率的取值范围是( )
A.(1,2] B.(1,2) C.[2,+ ) D.(2,+ )
x2 y2
例 10 斜率为 2 的直线 l 过双曲线 2 2 1的右焦点 F 且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线离心率的a b
取值范围是( )
A.(1,2) B.(1, 3 ) C.(1, 5 ) D.( 5 ,+ )
x2 y2
例 11 F1、F2 是双曲线 C： 2 2 1的两个焦点，P 是 C 上一点，若 PF1+PF2=6a,且△PF1F2的最小内角为 30°，a b
则 C 的离心率为________
4
双曲线有关的最值
y2
例 1 2若点 A 坐标为(2,2),F2是双曲线 x 1的右焦点，点 P 为双曲线的动点，则
3
(1)P 在双曲线右支，则 PA-PF2 的范围是_____________
(2)P 在双曲线左支，则 PA+PF2 的最大值是____________
x2 y2
例 2 已知 F是双曲线 1的左焦点，P是双曲线右支上的动点，若 A(1， 4)，则 | PF | | PA | 的最小值
4 12
是__________．
x2 y2
例 3 2 2已知点 P为双曲线 1右支上的一点，M，N分别是圆 (x 5) y 4 和 (x 5)2 y2 1上的点，
9 16
则 | PM | | PN |的最大值为__________．
多选压轴题
x2 y2
（多选）1．已知 F1，F2 分别为双曲线 2 2 1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点 F2 的直线与双曲线的a b
右支交于 A，B两点，记△AF1F2 的内切圆 O1 的半径为 r1，△BF1F2 的内切圆 O2 的半径为 r2.若双曲线的离
心率 e＝2，则下列说法正确的是（ ）
A．以 O1O2 为直径的圆与直线 AB相切
B．r1r2＝a2
C．O1，O2 在直线 x＝a上
D．r1+r2 的范围是[2a,2 3a)
5
y22
（多选）2．如图，O为坐标原点，F1，F2 分别为双曲线 C： x 2 1的左、右焦点，过双曲线 C右支上一b
点 P作双曲线的切线 l分别交两渐近线于 A、B两点，交 x轴于点 D，则下列结论正确的是（ ）
A．|AB|min＝2b
B．S△AOB＝2S△AOP
C．S△AOB＝2b

D．若存在点 P，使得S PF F 15 ，且F1D 2DF2 ，1 2
6
则双曲线 C的离心率为 2 或
2
x2 y2
（多选）3．已知 F1，F2 分别为双曲线 C： 2 2 1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线 C的渐近线a b
在第一象限部分上的一点，线段 PF2 与双曲线交点为 Q，且|F1P|＝|F1F2|＝2|PF2|，O为坐标原点，则下列结
论正确的是（ ）
2 3
A．|OP|＝2a B．双曲线 C的离心率 e＝
3
12 6 x2 y2
C．|QF1|＝ a D．若△QF1F2 的内心的横坐标为 3，则双曲线 C的方程为 1
3 9 15
6
x2 y2
（多选）4．已知双曲线Γ： 2 2 1（a＞0，b＞0），左焦点为 F，左右顶点分别为 A1、A2，B（0，b），a b
P是Γ右支上一动点，且|PF|+|PB|的最小值为( 3 +2)a，P关于 x轴的对称点为 Q，则下列结论正确的是
（ ）
A．Γ的离心率为 2 B．PA2⊥A1Q
C．sin∠QPA1＝sin∠QA2A1 D．4|PB|≥ 6 |PQ|
x2 y2 15 1 2 3
（多选）5．已知 F1，F2 是双曲线 C: 2 2 1的左、右焦点，A( ， )是 C上一点，若 C的离心率为 ，a b 2 2 3
连结 AF2 交 C于点 B，则（ ）
x2
A 2．C的方程为 y 1
3
B．∠F1AF2＝90°
C．△F1AF2 的周长为 2 5 2
D．△ABF1 的内切圆半径为 5 3
x2 y2
（多选）6．双曲线 C： 1的左、右焦点分别为 F1，F2，过点 F2 的直线与双曲线右支交于 A、B两点，
4 5
△AF1F2 和△BF1F2 内切圆半径分别为 r1 和 r2，则（ ）
A．双曲线 C的渐近线方程为 2x± 5 y＝0
B．△AF1B面积的最小值为 15
C．△AF1F2 和△BF1F2 内切圆圆心的连线与 x轴垂直
D．r1 r2 为定值 1
7
x2 y2
（多选）7．双曲线 C： 2 2 1的左、右焦点分别为 F1，F2，倾斜角为 60°的直线 l过双曲线 C的右焦点a b

F2，与双曲线 C右支交于 A，B两点，且AF2 5F2B，则（ ）
A．双曲线 C的离心率为 2
B．△AF1F2 与△BF1F2 内切圆半径比为 3：1
C．△AF1F2 与△BF1F2 周长之比为 4：1
D．△AF1F2 与△BF1F2 面积之比为 5：1
x2 y2
（多选）8．若双曲线 C： 1，F1，F2 分别为左、右焦点，设点 P在双曲线上且在第一象限的动点，
4 5
点 I为△PF1F2 的内心，点 G为△PF1F2 的重心，则下列说法正确的是（ ）
3
A．双曲线 C的离心率为
2
B．点 I的运动轨迹为双曲线的一部分
2
C．若|PF1|＝2|PF2|，PI xPF1 yPF2 ，则 y﹣x＝ 9
D．存在点 P，使得 IG∥F1F2
8
参考答案
双曲线基本运算
1. B 2.C 3.C 4.C
离心率问题
5
1. B 2.B 3.D 4. 5.B 6.D 7.B 8.A 9.C 10.D 11. 3
2
双曲线有关的最值
1. (1)[-1,2] (2)2 5 +4 2.9 3.9
多选压轴
1.ABC 2.AB 3.ACD 4.BCD 5.ABD 6.BCD 7.BD 8.ACD
9