数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（九年级下册）
5.4 二次函数与一元二次方程（1）
教学目标
1．体会函数与方程之间的联系，初步体会利用函数图像研究方程问题的方法；
2．理解二次函数图像与x轴（横轴）交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根的函数图像特征；
3．理解一元二次方程的根就是二次函数与y＝h（h是实数）图像交点的横坐标．
教学重点
经历“类比——观察——发现——归纳”而得出二次函数与一元二次方程的关系的探索过程．
教学难点
准确理解二次函数与一元二次方程的关系．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
复习旧知，明确结论
通过观察一次函数y＝x＋1的图像，可以发现并归纳一次函数与一元一次方程之间存在联系：
从“数”的方面看，当一次函数y＝x＋1的函数值y＝0时，相应的自变量的值即为方程x＋1＝0的解；
从“形”的方面看，函数y＝x＋1与x轴交点的横坐标即为方程x＋1＝0的解．
实际上，这也反映了一般函数
与方程的关系：一次函数y＝ax＋b的图像与x轴交点的横坐标即y＝0的值就是方程ax＋b＝0的根．
（1）解一元一次方程x＋1＝0；
（2）画一次函数y＝x＋1的图像，并指出函数y＝x＋1的图像与x轴有几个交点．
（3）一元一次方程x＋1＝0与一次函数y＝x＋1有什么联系？
让学生通过对旧知识的回顾及对新知识的思考，梳理旧知识，起到承上启下之效，同时通过老师的引导，培养学生的形成解决一类问题的通用方法的思维品质．
情境
打高尔夫球时，球的飞行路线可以看成是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，某次球的飞行高度y（单位：米）与飞行距离x（单位：百米）满足二次函数：
y＝－5x2＋20x，这个球飞行的水平距离最远是多少米？球的飞行高度能否达到40m？
进入状态，兴致盎然．
图像上每个点的横、纵坐标含义是什么？??
你是如何解决的，与同伴进行交流．
问题的设置从生活情境引入，激发学生学习数学的欲望．
探索活动
探索一
二次函数y＝x2＋2x与一元二次方程x2＋2x＝0有怎样的关系？
1．从关系式看二次函数y＝x2＋2x成为一元二次方程x2＋2x＝0的条件是什么？
2．反应在图像上：观察二次函数y＝x2＋2x的图像，你能确定一元二次方程 x2＋2x＝0的根吗？
积极思考，回答问题．
从“函数值何时为0”着手，沟通二次函数与相应的一元二次方程的关系；通过函数图像揭示相应的一元二次方程的解的几何意义．
用同样的方法探索
二次函数y＝x2－2x＋2与一元二次方程x2－2x＋1＝0有怎样的关系？
二次函数y＝x2－2x＋2与一元二次方程x2－2x＋1＝0有怎样的关系？
仿照上面解决问题的方法，得出结果．
学生对二次函数与一元二次方程的联系从特殊到一般性结论的讨论，逐步提高学生从旧知识中“类比猜想”“观察发现”“归纳概括”最后得出“结论”的从感性到理性的抽象思维能力．
3．结论
一般地，如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴有两个公共点（x1，0）、(x2，0)，那么一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x＝x1、x＝x2，反过来也成立．
学生对结论的归纳与提炼．完成一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的个数与二次函数
y＝ax2＋bx＋c图像与x轴交点的个数的讨论，使学生对数学命题中各部分符号的含义能深刻理解．
得出一般结论，以引导学生作进一步的观察、探索和归纳．
探索二
观察下列图像：
（1）观察二次函数图像与x轴的公共点的个数；
（2）判断函数值为0时一元二次方程根的情况；
（3）你能找到它们之间的联系吗？
师生共同总结．
抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况说明：
1．当b2－4ac＞0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个交点；
2．当b2－4ac＝0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴只有1个交点；
3．当b2－4ac＜0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴没有交点．
结论由学生自己得出并完善,提高学生分析和解决问题的能力．
例题精讲
1．不画图像，你能判断函数的图像y＝x2＋6x－6与x轴是否有公共点吗？请说明理由．
2．已知二次函数y＝x2－4x＋k＋2与x轴有公共点，求k的取值范围．
3．打高尔夫球时，球的飞行路线可以看成是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度y（单位：米）与飞行距离x（单位：百米）之间具有关系：
y＝－5x2＋20x，想一想：球的飞行高度能否达到40m？
先独立完成，然后互助交流，进一步理解函数与方程互相转化的思想．
理解一元二次方程的根就是二次函数与y＝h(h是实数)的交点的横坐标．
进一步提升学生对于实际问题中的二次函数与一元二次方程的关系的理解应用，用于解决实际问题．求二次函数与一次函数图像交点问题的理解，其本质就是求方程根的问题．
课堂练习
1．方程的根是 ；则函数 的图像与x轴的交点有 个，其坐标是 ．
2．方程的根是 ；则函数 的图像与x轴的交点有 个，其坐标是 ．
3．下列函数的图像中，与x轴没有公共点的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知二次函数y＝x2－4x＋k＋2与x轴有公共点，求k的取值范围．
学生独立完成，小组交流所做结果，巩固对知识的理解．
通过巩固练习加深学生对知识的理解．
课堂小结
1．一元二次方程的两个根即二次函数图像与x轴两个交点的横坐标，因此方程的根的情况决定着有无交点及交点的个数．
2．“给定函数值求自变量问题”转化为“解方程的问题”．
师生共同构建．
用精炼的语言，使得学生记忆简便，而且印象加深，同时让学生在总结中反思，完成升华．
课后作业
课本P28习题5.4第1，2题．
课件16张PPT。5.4 二次函数与一元二次方程(1)九年级(下册)初中数学（1）解一元一次方程x＋1＝0；
（2）画一次函数y ＝x ＋1的图像，并指出函数y ＝ x ＋1的图像与x轴有几个交点；
（3）一元一次方程x ＋1＝ 0与一次函数y ＝x ＋1有什么联系？ 5.4 二次函数与一元二次方程(1) 打高尔夫球时，球的飞行路线可以看成是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，某次球的飞行高度 y（单位：米）与飞行距离 x（单位：百米）满足二次函数 ：y＝ －5x2 ＋ 20x，这个球飞行的水平距离最远是多少米？y(米）x(百米）4123105.4 二次函数与一元二次方程(1)y=x2+2xy＝x2 ＋ 2x图像与x轴有2个交点：(－2，0) (0，0)x2＋2x＝0b2 － 4ac＞0，x1 ＝－2 ， x2 ＝ 0． 二次函数与一元二次方程 y＝x2＋2x5.4 二次函数与一元二次方程(1)y＝x2－2x＋1图像与x轴有1个交点：(1,0)．x2－2x＋1＝0y=x2－2x＋1二次函数与一元二次方程 b2－4ac＝0，x1＝x2＝1． 5.4 二次函数与一元二次方程(1)y＝x2－2x＋2图像与x轴没有交点．x2－2x＋2＝0y＝x2－2x＋2没有实数根．二次函数与一元二次方程 b2－4ac＜0，5.4 二次函数与一元二次方程(1)y＝x2＋2x图像与x轴有2个交点．x2＋2x＝0y＝x2－2x＋1图像与x轴有1个交点．x2－2x＋1＝0y＝x2－2x＋2图像与x轴没有交点．x2－2x＋2＝0b2－4ac＝0b2－4ac＞ 0b2－ 4ac＜ 0二次函数与一元二次方程 5.4 二次函数与一元二次方程(1)y＝x2＋2xx2＋2x＝0y＝x2－2x＋1x2－2x＋1＝0y＝x2－2x＋2x2－2x＋2＝0(－2,0) (0,0)(1,0)图像与x轴没有交点．没有实数根．二次函数与一元二次方程 x1＝－2 ，x2＝ 0 x1＝x2 ＝1 5.4 二次函数与一元二次方程(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和x轴交点有三种情况：
①有两个交点，
②有一个交点，
③没有交点．
当二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和x轴有交点时，交点的横坐标就是当y＝0时自变量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根．二次函数与一元二次方程 5.4 二次函数与一元二次方程(1)抛物线y=ax2 ＋ bx ＋ c 抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：1.b2－4ac＞0 一元二次方程ax2 ＋ bx＋c＝0有两个不等的实数根．
与x轴有两个交点．抛物线y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c2. b2－4ac＝0 一元二次方程ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0与x轴有唯一公共点．抛物线y＝ax2 ＋ bx ＋ c3. b2－4ac＜0 一元二次方程ax2 ＋ bx ＋ c＝0与x轴没有公共点．没有实数根．有两个相等的实数根．5.4 二次函数与一元二次方程(1) 不画图像，你能判断函数
的图像与x轴是否有公共点？请说明理由．根据一元二次方程的根的情况，可以知道二次函数的图像与x轴的公共点的个数．5.4 二次函数与一元二次方程(1) 已知二次函数y＝x2－4x＋k＋2与x轴有公共点，求k的取值范围．5.4 二次函数与一元二次方程(1) 打高尔夫球时，球的飞行路线可以看成是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度y（单位：米）与飞行距离x（单位：百米）之间具有关系：y＝－5x2 ＋ 20x，想一想：球的飞行高度能否达到40m？Oy(米）x(百米）4123105.4 二次函数与一元二次方程(1) 1. 方程 的根是 ；则函数
的图像与x轴的交点有 个，其坐标是 ．－5，12（-5，0）、（1，0） 2. 方程 的根是 ；则函数 的图像与x轴的交点有_ 个，其坐标是 ． 3.下列函数的图像中，与x轴没有公共点的是（ ）1（5，0）DA.C.B.D.5.4 二次函数与一元二次方程(1)课本P28习题5.4第1，2题．5.4 二次函数与一元二次方程(1)数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（九年级下册）
5.4 二次函数与一元二次方程（2）
教学目标
1．能够利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根，进一步发展估算能力；
2．经历用图像法求一元二次方程的近似根的过程，进一步体会数形结合思想；
3．通过利用二次函数的图像估计一元二次方程的根，进一步掌握二次函数图像与x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系，提高估算能力．
教学重点
1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系；
2．能够利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根．
教学难点
利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
情境创设
回忆：函数的图
像如图1所示，你能看出方程
的解吗？
创设：函数的图
像如图2所示，你能看出方程
的解吗？
学生思考并讲解方法．
借助上节课的知识，学生较容易回答出“回忆”部分的答案为：，，当遇到“创设”问题时学生较难回答出，只能估计值的范围．
通过回忆，复习二次函数的图像与一元二次方程根之间的关系，而紧接着的“创设”会让学生陷入沉思，进而激发兴趣，寻求解决的办法．
探究活动
从图像上来看，二次函数的图像与x轴交点的横坐标一个在－1与0之间，另一个在2与3之间，所以方程的两个根一个在－1与0之间，另一个在2与3之间．这只是大概范围，究竟接近于哪一个数呢？请大家讨论解决．
如右边表格所示，当我们算到－0.5时，还需要算吗？为什么？因为从图像的走势来看，继续往左取自变量的值，所得的函数值将越来越大，所以我们可以判定这个根一定在－0.4与－0.5之间，那会是多少呢？
我们在取值时能不能较快地找到接近它的近似值呢？
我们可以取它们中间的值，再看它们的正负情况，它们的根一定在函数值的正负交替之间，这样我们就能较快缩小它的范围了．
比如：
再进一步取值：
则x≈－0.4
以此类推，我们还可以进一步缩小这个根的取值范围．
你能用同样的方法求方程的另一个根吗？试试看！
再进一步取值：
以此类推，我们还可以进一步缩小这个根的取值范围．
（注：以上二分法的相关内容根据情况适当选用）
学生思考并讲解方法，必要时让学生板演并讲解，教师点拨．
有关估算问题我们在前面已学习过了，即用试一试的方法进行的．既然一个根在－1与0之间，那这个根一定是负4点几，所以个位数就确定下来了，接着确定十分位上的数，这时可以用试一试的方法，即分别把x＝－0.1，－0.2，…，－0.9代入方程进行计算，哪一个值能使等式成立（或哪一个值能使等式近似成立），则这个值就是方程的根（或近似根）．
如：利用计算器进行探索
x
－0.1
－0.2
－0.3
－0.4
－0.5
y
－0.79
－0.
6
－0.31
－0.04
0.25
从表格中可以看出，－0.4与－0.5所对的值由负变正，所以可以确定该根应在－0.4与－0.5之间，又从－0.04与0.25的值来看，－0.04更接近于0，所以我们判断x≈－0.4．
我们可以继续取值来缩小它的范围：
x
－0.41
－0.42
y
－0.0119
0.0164
当我们算到－0.42时，也没有必要继续算下去了，因为它的值已经由负变正了，所以可以确定这个根一定在－0.41与－0.42之间，即－0.41＜x＜－0.42，又从－0.0119与0.0164的值来看，－0.0119更接近于0，所以我们判断x≈－0.41．
我们还可以继续取值来缩小它的范围：
x
－0.411
－0.412
－0.413
－0.414
－0.415
y
-0.009079
-0.006256
-0.003431
-0.000604
0.002225
从－0.000604与0.002225的值来看，－0.000604更接近于0，所以我们判断x≈－0.414．
以此类推，我们还可以进一步缩小这个根的取值范围．
我们可以用同样的方法去求方程的另一个根．
利用计算器进行探索：
x
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
y
－0.79
－0.56
－0.31
－0.04
0.25
所以x≈2.4．
我们可以继续取值来缩小它的范围：
x
2.41
2.42
y
－0.0119
0.0164
所以x≈2.41．
我们还可以继续取值来缩小它的范围：
x
2.411
2. 412
2. 413
2.414
2.415
y
-0.009079
-0.006256
-0.003431
-0.000604
0.002225
所以x≈2.414．
以此类推，我们还可以进一步缩小这个根的取值范围．
通过引导学生正确观察图形，计算不同的值代入后越来越接近0的方法来感受根的寻找是采用逐步逼近的思想，方程根的取值范围的进一步缩小，让学生体会方程根的取值的进一步精确性．
通过取另一个根的过程，巩固和强化寻找的过程和方法．另外，用不同的方法（二分法）去寻找根，让学生感受其寻找根的过程和方法的区别和优劣．
可由学生独立思考后再小组交流，既留有学生独立思考的时间和空间，且培养了学生小组合作的意识和团队精神．
拓展延伸
利用二次函数的图像求一元二次方程x2＋2x－10＝3的近似根．
现在我们应该利用什么函数图像求方程x2＋2x－10＝3的根呢？
函数y＝x2＋2x－13的图像如右图所示：
由图可知，图像与x轴的两个交点的横坐标中，一个在－5与－4之间，一个在2与3之间，因此两个根分别为负4点几和2点几，下面用计算器进行探索．
x
－4.5
－4.6
－4.7
－4.8
－4.9
y
－1.75
－1.04
－0.31
0.44
1.21
因此x＝－4.7是方程的一个近似根．
另一个根可以类似地求出：
x
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
y
－1.75
－1.04
－0.31
0.44
1.21
因此x＝2.7是方程的另一个近似根．
以此类推，我们还可以进一步缩小这个根的取值范围．
利用函数y＝x2＋2x－13的图像求方程x2＋2x－10＝3的近似根．也可以利用函数y＝x2＋2x－10的图像与直线y＝3的交点的横坐标求方程x2＋2x－10＝3的解．
分别画出函数y＝x2＋2x－10的图像和直线y＝3，找它们交点的横坐标即可．
由图可知两根分别为x＝－4.7和x＝2.7．
选用不同的方法，让学生感受不同的处理方法所带来的特点．
练习巩固
（1）利用二次函数的图像，借助计算器探索方程根的近似值（精确到0.01）；
（2）补充习题．
学生板演并讲解，教师点拨．
参考答案：
，．
通过练习，帮助学生巩固新知．
课堂小结
通过今天的学习，你学会了什么？与大家分享．
如何确定方程根的近似值？
学生思考，交流并汇报．
小结能将所学知识条理化、系统化；让学生在交流中共享．
作业布置
1．（必做题）课本P28习题第3题；
2．（选做题）思考
（2014年江苏南京改编）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x
…
0
1
2
3
…
y
…
5
0.1
－0.2
0.1
…
（1）当y＜5时，x的取值范围是 ；
（2）方程的两个根（ ）
A．－1和0，0和1之间． B．0和1，1和2之间． C．1和2，2和3之间． D．2和3，3和4之间．
课后完成必做题，并根据自己的能力水平确定是否选做思考题．选做题参考答案：
（1）0＜x＜4；
（2）C．
设置分层作业，尊重学生的个体差异，为不同学生的发展创造不同的条件．
课件16张PPT。九年级(下册)初中数学5.2 二次函数与一元二次方程（2）忆一忆函数y＝x2－2x－3的图像如图所示，你能看出方程x2－2x－3＝0的解吗？5.2 二次函数与一元二次方程（2）想一想函数y＝x2－2x－1的图像如图所示，你能看出方程x2－2x－1＝0的解吗？5.2 二次函数与一元二次方程（2）算一算利用计算器进行探索 x ≈ ?0.4缩小它的范围x ≈ ? 0.41x ≈ ? 0.414继续缩小它的范围……5.2 二次函数与一元二次方程（2）做一做 你能用同样的方法求方程的另一个根吗？试试看！5.2 二次函数与一元二次方程（2）
我们也可以用取中间值逼近的方法去求它的近似根．∴2＜x＜ 3∴2 ＜ x ＜ 2.55.2 二次函数与一元二次方程（2）∴2.25 ＜ x ＜ 2.5∴2＜ x ＜ 2.5继续逼近．5.2 二次函数与一元二次方程（2）∴2.375 ＜x＜2.5∴2.375 ＜x＜2.4375∴x≈2.4继续逼近.5.2 二次函数与一元二次方程（2）23+2.5+2.252.375∴2＜x＜3∴2＜x＜2.5∴2.25＜x＜2.5∴2.375＜x＜2.5用线段表示逼近的过程．___5.2 二次函数与一元二次方程（2）2.4375+2.5+2.375_∴2.375＜x＜2.4375∴x≈2.4用线段表示逼近的过程．5.2 二次函数与一元二次方程（2）拓展延伸方法1：利用函数y＝x2 ＋2x－13求得方程x2 ＋2x－13＝0的近似根．5.2 二次函数与一元二次方程（2）利用函数图像求方程x2 ＋2x－10＝3的近似根．拓展延伸利用函数图像求方程x2 ＋2x－ 10＝ 3的近似根．5.2 二次函数与一元二次方程（2）方法2：利用函数y ＝ x2＋2x －10的图像和直线y＝3的交点的横坐标求原方程的近似根．畅所欲言通过这节课的学习，
我的收获是…5.2 二次函数与一元二次方程（2）1．课本P28习题5.4第3题；5.2 二次函数与一元二次方程（2）（2014年江苏南京改编）已知二次函数y＝ax2 ＋ bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如表所示：
（1）当y＜5时，x的取值范围是 ；
（2）方程的两个根（ ）
A．－1和0，0和1之间． B．0和1，1和2之间．
C．1和2，2和3之间 ． D． 2和3，3和4之间 ．2．思考题（选做）：5.2 二次函数与一元二次方程（2）谢 谢!
