数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（九年级下册）
7.1 正切（1）
教学目标
1．认识锐角的正切的概念；
2．经历操作、观察、思考、求解等过程，感受数形结合的数学思想方法，培养学生理性思维的习惯，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力；
3．激发学生学习的积极性和主动性，引导学生自主探索、合作交流，培养学生的创新意识．
教学重点
计算一个锐角的正切值的方法．
教学难点
计算一个锐角的正切值的方法．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
新课引入——情景导入
问题1：人们在行走的过程中，自行车、汽车在行驶的过程中免不了爬坡．如图1，哪个台阶更陡？
大多数学生会根据自己的生活经验来判断第二个台阶更陡一些，学生的回答大多是建立在倾斜的程度（实际上就是倾斜的角度）．
较好地发挥了“情景导入”的作用，让学生初步体会倾斜的程度可以靠倾斜的角度来判断和辨别，初步感受倾斜的角度越大，台阶就越陡．
问题2：如图2，哪个台阶最陡？你是如何判断的？
学生继续思考，寻找特点：
1．①、②两个水平宽度相同（都为8），高度不同，②中的高度（为6）高于①中的高度（为4），所以②比①陡．
2．②、③两个高度相同（都为6），水平宽度不同，②中的水平宽度（为8）小于③中的水平宽度（为12），所以②比③陡．
综合1，2可得，②最陡．
由角度逐步转化为边之间的比较，来实现向新知识的自然过渡．
问题3：如图3，在图2中的①、③两个台阶，你认为哪个台阶更陡？你有什么发现？
学生积极思考，寻找突破：
可以引导学生从相同的水平宽度或者相同的高度来比较它们的倾斜程度．
比如：如图3，在③中从左向右截取水平宽度与①相同（为8），利用三角形相似就可以求出此时所对应的高度，发现高度（为6）与①中所对应的高度（为6）相等．所以它们的倾斜程度一样，即它们一样陡．
始终围绕台阶的倾斜程度展开，问题环环相扣，把新知识的特点不知不觉、一步一步地呈现出来，正所谓“生其自然、成其必然”．
实践探索
问题4：如图4，一般地，如果锐角A的大小确定，我们可以作出Rt△AB1C1、
Rt△AB2C2、Rt△AB3C3……
那么，你有什么发现呢？
观察、思考，并归纳、小结：
可以得到Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽
Rt△AB3C3……
根据相似三角形的性质，得
……
也就是说，如果直角三角形的一个锐角的大小确定，那么这个锐角的对边与邻边的比值也确定．
经过前三个问题的探究，学生似乎体会到斜坡倾斜的程度与边角之间的关系，让学生对所感悟的知识碎片进行整理，并结合图形进行准确地符号表达．通过数形结合的思维训练来探索数学规律，学习数学概念，有利于提高教学的有效性．
总结提升
如图5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b分别是∠A的对边和邻边．我们将∠A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切（tangent），记作tanA，即tanA＝＝＝．
你能用同样的方法写出∠B的正切吗？
类比、归纳：
如图6，在Rt△ABC中，∠C＝90°，b、a分别是∠B的对边和邻边.
那么，tanB＝＝．
类似地，让学生类比出∠B的正切的表示方法．趁热打铁，让学生表示出∠B的正切，有利于学生深入认识正切的定义，初步实现教学目标．
例题
例1 如图7，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，求tanA、tanB．
拓展：
通过计算tanA、tanB的值，你有什么新的发现吗？
发表意见，表达观点，相互补充．
参考答案：
解：在Rt△ABC中，BC＝，
tanA＝，tanB＝．
从而发现tanA与tanB互为倒数，即
tanA·tanB＝1．而且，根据定义，我们发现tanA·tanB＝·＝1，所以，我们能得到互余两个角的正切值互为倒数．
师生互动，锻炼学生的口头表达能力，培养学生勇于发表自己看法的能力，会进行简单的说理．在拓展环节，尽量让学生表达，或是在互相交流的基础上发表自己的看法，这样有利于学生对知识的进一步理解．
例题
例2 如图8，在等边三角形ABC中，AB＝2，求tanA．
拓展：
通过计算tanA的值，你对60o的正切值有什么认识？30o呢？你还能得到其他的吗？
发表意见，表达观点，相互补充．
参考答案：
解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，则AD＝．在Rt△ACD中，CD＝，tanA＝．
从而发现tan60o，而∠ACD＝30o，
tan∠ACD＝，即tan30o．
利用等腰直角三角形的特点，还能求出tan45o＝1．
例2主要是针对角不在直角三角形中如何处理，要让学生明白寻找对边或邻边时要在该角所在的直角三角形中实现，从而引导学生去创造直角三角形培养学生分析问题的能力．
适时的问题拓展，开放性的问题设计，既综合整理、当堂复习了新课知识要点，又留给了学生自由发挥的空间．
练习
1．如图9，求下列图中各直角三角形中锐角的正切值．
2．如图10，在Rt△ABC中，∠C＝90°， AB＝10，tanA，求AC、BC和tanB．
运用本节课所学数学知识解决问题．
参考答案：
1．解：①在Rt△ABC中，
tan A＝，tanB＝．
②在Rt△ABC中，AC＝，
tanA＝，tanB＝．
③在Rt△ABC中，AC＝，
tanA＝，tanB＝．
2．解：在Rt△ABC中，tanA＝．
设BC为3m，则AC为4m，所以tanB＝．又因为AB＝10，所以，所以，
所以BC＝3m＝6，则AC＝4m＝8．
检测学生对本节课知识的掌握程度，考查了学生解决问题的综合能力．练习1让学生体会不同位置摆放的直角三角形不会影响锐角的正切值．其中的第三个图形的设计让第三边AC的结果不是整数（为）．
练习2是正切的逆用，进一步让学生体会正切的结果是一个比值（tanA，不代表BC＝3，AC＝4）．练习2的处理可以在学生充分讨论交流的基础上，教师给出适当的引导（比如：可以设BC为3m等）．
小结
通过今天的学习，你学会了什么？你会正确运用吗？通过这节课的学习，你有什么感受呢，说出来告诉大家．
共同小结．
师生互动，总结学习成果，体验成功．
课后作业
1．课本P99习题7.1第1、2题；
2．思考题（选做）：
你能判断下面两个楼梯哪一个更陡吗？
课后完成必做题，并根据自己的能力水平确定是否选做思考题．
选做题解法较多，但又不规定必须用几种方法，学生可根据自己的能力去自主选做．这样就能实现“课程标准”中所要求的“让不同层次的学生得到不同的发展”．
课件14张PPT。九年级(下册)初中数学7.1 正切（1） 问题1：人们在行走的过程中，自行车、汽车在行驶的过程中免不了爬坡．
如下图，哪个台阶更陡？ 7.1 正切（1）问题2：哪个台阶最陡？你是如何判断的？
7.1 正切（1） 问题3：在问题2中的①、③两个台阶，你认为哪个台阶更陡？你有什么发现？847.1 正切（1） 问题4：如图，一般地，如果锐角A的大小确定，我们可以作出Rt△AB1C1、Rt△AB2C2、Rt△AB3C3……
那么，你有什么发现？
7.1 正切（1） 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b分别是∠A的对边和邻边．我们将∠A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切（tangent），记作tanA，即tanA＝ ＝ ＝ ．．你能用同样的方法写出∠B的正切吗？探究新知7.1 正切（1） 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，求tanA、tanB．通过计算tanA、tanB的值，你有什么新的发现吗？ 拓展例 题7.1 正切（1）例2 如图，在等边三角形ABC中，AB＝2，求tanA． 通过计算tanA的值，你对60o的正切值有什么认识？30o呢？你还能得到其他的吗？ 拓展例 题7.1 正切（1）1．如图，求下列图中各直角三角形中锐角的正切值．尝试与交流7.1 正切（1）2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， AB＝10，
tanA ，求AC 、BC和tanB．尝试与交流7.1 正切（1）畅所欲言通过这节课的学习，我的收获是…7.1 正切（1）1．课本P99习题7.1第1、2题；
2．思考题（选做）：你能判断下面两个楼梯哪一个更陡吗？作业题7.1 正切（1）谢 谢!数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（九年级下册）
7.1 正切（2）
教学目标
1．会利用计算器求一个锐角的正切；
2．了解锐角的正切值随锐角的增大而增大．
教学重点
体会任意锐角的正切值的特点；会用计算器求任意一个锐角的正切值．
教学难点
任意锐角的正切值的变化特点．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
情境创设
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b分别是∠A的对边和邻边.
①∠A＝30°，a＝1，求tanA．
②∠A＝45°，求tanA．
③∠A＝60°，求tanA．
（2）怎样计算任意一个锐角的正切值呢？
学生思考并讲解方法；
（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b分别是∠A的对边和邻边.
①因为∠A＝30°，a＝1，所以c＝2，b＝，
则tanA＝tan30°＝＝＝．
②因为∠A＝45°，所以∠B＝45°，则a＝b，
所以tanA＝tan45°＝＝1．
③因为∠A＝60°，所以∠B＝30°，则c＝2b，
a＝b，所以tanA＝tan60°＝＝．
（2）学生充分讨论，谈论自己或小组总结的想法．
通过（1）中的3个具体问题，回忆并复习了正切的定义，同时也让学生逐步感受一个锐角的正切值是不受它在哪个三角形中的影响，也就是说，只要一个锐角确定了，那么它的正切值也就随之确定．在此基础上，再让学生讨论如何求任意锐角的正切值，这样过渡比较自然．
探究活动
（1）如图2，我们可以这样来确定tan65°的近似值：当一个点从点O出发沿着65°线移动到点P时，这个点沿水平方向前进了1个单位长度，沿垂直方向上升了约2.14个单位长度.于是，可知tan65°的近似值为2.14.你知道为什么吗？
（2）请用同样的方法，写出下表中各角正切的近似值.
tan
10°
20°
30°
45°
55°
65°
2.14
（3）思考与探索：当锐角越来越大时，的正切值有什么变化？
学生思考并讲解方法．
（1）因为tan＝，所以tan65°＝；
（2）观察图形，填写下表：
tan
10°
0.18
20°
0.36
30°
0.58
45°
1.00
55°
1.43
65°
2.14
（3）通过观察图形，填写表格发现：
当锐角α越来越大时，α的正切值也将越来越大，
也就是正切值随着锐角α的增大而增大.
通过引导学生正确观察图形，记录不同锐角的正确值，并借助数形结合，感受锐角α越来越大时，α的正切值也将越来越大（锐角α越来越小时，α的正切值也将越来越小），便于学生的理解和记忆．
利用计算器求值
利用计算器我们可以更快、更精确地求得各个锐角的正切值（了解计算器的结构和功能）.
例如：
用计算器求tan65°、tan22°18′、 tan51.28°的值（精确到0.01）.
解：（1）①依次按键 ，显示结果为2.144506921，即tan65°≈2.14；
②依次按键 ，显示结果为0.410129889，即tan22°18′≈0.41；
③依次按键 ，显示结果为1.247311510，即tan51°28′≈1.25．
注：因为22°18′＝22．3°，所以也可以直接输入22．3°．
（1）在教师讲解完计算器的结构和功能后，学生可以试一试各个按键的特点和常见的计算方法；
（2）在教师示范tan65°后，学生自己试着求tan22°18′、tan51.28°的值（精确到0.01）.
（3）求任意锐角的正切值，并感受不同角度的变化所带来正切值变化的特点.
学会使用计算器求任一个角的正切值，并能体会利用计算器我们可以更快、更精确地求得各个锐角的正切值.
利用计算器体会不同角度的变化所带来正切值变化的特点.
例题
例1 如图3，当光线与水平线的夹角为32°时，测得学校旗杆的影长为28m，求旗杆的高度（精确到0.01m）．
例2 如图4，这是一个梯形大坝的横断面，根据图中的尺寸，请你通过计算判断左右两个坡的倾斜程度哪一个更大一些？
例3 如图5，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD是∠CAB的平分线，tanB＝，则＝ _______ ．
学生板演，并讲解，教师点拨．
参考答案：
例1 17.50m；
例2 左边坡的倾斜程度更大一些 ；
例3 ．
通过例题教学，帮助学生巩固新知，教会学生如何利用正切的特点解决问题．本例题可由学生独立思考后再小组交流，既留有学生独立思考的时间和空间，且培养了学生小组合作的意识和团队精神．
练习巩固
（1）课本P99练习第1、2题；
（2）补充练习：
如图6，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝3，AB＝5，求∠ACD 、∠BCD的正切值．
1．学生独立完成；
2．实物投影学生的解答，学生点评；
3．小组内相互检查纠错．
参考答案：1．（1）0.78；（2）1.25；
（3）0.21．
2．．
补充练习tan∠ACD＝，tan∠BCD＝．
这几题即时巩固了新知，由学生独立完成，能检测全体学生对知识点的掌握情况，借助实物投影，可以展示多位学生有问题的解答，集体纠错，提高实效．最后由小组内互助纠错，能有效帮助后进生，培养学生的合作意识．
课堂小结
通过今天的学习，你学会了什么？与大家分享．
当锐角越来越大时，的正切值有什么变化？
（正切值随着锐角的增大而增大）
学生思考，交流并汇报．
小结能将所学知识条理化、系统化；让学生在交流中共享．
作业布置
1．（必做题）课本P99习题第3、4题；
2．（选做题）思考：
如图7，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，BD平分∠ABC，求tan∠ABD的值．
课后完成必做题，并根据自己的能力水平确定是否选做思考题．
选做题参考答案：．
设置分层作业，尊重学生的个体差异，为不同学生的发展创造不同的条件．
课件13张PPT。九年级(下册)7.1 正切（2）初中数学正切的定义： 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b分别是∠A的对边和邻边．我们将∠A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切（tangent），记作tanA，即tanA＝ ＝ ＝ ．忆一忆7.1 正切（2） 如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b分别是
∠A的对边和邻边．
①∠A＝30°，a＝1，求tanA.
②∠A＝45°，求tanA．
③∠A＝60°，求tanA．思考怎样计算任意一个锐角的正切值呢？做一做7.1 正切（2） 如图2，我们可以这样来确定tan65°的近似值：当一个点从点O出发沿着65°线移动到点P时，这个点沿水平方向前进了1个单位长度，沿垂直方向上升了约2.14个单位长度.于是，可知tan65°的近似值为2.14.你知道为什么？你能求其他角度的近似值吗？图27.1 正切（2）
请用同样的方法，写出下表中各角正切的近似值. 当锐角α越来越大时，α的正切值有什么变化？ 图27.1 正切（2）利用计算器求值： 你能求tan22°18′、 tan51.28°的值吗？试试看！7.1 正切（2） 用计算器求tan65°（精确到0.01）． 例1 如图3，当光线与水平线的夹角为32°时，测得学校旗杆的影长为28m，求旗杆的高度(精确到0.01m)．图3例 题7.1 正切（2） 例2 如图4，这是一个梯形大坝的横断面，根据图中的尺寸，请你通过计算判断左右两个坡的倾斜程度哪一个更大一些？图4例 题7.1 正切（2）图5 例3 如图5，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，
AD是∠CAB的平分线，tanB＝ ，则 ＝______.例 题7.1 正切（2） 如图6，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝3，AB ＝ 5，求∠ACD 、∠BCD的正切值．图6尝试与交流7.1 正切（2）通过这节课的学习，我的收获是…畅所欲言7.1 正切（2）1．课本P99习题7.1第3、4题； 如图7，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，BD平分∠ABC，求tan∠ABD的值．2．思考题（选做）：图7作业题7.1 正切（2）谢 谢!
