2017-2018学年数学沪科版九年级下册24.4直线与圆的位置关系 第2课时 切线的性质和判定 同步训练
一、2017-2018学年数学沪科版九年级下册24.4直线与圆的位置关系 第2课时 切线的性质和判定 同步训练
1．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，连接OC，AC，若∠D=50°，则∠A的度数是（ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
2．如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C，D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．如果∠A=34°，那么∠C等于（ ）
A．28° B．33° C．34° D．56°
3．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，PA=8，OA=6，sin∠APO的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径．若∠ABT=40°，则∠ATB= .
5．如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，点C在⊙O上，BC∥OD，AB=2，OD=3，则BC的长为 .
6．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠CDB=30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于E，则sinE的值为 .
7．如图，已知点O为Rt△ABC斜边AC上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点E，与AC相交于点D，连接AE．
求证：AE平分∠CAB；
8．已知⊙O中，AC为直径，MA、MB分别切⊙O于点A、B．
（1）如图①，若∠BAC=23°，求∠AMB的大小；
（2）如图②，过点B作BD∥MA，交AC于点E，交⊙O于点D，若BD=MA，求∠AMB的大小．
9．过圆上一点可以作圆的 条切线；过圆外一点可以作圆的 条切线；过圆内一点
的圆的切线 ．
10．以三角形一边为直径的圆恰好与另一边相切，则此三角形是 ．
11．下列直线是圆的切线的是（ ）
A．与圆有公共点的直线 B．到圆心的距离等于半径的直线
C．垂直于圆的半径的直线 D．过圆直径外端点的直线
12．OA平分∠BOC，P是OA上任意一点（O除外），若以P为圆心的⊙P与OC相切，那么⊙P与OB的位置是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切
13．△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，以B为圆心，5为半径的圆与直线AC的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不能确定
14．菱形的对角线相交于O，以O为圆心，以点O到菱形一边的距离为半径的⊙O与菱形其它三边的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定
15．平面直角坐标系中，点A（3，4），以点A为圆心，5为半径的圆与直线y=－x的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切
C．相交 D．以上都有可能
16．如图，AB是半径⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，且AC=CD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若OA=2，求AC的长．
17．如图，AB是半圆O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A．
（1）求证：BC是半圆O的切线；
（2）若OC∥AD，OC交BD于E，BD=6，CE=4，求AD的长．
18．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，过点B作BE∥CD，交AC的延长线于点E，连结BC．
（1）求证：BE为⊙O的切线；
（2）如果CD=6，tan∠BCD= ，求⊙O的直径．
19．如图，已知：△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB= ，∠D=30°．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AC=6，求AD的长．
20．已知：如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，OC=BC，AC= OB．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．
21．如图，P为⊙O外一点，PO交⊙O于C，过⊙O上一点A作弦AB⊥PO于E，若∠EAC=∠CAP，求证：PA是⊙O的切线．
22．如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连结OG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．
（1）求证：BF=EF；
（2）求证：PA是⊙O的切线；
（3）若FG=BF，且⊙O的半径长为3 ，求BD和FG的长度．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵CD是圆O的切线
∴OC⊥CD，及∠OCD=90°
∴∠COD=90°-50°=40°
∴∠A=∠COD=×40°=20°
故答案为：A
【分析】利用切线的性质及三角形内角和定理求出∠COD的度数，再由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可求出∠A的度数。
2．【答案】A
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连结OB，
∵AB与O相切
∴OB⊥AB
∴∠ABO=90°
∴∠AOB=90° ∠A=90° 34°=56°
∵弧BD=弧BD
∴∠C=∠AOB
∴∠C=×56°=28°
故答案为：A
【分析】由切线的性质及三角形内角和定理，求出∠AOB的度数，再根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，就可求出∠C的度数。
3．【答案】B
【知识点】切线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵PA为⊙O的切线
∴OA⊥AP
∴∠OAP=90°
∴OP=
∴sin∠APO=
故答案为：B
【分析】由切线的性质，可证得△AOP是直角三角形，利用勾股定理求出OP的长，然后利用锐角三角函数的定义，求出sin∠APO的值。
4．【答案】50°
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径
∴AB⊥AT
∴∠BAT=90°
∴∠ATB=90°-∠ABT=90°-40°=50°
故答案为：50°
【分析】由切线的性质可求得∠BAT=90°，再根据直角三角形两锐角互余，即可解答。
5．【答案】
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，AD是⊙O的切线
∴∠C=∠OAD=90°
∵BC∥OD
∴∠B=∠AOD
∴cos∠B=cos∠AOD
∴
解之：BC=
故答案为：
【分析】由BC∥OD，可得出∠B=∠AOD，进而可得出cos∠B=cos∠AOD，建立方程求解即可。
6．【答案】
【知识点】圆周角定理；切线的性质；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】连接OC
∵CE是圆O的切线
∴OC⊥CE
∴∠OCE=90°
∵弧CB=弧CB，∠CDB=30°
∴∠COE=2∠CDB=2×30°=60°
∴∠E=90°-∠COE=30°
∴sin∠E=sin30°=
【分析】根据圆的切线的性质可证得△OCE是直角三角形，再由同弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2倍，求出∠COE的度数，就可求出∠E的度数，就可解答。
7．【答案】证明：连接OE
∵OE=OA
∴∠1=∠OEA
∵BC是圆O的切线
∴OE⊥BC
∵∠B=90°
∴AB⊥BC
∴OE∥AB
∴∠OEA=∠BAE
∴∠1=∠BAE
∴AE平分∠CAB。
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】利用切线的性质可得出OE⊥BC，再由已知Rt△ABC，去证明OE∥AB，由平行线的性质及等腰三角形的性质，再证明∠OEA=∠BAE，∠1=∠OEA，就可证得结论。
8．【答案】（1）解：∵MA、MB分别切⊙O于点A、B．
∴AM=BM，OA⊥AM
∴∠MBA=∠MAB
∴∠BAC+∠MAB=90°
∵∠BAC=23°
∴∠MBA=∠MAB=90°-23°=67°
∴∠AMB=180°-2×67°=46°
（2）解：连接AB、AD
BD∥AM，DB=AM，
∴四边形BMAD是平行四边形，
∴BM=AD，
∵MA切⊙O于A，
∴AC⊥AM，
∵BD∥AM，
∴BD⊥AC，
∴BE=DE，
∴AC垂直平分BD
∴AB=AD=BM，
∵MA、MB分别切⊙O于A. B，
∴MA=MB，
∴BM=MA=AB，
∴△BMA是等边三角形，
∴∠AMB=60°
【知识点】垂径定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）利用切线长定理及切线的性质，可得出AM=BM，OA⊥AM，可推出∠MBA=∠MAB，∠BAC+∠MAB=90°，结合已知求出∠BAM的度数，从而求出∠AMB的度数。
（2）由BD∥AM，DB=AM，证明四边形BMAD是平行四边形，再利用垂径定理证明AB=AD=BM，然后证明△BMA是等边三角形，就可求得结果。
9．【答案】1；2；0
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：过圆上一点可以作圆的1条切线；过圆外一点可以作圆的2条切线；过圆内的一点的切线有0条；
故答案为：1、2、0
【分析】由切线的定义即可直接写出答案。
10．【答案】直角三角形
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
∵AB是直径，AC是切线，
∴AB⊥AC，
∴△ABC是直角三角形。
故选B.
【分析】根据切线的性质定理得此三角形的两边互相垂直，可知它是一个直角三角形。
11．【答案】B
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：A、与圆有公共点的直线 ，可能与圆相交，也可能与圆相切，故A不符合题意；
B、到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线，故B符合题意；
C、垂直于圆的半径的直线，可能与圆相交，也可能与圆相切，故C不符合题意；
D、过圆直径外端点的直线，可能与圆相交，也可能与圆相切，故D不符合题意；
【分析】利用圆的切线的定义对各选项逐一判断。
12．【答案】B
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：如图，
设⊙P与直线OC相切于点E，
连结PE，则PE⊥OC，
过P作PD⊥OB于D，
∵OP是⊙P的角平分线，
∴PE=PD，
∵PD是半径
∴⊙P与直线OB相切.
故答案为：B
【分析】根据题意画出图形，利用角平分线的性质，可证得PE=PD，再由切线的判定定理，可证得结论。
13．【答案】A
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：如图
∵△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，
∴BC=
∵以B为圆心，5为半径的圆
∴BC=r
∴直线AC与以B为圆心，5为半径的圆相切
故答案为：A
【分析】利用勾股定理求出BC的长，再根据切线的判定，可得出结果。
14．【答案】C
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：如图
过点O作OE⊥AB，OF⊥BC
∵菱形ABCD
∴BD平分∠ABC
∴OE=OF
同理可证点O到菱形各边的距离都相等
∴以点O到菱形一边的距离为半径的⊙O与菱形其它三边的位置关系是相切，
故答案为：C
【分析】利用菱形的性质及角平分线的性质，可证得菱形的对角线交点O到菱形各边的距离都相等，即可证得结论。
15．【答案】C
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：如图
∵点A（3，4）
∴OA=
点A到直线y=-x的距离为线段AB的长
∴AB＜5
∴以点A为圆心，5为半径的圆与直线y=－x的位置关系是相交
故答案为：C
【分析】画出图形，根据勾股定理求出AO的长，再根据垂线段最短，可得出AB＜5，从而可判断出直线y=-x与圆A的位置关系。
16．【答案】（1）证明：连接OC
∵弦AC与AB成30°角，且AC=CD．
∴∠A=∠D=30°
∵OA=OC
∴∠ACO=∠A=30°
∴∠COD=∠A+∠ACO=30°+30°=60°
∴∠OCD=180°-60°-30°=90°
即OC⊥CD
∴CD是⊙O的切线
（2）解：连接CB
∵∠COD=60°，OC=OB
∴△OCB是等边三角形
∴OA=OB=BC=2，∠CBA=60°
∵AB是圆O的直径
∴∠ACB=90°
在Rt△ABC中，BC=2，∠CBA=60°
∴tan∠CBA=
∴AC=2tan60°=
∴AC的长为。
【知识点】圆周角定理；切线的判定；解直角三角形
【解析】【分析】（1）要证CD是⊙O的切线，连半径，证垂直（OC⊥CD），只需由已知条件分别求出∠D和∠COD的度数，就可证得结论。
（2）连接CB，利用圆周角定理，可证得△ABC是直角三角形，再证明△OCB是等边三角形，就可求出CB、AB的长，利用解直角三角形或勾股定理，求出AC的长。
17．【答案】（1）证明：∵AB是半圆O的直径
∴∠D=90°
∴∠A+∠DBA=90°
∵∠DBC=∠A
∴∠DBC+∠DBA=90°
∴BC⊥AB
∴BC是半圆O的切线
（2）解：∠BEC=∠D=90 ，
∵BD⊥AD，BD=6，
∴BE=DE=3，
∵∠DBC=∠A，
∴△BCE∽△BAD，
∴，即
∴AD=4.5
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）若证明BC是半圆O的切线，利用切线的判定定理，即证明AB⊥BC即可。
（2）由OC∥AD，可得出∠BEC=∠D=90°，再证明△BCE∽△BAD，利用相似三角形的性质即可求出AD的长。
18．【答案】（1）证明：∵CD⊥AB，BE∥CD
∴BE⊥AB
∴BE为⊙O的切线
（2）解：∵CD⊥AB，CD=6
∴CM=CD=3
在Rt△BCM中，tan∠BCD=
∴
解之：BM=
∵CD⊥AB
∴弧BC=弧BD
∴∠BCD=∠A
∴tan∠A=
解之：AM=6
∴圆O的直径为：AM+BM=6+=7.5
【知识点】垂径定理；圆周角定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）由CD⊥AB，BE∥CD，易证BE⊥AB，就可证得结论。
（2）利用垂径定理求出CM的长，根据同弧所对的圆周角相等，得出∠BCD=∠A，根据锐角三角函数的定义，分别求出BM、AM的长，就可求出圆的直径。
19．【答案】（1）证明：如图，连接OA
∵sinB=
∴∠B=30°
∵∠AOC=2∠B=60°
∵∠D=30°
∴∠OAD=180° ∠D ∠AOD=90°
∴OA⊥AD
∴AD是圆O的切线
（2）解：∵OA=OC，∠AOC=60°
∴△AOC是等边三角形，
∴OA=AC=6，
∵∠OAD=90°，∠D=30°
∴tan∠D=tan30°=
∴
解之：AD=
【知识点】圆周角定理；切线的判定；解直角三角形
【解析】【分析】（1）要证明AD是圆O的切线，连接OA，只要证明∠OAD=90°。利用特殊角的三角函数值，求出∠B的度数，再利用圆周角定理求出∠AOC及∠ D的度数，即可证得结论。
（2）先证明△AOC是等边三角形，求出OA的长，再利解直角三角形求出AD的长。
20．【答案】（1）证明：如图，连接OA
∵OC=BC，AC=OB
∴OC=BC=AC=OA
∴△ACO是等边三角形
∴∠O=∠OCA=60°
∵AC=BC
∴∠CAB=∠B
∵∠OCA=∠CAB+∠B=2∠B
∴∠B=30°
∴∠OAC=60°
∴∠OAB=∠OAC+∠CAB=90°
即OA⊥AB
∴AB是O的切线
（2）解：作AE⊥CD于点E
∵∠O=60°
∴∠D=∠O=30°
∵∠ACD=45°，AC=OC=2，
∴在Rt△ACE中，CE=AE=
∵∠D=30°
∴AD=2AE=
∴DE=AE=
∴CD=DE+CE=
【知识点】圆周角定理；切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）要证AB是⊙O的切线，连接OA，只需证明OA⊥AB。先证△ACO是等边三角形，得出∠OAC的度数，再求出∠CAB的度数，就可求得∠OAB的度数，从而可证得结论。
（2）作AE⊥CD于点E，利用圆周角定理求出∠D的度数，再利用解直角三角形就可求出结果。
21．【答案】证明：连接OA
∵OA=OC
∴∠OCA=∠OAC
∵AB⊥PO
∴∠AEC=90°
∴∠OCA+∠BAC=90°
∵∠EAC=∠CAP
∴∠OAC+∠CAP=90°
∴OA⊥AP
∴PA是⊙O的切线．
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】要证PA是⊙O的切线，就需连接OA，证明OA⊥AP。利用等腰三角形的性质证明∠OCA=∠OAC，再根据垂直的定义及∠EAC=∠CAP，去证明∠OAC+∠CAP=90°，即可证得结论。
22．【答案】（1）证明：∵BC是O的直径，BE是圆O的切线，
∴EB⊥BC.
又∵AD⊥BC
∴AD∥BE
∵△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC
∴
∴
∵G是AD的中点
∴DG=AG
∴BF=EF
（2）证明：连接AO，AB，
∵BC是O的直径，
∴∠BAC=90°.
在Rt△BAE中，F是斜边BE的中点，
∴AF=FB=EF
∴∠FBA=∠FAB
又∵OA=OB
∴∠ABO=∠BAO
∵BE是O的切线
∴∠EBO=90°
∵∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°
∴OA⊥PA
∴PA是O的切线
（3）解：过点F作FH⊥AD于点H，
∵BD⊥AD，FH⊥AD
∴FH∥BC
由(2)，可知∠FBA=∠BAF
∴BF=AF
BF=FG
∴AF=FG
∴△AFG是等腰三角形
∵FH⊥AD
∴AH=GH
∵DG=AG
∴DG=2HG
即
∵FH∥BD，BF∥AD，∠FBD=90°
∴四边形BDHF是矩形，BD=FH
∵FH∥BC
∴△HFG∽△DCG，
∴
∴
∵O的半径长为
∴BC=
∴
解之：BD=
∴BD=FH=
∵
∴CF=3FG.
在Rt△FBC中，
∵CF=3FG，BF=FG，
∴CF2=BF2+BC2
∴(3FG)2=FG2+()2
解之：FG=3(取正值)
∴FG=3
【知识点】切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据切线判定可证得EB⊥BC，由AD⊥BC，证明AD∥BE，利用相似三角形的判定可得出△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC，由G是AD的中点，找中间比就可得出结论。
（2）要证PA是 O的切线，就是要证明∠FAO=90°，连接AO，AB，根据第1的结论和BE是圆O的切线和直角三角形的性质，就可得出结论。
（3）过点F作FH⊥AD于点H，根据前两问的结论，利用三角形的相似性和勾股定理，可以求出BD和FG的长度。
1 / 12017-2018学年数学沪科版九年级下册24.4直线与圆的位置关系 第2课时 切线的性质和判定 同步训练
一、2017-2018学年数学沪科版九年级下册24.4直线与圆的位置关系 第2课时 切线的性质和判定 同步训练
1．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，连接OC，AC，若∠D=50°，则∠A的度数是（ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
【答案】A
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵CD是圆O的切线
∴OC⊥CD，及∠OCD=90°
∴∠COD=90°-50°=40°
∴∠A=∠COD=×40°=20°
故答案为：A
【分析】利用切线的性质及三角形内角和定理求出∠COD的度数，再由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可求出∠A的度数。
2．如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C，D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．如果∠A=34°，那么∠C等于（ ）
A．28° B．33° C．34° D．56°
【答案】A
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连结OB，
∵AB与O相切
∴OB⊥AB
∴∠ABO=90°
∴∠AOB=90° ∠A=90° 34°=56°
∵弧BD=弧BD
∴∠C=∠AOB
∴∠C=×56°=28°
故答案为：A
【分析】由切线的性质及三角形内角和定理，求出∠AOB的度数，再根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，就可求出∠C的度数。
3．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，PA=8，OA=6，sin∠APO的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】切线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵PA为⊙O的切线
∴OA⊥AP
∴∠OAP=90°
∴OP=
∴sin∠APO=
故答案为：B
【分析】由切线的性质，可证得△AOP是直角三角形，利用勾股定理求出OP的长，然后利用锐角三角函数的定义，求出sin∠APO的值。
4．如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径．若∠ABT=40°，则∠ATB= .
【答案】50°
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径
∴AB⊥AT
∴∠BAT=90°
∴∠ATB=90°-∠ABT=90°-40°=50°
故答案为：50°
【分析】由切线的性质可求得∠BAT=90°，再根据直角三角形两锐角互余，即可解答。
5．如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，点C在⊙O上，BC∥OD，AB=2，OD=3，则BC的长为 .
【答案】
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，AD是⊙O的切线
∴∠C=∠OAD=90°
∵BC∥OD
∴∠B=∠AOD
∴cos∠B=cos∠AOD
∴
解之：BC=
故答案为：
【分析】由BC∥OD，可得出∠B=∠AOD，进而可得出cos∠B=cos∠AOD，建立方程求解即可。
6．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠CDB=30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于E，则sinE的值为 .
【答案】
【知识点】圆周角定理；切线的性质；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】连接OC
∵CE是圆O的切线
∴OC⊥CE
∴∠OCE=90°
∵弧CB=弧CB，∠CDB=30°
∴∠COE=2∠CDB=2×30°=60°
∴∠E=90°-∠COE=30°
∴sin∠E=sin30°=
【分析】根据圆的切线的性质可证得△OCE是直角三角形，再由同弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2倍，求出∠COE的度数，就可求出∠E的度数，就可解答。
7．如图，已知点O为Rt△ABC斜边AC上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点E，与AC相交于点D，连接AE．
求证：AE平分∠CAB；
【答案】证明：连接OE
∵OE=OA
∴∠1=∠OEA
∵BC是圆O的切线
∴OE⊥BC
∵∠B=90°
∴AB⊥BC
∴OE∥AB
∴∠OEA=∠BAE
∴∠1=∠BAE
∴AE平分∠CAB。
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】利用切线的性质可得出OE⊥BC，再由已知Rt△ABC，去证明OE∥AB，由平行线的性质及等腰三角形的性质，再证明∠OEA=∠BAE，∠1=∠OEA，就可证得结论。
8．已知⊙O中，AC为直径，MA、MB分别切⊙O于点A、B．
（1）如图①，若∠BAC=23°，求∠AMB的大小；
（2）如图②，过点B作BD∥MA，交AC于点E，交⊙O于点D，若BD=MA，求∠AMB的大小．
【答案】（1）解：∵MA、MB分别切⊙O于点A、B．
∴AM=BM，OA⊥AM
∴∠MBA=∠MAB
∴∠BAC+∠MAB=90°
∵∠BAC=23°
∴∠MBA=∠MAB=90°-23°=67°
∴∠AMB=180°-2×67°=46°
（2）解：连接AB、AD
BD∥AM，DB=AM，
∴四边形BMAD是平行四边形，
∴BM=AD，
∵MA切⊙O于A，
∴AC⊥AM，
∵BD∥AM，
∴BD⊥AC，
∴BE=DE，
∴AC垂直平分BD
∴AB=AD=BM，
∵MA、MB分别切⊙O于A. B，
∴MA=MB，
∴BM=MA=AB，
∴△BMA是等边三角形，
∴∠AMB=60°
【知识点】垂径定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）利用切线长定理及切线的性质，可得出AM=BM，OA⊥AM，可推出∠MBA=∠MAB，∠BAC+∠MAB=90°，结合已知求出∠BAM的度数，从而求出∠AMB的度数。
（2）由BD∥AM，DB=AM，证明四边形BMAD是平行四边形，再利用垂径定理证明AB=AD=BM，然后证明△BMA是等边三角形，就可求得结果。
9．过圆上一点可以作圆的 条切线；过圆外一点可以作圆的 条切线；过圆内一点
的圆的切线 ．
【答案】1；2；0
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：过圆上一点可以作圆的1条切线；过圆外一点可以作圆的2条切线；过圆内的一点的切线有0条；
故答案为：1、2、0
【分析】由切线的定义即可直接写出答案。
10．以三角形一边为直径的圆恰好与另一边相切，则此三角形是 ．
【答案】直角三角形
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
∵AB是直径，AC是切线，
∴AB⊥AC，
∴△ABC是直角三角形。
故选B.
【分析】根据切线的性质定理得此三角形的两边互相垂直，可知它是一个直角三角形。
11．下列直线是圆的切线的是（ ）
A．与圆有公共点的直线 B．到圆心的距离等于半径的直线
C．垂直于圆的半径的直线 D．过圆直径外端点的直线
【答案】B
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：A、与圆有公共点的直线 ，可能与圆相交，也可能与圆相切，故A不符合题意；
B、到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线，故B符合题意；
C、垂直于圆的半径的直线，可能与圆相交，也可能与圆相切，故C不符合题意；
D、过圆直径外端点的直线，可能与圆相交，也可能与圆相切，故D不符合题意；
【分析】利用圆的切线的定义对各选项逐一判断。
12．OA平分∠BOC，P是OA上任意一点（O除外），若以P为圆心的⊙P与OC相切，那么⊙P与OB的位置是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切
【答案】B
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：如图，
设⊙P与直线OC相切于点E，
连结PE，则PE⊥OC，
过P作PD⊥OB于D，
∵OP是⊙P的角平分线，
∴PE=PD，
∵PD是半径
∴⊙P与直线OB相切.
故答案为：B
【分析】根据题意画出图形，利用角平分线的性质，可证得PE=PD，再由切线的判定定理，可证得结论。
13．△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，以B为圆心，5为半径的圆与直线AC的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不能确定
【答案】A
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：如图
∵△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，
∴BC=
∵以B为圆心，5为半径的圆
∴BC=r
∴直线AC与以B为圆心，5为半径的圆相切
故答案为：A
【分析】利用勾股定理求出BC的长，再根据切线的判定，可得出结果。
14．菱形的对角线相交于O，以O为圆心，以点O到菱形一边的距离为半径的⊙O与菱形其它三边的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定
【答案】C
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：如图
过点O作OE⊥AB，OF⊥BC
∵菱形ABCD
∴BD平分∠ABC
∴OE=OF
同理可证点O到菱形各边的距离都相等
∴以点O到菱形一边的距离为半径的⊙O与菱形其它三边的位置关系是相切，
故答案为：C
【分析】利用菱形的性质及角平分线的性质，可证得菱形的对角线交点O到菱形各边的距离都相等，即可证得结论。
15．平面直角坐标系中，点A（3，4），以点A为圆心，5为半径的圆与直线y=－x的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切
C．相交 D．以上都有可能
【答案】C
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：如图
∵点A（3，4）
∴OA=
点A到直线y=-x的距离为线段AB的长
∴AB＜5
∴以点A为圆心，5为半径的圆与直线y=－x的位置关系是相交
故答案为：C
【分析】画出图形，根据勾股定理求出AO的长，再根据垂线段最短，可得出AB＜5，从而可判断出直线y=-x与圆A的位置关系。
16．如图，AB是半径⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，且AC=CD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若OA=2，求AC的长．
【答案】（1）证明：连接OC
∵弦AC与AB成30°角，且AC=CD．
∴∠A=∠D=30°
∵OA=OC
∴∠ACO=∠A=30°
∴∠COD=∠A+∠ACO=30°+30°=60°
∴∠OCD=180°-60°-30°=90°
即OC⊥CD
∴CD是⊙O的切线
（2）解：连接CB
∵∠COD=60°，OC=OB
∴△OCB是等边三角形
∴OA=OB=BC=2，∠CBA=60°
∵AB是圆O的直径
∴∠ACB=90°
在Rt△ABC中，BC=2，∠CBA=60°
∴tan∠CBA=
∴AC=2tan60°=
∴AC的长为。
【知识点】圆周角定理；切线的判定；解直角三角形
【解析】【分析】（1）要证CD是⊙O的切线，连半径，证垂直（OC⊥CD），只需由已知条件分别求出∠D和∠COD的度数，就可证得结论。
（2）连接CB，利用圆周角定理，可证得△ABC是直角三角形，再证明△OCB是等边三角形，就可求出CB、AB的长，利用解直角三角形或勾股定理，求出AC的长。
17．如图，AB是半圆O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A．
（1）求证：BC是半圆O的切线；
（2）若OC∥AD，OC交BD于E，BD=6，CE=4，求AD的长．
【答案】（1）证明：∵AB是半圆O的直径
∴∠D=90°
∴∠A+∠DBA=90°
∵∠DBC=∠A
∴∠DBC+∠DBA=90°
∴BC⊥AB
∴BC是半圆O的切线
（2）解：∠BEC=∠D=90 ，
∵BD⊥AD，BD=6，
∴BE=DE=3，
∵∠DBC=∠A，
∴△BCE∽△BAD，
∴，即
∴AD=4.5
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）若证明BC是半圆O的切线，利用切线的判定定理，即证明AB⊥BC即可。
（2）由OC∥AD，可得出∠BEC=∠D=90°，再证明△BCE∽△BAD，利用相似三角形的性质即可求出AD的长。
18．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，过点B作BE∥CD，交AC的延长线于点E，连结BC．
（1）求证：BE为⊙O的切线；
（2）如果CD=6，tan∠BCD= ，求⊙O的直径．
【答案】（1）证明：∵CD⊥AB，BE∥CD
∴BE⊥AB
∴BE为⊙O的切线
（2）解：∵CD⊥AB，CD=6
∴CM=CD=3
在Rt△BCM中，tan∠BCD=
∴
解之：BM=
∵CD⊥AB
∴弧BC=弧BD
∴∠BCD=∠A
∴tan∠A=
解之：AM=6
∴圆O的直径为：AM+BM=6+=7.5
【知识点】垂径定理；圆周角定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）由CD⊥AB，BE∥CD，易证BE⊥AB，就可证得结论。
（2）利用垂径定理求出CM的长，根据同弧所对的圆周角相等，得出∠BCD=∠A，根据锐角三角函数的定义，分别求出BM、AM的长，就可求出圆的直径。
19．如图，已知：△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB= ，∠D=30°．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AC=6，求AD的长．
【答案】（1）证明：如图，连接OA
∵sinB=
∴∠B=30°
∵∠AOC=2∠B=60°
∵∠D=30°
∴∠OAD=180° ∠D ∠AOD=90°
∴OA⊥AD
∴AD是圆O的切线
（2）解：∵OA=OC，∠AOC=60°
∴△AOC是等边三角形，
∴OA=AC=6，
∵∠OAD=90°，∠D=30°
∴tan∠D=tan30°=
∴
解之：AD=
【知识点】圆周角定理；切线的判定；解直角三角形
【解析】【分析】（1）要证明AD是圆O的切线，连接OA，只要证明∠OAD=90°。利用特殊角的三角函数值，求出∠B的度数，再利用圆周角定理求出∠AOC及∠ D的度数，即可证得结论。
（2）先证明△AOC是等边三角形，求出OA的长，再利解直角三角形求出AD的长。
20．已知：如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，OC=BC，AC= OB．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．
【答案】（1）证明：如图，连接OA
∵OC=BC，AC=OB
∴OC=BC=AC=OA
∴△ACO是等边三角形
∴∠O=∠OCA=60°
∵AC=BC
∴∠CAB=∠B
∵∠OCA=∠CAB+∠B=2∠B
∴∠B=30°
∴∠OAC=60°
∴∠OAB=∠OAC+∠CAB=90°
即OA⊥AB
∴AB是O的切线
（2）解：作AE⊥CD于点E
∵∠O=60°
∴∠D=∠O=30°
∵∠ACD=45°，AC=OC=2，
∴在Rt△ACE中，CE=AE=
∵∠D=30°
∴AD=2AE=
∴DE=AE=
∴CD=DE+CE=
【知识点】圆周角定理；切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）要证AB是⊙O的切线，连接OA，只需证明OA⊥AB。先证△ACO是等边三角形，得出∠OAC的度数，再求出∠CAB的度数，就可求得∠OAB的度数，从而可证得结论。
（2）作AE⊥CD于点E，利用圆周角定理求出∠D的度数，再利用解直角三角形就可求出结果。
21．如图，P为⊙O外一点，PO交⊙O于C，过⊙O上一点A作弦AB⊥PO于E，若∠EAC=∠CAP，求证：PA是⊙O的切线．
【答案】证明：连接OA
∵OA=OC
∴∠OCA=∠OAC
∵AB⊥PO
∴∠AEC=90°
∴∠OCA+∠BAC=90°
∵∠EAC=∠CAP
∴∠OAC+∠CAP=90°
∴OA⊥AP
∴PA是⊙O的切线．
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】要证PA是⊙O的切线，就需连接OA，证明OA⊥AP。利用等腰三角形的性质证明∠OCA=∠OAC，再根据垂直的定义及∠EAC=∠CAP，去证明∠OAC+∠CAP=90°，即可证得结论。
22．如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连结OG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．
（1）求证：BF=EF；
（2）求证：PA是⊙O的切线；
（3）若FG=BF，且⊙O的半径长为3 ，求BD和FG的长度．
【答案】（1）证明：∵BC是O的直径，BE是圆O的切线，
∴EB⊥BC.
又∵AD⊥BC
∴AD∥BE
∵△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC
∴
∴
∵G是AD的中点
∴DG=AG
∴BF=EF
（2）证明：连接AO，AB，
∵BC是O的直径，
∴∠BAC=90°.
在Rt△BAE中，F是斜边BE的中点，
∴AF=FB=EF
∴∠FBA=∠FAB
又∵OA=OB
∴∠ABO=∠BAO
∵BE是O的切线
∴∠EBO=90°
∵∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°
∴OA⊥PA
∴PA是O的切线
（3）解：过点F作FH⊥AD于点H，
∵BD⊥AD，FH⊥AD
∴FH∥BC
由(2)，可知∠FBA=∠BAF
∴BF=AF
BF=FG
∴AF=FG
∴△AFG是等腰三角形
∵FH⊥AD
∴AH=GH
∵DG=AG
∴DG=2HG
即
∵FH∥BD，BF∥AD，∠FBD=90°
∴四边形BDHF是矩形，BD=FH
∵FH∥BC
∴△HFG∽△DCG，
∴
∴
∵O的半径长为
∴BC=
∴
解之：BD=
∴BD=FH=
∵
∴CF=3FG.
在Rt△FBC中，
∵CF=3FG，BF=FG，
∴CF2=BF2+BC2
∴(3FG)2=FG2+()2
解之：FG=3(取正值)
∴FG=3
【知识点】切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据切线判定可证得EB⊥BC，由AD⊥BC，证明AD∥BE，利用相似三角形的判定可得出△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC，由G是AD的中点，找中间比就可得出结论。
（2）要证PA是 O的切线，就是要证明∠FAO=90°，连接AO，AB，根据第1的结论和BE是圆O的切线和直角三角形的性质，就可得出结论。
（3）过点F作FH⊥AD于点H，根据前两问的结论，利用三角形的相似性和勾股定理，可以求出BD和FG的长度。
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