2023-2024 学年第一学期联片办学期中考试 形中，正确的是（ ）
高二年级数学学科试卷
考试时间：120 分钟；满分：150 分 A． B．
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第 I卷（选择题）
一、单选题：本题共 8个小题，每小题 5分，共 40分. C． D．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1 2 3 4 5 n 1 10．在数列 7， ， ， ，…， ，…中， 39是它的（ ）
1
11 15 19 4n 3 6．已知数列 an 满足 an 1 a 2 a1 a ，若 1 ，则 2023 （ ）n
A．第 8项 B．第 9项 C．第 10项 D．第 11项
A．2 B 1． 1 C． D． 2
2 1 1 1 1 1
2
．数列 ， 2 6， ，
12 20
， 30，……的一个通项公式为（ ）
7．在等差数列 an 中，其前n项和为 Sn，若a5 ,a7是方程 x2 10x 16 0的两个根，那么 S11
A 1
n 1 n 1
． B．n n 1 n n 1 的值为（ ）
A．88 B． 88 C．110 D． 55
1 n 1 n 1C． D．n 1 n 2 n 1 n 2 8．已知随机事件 A,B,C中，A与B互斥，B与C对立，且P(A) 0.3,P(C) 0.6，则P A B （ ）
3．抛掷一枚质地均匀的骰子（骰子的六个面上分别标有 1，2，3，4，5，6个点）一次， A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.9
观察掷出向上的点数，设事件 A为掷出向上为小于 5的偶数点，事件 B为掷出向上为 3 二、多选题：本题共 4个小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
点，则 P A B （ ） 9．过点 A 2,3 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（ ）
A 1． 3 B
2 1 5
． 3 C． 2 D． 6 A．3x 2y 0 B． 2x 3y 0 C． x y 5 D． x y 1
4．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问 10．下列结论正确的是（ ）
中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转 A．若 an 为等比数列， Sn是 an 的前n项和，则 Sn， S2n Sn， S3n S2n是等比数列
多七人，每人日支米三升.”其大意为“官府陆续派遣 1864人前往修筑堤坝，第一天派出
B．若 an 为等差数列， Sn是 an 的前 n项和，则 Sn， S2n Sn， S3n S2n是等差数列
64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多 7人，修筑堤坝的每人每天分发大米 3
升.” m n p q在该问题中前 7天共分发多少升大米？（ ） C．若 an 为等差数列，且 m，n，p，q均是正数，则“ ”是“ am an ap aq ”
A．1170 B．1440 C．1785 D．1772 的充要条件
a
5 n 1．已知直线 l 的方程是 y mx n， l 的方程是 y nx m（mn 0，m n），则下列各图 D．满足 q（ n N*1 2 q 0 aa 且 ）的数列 n 为等比数列n
高二年级数学共 4页，第 1页 ◎ 高二年级数学共 4页，第 2页
{#{QQABCYiEggAAAgAAAAhCQwngCECQkAGCCIoGBFAEsAIBQRFABAA=}#}
11．口袋里装有 1红，2白，3黄共 6个形状大小完全相同的小球，从中任取 2球，事 18．（12 1分）已知数列 an 的前 n项和为 Sn n2 n .2
件 A “取出的两球同色”，B “取出的 2 球中至少有一个黄球”，C “取出的 2球中
(1)求 S4，a4；
至少有一个白球”，D=“取出两个球不同色”， E “取出的 2球中至多有一个白球”.
下列判断中正确的是（ ） (2)求这个数列的通项公式 an .
A．事件A与D为对立事件 B．事件 B与C是互斥事件 19．（12分）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程.
C．事件C与 E为对立事件 D．事件P C E 1 (1)求经过 A 1,5 、B 2,1 两点的直线方程；
12．数列 a n S S n2 7n (2)求在 x y的前 项和为 ，已知 ，则（ ） 轴、 轴上的截距分别是 3、 1的直线方程；n n n
(3)求经过点Q 1,2a A 且斜率为-2的直线方程．． n 是递增数列
bn
B a 12 20．（12分）设数列
bn 的各项都为正数，且bn 1 b 1．． 10 n
C．当n 4时， an 0
1
(1)证明数列 b 为等差数列； n
D．当n 3或 4时， Sn取得最大值
(2)设b1 1，求数列 bnbn 1 的前n项和 Sn．
第 II卷（非选择题）
21 3 a．（12分）直线 l的方程为 y ax .
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分. 5
l
13．直线 y 2x 1 (1)证明：直线 恒经过第一象限；的一个法向量n .
1 (2)若直线 l一定经过第二象限，求 a的取值范围．14．甲、乙两名篮球运动员进行投篮比赛，甲投篮命中的概率为 3，乙投篮命中的概率
22．（12分）已知等差数列 an 满足 a2 4，2a4 a5 7，公比不为 1的等比数列 bn 满足1
为 ，在每次投篮中，甲和乙投篮是否命中相互没有影响．甲乙各投篮一次，恰好有 1
4 b3 4，b4 b5 8 b1 b2 .
人命中的概率为 ．（结果用分数表示）
15 (1)求
an 与 bn 的通项公式；
．在正项等比数列 an 中，若 a4a8 2，则 log2 a2 2log2 a6 log2 a10 ．
16 a (2)设
cn anbn，求 cn 的前n项和 Sn .
．已知 n 数列满足 a1 2， a n 1n 1 2an 2 ，则数列 an 的通项公式为 ．
四、解答题：本题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）袋中有 12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得
1 5 5
到红球的概率是 3，黑球或黄球的概率是 ，绿球或黄球的概率也是 .求从中任取一12 12
球，得到黑球、黄球和绿球的概率分别是多少？
高二年级数学共 4页，第 3页 ◎ 高二年级数学共 4页，第 4页
{#{QQABCYiEggAAAgAAAAhCQwngCECQkAGCCIoGBFAEsAIBQRFABAA=}#}2023-2024 学年度高中数学期中考试卷-参考答案
1．B
【分析】根据题意，由数列的通项公式，即可得到结果.
n 1 n 1 10
【详解】由题意可得，数列的通项公式为 an ，令 ，解得n 9 .4n 3 4n 3 39
故选：B
2．B
【分析】根据所给数列前几项，寻找规律，代入选项检验即可.
【详解】由数列的前几项可知，分母为相邻两个自然数的乘积，并且正负相间，代入验证知，
故选：B
3．C
【分析】根据事件的运算结合古典概型运算求解.
【详解】由题意可知：样本空间 1,2,3,4,5,6 , A 2,4 ,B 3 ，
则 A B 2,3,4 ，可得 n 6,n AU B 3，
n AU B 1
所以 P AU B n 2 .
故选：C.
4．C
【分析】建立等差数列模型，根据等差数列求和公式可求得结果.
【详解】由题意得，每天分发的大米升数构成等差数列 an ，设公差为d ，则 d 7 3 21，
记第一天共分发大米为 a1 64 3 192 (升)，
7 (7 1)
则前 7天共分发大米7a1 d 7a1 21d 7 192 21 21 1785 （升）.2
故选：C.
5．D
【分析】有条件知，两直线的斜率均存在且不为 0，写出它们的斜截式方程后再进行判断．
【详解】解： mn 0， 直线 l1与直线 l2的斜率均存在
直线 l1的斜截式方程为 y mx n；直线 l2的斜截式方程为 y nx m
答案第 1页，共 9页
{#{QQABCYiEggAAAgAAAAhCQwngCECQkAGCCIoGBFAEsAIBQRFABAA=}#}
对于 A选项，根据直线 l1的图象可知m 0，且 n 0，因此直线 l2的斜率应小于 0，直线 l2的
纵截距应小于 0，故 A图象不符合；
对于 B选项，根据直线 l1的图象可知m 0，且 n 0，因此直线 l2的斜率应大于 0，在 y轴
上的截距应小于 0，故 B图象不符合；
对于 C选项，根据直线 l1的图象可知m 0，且 n 0，因此直线 l y2的斜率应大于 0，在 轴
上的截距应大于 0，故 C图象不符合；
对于 D选项，根据直线 l1的图象可知m 0，且 n 0，因此直线 l2的斜率应大于 0，在 y轴
上的截距应大于 0，故 D图象符合．
故选：D．
6．A
【分析】从特殊到一般的思想方法，求出几项的值寻找规律.
1
【详解】因为 an 1 ， a1 21 a ，n
a 1所以 2 = 1,a
1
3 =
1 ,a 14 =21 a1 1 a2 2 1 a
；
3
所以 an 的周期为 3，所以 a2023 a1 2 .
故选：A.
7．D
【分析】由根与系数关系得 a5 a7 10，再根据等差数列前 n项和公式、下标和性质求 S11 .
【详解】由题设a5 a7 10 S
11(a1 a11) 11(a5 a7 )，而 11 55 .2 2
故选：D
8．C
【分析】由对立事件概率关系得到 B发生的概率，再由互斥事件的概率计算公式即可..
【详解】因为 P(C) 0.6，事件 B与C对立，
所以 P(B) 0.4，
又P(A) 0.3，A与 B互斥，
所以 P A B P(A) P(B) 0.3 0.4 0.7，
故选：C.
答案第 2页，共 9页
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9．AC
【分析】分截距为零和不为零两种情况讨论即可.
3
【详解】当截距为 0时，过点 A 2,3 和原点，直线方程为 y x，即3x 2y 0，
2
x y 1 2 3当截距不为 0时，设直线方程为 ，可得 1，
a a a a
∴a 5，所以直线方程为 x y 5 ,
故选：AC.
10．BD
【分析】根据等差数列前n项和性质及等比数列定义判断，利用特例判定其余错误选项.
【详解】若 an 为等比数列，设公比为 q,q 0， Sn是 an 的前 n项和，
n
设 an 1 ，当 n 2时， S2 0， S4 S2 0， S6 S4 0，
Sn， S2n Sn， S3n S2n不是等比数列，所以 A选项错误；
若 an 为等差数列， Sn是 an 的前 n项和，设公差为d ，
则 Sn a1 a2 an，
S2n Sn an 1 an 2 an n a1 a2 an n2d Sn n2d ，
S3n S2n a2n 1 a
2
2n 2 a2n n an 1 an 2 a2n n n d S S n22n n d，
所以 Sn， S2n Sn， S3n S2n是等差数列，所以 B选项正确；
an 为等差数列，考虑 an 1, a1 a2 a3 a4，1 2 3 4，所以 C选项错误；
an 1
根据等比数列定义,数列 an ， qa （ n N
*且 q 0）的数列 an 为等比数列，所以 D
n
选项正确.
故选：BD
11．AD
【分析】根据对立事件、互斥事件的知识确定正确答案.
【详解】设 是样本空间，
A选项，由于 A D , A D ，所以A与D是对立事件，A选项正确.
B选项，由于B C “取出的 2球中，一个黄球一个白球”，
所以 B与C不是互斥事件，B选项错误.
答案第 3页，共 9页
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C选项，由于C E “取出的 2球中，恰好有1个白球”，
所以C与 E不是对立事件，C选项错误.
D选项，由于C E ，所以 P C E 1，所以 D选项正确.
故选：AD
12．BCD
S ,n 1
【分析】A选项，根据an
1
S S , n 2求出通项公式，进而得到
an 1 an 0， a 单调
n n 1
n
递减，A错误；B选项，由通项公式直接求解即可；C选项，解不等式即可；D选项，根据
二次函数的开口方向和对称轴可得 D正确.
【详解】A选项，当 n 2时， an Sn Sn 1 2n 8，
又a1 S1 6 2 1 8，所以 an 2n 8，
因为 an 1 an 2 n 1 8 2n 8 2 0，
则 an 是递减数列，故 A错误；
B选项，由 an 2n 8可得a10 12，故 B正确；
C选项，令 an 2n 8 0，解得 n 4，故 C正确；
7
D选项，因为 y x2 7x的对称轴为 x ，开口向下，
2
又 n N ，所以当 n 3或 4时， Sn取得最大值，故 D正确.
故选：BCD.
13． ( 2,1)（答案不唯一）
【分析】根据给定直线方程求出其方向向量，再由法向量的意义求解作答.
【详解】直线 y 2x 1的方向向量为 a (1,2)，而 n a 0，
r
所以直线 y 2x 1的一个法向量 n ( 2,1) .
故答案为： ( 2,1)
5
14．
12
【分析】利用独立事件乘法公式及互斥事件的概率加法公式求恰好有 1人命中的概率.
【详解】记“甲投篮命中”为A事件，“乙投篮命中”为 B事件,
答案第 4页，共 9页
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则P(A)
1 1 2 3
，P(B) ， P(A) ， P(B) ，
3 4 3 4
因为甲和乙投篮是否命中相互没有影响，所以A与 B互为独立事件，
那么，恰好有 1人命中的概率 P P(AB) P(AB) 1 3 2 1 5 .
3 4 3 4 12
5
故答案为： .
12
15． 2
2
【分析】根据等比数列的性质，得到 a6 a2a10 a4a8 2，结合对数的运算性质，即可求解.
2
【详解】在正项等比数列 an 中，因为 a4a8 2，可得a6 a2a10 a4a8 2，
则 log2 a2 2log
2
2 a6 log2 a10 log2 a2a10 log2 a6 log2 2 log2 2 2.
故答案为： 2 .
16． an n 2
n
a a a
【分析】由已知可得 n 1 nn 1 n 1，利用
n
n 为等差数列求 a 的通项公式.2 2 2 n
n 1 a a
【详解】由 a 2a 2 得 n 1 nn 1 n 2n 1
1，
2n
a
故 n
n 为等差数列，公差为 1，首项为 1， 2
a
所以 nn 1 n 1 n2
所以 an n 2
n .
故答案为： a n 2nn
1 1 1
17．得到黑球、黄球和绿球的概率分别是 ， ，
4 6 4
【分析】设出事件，由已知条件得出事件的概率，根据对立事件以及互斥事件的概率性质，
即可得出答案.
【详解】从袋中任取一球，记事件“得到红球”，“得到黑球”，“得到黄球”，“得到绿球”分别
为 A，B，C，D，则事件 A，B，C，D彼此互斥.
1 5 5
由已知可得， P A ， P B C P B P C ， P C D P C P D ，
3 12 12
则P A 1 P A 2 ，即 P B C D P B P C P D 2 ，3 3
2 5 1 5 1 1 5 1 1
所以 P D ， P C ， P B .
3 12 4 12 4 6 12 6 4
答案第 5页，共 9页
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1 1 1
故从中任取一球，得到黑球、黄球和绿球的概率分别是 ， ， .
4 6 4
15
18．(1) S4 18， a4 ；2
(2)an 2n
1
.
2
【分析】（1） n 4代入求 S4，由 a4 S4 S3可得 a4；
（2）由 an 与 Sn的关系求数列通项公式.
2 1
【详解】（1）因为数列 an 的前 n项和为 Sn n n，2
3 15
所以 S4 16 2 18，则 a4 S4 S3 18 9 ；
2 2
1 1 1
（2）当 n 2 2 2时， an Sn Sn 1 n n n 1 n 1 2 n ，2 2 2
当 n 1时， a
3
1 S1 也满足上式，2
1
故数列的通项公式 an 2n .2
19．(1)4x 3y 11 0
(2) x 3y 3 0
(3) 2x y 0
【分析】（1）由两点式方程表示出所求直线的方程，化简为一般式方程即可得出答案.
（2）由截距式方程表示出所求直线的方程，化简为一般式方程即可得出答案.
（3）由点斜式方程表示出所求直线的方程，化简为一般式方程即可得出答案.
y 5 x 1
【详解】（1）由两点式方程，可知所求直线的方程为 ，
1 5 2 1
化为一般式方程为 4x 3y 11 0 .
x y
（2）由截距式方程，可知所求直线的方程为 1，
3 1
化为一般式方程为 x 3y 3 0 .
（3）因为经过点Q( 1, 2)，由点斜式方程可得： y 2 2 x 1 ，
化为一般式方程为 2x y 0 .
答案第 6页，共 9页
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20．(1)证明见解析
n
(2) Sn n 1
bn
【分析】（1）将bn 1 b 1两边取倒数，再结合等差数列的定义即可得证；n
（2）利用裂项相消法求解即可.
bn
【详解】（1）由数列 bn 的各项都为正数，且bn 1 b ，n 1
1 bn 1 1 1 1 1得 b ，即
1，
n 1 bn bn bn 1 bn
1
所以数列 是以1为公差的等差数列；
bn
1 1
（2） 1b ，由（1）得
n
1 b
，
n
1 b b 1 1 1所以b n ，则 n n 1 ，n n n 1 n n 1
S 1 1 1 1 1 1 n所以 n 1 .2 2 3 n n 1 n 1 n 1
21．(1)证明见解析
(2)a 3
【分析】（1）可利用直线经过的定点进行说明；
（2）结合（1）的结论，只要直线的 y轴上的截距大于 0即可.
3 a 1 3 1 3
【详解】（1） y ax a x ，即直线一定过定点 , ，该点在第一象限，于5 5 5 5 5
是直线 l一定经过第一象限.
1 3
（2）由于直线经过第一象限的定点 , ，只要该直线在 y轴上的截距大于 0即可，而
5 5
3 a
y ax 3 a y 3 a经过 轴上的点 0, ，则 0，解得 a 35 5 5
答案第 7页，共 9页
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22．(1)a 3n 2,b 2n 1n n ,n N
*
(2) S 5 3n 5 2n ,n N*n
【分析】（1）根据已知条件列出方程组，分别求出等差数列和等比数列的首项、公差或公比，
根据定义写出通项公式即可.
（2）由错位相减法结合等比数列求和公式法进行运算即可求解.
【详解】（1）由题意不妨设等差数列、等比数列的公差、公比分别为 d ,q，
a1 d 4 b q21 4
所以有
2 a1 3d a1 4d 7
和 3 ，
b1q 1 q 8b1 1 q
a1 1 b1 1
注意到b1 0, q 1，所以分别解得 和 ，
d 3
q 2
因此由定义可知 an 与 bn 的通项公式分别为
an 1 3 n 1 3n 2,b 1 2n 1 2n 1n ,n N* .
（2）由（1）可知 an 3n 2,b 2
n 1 *
n ,n N ，
n 1 *
所以由题意有 cn anbn 3n 2 2 ,n N ，
当 n 2,n N* S 1 20 4 21 3n 5 2n 2 3n 2 2n 1时，有 n ，
2S 1 21 4 22 3n 5 2n 1 3n 2 2n所以有 n ，
答案第 8页，共 9页
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S 1 3 21 22 2 n 1 3n 2 2 n 2
1 1 2n 1
以上两式作差得 n 1 3 3n 2 2n
1 2
1 6 3 2n 3n 2 2n
5 3n 5 2n ，
当 n 1时，有 S1 5 2 2 1 1 1 a1b1 c1，
综上所述： cn 的前 n项和为 Sn 5 3n 5 2n ,n N* .
答案第 9页，共 9页
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