2018-2019学年数学湘教版九年级上册2.2 一元二次方程的解法（2） 同步练习
一、选择题
1．方程 配方后，下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
x2+8x=-9，
x2+8x+42=-9+42，
故答案为：A
【分析】根据配方法的特点，把不合适的常数项移到方程的右边，由完全平方式的意义，在方程两边加上一次项系数一半的平方即可配方。
2．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的解是（ ）
A．x1=x2=1 B．x1=1+ ，x2=﹣1﹣
C．x1=1+ ，x2=1﹣ D．x1=﹣1+ ，x2=﹣1﹣
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】 ， ， 所以.
故答案为：C
【分析】利用配方法解一元二次方程即可。
3．将一元二次方程 -6x-5=0化成 =b的形式，则b等于（ ）
A．4 B．-4 C．14 D．-14
【答案】C
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：方程 -6x-5=0，
移项得： -6x=5，配方得： -6x+9=14，
即 =14，则b=14，
故答案为：C
【分析】将方程配方转化为( x 3 )2 =14，就可得出b的值。
4．二次三项式 -4x+7配方的结果是（ ）
A． +7 B． +3 C． +3 D． -1
【答案】B
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解： -4x+7= -4x+4+3= +3
故答案为：B
【分析】将x 2 -4x+7加上一次项系数一半的平方，同时减去一次项系数的一半的平方，再写成完全平方的形式。
5．对于代数式﹣x2+4x﹣5，通过配方能说明它的值一定是（ ）
A．非正数 B．非负数 C．正数 D．负数
【答案】D
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：﹣x2+4x﹣5
=﹣（x2﹣4x）﹣5
=﹣（x﹣2）2﹣1，
∵﹣（x﹣2）2≤0，
∴﹣（x﹣2）2﹣1＜0，
故答案为：D
【分析】利用配方法将原式变形为﹣（x﹣2）2﹣1，再确定代数式的符号，可解答。
6．（2017·冷水滩模拟）不论a，b为何实数，a2+b2﹣2a﹣4b+7的值是（ ）
A．总是正数 B．总是负数
C．可以是零 D．可以是正数也可以是负数
【答案】A
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：∵（a﹣1）2≥0，（b﹣2）2≥0，
∴原式=（a2﹣2a+1）+（b2﹣4b+4）+2=（a﹣1）2+（b﹣2）2+2≥2＞0，
则不论a，b为何实数，a2+b2﹣2a﹣4b+7的值总是正数，
故选A
【分析】原式配方后，利用非负数的性质判断即可得到结果．
7．（2017·贾汪模拟）已知（x﹣2015）2+（x﹣2017）2=34，则（x﹣2016）2的值是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵（x﹣2015）2+（x﹣2017）2=34，
∴（x﹣2016+1）2+（x﹣2016﹣1）2=34，
（x﹣2016）2+2（x﹣2016）+1+（x﹣2016）2﹣2（x﹣2016）+1=34，
2（x﹣2016）2+2=34，
2（x﹣2016）2=32，
（x﹣2016）2=16．
故选：D．
【分析】先把（x﹣2015）2+（x﹣2017）2=34变形为（x﹣2016+1）2+（x﹣2016﹣1）2=34，把（x﹣2016）看作一个整体，根据完全平方公式展开，得到关于（x﹣2016）2的方程，解方程即可求解．
8．若一元二次方程式4x2+12x﹣1147=0的两根为a、b，且a＞b，则3a+b之值为何？（ ）
A．22 B．28 C．34 D．40
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：4x2+12x﹣1147=0，
移项得：4x2+12x=1147，
4x2+12x+9=1147+9，
即（2x+3）2=1156，
2x+3=34，2x+3=﹣34，
解得：x= ，x=﹣ ，
∵一元二次方程式4x2+12x﹣1147=0的两根为a、b，且a＞b，
∴a= ，b=﹣ ，
∴3a+b=3× +（﹣ ）=28，故答案为：B
【分析】先对所给方程进行配方，进而求得方程的根，即可求得a，b的值，进而可求得所给的代数式的值.
二、填空题
9．（2016九上·临洮期中）若将方程x2+6x=7化为（x+m）2=16，则m= ．
【答案】3
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：在方程x2+6x=7的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得
x2+6x+32=7+32，
配方，得
（x+3）2=16．
所以，m=3．
故答案为：3．
【分析】此题实际上是利用配方法解方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
10．如果一元二次方程 经过配方后，得 ，那么a= .
【答案】-6
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： =3 即 则a=-6
【分析】由(x 3)2=3，可得出x2 6x+6=0，从而可求得a的值。
11．将x2+6x+4进行配方变形后，可得该多项式的最小值为 ．
【答案】-5
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：∵x2+6x+4=（x+3）2﹣5，
∴当x=﹣3时，多项式x2+6x+4取得最小值﹣5；
故答案为﹣5
【分析】先将多项式配方化成（x+3）2﹣5，就可得出该多项式的最小值。
12．若x2﹣4x+5=（x﹣2）2+m，则m= ．
【答案】1
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：已知等式变形得：x2﹣4x+5=x2﹣4x+4+1=（x﹣2）2+1=（x﹣2）2+m，
则m=1，
故答案为：1
【分析】将已知方程的左边配方可得出（x﹣2）2+1=（x﹣2）2+m，就可求出m的值。
13．如果一个三角形的三边均满足方程 ，则此三角形的面积是 .
【答案】
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由 ，得
∴∵一个三角形的三边均满足方程
∴此三角形是以5为边长的等边三角形，
∴三角形的面积= °=
故答案是：
【分析】先利用直接开平方法求出方程的解，再根据三角形的三边满足此方程的根，可证得此三角形是等边三角形，求出三角形的高，然后利用三角形的面积公式，可解答。
14．已知实数 满足 ，则代数式 的值为 ．
【答案】2
【知识点】代数式求值；直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】∵4x2-4x+l=0，
∴(2x-1)2=0
∴2x-1=0，
∴ ，
∴2x+ =1+1=2
【分析】左边利用完全平方公式分解因式，然后利用直接开平方法将方程降次为一元一次方程，求解得出x的值，再将x的值代入代数式即可算出答案。
15．已知3x﹣y=3a2﹣6a+9，x+y=a2+6a﹣9，若x≤y，则实数a的值为 ．
【答案】3
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：依题意得： ，
解得
∵x≤y，
∴a2≤6a﹣9，
整理，得（a﹣3）2≤0，
故a﹣3=0，
解得a=3．
故答案是：3
【分析】将两方程看成是关于x、y的二元一次方程组，求出x、y的值，再根据x≤y，得出（a﹣3）2≤0，根据任意数的平方都是非负数，可得出a﹣3=0，解方程求出a的值。
三、解答题
16．解方程：
（1）x2+4x﹣1=0．
（2）x2﹣2x=4．
【答案】（1）解：∵x2+4x﹣1=0∴x2+4x=1∴x2+4x+4=1+4
∴（x+2）2=5
∴x=﹣2± ∴x1=﹣2+ ，x2=﹣2﹣
（2）解：配方x2﹣2x+1=4+1
∴（x﹣1）2=5
∴x=1±
∴x1=1+ ，x2=1﹣
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）观察方程的特点，二次项系数为1，且一次项系数是偶数，因此利用配方法解方程。先将方程转化为x2+4x=1，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，可得出（x+2）2=5，然后利用直接开平方法解方程。
（2）观察方程的特点，二次项系数为1，且一次项系数是偶数，因此利用配方法解方程。在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，可得出（x-1）2=5，再利用直接开平方法解方程。
17．如果x2－4x+y2+6y+ +13=0，求 的值．
【答案】解：∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，解得： ，∴
【知识点】配方法解一元二次方程；非负数之和为0
【解析】【分析】观察已知方程的特点。右边可利用配方法，将方程转化为( x 2 )2 + ( y + 3 )2 + = 0 ，再利用几个非负数之和为0的性质，求出x、y、z的值，然后代入代数式计算可解答。
18．嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，她是这样做的：
由于a≠0，方程ax2+bx+c=0变形为：
x2+ x=﹣ ，…第一步
x2+ x+（ ）2=﹣ +（ ）2，…第二步
（x+ ）2= ，…第三步
x+ = （b2﹣4ac＞0），…第四步
x= ，…第五步
（1）嘉淇的解法从第 步开始出现错误；事实上，当b2﹣4ac＞0时，方程ax2+bx+c=0（a≠O）的求根公式是 ．
（2）用配方法解方程：x2﹣2x﹣24=0．
【答案】（1）四；x=
（2）解：移项，得x2﹣2x=24，配方，得
x2﹣2x+1=24+1，
即（x﹣1）2=25，开方得x﹣1=±5，∴x1=6，x2=﹣4
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：在第四步中，开方应该是x+ =± ．所以求根公式为：x= ．
故答案是：四；x= ；
【分析】（1）观察每一步的解法，可得出第四步的开方出现错误，正数的平方根有两个，它们互为相反数，即可解答。
（2）先将方程变形，转化为x2﹣2x=24，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，就可利用直接开平方法求解。
19．有n个方程：x2+2x﹣8=0；x2+2×2x﹣8×22=0；…x2+2nx﹣8n2=0．
小静同学解第一个方程x2+2x﹣8=0的步骤为：“①x2+2x=8；②x2+2x+1=8+1；③（x+1）2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x1=4，x2=﹣2．”
（1）小静的解法是从步骤 开始出现错误的．
（2）用配方法解第n个方程x2+2nx﹣8n2=0．（用含有n的式子表示方程的根）
【答案】（1）⑤
（2）解：x2+2nx﹣8n2=0，
x2+2nx=8n2，
x2+2nx+n2=8n2+n2，
（x+n）2=9n2，
x+n=±3n，
x1=2n，x2=﹣4n
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的，
故答案为：⑤；
【分析】（1）阅读解答过程，可得出答案。
（2）根据用配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）把常数项移到方程的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将原方程转化为（x-m）2=n的形式，然后利用直接开平方法求出方程的解。
20．根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2+4x+4+y2-8y+16=0，求 的值；
（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2-8b-10a+41=0，求△ABC中最大边c的取值范围；
（3）试说明不论x，y取什么有理数时，多项式x2+y2-2x+2y+3的值总是正数．
【答案】（1）解：∵x2+4x+4+y2-8y+16=0∴（x+2）2+（y-4）2=0，∴（x+2）2=0，（y-4）2=0，∴x=-2，y=4
∴ =-
（2）解：∵a2+b2-8b-10a+41=0，∴（a-5）2+（b-4）2=0，∴（a-5）2=0，（b-4）2=0，∴a=5，b=4
△ABC中最大边5＜c＜9
（3）解：∵x2+y2-2x+2y+3=（x-1）2+（y+1）2+1，且（x-1）2≥0，（y+1）2≥0，
∴x=1，y=-1
∴（x-1）2+（y+1）2+1＞0，
∴多项式x2+y2-2x+2y+3的值总是正数
【知识点】配方法的应用
【解析】【分析】（1）观察方程的特点：右边为0，左边利用配方法可转化为（x+2）2+（y-4）2，再根据几个非负数之和为0的性质，建立过一次x、y的方程，求出x、y的值，即可解答。
（2）将方程左边利用配方法转化为（a-5）2+（b-4）2，再根据几个非负数之和为0的性质，可求出a、b的值，再根据三角形的三边关系定理，可求出△ABC中最大边c的取值范围。
（3）将原多项式配方可转化为（x-1）2+（y+1）2+1，根据平方的非负性可得出答案。
21．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：求代数式y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4
∵（y+2）2≥0
∴（y+2）2+4≥4
∴y2+4y+8的最小值是4．
（1）求代数式m2+m+4的最小值；
（2）求代数式4﹣x2+2x的最大值；
（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB=x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1）解： m2+m+4=（m+ ）2+ ，
∵（m+ ）2≥0，
∴（m+ ）2+ ≥ ，
则m2+m+4的最小值是 ；
（2）解：4﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+5，
∵﹣（x﹣1）2≤0，
∴﹣（x﹣1）2+5≤5，
则4﹣x2+2x的最大值为5；
（3）解：由题意，得花园的面积是x（20﹣2x）=﹣2x2+20x，
∵﹣2x2+20x=﹣2（x﹣5）2+50=﹣2（x﹣5）2≤0，
∴﹣2（x﹣5）2+50≤50，
∴﹣2x2+20x的最大值是50，此时x=5，
则当x=5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2
【知识点】配方法的应用
【解析】【分析】（1）先对所给代数式进行配方，结合平方的非负性即可求得所给代数式的最小值；（2）先将代数式的二次项系数化为1，再配方，即可得到一个数减去一个非负数，从而可求得代数式的最大值；（3）根据题意可用x表示出花园的面积，可知其为一个一元二次多项式，先将二次项系数化为1，再进行配方即可求得花园面积的最大值，及此时x的值.
1 / 12018-2019学年数学湘教版九年级上册2.2 一元二次方程的解法（2） 同步练习
一、选择题
1．方程 配方后，下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的解是（ ）
A．x1=x2=1 B．x1=1+ ，x2=﹣1﹣
C．x1=1+ ，x2=1﹣ D．x1=﹣1+ ，x2=﹣1﹣
3．将一元二次方程 -6x-5=0化成 =b的形式，则b等于（ ）
A．4 B．-4 C．14 D．-14
4．二次三项式 -4x+7配方的结果是（ ）
A． +7 B． +3 C． +3 D． -1
5．对于代数式﹣x2+4x﹣5，通过配方能说明它的值一定是（ ）
A．非正数 B．非负数 C．正数 D．负数
6．（2017·冷水滩模拟）不论a，b为何实数，a2+b2﹣2a﹣4b+7的值是（ ）
A．总是正数 B．总是负数
C．可以是零 D．可以是正数也可以是负数
7．（2017·贾汪模拟）已知（x﹣2015）2+（x﹣2017）2=34，则（x﹣2016）2的值是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
8．若一元二次方程式4x2+12x﹣1147=0的两根为a、b，且a＞b，则3a+b之值为何？（ ）
A．22 B．28 C．34 D．40
二、填空题
9．（2016九上·临洮期中）若将方程x2+6x=7化为（x+m）2=16，则m= ．
10．如果一元二次方程 经过配方后，得 ，那么a= .
11．将x2+6x+4进行配方变形后，可得该多项式的最小值为 ．
12．若x2﹣4x+5=（x﹣2）2+m，则m= ．
13．如果一个三角形的三边均满足方程 ，则此三角形的面积是 .
14．已知实数 满足 ，则代数式 的值为 ．
15．已知3x﹣y=3a2﹣6a+9，x+y=a2+6a﹣9，若x≤y，则实数a的值为 ．
三、解答题
16．解方程：
（1）x2+4x﹣1=0．
（2）x2﹣2x=4．
17．如果x2－4x+y2+6y+ +13=0，求 的值．
18．嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，她是这样做的：
由于a≠0，方程ax2+bx+c=0变形为：
x2+ x=﹣ ，…第一步
x2+ x+（ ）2=﹣ +（ ）2，…第二步
（x+ ）2= ，…第三步
x+ = （b2﹣4ac＞0），…第四步
x= ，…第五步
（1）嘉淇的解法从第 步开始出现错误；事实上，当b2﹣4ac＞0时，方程ax2+bx+c=0（a≠O）的求根公式是 ．
（2）用配方法解方程：x2﹣2x﹣24=0．
19．有n个方程：x2+2x﹣8=0；x2+2×2x﹣8×22=0；…x2+2nx﹣8n2=0．
小静同学解第一个方程x2+2x﹣8=0的步骤为：“①x2+2x=8；②x2+2x+1=8+1；③（x+1）2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x1=4，x2=﹣2．”
（1）小静的解法是从步骤 开始出现错误的．
（2）用配方法解第n个方程x2+2nx﹣8n2=0．（用含有n的式子表示方程的根）
20．根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2+4x+4+y2-8y+16=0，求 的值；
（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2-8b-10a+41=0，求△ABC中最大边c的取值范围；
（3）试说明不论x，y取什么有理数时，多项式x2+y2-2x+2y+3的值总是正数．
21．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：求代数式y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4
∵（y+2）2≥0
∴（y+2）2+4≥4
∴y2+4y+8的最小值是4．
（1）求代数式m2+m+4的最小值；
（2）求代数式4﹣x2+2x的最大值；
（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB=x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
x2+8x=-9，
x2+8x+42=-9+42，
故答案为：A
【分析】根据配方法的特点，把不合适的常数项移到方程的右边，由完全平方式的意义，在方程两边加上一次项系数一半的平方即可配方。
2．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】 ， ， 所以.
故答案为：C
【分析】利用配方法解一元二次方程即可。
3．【答案】C
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：方程 -6x-5=0，
移项得： -6x=5，配方得： -6x+9=14，
即 =14，则b=14，
故答案为：C
【分析】将方程配方转化为( x 3 )2 =14，就可得出b的值。
4．【答案】B
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解： -4x+7= -4x+4+3= +3
故答案为：B
【分析】将x 2 -4x+7加上一次项系数一半的平方，同时减去一次项系数的一半的平方，再写成完全平方的形式。
5．【答案】D
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：﹣x2+4x﹣5
=﹣（x2﹣4x）﹣5
=﹣（x﹣2）2﹣1，
∵﹣（x﹣2）2≤0，
∴﹣（x﹣2）2﹣1＜0，
故答案为：D
【分析】利用配方法将原式变形为﹣（x﹣2）2﹣1，再确定代数式的符号，可解答。
6．【答案】A
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：∵（a﹣1）2≥0，（b﹣2）2≥0，
∴原式=（a2﹣2a+1）+（b2﹣4b+4）+2=（a﹣1）2+（b﹣2）2+2≥2＞0，
则不论a，b为何实数，a2+b2﹣2a﹣4b+7的值总是正数，
故选A
【分析】原式配方后，利用非负数的性质判断即可得到结果．
7．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵（x﹣2015）2+（x﹣2017）2=34，
∴（x﹣2016+1）2+（x﹣2016﹣1）2=34，
（x﹣2016）2+2（x﹣2016）+1+（x﹣2016）2﹣2（x﹣2016）+1=34，
2（x﹣2016）2+2=34，
2（x﹣2016）2=32，
（x﹣2016）2=16．
故选：D．
【分析】先把（x﹣2015）2+（x﹣2017）2=34变形为（x﹣2016+1）2+（x﹣2016﹣1）2=34，把（x﹣2016）看作一个整体，根据完全平方公式展开，得到关于（x﹣2016）2的方程，解方程即可求解．
8．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：4x2+12x﹣1147=0，
移项得：4x2+12x=1147，
4x2+12x+9=1147+9，
即（2x+3）2=1156，
2x+3=34，2x+3=﹣34，
解得：x= ，x=﹣ ，
∵一元二次方程式4x2+12x﹣1147=0的两根为a、b，且a＞b，
∴a= ，b=﹣ ，
∴3a+b=3× +（﹣ ）=28，故答案为：B
【分析】先对所给方程进行配方，进而求得方程的根，即可求得a，b的值，进而可求得所给的代数式的值.
9．【答案】3
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：在方程x2+6x=7的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得
x2+6x+32=7+32，
配方，得
（x+3）2=16．
所以，m=3．
故答案为：3．
【分析】此题实际上是利用配方法解方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
10．【答案】-6
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： =3 即 则a=-6
【分析】由(x 3)2=3，可得出x2 6x+6=0，从而可求得a的值。
11．【答案】-5
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：∵x2+6x+4=（x+3）2﹣5，
∴当x=﹣3时，多项式x2+6x+4取得最小值﹣5；
故答案为﹣5
【分析】先将多项式配方化成（x+3）2﹣5，就可得出该多项式的最小值。
12．【答案】1
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：已知等式变形得：x2﹣4x+5=x2﹣4x+4+1=（x﹣2）2+1=（x﹣2）2+m，
则m=1，
故答案为：1
【分析】将已知方程的左边配方可得出（x﹣2）2+1=（x﹣2）2+m，就可求出m的值。
13．【答案】
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由 ，得
∴∵一个三角形的三边均满足方程
∴此三角形是以5为边长的等边三角形，
∴三角形的面积= °=
故答案是：
【分析】先利用直接开平方法求出方程的解，再根据三角形的三边满足此方程的根，可证得此三角形是等边三角形，求出三角形的高，然后利用三角形的面积公式，可解答。
14．【答案】2
【知识点】代数式求值；直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】∵4x2-4x+l=0，
∴(2x-1)2=0
∴2x-1=0，
∴ ，
∴2x+ =1+1=2
【分析】左边利用完全平方公式分解因式，然后利用直接开平方法将方程降次为一元一次方程，求解得出x的值，再将x的值代入代数式即可算出答案。
15．【答案】3
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：依题意得： ，
解得
∵x≤y，
∴a2≤6a﹣9，
整理，得（a﹣3）2≤0，
故a﹣3=0，
解得a=3．
故答案是：3
【分析】将两方程看成是关于x、y的二元一次方程组，求出x、y的值，再根据x≤y，得出（a﹣3）2≤0，根据任意数的平方都是非负数，可得出a﹣3=0，解方程求出a的值。
16．【答案】（1）解：∵x2+4x﹣1=0∴x2+4x=1∴x2+4x+4=1+4
∴（x+2）2=5
∴x=﹣2± ∴x1=﹣2+ ，x2=﹣2﹣
（2）解：配方x2﹣2x+1=4+1
∴（x﹣1）2=5
∴x=1±
∴x1=1+ ，x2=1﹣
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）观察方程的特点，二次项系数为1，且一次项系数是偶数，因此利用配方法解方程。先将方程转化为x2+4x=1，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，可得出（x+2）2=5，然后利用直接开平方法解方程。
（2）观察方程的特点，二次项系数为1，且一次项系数是偶数，因此利用配方法解方程。在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，可得出（x-1）2=5，再利用直接开平方法解方程。
17．【答案】解：∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，解得： ，∴
【知识点】配方法解一元二次方程；非负数之和为0
【解析】【分析】观察已知方程的特点。右边可利用配方法，将方程转化为( x 2 )2 + ( y + 3 )2 + = 0 ，再利用几个非负数之和为0的性质，求出x、y、z的值，然后代入代数式计算可解答。
18．【答案】（1）四；x=
（2）解：移项，得x2﹣2x=24，配方，得
x2﹣2x+1=24+1，
即（x﹣1）2=25，开方得x﹣1=±5，∴x1=6，x2=﹣4
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：在第四步中，开方应该是x+ =± ．所以求根公式为：x= ．
故答案是：四；x= ；
【分析】（1）观察每一步的解法，可得出第四步的开方出现错误，正数的平方根有两个，它们互为相反数，即可解答。
（2）先将方程变形，转化为x2﹣2x=24，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，就可利用直接开平方法求解。
19．【答案】（1）⑤
（2）解：x2+2nx﹣8n2=0，
x2+2nx=8n2，
x2+2nx+n2=8n2+n2，
（x+n）2=9n2，
x+n=±3n，
x1=2n，x2=﹣4n
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的，
故答案为：⑤；
【分析】（1）阅读解答过程，可得出答案。
（2）根据用配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）把常数项移到方程的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将原方程转化为（x-m）2=n的形式，然后利用直接开平方法求出方程的解。
20．【答案】（1）解：∵x2+4x+4+y2-8y+16=0∴（x+2）2+（y-4）2=0，∴（x+2）2=0，（y-4）2=0，∴x=-2，y=4
∴ =-
（2）解：∵a2+b2-8b-10a+41=0，∴（a-5）2+（b-4）2=0，∴（a-5）2=0，（b-4）2=0，∴a=5，b=4
△ABC中最大边5＜c＜9
（3）解：∵x2+y2-2x+2y+3=（x-1）2+（y+1）2+1，且（x-1）2≥0，（y+1）2≥0，
∴x=1，y=-1
∴（x-1）2+（y+1）2+1＞0，
∴多项式x2+y2-2x+2y+3的值总是正数
【知识点】配方法的应用
【解析】【分析】（1）观察方程的特点：右边为0，左边利用配方法可转化为（x+2）2+（y-4）2，再根据几个非负数之和为0的性质，建立过一次x、y的方程，求出x、y的值，即可解答。
（2）将方程左边利用配方法转化为（a-5）2+（b-4）2，再根据几个非负数之和为0的性质，可求出a、b的值，再根据三角形的三边关系定理，可求出△ABC中最大边c的取值范围。
（3）将原多项式配方可转化为（x-1）2+（y+1）2+1，根据平方的非负性可得出答案。
21．【答案】（1）解： m2+m+4=（m+ ）2+ ，
∵（m+ ）2≥0，
∴（m+ ）2+ ≥ ，
则m2+m+4的最小值是 ；
（2）解：4﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+5，
∵﹣（x﹣1）2≤0，
∴﹣（x﹣1）2+5≤5，
则4﹣x2+2x的最大值为5；
（3）解：由题意，得花园的面积是x（20﹣2x）=﹣2x2+20x，
∵﹣2x2+20x=﹣2（x﹣5）2+50=﹣2（x﹣5）2≤0，
∴﹣2（x﹣5）2+50≤50，
∴﹣2x2+20x的最大值是50，此时x=5，
则当x=5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2
【知识点】配方法的应用
【解析】【分析】（1）先对所给代数式进行配方，结合平方的非负性即可求得所给代数式的最小值；（2）先将代数式的二次项系数化为1，再配方，即可得到一个数减去一个非负数，从而可求得代数式的最大值；（3）根据题意可用x表示出花园的面积，可知其为一个一元二次多项式，先将二次项系数化为1，再进行配方即可求得花园面积的最大值，及此时x的值.
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