高中数学人教新课标A版选修4-4第一章坐标系同步练习
一、选择题
1．点M的直角坐标是 ，则点M的极坐标为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知点P的极坐标是（1， ），则过点P且垂直于极轴的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
3．（2017高一下·会宁期中）极坐标方程ρcos2θ=4sin θ所表示的曲线是（ ）
A．一条直线 B．一个圆 C．一条抛物线 D．一条双曲线
4．化极坐标方程 为直角坐标方程为（ ）
A． 或y=1 B．x=1
C． 或x=1 D．y=1
5．在极坐标系中，直线l的方程为 ，则点 到直线l的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．已知 ，下列所给出的不能表示该点的坐标的是（ ）
A． B．
C． D．
7．在极坐标系中，点 到圆 的圆心的距离为（ ）
A．2 B． C． D．
8．设点 的直角坐标为 ，以原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系 ，则点 的极坐标为（ ）
A． B．
C． D．
9．直角坐标 的极坐标为 ．
10．极坐标系下，直线 与圆 的公共点个数是 .
11．在极坐标系中，曲线 上的点到点 的最小距离等于 .
二、解答题
12．在直角坐标系中，以坐标原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点 的极坐标为 ，直线 的极坐标方程为 ，且点 在直线 上．
（1）求 的值及直线 的直角坐标方程；
（2）圆 的极坐标方程为 ，试判断直线 与圆 的位置关系．
13．在极坐标中，直线l的方程为 ，曲线C的方程为 .
（1）求直线l与极轴的交点到极点的距离；
（2）若曲线C上恰好有两个点到直线l的距离为 ，求实数m的取值范围.
14．在极坐标系中，曲线 的极坐标方程分别为 ， .
（1）求曲线 和 的公共点的个数；
（2）过极点作动直线与曲线 相交于点Q，在OQ上取一点P，使 ，求点P的轨迹，并指出轨迹是什么图形.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】极坐标系
【解析】【解答】 ， ， ，故C符合题意.
故答案为C。【分析】本题考查极坐标的转换，根据及得出θ，写成（ ρ，θ）
2．【答案】C
【知识点】简单曲线的极坐标方程
【解析】【解答】过点P且垂直于极轴的直线方程为 ，即 ，故C符合题意.
故答案为C。
【分析】根据直线过M（a，0）且垂直于极轴的直线方程： ρ cos θ =a,即可解出答案。
3．【答案】C
【知识点】简单曲线的极坐标方程
【解析】【解答】解：极坐标方程ρcos2θ=4sinθ化为ρ2cos2θ=4ρsinθ，
∴x2=4y．
因此极坐标方程ρcos2θ=4sin θ所表示的曲线是一条抛物线．
故选：C．
【分析】利用 即可把极坐标方程化为直角坐标方程，即可判断出．
4．【答案】C
【知识点】平面直角坐标系与曲线方程；简单曲线的极坐标方程
【解析】【解答】 可化为 ，所以应有 或 ，化成直角坐标方程为 或x=1，故C符合题意.
故答案为C.
【分析】首先本题抓住“ ρ 2 cos θ ρ = 0 ”观察后可以应用提公因式分解，最后应用ρ cos θ=x及ρ2=x2+y2得出正确选项。
5．【答案】A
【知识点】平面直角坐标系与曲线方程；简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【解答】直线l的直角坐标方程为 ，点 的直角坐标为 ，因此点到直线的距离为 ，故A符合题意．
故答案为A。
【分析】本题根据极坐标方程与普通方程的互化原则即：1.ρ sin θ = y ，ρ cos θ = x；2.点到直线的距离为
6．【答案】A
【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【解答】由 得 ，故点 的直角坐标为 ．点 的直角坐标为 ，不满足条件．点 ， ， 的直角坐标都为 ，满足条件，故A符合题意．
故答案为A。
【分析】本题应用极坐标与直角坐标的互化方法即：ρ sin θ = y ，ρ cos θ = x，把选项答案全部化成直角坐标进行比较。
7．【答案】D
【知识点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【解答】点 的直角坐标为 ，圆 的直角坐标方程为 ，所以点到圆心的距离为 ，故D符合题意．
故答案为D.
【分析】根据坐标与直角坐标的互化方法及极坐标方程与普通方程的化解得出答案；即：1.ρ sin θ = y ，ρ cos θ = x，2.ρ2=x 2 + y 23.点到圆心的距离为
8．【答案】A
【知识点】极坐标系；点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【解答】 又 ，所以 ，所以点 的极坐标为 ，故A符合题意.
故答案为A。
【分析】依据直角坐标与极坐标的化解原则解题；即 及 tan θ = 得出θ，写成（ ρ，θ）.
9．【答案】
【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【解答】 ，∴ ，极坐标为
故答案为( ， )
【分析】本题结合 ρ =及 tan θ = 得出θ，写成（ ρ，θ）解出极坐标。
10．【答案】1
【知识点】平面内点到直线的距离公式；简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【解答】直线 的直角坐标方程为 ，即 ，圆 的直角坐标方程为 ，圆心到直线的距离为 ，等于圆的半径，直线与圆相切，只有一个公共点．
故答案为1
【分析】本题结合极坐标方程与普通方程的化解得出答案；即：1.ρ sin θ = y ，ρ cos θ = x，2.ρ2=x 2 + y 23.点到直线的距离为：4.根据圆心点到直线的距离与半径比较得出答案。
11．【答案】
【知识点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【解答】∵ ，对应的直角坐标方程为 即 圆心为（0，1），半径为1. 即点 对应的直角坐标系中的点 ， 在圆外，所以最小距离等于 与圆心距离减去半径，即为 故答案为 1
【分析】根据1.ρ sin θ = y ，ρ cos θ = x；2.；3.得到对应的直角坐标方程；4.判断该点与圆的位置关系，解出答案。
12．【答案】（1）解：由点 在直线 上，可得 ，
所以直线 的方程可化为 ，
从而直线 的直角坐标方程为
（2）解：由已知得圆C的直角坐标方程为 ，
所以圆心为 ，半径r=1，所以圆心到直线的距离 ，
所以直线 与圆 相交．
【知识点】极坐标系；简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【分析】本题应用到的公式有：.ρ sin θ = y、ρ cos θ = x、.ρ2=x 2 + y 2、、点到直线的距离为：
1.将极坐标代入极坐标方程即可得到a，由直线方程与极坐标方程互化原则即可得到直角坐标方程；2.“判断直线 l 与圆 C 的位置”先算出圆的直角坐标方程根据圆心到直线的距离与圆半径相比较即可确定直线 l 与圆 C 的位置。
13．【答案】（1）解：令 ，可得 与极轴的交点到极点的距离为
（2）解：直线 的直角坐标方程为 ，曲线 的直角坐标方程为 ，曲线 表示以原点为圆心， 为半径的圆，且原点到直线 的距离为 .若曲线 上恰好存在两个点到直线 的距离为 ，则
【知识点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【分析】1.根据题意得“直线l与极轴的交点”即为（ ρ，0），直线l与极轴的交点到极点的距离= ρ；
2..ρ sin θ = y、ρ cos θ = x、.ρ2=x 2 + y 2、 tan θ = ，求出直角坐标方程；3.根据求出直角坐标方程中曲线 C为圆，结合已知条件即可解出本题答案。
14．【答案】（1）解： 的直角坐标方程为 ，它表示圆心为 ，半径为1的圆， 的直角坐标方程为 ，所以曲线 为直线，由于圆心到直线的距离为 ，所以直线与圆相离，即曲线 和 的公共点个数为0
（2）解：设 ， ，则 即 ①因为点 在曲线 上，所以 ，②将①代入②，得 ，即 ，此即为点P的轨迹方程，化为直角坐标方程为 ，
因此，点P的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆
【知识点】平面直角坐标系与曲线方程；简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【分析】1.根据ρ sin θ = y、ρ cos θ = x、.ρ2=x 2 + y 2化解出直角坐标方程；2.根据圆心到直线的距离与圆的半径比较确定直线与圆的位置关系即可得出答案；3.根据已知条件列出关系式，再根据C 2的极坐标方程确定点P的轨迹方程，最后根据P的极坐标方程转化为直角坐标方程确定轨迹图形。
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一、选择题
1．点M的直角坐标是 ，则点M的极坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】极坐标系
【解析】【解答】 ， ， ，故C符合题意.
故答案为C。【分析】本题考查极坐标的转换，根据及得出θ，写成（ ρ，θ）
2．已知点P的极坐标是（1， ），则过点P且垂直于极轴的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单曲线的极坐标方程
【解析】【解答】过点P且垂直于极轴的直线方程为 ，即 ，故C符合题意.
故答案为C。
【分析】根据直线过M（a，0）且垂直于极轴的直线方程： ρ cos θ =a,即可解出答案。
3．（2017高一下·会宁期中）极坐标方程ρcos2θ=4sin θ所表示的曲线是（ ）
A．一条直线 B．一个圆 C．一条抛物线 D．一条双曲线
【答案】C
【知识点】简单曲线的极坐标方程
【解析】【解答】解：极坐标方程ρcos2θ=4sinθ化为ρ2cos2θ=4ρsinθ，
∴x2=4y．
因此极坐标方程ρcos2θ=4sin θ所表示的曲线是一条抛物线．
故选：C．
【分析】利用 即可把极坐标方程化为直角坐标方程，即可判断出．
4．化极坐标方程 为直角坐标方程为（ ）
A． 或y=1 B．x=1
C． 或x=1 D．y=1
【答案】C
【知识点】平面直角坐标系与曲线方程；简单曲线的极坐标方程
【解析】【解答】 可化为 ，所以应有 或 ，化成直角坐标方程为 或x=1，故C符合题意.
故答案为C.
【分析】首先本题抓住“ ρ 2 cos θ ρ = 0 ”观察后可以应用提公因式分解，最后应用ρ cos θ=x及ρ2=x2+y2得出正确选项。
5．在极坐标系中，直线l的方程为 ，则点 到直线l的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面直角坐标系与曲线方程；简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【解答】直线l的直角坐标方程为 ，点 的直角坐标为 ，因此点到直线的距离为 ，故A符合题意．
故答案为A。
【分析】本题根据极坐标方程与普通方程的互化原则即：1.ρ sin θ = y ，ρ cos θ = x；2.点到直线的距离为
6．已知 ，下列所给出的不能表示该点的坐标的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【解答】由 得 ，故点 的直角坐标为 ．点 的直角坐标为 ，不满足条件．点 ， ， 的直角坐标都为 ，满足条件，故A符合题意．
故答案为A。
【分析】本题应用极坐标与直角坐标的互化方法即：ρ sin θ = y ，ρ cos θ = x，把选项答案全部化成直角坐标进行比较。
7．在极坐标系中，点 到圆 的圆心的距离为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【解答】点 的直角坐标为 ，圆 的直角坐标方程为 ，所以点到圆心的距离为 ，故D符合题意．
故答案为D.
【分析】根据坐标与直角坐标的互化方法及极坐标方程与普通方程的化解得出答案；即：1.ρ sin θ = y ，ρ cos θ = x，2.ρ2=x 2 + y 23.点到圆心的距离为
8．设点 的直角坐标为 ，以原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系 ，则点 的极坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】极坐标系；点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【解答】 又 ，所以 ，所以点 的极坐标为 ，故A符合题意.
故答案为A。
【分析】依据直角坐标与极坐标的化解原则解题；即 及 tan θ = 得出θ，写成（ ρ，θ）.
9．直角坐标 的极坐标为 ．
【答案】
【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【解答】 ，∴ ，极坐标为
故答案为( ， )
【分析】本题结合 ρ =及 tan θ = 得出θ，写成（ ρ，θ）解出极坐标。
10．极坐标系下，直线 与圆 的公共点个数是 .
【答案】1
【知识点】平面内点到直线的距离公式；简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【解答】直线 的直角坐标方程为 ，即 ，圆 的直角坐标方程为 ，圆心到直线的距离为 ，等于圆的半径，直线与圆相切，只有一个公共点．
故答案为1
【分析】本题结合极坐标方程与普通方程的化解得出答案；即：1.ρ sin θ = y ，ρ cos θ = x，2.ρ2=x 2 + y 23.点到直线的距离为：4.根据圆心点到直线的距离与半径比较得出答案。
11．在极坐标系中，曲线 上的点到点 的最小距离等于 .
【答案】
【知识点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【解答】∵ ，对应的直角坐标方程为 即 圆心为（0，1），半径为1. 即点 对应的直角坐标系中的点 ， 在圆外，所以最小距离等于 与圆心距离减去半径，即为 故答案为 1
【分析】根据1.ρ sin θ = y ，ρ cos θ = x；2.；3.得到对应的直角坐标方程；4.判断该点与圆的位置关系，解出答案。
二、解答题
12．在直角坐标系中，以坐标原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点 的极坐标为 ，直线 的极坐标方程为 ，且点 在直线 上．
（1）求 的值及直线 的直角坐标方程；
（2）圆 的极坐标方程为 ，试判断直线 与圆 的位置关系．
【答案】（1）解：由点 在直线 上，可得 ，
所以直线 的方程可化为 ，
从而直线 的直角坐标方程为
（2）解：由已知得圆C的直角坐标方程为 ，
所以圆心为 ，半径r=1，所以圆心到直线的距离 ，
所以直线 与圆 相交．
【知识点】极坐标系；简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【分析】本题应用到的公式有：.ρ sin θ = y、ρ cos θ = x、.ρ2=x 2 + y 2、、点到直线的距离为：
1.将极坐标代入极坐标方程即可得到a，由直线方程与极坐标方程互化原则即可得到直角坐标方程；2.“判断直线 l 与圆 C 的位置”先算出圆的直角坐标方程根据圆心到直线的距离与圆半径相比较即可确定直线 l 与圆 C 的位置。
13．在极坐标中，直线l的方程为 ，曲线C的方程为 .
（1）求直线l与极轴的交点到极点的距离；
（2）若曲线C上恰好有两个点到直线l的距离为 ，求实数m的取值范围.
【答案】（1）解：令 ，可得 与极轴的交点到极点的距离为
（2）解：直线 的直角坐标方程为 ，曲线 的直角坐标方程为 ，曲线 表示以原点为圆心， 为半径的圆，且原点到直线 的距离为 .若曲线 上恰好存在两个点到直线 的距离为 ，则
【知识点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【分析】1.根据题意得“直线l与极轴的交点”即为（ ρ，0），直线l与极轴的交点到极点的距离= ρ；
2..ρ sin θ = y、ρ cos θ = x、.ρ2=x 2 + y 2、 tan θ = ，求出直角坐标方程；3.根据求出直角坐标方程中曲线 C为圆，结合已知条件即可解出本题答案。
14．在极坐标系中，曲线 的极坐标方程分别为 ， .
（1）求曲线 和 的公共点的个数；
（2）过极点作动直线与曲线 相交于点Q，在OQ上取一点P，使 ，求点P的轨迹，并指出轨迹是什么图形.
【答案】（1）解： 的直角坐标方程为 ，它表示圆心为 ，半径为1的圆， 的直角坐标方程为 ，所以曲线 为直线，由于圆心到直线的距离为 ，所以直线与圆相离，即曲线 和 的公共点个数为0
（2）解：设 ， ，则 即 ①因为点 在曲线 上，所以 ，②将①代入②，得 ，即 ，此即为点P的轨迹方程，化为直角坐标方程为 ，
因此，点P的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆
【知识点】平面直角坐标系与曲线方程；简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【分析】1.根据ρ sin θ = y、ρ cos θ = x、.ρ2=x 2 + y 2化解出直角坐标方程；2.根据圆心到直线的距离与圆的半径比较确定直线与圆的位置关系即可得出答案；3.根据已知条件列出关系式，再根据C 2的极坐标方程确定点P的轨迹方程，最后根据P的极坐标方程转化为直角坐标方程确定轨迹图形。
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