高中数学人教新课标A版必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.2.4平面与平面平行的性质
一、选择题
1．若两个平面与第三个平面相交，有两条交线且两条交线互相平行，则这两个平面（ ）
A．有公共点 B．没有公共点
C．平行 D．平行或相交
【答案】D
【知识点】平面与平面平行的判定
【解析】【解答】当两个相交平面或平行平面与第三个平面相交时，交线都可能平行.
故答案为：D
【分析】当两个平面与第三个平面相交，有两条交线且两条交线互相平行时，这两个平面可能相交，也可能平行。
2．一正方体木块如图所示，点P在平面A′C′内，经过P和棱BC将木料锯开，锯开的面必须平整，有N种锯法，则N为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无数
【答案】B
【知识点】直线与平面平行的性质
【解析】【解答】在平面A′C′上过P作EF∥B′C′，则EF∥BC，∴沿EF、BC所确定的平面锯开即可．由于此平面唯一确定，∴只有一种方法。
故答案为：B．
【分析】由直线与平面平行的性质得知，要使锯开的面必须平整，则过点P的直线与BC平行，就是锯线。
3．下列命题中不正确的是（ ）
A．平面α∥平面β，一条直线a平行于平面α，则a一定平行于平面β
B．平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面β
C．一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与这个平面平行
D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线
【答案】A
【知识点】平面与平面平行的性质
【解析】【解答】对于A，直线a可能与β平行，也可能在β内，故A不正确；三角形的两条边必相交，这两条相交边所在直线平行于一个平面，那么三角形所在的平面与这个平面平行，所以C正确；依据平面与平面平行的性质定理可知B，D正确。
故答案为：A．
【分析】由平面与平面平行的性质得知，当一条直线平行于两个平行平面中一个时，直线有两种可能，一是与另一个平面平行，一是在另一个平面内，故A不正确。
4．在长方体 中，若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E，F，则四边形D1EBF的形状是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．平行四边形 D．正方形
【答案】C
【知识点】平面与平面平行的性质
【解析】【解答】如图，在长方体 中，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，过D1B的平面BED1F与平面ABB1A1交于直线BE，与平面CDD1C1交于直线D1F.由面面平行的性质定理知BE∥D1F.同理，BF∥D1E.所以四边形D1EBF为平行四边形.
故答案为：C.
【分析】结合长方体的结构特征，由面面平行的性质定理知BE∥D1F.同理，BF∥D1E.所以四边形D1EBF为平行四边形.
5．如图所示，在三棱台 中，点D在A1B1上，且AA1∥BD，点M是△A1B1C1内的一个动点，且有平面BDM∥平面A1C，则动点M的轨迹是（ ）
A．平面 B．直线
C．线段，但只含1个端点 D．圆
【答案】C
【知识点】平面与平面平行的性质
【解析】【解答】因为平面BDM∥平面A1C，平面BDM∩平面A1B1C1=DM，平面A1C∩平面A1B1C1=A1C1，所以DM∥A1C1，过D作DE1∥A1C1交B1C1于点E1，则点M的轨迹是线段DE1（不包括D点）.
故答案为：C.
【分析】由平面BDM∥平面A1C，则第三个平面A1B1C1交线平行，故点M的轨迹就是一条线段。
6．已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，则下列推理正确的是（ ）
A．α∩β＝a，b α a∥b
B．α∩β＝a，a∥b b∥α且b∥β
C．a∥β，b∥β，a α，b α α∥β
D．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b
【答案】D
【知识点】平面与平面平行的性质
【解析】【解答】选项A中，α∩β＝a，b α，则a，b可能平行也可能相交，故A不正确；
选项B中，α∩β＝a，a∥b，则可能b∥α且b∥β，也可能b在平面α或β内，故B不正确；
选项C中，a∥β，b∥β，a α，b α，根据面面平行的判定定理，再加上条件a∩b＝A，才能得出α∥β，故C不正确；
选项D为面面平行性质定理的符号语言。
故答案为：D．
【分析】对各选项分析，只有D项中说明的是两个平行平面与第三个平面相交，则交线平行是正确的。
7．如图，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于点A′，B′，C′，若 ，则 ＝（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【知识点】平面与平面平行的性质
【解析】【解答】由平面α∥平面ABC，得AB∥A′B′，BC∥B′C′，AC∥A′C′，由等角定理得∠ABC＝∠A′B′C′，∠BCA＝∠B′C′A′，∠CAB＝∠C′A′B′，从而△ABC∽△A′B′C′，△PAB∽△PA′B′， ，所以 ， 。
故答案为：D.
【分析】由平面与平面平行，结合等角定理，得到两个三角形相似，再求比值。
8．正方体 的棱长为3，点E在A1B1上，且B1E=1，平面α∥平面BC1E（平面α是图中阴影平面），若平面α∩平面AA1B1B=A1F，则AF的长为 （ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
【答案】A
【知识点】平面与平面平行的性质
【解析】【解答】因为平面α∥平面BC1E，平面α∩平面AA1B1B=A1F，
平面BC1E∩平面AA1B1B=BE，所以A1F∥BE.又A1E∥BF，
所以A1EBF是平行四边形，所以A1E=BF=2，所以AF=1.
故答案为：A.
【分析】由面面平行的性质得到线线平行，于是A1EBF是平行四边形，再求AF的长。
二、填空题
9．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为 .
【答案】平行四边形
【知识点】平面与平面平行的性质
【解析】【解答】∵平面ABFE∥平面CDHG，平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面CDHG＝HG，∴EF∥HG.同理，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形．
故答案为：平行四边形
【分析】由长方体的结构特征，根据面面平行的性质，得到两组线线平行，于是四边形为平行四边形。
10．已知平面α∥β∥γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和D，E，F，已知AB＝6， ，则AC＝ .
【答案】15
【知识点】平面与平面平行的性质
【解析】【解答】α∥β∥γ，根据面面平行的性质定理可知 ，∴ .
由 ，得 ，又AB＝6，∴BC＝9，∴AC＝AB＋BC＝15.
故答案为：15.
【分析】根据面面平行的性质定理可知线线平行，从而三角形相似，求出比值。
11．如图，棱长为2的正方体 中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是 ．
【答案】
【知识点】平面与平面平行的性质
【解析】【解答】在正方体 中，因为平面MCD1∩平面DCC1D1＝CD1，
所以平面MCD1∩平面ABB1A1＝MN，且MN∥CD1，
所以N为AB的中点（如图），所以该截面为等腰梯形MNC1D1；
因为正方体的棱长为2，所以MN＝ ，CD1＝ ，MD1＝ ，
所以等腰梯形MNCD1的高MH＝ ，
所以截面面积为 .
故答案为：
【分析】由正方体的结构特征，结合面面平行的性质，得到该截面为等腰梯形MNC1D1，再由数据求面积。
三、解答题
12．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ与平面PAO平行？
【答案】解：如图，设平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，点M在AA1上，由于平面D1BQ∩平面BCC1B1＝BQ，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，所以由面面平行的性质定理可得BQ∥D1M.
因为平面D1BQ∥平面PAO，平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，平面PAO∩平面ADD1A1＝AP，所以AP∥D1M，所以BQ∥AP.因为P为DD1的中点，所以Q为CC1的中点．
故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
【知识点】平面与平面平行的性质
【解析】【分析】由于P是DD1的中点，当平面D1BQ与平面PAO平行时，由面面平行的性质得到BQ∥AP，从而Q为CC1的中点．
13．如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BC∥AD，平面A1DCE与B1B交于点E.证明：EC∥A1D.
【答案】证明：因为BE∥AA1，AA1 平面AA1D，BE 平面AA1D，所以BE∥平面AA1D.
因为BC∥AD，AD 平面AA1D，BC 平面AA1D，所以BC∥平面AA1D.
又BE∩BC=B，BE 平面BCE，BC 平面BCE，所以平面BCE∥平面ADA1.
又平面A1DCE∩平面BCE=EC，平面A1DCE∩平面A1AD=A1D，所以EC∥A1D
【知识点】平面与平面平行的性质
【解析】【分析】通过证明两个平面平行，而所证两直线分别是第三个平面与两个平行平面的两条交线，从而平行。
14．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，如图．
（1）求证：平面AB1D1∥平面C1BD；
（2）试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明：A1E＝EF＝FC.
【答案】（1）证明：因为在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D.又因为C1D 平面C1BD，AB1 平面C1BD，所以AB1∥平面C1BD.同理，B1D1∥平面C1BD.又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1 平面AB1D1，B1D1 平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD.
（2）证明：如图，设A1C1与B1D1交于点O1，连接AO1，与A1C交于点E.
因为AO1 平面AB1D1，
所以点E也在平面AB1D1内，所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点．
连接AC交BD于O，连接C1O与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点．
下面证明A1E＝EF＝FC.
因为平面A1C1CA∩平面AB1D1＝EO1，平面A1C1CA∩平面C1BD＝C1F，平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F.
在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，所以E是A1F的中点，
即A1E＝EF.同理，CF＝FE，所以A1E＝EF＝FC
【知识点】平面与平面平行的性质
【解析】【分析】（1）结合 正方体的结构特征，可以证明平面AB1D1内有两条相交直线都∥平面C1BD.得证；
（2）通过面面平行的性质，证明出平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F，再在三角形中由中点的性质证明。
1 / 1高中数学人教新课标A版必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.2.4平面与平面平行的性质
一、选择题
1．若两个平面与第三个平面相交，有两条交线且两条交线互相平行，则这两个平面（ ）
A．有公共点 B．没有公共点
C．平行 D．平行或相交
2．一正方体木块如图所示，点P在平面A′C′内，经过P和棱BC将木料锯开，锯开的面必须平整，有N种锯法，则N为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无数
3．下列命题中不正确的是（ ）
A．平面α∥平面β，一条直线a平行于平面α，则a一定平行于平面β
B．平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面β
C．一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与这个平面平行
D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线
4．在长方体 中，若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E，F，则四边形D1EBF的形状是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．平行四边形 D．正方形
5．如图所示，在三棱台 中，点D在A1B1上，且AA1∥BD，点M是△A1B1C1内的一个动点，且有平面BDM∥平面A1C，则动点M的轨迹是（ ）
A．平面 B．直线
C．线段，但只含1个端点 D．圆
6．已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，则下列推理正确的是（ ）
A．α∩β＝a，b α a∥b
B．α∩β＝a，a∥b b∥α且b∥β
C．a∥β，b∥β，a α，b α α∥β
D．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b
7．如图，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于点A′，B′，C′，若 ，则 ＝（ ）
A． B． C． D．1
8．正方体 的棱长为3，点E在A1B1上，且B1E=1，平面α∥平面BC1E（平面α是图中阴影平面），若平面α∩平面AA1B1B=A1F，则AF的长为 （ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
二、填空题
9．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为 .
10．已知平面α∥β∥γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和D，E，F，已知AB＝6， ，则AC＝ .
11．如图，棱长为2的正方体 中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是 ．
三、解答题
12．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ与平面PAO平行？
13．如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BC∥AD，平面A1DCE与B1B交于点E.证明：EC∥A1D.
14．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，如图．
（1）求证：平面AB1D1∥平面C1BD；
（2）试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明：A1E＝EF＝FC.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平面与平面平行的判定
【解析】【解答】当两个相交平面或平行平面与第三个平面相交时，交线都可能平行.
故答案为：D
【分析】当两个平面与第三个平面相交，有两条交线且两条交线互相平行时，这两个平面可能相交，也可能平行。
2．【答案】B
【知识点】直线与平面平行的性质
【解析】【解答】在平面A′C′上过P作EF∥B′C′，则EF∥BC，∴沿EF、BC所确定的平面锯开即可．由于此平面唯一确定，∴只有一种方法。
故答案为：B．
【分析】由直线与平面平行的性质得知，要使锯开的面必须平整，则过点P的直线与BC平行，就是锯线。
3．【答案】A
【知识点】平面与平面平行的性质
【解析】【解答】对于A，直线a可能与β平行，也可能在β内，故A不正确；三角形的两条边必相交，这两条相交边所在直线平行于一个平面，那么三角形所在的平面与这个平面平行，所以C正确；依据平面与平面平行的性质定理可知B，D正确。
故答案为：A．
【分析】由平面与平面平行的性质得知，当一条直线平行于两个平行平面中一个时，直线有两种可能，一是与另一个平面平行，一是在另一个平面内，故A不正确。
4．【答案】C
【知识点】平面与平面平行的性质
【解析】【解答】如图，在长方体 中，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，过D1B的平面BED1F与平面ABB1A1交于直线BE，与平面CDD1C1交于直线D1F.由面面平行的性质定理知BE∥D1F.同理，BF∥D1E.所以四边形D1EBF为平行四边形.
故答案为：C.
【分析】结合长方体的结构特征，由面面平行的性质定理知BE∥D1F.同理，BF∥D1E.所以四边形D1EBF为平行四边形.
5．【答案】C
【知识点】平面与平面平行的性质
【解析】【解答】因为平面BDM∥平面A1C，平面BDM∩平面A1B1C1=DM，平面A1C∩平面A1B1C1=A1C1，所以DM∥A1C1，过D作DE1∥A1C1交B1C1于点E1，则点M的轨迹是线段DE1（不包括D点）.
故答案为：C.
【分析】由平面BDM∥平面A1C，则第三个平面A1B1C1交线平行，故点M的轨迹就是一条线段。
6．【答案】D
【知识点】平面与平面平行的性质
【解析】【解答】选项A中，α∩β＝a，b α，则a，b可能平行也可能相交，故A不正确；
选项B中，α∩β＝a，a∥b，则可能b∥α且b∥β，也可能b在平面α或β内，故B不正确；
选项C中，a∥β，b∥β，a α，b α，根据面面平行的判定定理，再加上条件a∩b＝A，才能得出α∥β，故C不正确；
选项D为面面平行性质定理的符号语言。
故答案为：D．
【分析】对各选项分析，只有D项中说明的是两个平行平面与第三个平面相交，则交线平行是正确的。
7．【答案】D
【知识点】平面与平面平行的性质
【解析】【解答】由平面α∥平面ABC，得AB∥A′B′，BC∥B′C′，AC∥A′C′，由等角定理得∠ABC＝∠A′B′C′，∠BCA＝∠B′C′A′，∠CAB＝∠C′A′B′，从而△ABC∽△A′B′C′，△PAB∽△PA′B′， ，所以 ， 。
故答案为：D.
【分析】由平面与平面平行，结合等角定理，得到两个三角形相似，再求比值。
8．【答案】A
【知识点】平面与平面平行的性质
【解析】【解答】因为平面α∥平面BC1E，平面α∩平面AA1B1B=A1F，
平面BC1E∩平面AA1B1B=BE，所以A1F∥BE.又A1E∥BF，
所以A1EBF是平行四边形，所以A1E=BF=2，所以AF=1.
故答案为：A.
【分析】由面面平行的性质得到线线平行，于是A1EBF是平行四边形，再求AF的长。
9．【答案】平行四边形
【知识点】平面与平面平行的性质
【解析】【解答】∵平面ABFE∥平面CDHG，平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面CDHG＝HG，∴EF∥HG.同理，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形．
故答案为：平行四边形
【分析】由长方体的结构特征，根据面面平行的性质，得到两组线线平行，于是四边形为平行四边形。
10．【答案】15
【知识点】平面与平面平行的性质
【解析】【解答】α∥β∥γ，根据面面平行的性质定理可知 ，∴ .
由 ，得 ，又AB＝6，∴BC＝9，∴AC＝AB＋BC＝15.
故答案为：15.
【分析】根据面面平行的性质定理可知线线平行，从而三角形相似，求出比值。
11．【答案】
【知识点】平面与平面平行的性质
【解析】【解答】在正方体 中，因为平面MCD1∩平面DCC1D1＝CD1，
所以平面MCD1∩平面ABB1A1＝MN，且MN∥CD1，
所以N为AB的中点（如图），所以该截面为等腰梯形MNC1D1；
因为正方体的棱长为2，所以MN＝ ，CD1＝ ，MD1＝ ，
所以等腰梯形MNCD1的高MH＝ ，
所以截面面积为 .
故答案为：
【分析】由正方体的结构特征，结合面面平行的性质，得到该截面为等腰梯形MNC1D1，再由数据求面积。
12．【答案】解：如图，设平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，点M在AA1上，由于平面D1BQ∩平面BCC1B1＝BQ，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，所以由面面平行的性质定理可得BQ∥D1M.
因为平面D1BQ∥平面PAO，平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，平面PAO∩平面ADD1A1＝AP，所以AP∥D1M，所以BQ∥AP.因为P为DD1的中点，所以Q为CC1的中点．
故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
【知识点】平面与平面平行的性质
【解析】【分析】由于P是DD1的中点，当平面D1BQ与平面PAO平行时，由面面平行的性质得到BQ∥AP，从而Q为CC1的中点．
13．【答案】证明：因为BE∥AA1，AA1 平面AA1D，BE 平面AA1D，所以BE∥平面AA1D.
因为BC∥AD，AD 平面AA1D，BC 平面AA1D，所以BC∥平面AA1D.
又BE∩BC=B，BE 平面BCE，BC 平面BCE，所以平面BCE∥平面ADA1.
又平面A1DCE∩平面BCE=EC，平面A1DCE∩平面A1AD=A1D，所以EC∥A1D
【知识点】平面与平面平行的性质
【解析】【分析】通过证明两个平面平行，而所证两直线分别是第三个平面与两个平行平面的两条交线，从而平行。
14．【答案】（1）证明：因为在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D.又因为C1D 平面C1BD，AB1 平面C1BD，所以AB1∥平面C1BD.同理，B1D1∥平面C1BD.又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1 平面AB1D1，B1D1 平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD.
（2）证明：如图，设A1C1与B1D1交于点O1，连接AO1，与A1C交于点E.
因为AO1 平面AB1D1，
所以点E也在平面AB1D1内，所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点．
连接AC交BD于O，连接C1O与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点．
下面证明A1E＝EF＝FC.
因为平面A1C1CA∩平面AB1D1＝EO1，平面A1C1CA∩平面C1BD＝C1F，平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F.
在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，所以E是A1F的中点，
即A1E＝EF.同理，CF＝FE，所以A1E＝EF＝FC
【知识点】平面与平面平行的性质
【解析】【分析】（1）结合 正方体的结构特征，可以证明平面AB1D1内有两条相交直线都∥平面C1BD.得证；
（2）通过面面平行的性质，证明出平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F，再在三角形中由中点的性质证明。
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