2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：1.2 30°、45°、60°角的三角函数值
一、选择题
1．45°的正弦值为（ ）
A．1 B． C． D．
2．cos60°的值等于（ ）
A． B．1 C． D．
3．sin60°的值为（ ）
A． B． C． D．
4．在△ABC中，若tanA=1，sinB= ，你认为最确切的判断是（ ）
A．△ABC是等腰三角形 B．△ABC是等腰直角三角形
C．△ABC是直角三角形 D．△ABC是一般锐角三角形
5．（2017九上·宁波期中）在△ABC中，若|sinA﹣ |+（ ﹣cosB）2=0，∠A，∠B都是锐角，则∠C的度数是（ ）
A．75° B．90° C．105° D．120°
6．（2017·宁城模拟）把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin∠1= ，则∠2的度数为（ ）
A．120° B．135° C．145° D．150°
7．在△ABC中，（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|=0，则△ABC一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
8．（2017·顺德模拟）在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1，b= ，则∠A=（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
9．下列计算正确的是（ ）
A．sin60°﹣sin30°=sin30° B．sin245°+cos245°=1
C．cos60 D．cos30
10．（2016·安陆模拟）若规定sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ，则sin15°=（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC= ，则sin = ．
12．（2017·江津模拟）若 tan（x+10°）=1，则锐角x的度数为 ．
13．已知α与β互为余角，且cos（115°﹣α+β）= ，则α= ，β= ．
14．计算：sin60° cos30°﹣tan45°= ．
15．计算： sin45°+6tan30°﹣2cos30°= ．
16．已知α为锐角，当 无意义时，tan（α+15°）﹣tan（α﹣15°）的值是 ．
三、解答题
17．计算：
（1）（ ﹣1）﹣1+ ﹣6sin45°+（﹣1）2009．
（2）cos245°+ ﹣ tan30°．
（3） sin45°．
18．又到了一年中的春游季节．某班学生利用周末去参观“三军会师纪念塔”．下面是两位同学的一段对话：
甲：我站在此处看塔顶仰角为60°；
乙：我站在此处看塔顶仰角为30°；
甲：我们的身高都是1.6m；
乙：我们相距36m．
请你根据两位同学的对话，计算纪念塔的高度．（精确到1米）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：sin45°= ，
故答案为：C．
【分析】根据特殊角的三角函数值可求解。
2．【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：cos60°= ，
故答案为：D．
【分析】由特殊角的三角函数值可求解。
3．【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：sin60°= ．
故答案为：B．
【分析】由特殊角的三角函数值可求解。
4．【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵tanA=1，sinB= ，
∴∠A=45°，∠B=45°．
又∵三角形内角和为180°，
∴∠C=90°．
∴△ABC是等腰直角三角形．
故答案为：B．
【分析】根据特殊角的三角函数值再结合已知条件可求出∠A、∠B的度数，即可判断△ABC的形状。
5．【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵|sinA﹣ |=0，（ ﹣cosB）2=0，∴sinA﹣ =0， ﹣cosB=0，∴sinA= ， =cosB，∴∠A=45°，∠B=30°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=105°．故答案为：C．
【分析】根据绝对值、平方数的非负性和特殊角的函数值，得到∠A，∠B的度数，根据三角形内角和定理求出∠C的度数.
6．【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图所示，
∵sin∠1= ，
∴∠1=45°，
∵直角△EFG中，∠3=90°﹣∠1=90°﹣45°=45°，
∴∠4=180°﹣∠3=135°，
又∵AB∥CD，
∴∠2=∠4=135°．
故答案为：B．
【分析】根据特殊锐角值得出∠1=45°，进而根据三角形的内角和算∠3与∠4的度数，再根据二直线平行同位角相等得出结论。
7．【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：由，（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|=0，得
2cosA=，1﹣tanB=0．
解得A=45°，B=45°，
则△ABC一定是等腰直角三角形，
故选：D．
【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得A、B的值，根据直角三角形的判定，可得答案．
8．【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图所示：
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1，b= ，
∴tanA= = ．
∴∠A=30°，
故选A．
【分析】首先画出图形，进而利用锐角三角函数关系的定义得出即可．
9．【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：A、原式= ﹣ ≠ ，故A错误；
B、（ ）2+（ ）2=1，故B正确；
C、cos60°= ， = ，故C错误；
D、cos30°= ， = ，故D错误；
故答案为：B．
【分析】根据特殊角的三角函数值可进行判断。
10．【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：由题意得，sin15°=sin（45°﹣30°）
=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°
= × ﹣ ×
= ，
故选：D．
【分析】根据题意把15°化为45°﹣30°，代入特殊角的三角函数值计算即可．
11．【答案】
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵sinA= = ，
∴∠A=60°，
∴sin =sin30°= ．
故答案为： ．
【分析】在Rt△ABC中,由A的正弦可求∠A的度数，则sin 值可求。
12．【答案】20°
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵ tan（x+10°）=1，
∴tan（x+10°）= = ，
∴x+10°=30°，
∴x=20°．
故答案为：20°．
【分析】利用特殊角的三角函数值得出x+10°的值进而求出即可．
13．【答案】80°；10°
【知识点】三角形内角和定理；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵cos（115°﹣α+β）= ，
∴115°﹣α+β=45°，
又∵α与β互为余角，
∴α+β=90°，
解得：α=80°，β=10°．
故答案为：80°，10°．
【分析】根据特殊角的三角函数值和三角形内角和定理可求解。
14．【答案】﹣
【知识点】二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：sin60° cos30°﹣tan45°，
= ﹣1，
=﹣ ．
故答案为：﹣ ．
【分析】根据特殊角的三角函数值和二次根式的运算性质可求解。
15．【答案】1+
【知识点】二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解： sin45°+6tan30°﹣2cos30°
= × +6× ﹣2×
=1+2 ﹣
=1+ ．
故答案为：1+ ．
【分析】根据特殊角的三角函数值以及二次根式的运算性质可求解。
16．【答案】
【知识点】分式有意义的条件；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：当 无意义时，tanα=1，
∠α=45°，
则tan（α+15°）﹣tan（α﹣15°）=tan60°﹣tan30°= ﹣
= ．
故答案为： ．
【分析】根据分式无意义的条件可得α的度数，将α的度数代入代数式可求解。
17．【答案】（1）解：原式= +1+2 ﹣6× ﹣1=0
（2）解：原式=（ ）2+ ﹣ ×
= + ﹣1
=
（3）解：原式= ﹣ × + ×
= ﹣ +1=0．
【知识点】负整数指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数值；乘方的相关概念
【解析】【分析】（1）根据负整数指数幂的意义、二次根式的化简、特殊角的三角函数值可计算。（2）根据特殊角的三角函数值、二次根式的化简可计算；（3）根据特殊角的三角函数值、二次根式的化简可计算。
18．【答案】解：如图，CD=EF=BH=1.6m，CE=DF=36m，∠ADH=30°，∠AFH=30°，
在Rt△AHF中，∵tan∠AFH=，
∴FH=，
在Rt△ADH中，∵tan∠ADH=，
∴DH=，
而DH﹣FH=DF，
∴﹣=36，即﹣=36，
∴AH=18，
∴AB=AH+BH=18+1.6≈33（m）．
答：纪念塔的高度约为33m．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】先画出几何图形，如图，CD=EF=BH=1.6m，CE=DF=36m，∠ADH=30°，∠AFH=30°，分别利用正切定义得到FH=，DH=，则﹣=36，再利用特殊角的函数值可计算出AH=18，然后计算AH+BH即可．
1 / 12017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：1.2 30°、45°、60°角的三角函数值
一、选择题
1．45°的正弦值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：sin45°= ，
故答案为：C．
【分析】根据特殊角的三角函数值可求解。
2．cos60°的值等于（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：cos60°= ，
故答案为：D．
【分析】由特殊角的三角函数值可求解。
3．sin60°的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：sin60°= ．
故答案为：B．
【分析】由特殊角的三角函数值可求解。
4．在△ABC中，若tanA=1，sinB= ，你认为最确切的判断是（ ）
A．△ABC是等腰三角形 B．△ABC是等腰直角三角形
C．△ABC是直角三角形 D．△ABC是一般锐角三角形
【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵tanA=1，sinB= ，
∴∠A=45°，∠B=45°．
又∵三角形内角和为180°，
∴∠C=90°．
∴△ABC是等腰直角三角形．
故答案为：B．
【分析】根据特殊角的三角函数值再结合已知条件可求出∠A、∠B的度数，即可判断△ABC的形状。
5．（2017九上·宁波期中）在△ABC中，若|sinA﹣ |+（ ﹣cosB）2=0，∠A，∠B都是锐角，则∠C的度数是（ ）
A．75° B．90° C．105° D．120°
【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵|sinA﹣ |=0，（ ﹣cosB）2=0，∴sinA﹣ =0， ﹣cosB=0，∴sinA= ， =cosB，∴∠A=45°，∠B=30°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=105°．故答案为：C．
【分析】根据绝对值、平方数的非负性和特殊角的函数值，得到∠A，∠B的度数，根据三角形内角和定理求出∠C的度数.
6．（2017·宁城模拟）把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin∠1= ，则∠2的度数为（ ）
A．120° B．135° C．145° D．150°
【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图所示，
∵sin∠1= ，
∴∠1=45°，
∵直角△EFG中，∠3=90°﹣∠1=90°﹣45°=45°，
∴∠4=180°﹣∠3=135°，
又∵AB∥CD，
∴∠2=∠4=135°．
故答案为：B．
【分析】根据特殊锐角值得出∠1=45°，进而根据三角形的内角和算∠3与∠4的度数，再根据二直线平行同位角相等得出结论。
7．在△ABC中，（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|=0，则△ABC一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：由，（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|=0，得
2cosA=，1﹣tanB=0．
解得A=45°，B=45°，
则△ABC一定是等腰直角三角形，
故选：D．
【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得A、B的值，根据直角三角形的判定，可得答案．
8．（2017·顺德模拟）在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1，b= ，则∠A=（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图所示：
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1，b= ，
∴tanA= = ．
∴∠A=30°，
故选A．
【分析】首先画出图形，进而利用锐角三角函数关系的定义得出即可．
9．下列计算正确的是（ ）
A．sin60°﹣sin30°=sin30° B．sin245°+cos245°=1
C．cos60 D．cos30
【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：A、原式= ﹣ ≠ ，故A错误；
B、（ ）2+（ ）2=1，故B正确；
C、cos60°= ， = ，故C错误；
D、cos30°= ， = ，故D错误；
故答案为：B．
【分析】根据特殊角的三角函数值可进行判断。
10．（2016·安陆模拟）若规定sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ，则sin15°=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：由题意得，sin15°=sin（45°﹣30°）
=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°
= × ﹣ ×
= ，
故选：D．
【分析】根据题意把15°化为45°﹣30°，代入特殊角的三角函数值计算即可．
二、填空题
11．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC= ，则sin = ．
【答案】
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵sinA= = ，
∴∠A=60°，
∴sin =sin30°= ．
故答案为： ．
【分析】在Rt△ABC中,由A的正弦可求∠A的度数，则sin 值可求。
12．（2017·江津模拟）若 tan（x+10°）=1，则锐角x的度数为 ．
【答案】20°
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵ tan（x+10°）=1，
∴tan（x+10°）= = ，
∴x+10°=30°，
∴x=20°．
故答案为：20°．
【分析】利用特殊角的三角函数值得出x+10°的值进而求出即可．
13．已知α与β互为余角，且cos（115°﹣α+β）= ，则α= ，β= ．
【答案】80°；10°
【知识点】三角形内角和定理；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵cos（115°﹣α+β）= ，
∴115°﹣α+β=45°，
又∵α与β互为余角，
∴α+β=90°，
解得：α=80°，β=10°．
故答案为：80°，10°．
【分析】根据特殊角的三角函数值和三角形内角和定理可求解。
14．计算：sin60° cos30°﹣tan45°= ．
【答案】﹣
【知识点】二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：sin60° cos30°﹣tan45°，
= ﹣1，
=﹣ ．
故答案为：﹣ ．
【分析】根据特殊角的三角函数值和二次根式的运算性质可求解。
15．计算： sin45°+6tan30°﹣2cos30°= ．
【答案】1+
【知识点】二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解： sin45°+6tan30°﹣2cos30°
= × +6× ﹣2×
=1+2 ﹣
=1+ ．
故答案为：1+ ．
【分析】根据特殊角的三角函数值以及二次根式的运算性质可求解。
16．已知α为锐角，当 无意义时，tan（α+15°）﹣tan（α﹣15°）的值是 ．
【答案】
【知识点】分式有意义的条件；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：当 无意义时，tanα=1，
∠α=45°，
则tan（α+15°）﹣tan（α﹣15°）=tan60°﹣tan30°= ﹣
= ．
故答案为： ．
【分析】根据分式无意义的条件可得α的度数，将α的度数代入代数式可求解。
三、解答题
17．计算：
（1）（ ﹣1）﹣1+ ﹣6sin45°+（﹣1）2009．
（2）cos245°+ ﹣ tan30°．
（3） sin45°．
【答案】（1）解：原式= +1+2 ﹣6× ﹣1=0
（2）解：原式=（ ）2+ ﹣ ×
= + ﹣1
=
（3）解：原式= ﹣ × + ×
= ﹣ +1=0．
【知识点】负整数指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数值；乘方的相关概念
【解析】【分析】（1）根据负整数指数幂的意义、二次根式的化简、特殊角的三角函数值可计算。（2）根据特殊角的三角函数值、二次根式的化简可计算；（3）根据特殊角的三角函数值、二次根式的化简可计算。
18．又到了一年中的春游季节．某班学生利用周末去参观“三军会师纪念塔”．下面是两位同学的一段对话：
甲：我站在此处看塔顶仰角为60°；
乙：我站在此处看塔顶仰角为30°；
甲：我们的身高都是1.6m；
乙：我们相距36m．
请你根据两位同学的对话，计算纪念塔的高度．（精确到1米）
【答案】解：如图，CD=EF=BH=1.6m，CE=DF=36m，∠ADH=30°，∠AFH=30°，
在Rt△AHF中，∵tan∠AFH=，
∴FH=，
在Rt△ADH中，∵tan∠ADH=，
∴DH=，
而DH﹣FH=DF，
∴﹣=36，即﹣=36，
∴AH=18，
∴AB=AH+BH=18+1.6≈33（m）．
答：纪念塔的高度约为33m．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】先画出几何图形，如图，CD=EF=BH=1.6m，CE=DF=36m，∠ADH=30°，∠AFH=30°，分别利用正切定义得到FH=，DH=，则﹣=36，再利用特殊角的函数值可计算出AH=18，然后计算AH+BH即可．
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