陕西省西安市国际港务区铁一中陆港中学2023-2024学年九年级上册数学开学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023九上·西安开学考）下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023九上·西安开学考）用配方法解一元二次方程，则方程可化为（ ）
A． B． C． D．
3．（2017八下·钦州港期末）下列说法中的错误的是（ ）
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．一组邻边相等的平行四边形是菱形
C．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
4．（2023九上·西安开学考）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
5．（2023九上·西安开学考）向上抛掷两枚相同的硬币，落地后出现一正面、一反面的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023九上·西安开学考）如图，在矩形中，对角线、相交于点，点、分别是、的中点，连接，若，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
7．（2014·宁波）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）
A．2.5 B． C． D．2
8．（2016九上·大石桥期中）某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同．设2，3月份利润的月增长率为x，那么x满足的方程为（ ）
A．10（1+x）2=36.4 B．10+10（1+x）2=36.4
C．10+10（1+x）+10（1+2x）=36.4 D．10+10（1+x）+10（1+x）2=36.4
9．（2023九上·西安开学考）如图，中，，，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023九上·西安开学考）用两个全等且边长为的等边三角形和拼成菱形，把一个角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的角的顶点与点重合，两边分别与，重合，将三角尺绕点按逆时针方向旋转，在转动过程中，当的面积是时，的长为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11．（2023九上·西安开学考）顺次连接矩形的四边中点所得图形是 ．
12．（2023九上·西安开学考）若关于的一元二次方程的一个根为，则值是 ．
13．（2023九上·西安开学考）如图是一个五角星图案，中间部分的五边形是一个正五边形，则图中的度数是 度
14．（2023九上·西安开学考）西安有“碳水之都”的美誉，现有张卡片正面分别写着“碳”“水”“之”“都”，卡片除汉字不同其他别无二致，将卡片正面朝下洗匀，然后同时随机抽取张，刚好抽到“碳”“水”二字的概率是 ．
15．（2023九上·西安开学考）若，则的值为 ．
16．（2023九上·西安开学考）如图，在矩形中，为上一点，以为边作矩形，其中经过点，连接，若，，，则的长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023九上·西安开学考）
（1）用公式法解方程：；
（2）用配方法解方程：；
（3）用分解因式法解：．
18．（2017·黔东南模拟）解方程： + =
19．（2023九上·西安开学考）已知：直线上一点及其外一点，求作：菱形，使菱形的边在直线上保留作图痕迹
20．（2023九上·西安开学考）如图，在中，是边上的中线，是的中点，延长到，使，连接、、求证：四边形是平行四边形．
21．（2023九上·西安开学考）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径现有甲、乙两个社区疫苗接种点，已知甲社区接种点平均每天接种疫苗的人数是乙社区接种点平均每天接种疫苗的人数的倍，且甲社区接种点完成人的疫苗接种所需的时间比乙社区接种点完成人的疫苗接种所需的时间少天．
（1）求甲、乙两个社区疫苗接种点平均每天接种疫苗的人数；
（2）一段时间后，乙社区疫苗接种点加大了宣传力度该接种点平均每天接种疫苗的人数比原来平均每天接种疫苗的人数增加了，受乙社区疫苗接种点宣传的影响，甲社区疫苗接种点平均每天接种疫苗的人数比原来平均每天接种疫苗的人数减少了人，但不低于人，这样乙社区接种点天接种疫苗的人数比甲社区接种点天接种疫苗的人数多人，求的值．
22．（2023九上·西安开学考）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，垂直于边的延长线于点，垂直于边的延长线于点，且．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）当：：，时，求菱形的面积．
23．（2023九上·西安开学考）已知关于的方程：有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为(1)中符合条件的最小正整数，设此时对应的一元二次方程的两个实数根分别为，，求代数式的值．
24．（2023九上·西安开学考）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透在我校的数学选修课上，同学们针对四边形面积求解的问题进行了探究：
（1）【问题提出】
如图，在 中，，，，是的中点，点在上，且，求四边形的面积；结果保留根号
（2）【问题解决】
如图所示，现规划在一处滩地上规划一个五边形河畔公园，按设计要求，要在五边形河畔公园内挖一个四边形人工湖，使点、、、分别在边、、、上，且满足，已知五边形中，，，，，，为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖？若存在，求四边形面积的最小值及这时点到点的距离；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：对于A选项：当时，方程可化为：，为一元一次方程，故A选项错误；B选项：方程：可化为：符合一元二次方程的形式，故B选项正确；对于C选项：方程中出现两个未知数，为二元二次方程，故C选项错误；对于D选项：为分式方程，故D选项错误.
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程的一般形式：进行逐项判定即可求解.
2．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： 一元二次方程 ，可变为： 一元二次方程即，故A选项符合要求.
故答案为：A.
【分析】根据用配方法解一元二次方程的步骤：（1）先把方程变为一元二次方程的标准形式：，（2）将常数项移至方程右边：同时方程两边同时除以二次项系数，及系数化1；（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）在把方程左边写成完全平方得形式，右边变为常数项；（5）若方程右边是非负数，则方程两边直接开方，即可求解，若右边是一个负数，则此方程无解.
3．【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、一组邻边相等的矩形是正方形，此说法正确，不符合题目的要求；
B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，此说法正确，不符合题目的要求；
C、一组对边相等且有一个角是直角的四边形不一定是矩形，此说法错误，符合题目的要求；
D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，此说法正确，不符合题目的要求；
故选C．
【分析】根据正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的判定方法逐项分析即可．
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：因为关于的一元二次方程有实数根 ，所以解得：且，故选答案D.
故答案为：D.
【分析】首先方程要为一元二次方程则，且方程有实数根，则，解出求解即可.
5．【答案】C
【知识点】概率公式；等可能事件的概率
【解析】【解答】解： 向上抛掷两枚相同的硬币落地后出现 的结果有：（正，反），（反，正），（正，正），（反，反），四种结果，则 向上抛掷两枚相同的硬币，落地后出现一正面、一反面的概率是.
故答案为：C.
【分析】根据题意写出实验所有可能性，然后在根据要求选择结果，根据概率公式进行计算概率即可.
6．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图在 矩形中，，由矩形的性质勾股定理可得：，由根据矩形的对角线互相平分可得：，又因为 点、分别是、的中点 ，所以由中位线定理得：.
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质和勾股定理可求得：，又利用矩形的对角线互相平分得到：，然后在利用中位线定理求解即可.
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接AC、CF，
∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，
∴AC= ，CF=3 ，
∠ACD=∠GCF=45°，
∴∠ACF=90°，
由勾股定理得，AF= = =2 ，
∵H是AF的中点，
∴CH= AF= ×2 = ．
故选：B．
【分析】连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，∠ACD=∠GCF=45°，再求出∠ACF=90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设二、三月份的月增长率是x，依题意有
10+10（1+x）+10（1+x）2=36.4，
故选D．
【分析】等量关系为：一月份利润+一月份的利润×（1+增长率）+一月份的利润×（1+增长率）2=34.6，把相关数值代入计算即可．
9．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如下图延长BD交AC于F，∵，∴在和中：，∴，则，，又，由中位线定理得：，故.
故答案为：A.
【分析】先根据考虑延长BD交AC于F，可以构造两个直角三角形，然后可以证得：，从而可以得到：
，，然后利用中位线定理得到：，继而可以得到：.
10．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定
【解析】【解答】解：如图1，因为和为的等边三角形 ，故，且，又因为，故，在和中，
∴，则，又因为的CE边上的高为等边的高，且AB=4，可算得
CE边上的高为：，则的面积，解得：，
则，故；如图2，由和为等边三角形，，则又则，在和中，，故，故
即，因为的CE边上的高为等边的高，且AB=4，可算得CE边上的高为：，则的面积，解得：，所以
.
故答案为：B.
【分析】先根据等边三角形的性质得到：，
再利用等量代换的思想可得：，在图1和图2中分别故可证得：，，然后再通过面积算出CE的长度即可求解.
11．【答案】菱形
【知识点】菱形的判定；矩形的性质
【解析】【解答】解：如下图所示：
根据矩形的性质有：，在中根据中位线定理有：，同理可得：
故，则四边形EFGH为菱形.
故答案为：菱形.
【分析】根据矩形的性质可得：，然后再利用中位线定理可得：，即可判定四边形EFGH为菱形.
12．【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：因为 关于的一元二次方程的一个根为 ，则且，故解得：.
故答案为：-2.
【分析】首先要考虑二次项系数不能为0，即，在将x=0代入原方程求解即可.
13．【答案】108
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：根据多边形内角和公式可得： 正五边形的内角和为：，
因为正多边形每个内角相等，则
故答案为：108.
【分析】利用多边形内角和公式：，求出正五边形ABCDE的内角和为：，然后利用正多边形每个内角相等得到每个内角为：，进行计算即可.
14．【答案】
【知识点】概率公式；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：从4张卡片正面写着“碳”、“水”、“之”、“都”取出2张结果：（“碳”，“水”）（“碳”，“之”），（“碳”，“都”）（“水”，“之”），（“之”“都”），（“水”，“都”），共有6中结果，刚好抽到“碳”、“水”只有一种可能，则从4张卡片正面写着“碳”、“水”、“之”、“都”取出2张刚好抽到“碳”、“水”的概率为：.
故答案为：.
【分析】先写出：从4张卡片正面写着“碳”、“水”、“之”、“都”取出2张结果，共有6中，看满足题目要求的取出2张刚好抽到“碳”、“水‘’的结果，再结合概率公式进行计算即可.
15．【答案】
【知识点】一元二次方程的根；公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意知：，则等式两条同时除以有：，令
故答案为：.
【分析】
16．【答案】8
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：延长AG交CB的延长线于点H，因为四边形和四边形均为矩形，由矩形的性质可得：，，因为，
所以，在和中：，，则，，
又因为，所以，可得：，因为，所以又因为，
，所以，故，所以，，又因为，
所以，且，所以四边形为平行四边形，故，又在中，
，同理在中，因为，
，，所以，即，，解得.
，故答案为：8.
【分析】延长AG交CB的延长线于点H，根据矩形的性质可得：，利用等量代换可得：，从而证得：，由全等的性质可得：，，然后利用及角度的等量代换证得：，根据可得，且，从而得到四边形为平行四边形，可得
，然后在和利用勾股定理得到：，在根据建立方程解出AD即可求解.
17．【答案】（1）解：，
，
，
，
所以，；
（2）解：，
，
，
，
，
，
所以，；
（3）解：，
，
，
或，
所以，．
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先将方程化为一元二次方程的标准形式：，求出，然后运用求根公式：进行求解即可；（2）根据配方法解解一元二次方程的步骤（1）将方程化为一元二次方程的标准形式，（2）将常数项移至方程右边：同时方程两边同时除以二次项系数，及系数化1；（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）在把方程左边写成完全平方得形式，右边变为常数项；（5）若方程右边是非负数，则方程两边直接开方，即可求解，若右边是一个负数，则此方程无解.进行求解即可.
18．【答案】解：原方程可化为： ，
方程的两边同乘（x﹣2）（x+2），得
（x﹣2）2﹣16=（x+2）2解得x=﹣2，
检验：把x=﹣2代入（x+2）（x﹣2）=0
∴原方程无解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】观察可得最简公分母是（x﹣2）（x+2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
19．【答案】解：如图：菱形即为所求．
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】连接AC，作线段AC的垂直平分线，与直线l的交点即为点B，以点C为圆心，BC长为半径作圆弧，与线段AC的垂直平分线的交点即点D.
20．【答案】证明：连接，
是的中点，
，
又，
四边形是平行四边形，
，且，
是边上的中线，
，
，
又，
，
四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】连接DF，根据中点的性质可得：，，又根据平行四边形的性质可得：且，可证得，，从而证得：四边形是平行四边形.
21．【答案】（1）解：设乙社区疫苗接种点平均每天接种人，则甲社区疫苗接种点平均每天接种人，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
，
答：甲社区疫苗接种点平均每天接种人，乙社区疫苗接种点平均每天接种人；
（2）解：由题意得：，
整理得：，
解得：，，
，
，
不符合题意舍去，
答：的值为．
【知识点】一元二次方程的其他应用；分式方程的实际应用；一元二次方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）设乙社区疫苗接种点平均每天接种人，则甲社区疫苗接种点平均每天接种人，根据 甲社区接种点完成人的疫苗接种所需的时间比乙社区接种点完成人的疫苗接种所需的时间少天 即可列出分式方程即可求解；
（2） 根据乙社区接种点天接种疫苗的人数比甲社区接种点天接种疫苗的人数多人 列出一元二次方程即可求解.
22．【答案】（1）证明：，，，
是的平分线，
，
在平行四边形中，，
，
，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：：：，
设，则，
，
在菱形中，，
在中，，
由勾股定理得：，
，
解得负值舍去，
，
菱形的面积．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；菱形的判定与性质；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据角平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等点，在角的平分线上，可得是的平分线，再根据平行四边形的性质可得：，可证得：，从而得到进而得到，即可得证；
（2）设，则，则，在利用勾股定理可算出，根据菱形的面积公式即可求解.
23．【答案】（1）解：根据题意，得，
解得；
（2）解：为中符合条件的最小正整数，
，
原一元二次方程为，
，，，
，
．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式时，方程 有两个不相等的实数根 进行求解即可；
（2）根据题意结合（1）知，从而可写出原方程，根据一元二次方程的解得定义可得：，由韦达定理得到：，，带入代数式进行求值即可.
24．【答案】（1）解：如图，过点作交的延长线于，过点作于，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
在中，，
，
点是的中点，
，
同理，
，
，
；
（2）解：存在，如图，分别延长与，交于点，则四边形是矩形，
米，米，
设米，则米，米，米，米，
米，米，
，
当时，平方米，
，，
符合设计要求的四边形面积的最小值为平方米，此时，点到点的距离为米．
【知识点】二次函数的最值；矩形的性质；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）过点作交的延长线于，过点作于，得到，然后根据平行四边形的性质得到，，从而得到，然后利用三角函数得到：，利用中点的性质算得，在；利用进行求解即可；
（2）将图形补全为矩形，分别延长与，交于点，则四边形是矩形，根据矩形的性质得到，，设米，则米，米，米，米，然后根据
求得其表达式为二次函数：，利用二次函数的性质得到其最值即可求解.
1 / 1陕西省西安市国际港务区铁一中陆港中学2023-2024学年九年级上册数学开学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023九上·西安开学考）下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：对于A选项：当时，方程可化为：，为一元一次方程，故A选项错误；B选项：方程：可化为：符合一元二次方程的形式，故B选项正确；对于C选项：方程中出现两个未知数，为二元二次方程，故C选项错误；对于D选项：为分式方程，故D选项错误.
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程的一般形式：进行逐项判定即可求解.
2．（2023九上·西安开学考）用配方法解一元二次方程，则方程可化为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： 一元二次方程 ，可变为： 一元二次方程即，故A选项符合要求.
故答案为：A.
【分析】根据用配方法解一元二次方程的步骤：（1）先把方程变为一元二次方程的标准形式：，（2）将常数项移至方程右边：同时方程两边同时除以二次项系数，及系数化1；（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）在把方程左边写成完全平方得形式，右边变为常数项；（5）若方程右边是非负数，则方程两边直接开方，即可求解，若右边是一个负数，则此方程无解.
3．（2017八下·钦州港期末）下列说法中的错误的是（ ）
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．一组邻边相等的平行四边形是菱形
C．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、一组邻边相等的矩形是正方形，此说法正确，不符合题目的要求；
B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，此说法正确，不符合题目的要求；
C、一组对边相等且有一个角是直角的四边形不一定是矩形，此说法错误，符合题目的要求；
D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，此说法正确，不符合题目的要求；
故选C．
【分析】根据正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的判定方法逐项分析即可．
4．（2023九上·西安开学考）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：因为关于的一元二次方程有实数根 ，所以解得：且，故选答案D.
故答案为：D.
【分析】首先方程要为一元二次方程则，且方程有实数根，则，解出求解即可.
5．（2023九上·西安开学考）向上抛掷两枚相同的硬币，落地后出现一正面、一反面的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】概率公式；等可能事件的概率
【解析】【解答】解： 向上抛掷两枚相同的硬币落地后出现 的结果有：（正，反），（反，正），（正，正），（反，反），四种结果，则 向上抛掷两枚相同的硬币，落地后出现一正面、一反面的概率是.
故答案为：C.
【分析】根据题意写出实验所有可能性，然后在根据要求选择结果，根据概率公式进行计算概率即可.
6．（2023九上·西安开学考）如图，在矩形中，对角线、相交于点，点、分别是、的中点，连接，若，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图在 矩形中，，由矩形的性质勾股定理可得：，由根据矩形的对角线互相平分可得：，又因为 点、分别是、的中点 ，所以由中位线定理得：.
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质和勾股定理可求得：，又利用矩形的对角线互相平分得到：，然后在利用中位线定理求解即可.
7．（2014·宁波）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）
A．2.5 B． C． D．2
【答案】B
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接AC、CF，
∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，
∴AC= ，CF=3 ，
∠ACD=∠GCF=45°，
∴∠ACF=90°，
由勾股定理得，AF= = =2 ，
∵H是AF的中点，
∴CH= AF= ×2 = ．
故选：B．
【分析】连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，∠ACD=∠GCF=45°，再求出∠ACF=90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
8．（2016九上·大石桥期中）某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同．设2，3月份利润的月增长率为x，那么x满足的方程为（ ）
A．10（1+x）2=36.4 B．10+10（1+x）2=36.4
C．10+10（1+x）+10（1+2x）=36.4 D．10+10（1+x）+10（1+x）2=36.4
【答案】D
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设二、三月份的月增长率是x，依题意有
10+10（1+x）+10（1+x）2=36.4，
故选D．
【分析】等量关系为：一月份利润+一月份的利润×（1+增长率）+一月份的利润×（1+增长率）2=34.6，把相关数值代入计算即可．
9．（2023九上·西安开学考）如图，中，，，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如下图延长BD交AC于F，∵，∴在和中：，∴，则，，又，由中位线定理得：，故.
故答案为：A.
【分析】先根据考虑延长BD交AC于F，可以构造两个直角三角形，然后可以证得：，从而可以得到：
，，然后利用中位线定理得到：，继而可以得到：.
10．（2023九上·西安开学考）用两个全等且边长为的等边三角形和拼成菱形，把一个角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的角的顶点与点重合，两边分别与，重合，将三角尺绕点按逆时针方向旋转，在转动过程中，当的面积是时，的长为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定
【解析】【解答】解：如图1，因为和为的等边三角形 ，故，且，又因为，故，在和中，
∴，则，又因为的CE边上的高为等边的高，且AB=4，可算得
CE边上的高为：，则的面积，解得：，
则，故；如图2，由和为等边三角形，，则又则，在和中，，故，故
即，因为的CE边上的高为等边的高，且AB=4，可算得CE边上的高为：，则的面积，解得：，所以
.
故答案为：B.
【分析】先根据等边三角形的性质得到：，
再利用等量代换的思想可得：，在图1和图2中分别故可证得：，，然后再通过面积算出CE的长度即可求解.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11．（2023九上·西安开学考）顺次连接矩形的四边中点所得图形是 ．
【答案】菱形
【知识点】菱形的判定；矩形的性质
【解析】【解答】解：如下图所示：
根据矩形的性质有：，在中根据中位线定理有：，同理可得：
故，则四边形EFGH为菱形.
故答案为：菱形.
【分析】根据矩形的性质可得：，然后再利用中位线定理可得：，即可判定四边形EFGH为菱形.
12．（2023九上·西安开学考）若关于的一元二次方程的一个根为，则值是 ．
【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：因为 关于的一元二次方程的一个根为 ，则且，故解得：.
故答案为：-2.
【分析】首先要考虑二次项系数不能为0，即，在将x=0代入原方程求解即可.
13．（2023九上·西安开学考）如图是一个五角星图案，中间部分的五边形是一个正五边形，则图中的度数是 度
【答案】108
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：根据多边形内角和公式可得： 正五边形的内角和为：，
因为正多边形每个内角相等，则
故答案为：108.
【分析】利用多边形内角和公式：，求出正五边形ABCDE的内角和为：，然后利用正多边形每个内角相等得到每个内角为：，进行计算即可.
14．（2023九上·西安开学考）西安有“碳水之都”的美誉，现有张卡片正面分别写着“碳”“水”“之”“都”，卡片除汉字不同其他别无二致，将卡片正面朝下洗匀，然后同时随机抽取张，刚好抽到“碳”“水”二字的概率是 ．
【答案】
【知识点】概率公式；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：从4张卡片正面写着“碳”、“水”、“之”、“都”取出2张结果：（“碳”，“水”）（“碳”，“之”），（“碳”，“都”）（“水”，“之”），（“之”“都”），（“水”，“都”），共有6中结果，刚好抽到“碳”、“水”只有一种可能，则从4张卡片正面写着“碳”、“水”、“之”、“都”取出2张刚好抽到“碳”、“水”的概率为：.
故答案为：.
【分析】先写出：从4张卡片正面写着“碳”、“水”、“之”、“都”取出2张结果，共有6中，看满足题目要求的取出2张刚好抽到“碳”、“水‘’的结果，再结合概率公式进行计算即可.
15．（2023九上·西安开学考）若，则的值为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根；公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意知：，则等式两条同时除以有：，令
故答案为：.
【分析】
16．（2023九上·西安开学考）如图，在矩形中，为上一点，以为边作矩形，其中经过点，连接，若，，，则的长为 ．
【答案】8
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：延长AG交CB的延长线于点H，因为四边形和四边形均为矩形，由矩形的性质可得：，，因为，
所以，在和中：，，则，，
又因为，所以，可得：，因为，所以又因为，
，所以，故，所以，，又因为，
所以，且，所以四边形为平行四边形，故，又在中，
，同理在中，因为，
，，所以，即，，解得.
，故答案为：8.
【分析】延长AG交CB的延长线于点H，根据矩形的性质可得：，利用等量代换可得：，从而证得：，由全等的性质可得：，，然后利用及角度的等量代换证得：，根据可得，且，从而得到四边形为平行四边形，可得
，然后在和利用勾股定理得到：，在根据建立方程解出AD即可求解.
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023九上·西安开学考）
（1）用公式法解方程：；
（2）用配方法解方程：；
（3）用分解因式法解：．
【答案】（1）解：，
，
，
，
所以，；
（2）解：，
，
，
，
，
，
所以，；
（3）解：，
，
，
或，
所以，．
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先将方程化为一元二次方程的标准形式：，求出，然后运用求根公式：进行求解即可；（2）根据配方法解解一元二次方程的步骤（1）将方程化为一元二次方程的标准形式，（2）将常数项移至方程右边：同时方程两边同时除以二次项系数，及系数化1；（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）在把方程左边写成完全平方得形式，右边变为常数项；（5）若方程右边是非负数，则方程两边直接开方，即可求解，若右边是一个负数，则此方程无解.进行求解即可.
18．（2017·黔东南模拟）解方程： + =
【答案】解：原方程可化为： ，
方程的两边同乘（x﹣2）（x+2），得
（x﹣2）2﹣16=（x+2）2解得x=﹣2，
检验：把x=﹣2代入（x+2）（x﹣2）=0
∴原方程无解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】观察可得最简公分母是（x﹣2）（x+2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
19．（2023九上·西安开学考）已知：直线上一点及其外一点，求作：菱形，使菱形的边在直线上保留作图痕迹
【答案】解：如图：菱形即为所求．
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】连接AC，作线段AC的垂直平分线，与直线l的交点即为点B，以点C为圆心，BC长为半径作圆弧，与线段AC的垂直平分线的交点即点D.
20．（2023九上·西安开学考）如图，在中，是边上的中线，是的中点，延长到，使，连接、、求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明：连接，
是的中点，
，
又，
四边形是平行四边形，
，且，
是边上的中线，
，
，
又，
，
四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】连接DF，根据中点的性质可得：，，又根据平行四边形的性质可得：且，可证得，，从而证得：四边形是平行四边形.
21．（2023九上·西安开学考）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径现有甲、乙两个社区疫苗接种点，已知甲社区接种点平均每天接种疫苗的人数是乙社区接种点平均每天接种疫苗的人数的倍，且甲社区接种点完成人的疫苗接种所需的时间比乙社区接种点完成人的疫苗接种所需的时间少天．
（1）求甲、乙两个社区疫苗接种点平均每天接种疫苗的人数；
（2）一段时间后，乙社区疫苗接种点加大了宣传力度该接种点平均每天接种疫苗的人数比原来平均每天接种疫苗的人数增加了，受乙社区疫苗接种点宣传的影响，甲社区疫苗接种点平均每天接种疫苗的人数比原来平均每天接种疫苗的人数减少了人，但不低于人，这样乙社区接种点天接种疫苗的人数比甲社区接种点天接种疫苗的人数多人，求的值．
【答案】（1）解：设乙社区疫苗接种点平均每天接种人，则甲社区疫苗接种点平均每天接种人，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
，
答：甲社区疫苗接种点平均每天接种人，乙社区疫苗接种点平均每天接种人；
（2）解：由题意得：，
整理得：，
解得：，，
，
，
不符合题意舍去，
答：的值为．
【知识点】一元二次方程的其他应用；分式方程的实际应用；一元二次方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）设乙社区疫苗接种点平均每天接种人，则甲社区疫苗接种点平均每天接种人，根据 甲社区接种点完成人的疫苗接种所需的时间比乙社区接种点完成人的疫苗接种所需的时间少天 即可列出分式方程即可求解；
（2） 根据乙社区接种点天接种疫苗的人数比甲社区接种点天接种疫苗的人数多人 列出一元二次方程即可求解.
22．（2023九上·西安开学考）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，垂直于边的延长线于点，垂直于边的延长线于点，且．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）当：：，时，求菱形的面积．
【答案】（1）证明：，，，
是的平分线，
，
在平行四边形中，，
，
，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：：：，
设，则，
，
在菱形中，，
在中，，
由勾股定理得：，
，
解得负值舍去，
，
菱形的面积．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；菱形的判定与性质；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据角平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等点，在角的平分线上，可得是的平分线，再根据平行四边形的性质可得：，可证得：，从而得到进而得到，即可得证；
（2）设，则，则，在利用勾股定理可算出，根据菱形的面积公式即可求解.
23．（2023九上·西安开学考）已知关于的方程：有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为(1)中符合条件的最小正整数，设此时对应的一元二次方程的两个实数根分别为，，求代数式的值．
【答案】（1）解：根据题意，得，
解得；
（2）解：为中符合条件的最小正整数，
，
原一元二次方程为，
，，，
，
．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式时，方程 有两个不相等的实数根 进行求解即可；
（2）根据题意结合（1）知，从而可写出原方程，根据一元二次方程的解得定义可得：，由韦达定理得到：，，带入代数式进行求值即可.
24．（2023九上·西安开学考）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透在我校的数学选修课上，同学们针对四边形面积求解的问题进行了探究：
（1）【问题提出】
如图，在 中，，，，是的中点，点在上，且，求四边形的面积；结果保留根号
（2）【问题解决】
如图所示，现规划在一处滩地上规划一个五边形河畔公园，按设计要求，要在五边形河畔公园内挖一个四边形人工湖，使点、、、分别在边、、、上，且满足，已知五边形中，，，，，，为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖？若存在，求四边形面积的最小值及这时点到点的距离；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：如图，过点作交的延长线于，过点作于，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
在中，，
，
点是的中点，
，
同理，
，
，
；
（2）解：存在，如图，分别延长与，交于点，则四边形是矩形，
米，米，
设米，则米，米，米，米，
米，米，
，
当时，平方米，
，，
符合设计要求的四边形面积的最小值为平方米，此时，点到点的距离为米．
【知识点】二次函数的最值；矩形的性质；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）过点作交的延长线于，过点作于，得到，然后根据平行四边形的性质得到，，从而得到，然后利用三角函数得到：，利用中点的性质算得，在；利用进行求解即可；
（2）将图形补全为矩形，分别延长与，交于点，则四边形是矩形，根据矩形的性质得到，，设米，则米，米，米，米，然后根据
求得其表达式为二次函数：，利用二次函数的性质得到其最值即可求解.
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