省实金湾学校2023级高一10月月考
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列表述中正确的是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据的定义可排除；根据点集和数集的定义可排除；根据元素与集合关系排除，确认正确.
【详解】不包含任何元素，故，错误；
为点集，为数集，故，错误；
是集合中的一个元素，即，错误；
表示自然数集，故，正确.
故选
【点睛】本题考查集合的定义、元素与集合的关系、相等集合的概念等知识，属于基础题.
2. 命题“，”的否定形式是（）
A. ，或 B. ，且
C. ，或 D. ，且
【答案】D
【解析】
【分析】根据特称命题的否定求解即可.
【详解】解：由特称命题的否定形式得：命题“，”的否定形式是：，且.
故选：D
3. 命题p：“”，命题q：“”，则p是q的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分性、必要性的定义，结合方程的根进行判断即可.
【详解】由，或，
因此p是q的必要不充分条件，
故选：B
4. 若y1＝3x2－x＋1，y2＝2x2＋x－1，则y1与y2的大小关系是（ ）
A. y1C. y1>y2 D. 随x值变化而变化
【答案】C
【解析】
【分析】利用作差法比较大小.
【详解】y1－y2＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，
所以y1>y2.
故选:C.
【点睛】本题考查比较大小，考查作差法，考查运算能力，属于基础题.
5. 设,且,则的最小值为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用基本不等式求解即可.
【详解】,
当且仅当即时等号成立.
故选:C.
6. 设，，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用不等式的性质可得.
【详解】因为，，
所以，，
所以，
故选：D
7. 正确表示图中阴影部分的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】通过并集，交集和补集的概念计算，对四个选项一一判断，得到答案.
【详解】A选项，如图1，表达的部分为①②③的并集，不满足要求，A错误；
BD选项，如图2，和表达的部分均为②③④部分的并集，不满足要求，BD错误；
C选项，根据计算，满足题意，C正确；
故选：C
8. 已知关于的不等式的解集为，则的最大值是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】一元二次不等式解集转化为一元二次方程的解，根据韦达定理求出，，再用基本不等式求出最值
【详解】的解集为，则是方程的两个根，故，，故
因为，所以有基本不等式得：，当且仅当即时，等号成立，所以的最大值为
故选：D
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列命题为真命题的是（）
A. ，使得
B. ，都有
C. 已知集合，，则对于，都有
D. ，使得方程成立．
【答案】AB
【解析】
【分析】根据全称和特称量词的含义，结合去绝对值的方法、交集的定义和一元二次方程根的个数的判断，依次确定各个选项的正误即可.
【详解】对于A，当时，，A正确；
对于B，当时，，B正确；
对于C，当时，，C错误；
对于D，，，方程都不成立，D错误.
故选：AB.
10. 若，则下列不等式成立是（）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用不等式的性质判断ABC，利用作差法判断D.
【详解】对于A：当时，，A成立；
对于B：当时，，B不成立；
对于C：当时，，即，C成立；
对于D：，，，
，即，D不成立.
故选：AC.
11. 给出下列四个结论，其中正确的有（）
A.
B. 若，则
C. 集合无限集
D. 集合的子集共有4个
【答案】BC
【解析】
【分析】根据已知条件，结合集合的关系、子集的定义等性质和概念，即可求解.
【详解】对于A，集合间不应有属于和不属于的关系，故A错误；
对于B，若为整数，则一定为整数，故B正确；
对于C，有理数有无数个，则集合是无限集，故C正确；
对于D，，即其子集的个数为个，故D错误；
故选：BC.
12. 已知实系数一元二次方程，下列结论正确的是（）
A. 是这个方程有实根的充要条件
B. 是这个方程有实根的充分条件
C. 是这个方程有实根的必要条件
D. 是这个方程没有实根的充要条件
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据二次函数判别式与根的情况，利用充分条件和必要条件的定义逐一判断即可.
【详解】，等价于方程有实根，故A正确；
，可以推出：方程有实根，是两个相等的实数根，故B正确；
方程有实根，可以推出，但推不出，故C错误；
，等价于方程没有实根，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 设集合，，则________.
【答案】
【解析】
【分析】直接利用并集的运算求解即可.
【详解】因为集合，，
所以.
故答案为：.
14. 已知一元二次方程的根是和2，则对应二次函数的零点是________，对应一元二次不等式的解集是________.
【答案】 ①. 和 ②. .
【解析】
【分析】根据题意，结合零点的定义，求得函数的零点，再由一元二次函数与一元二次不等式的关系，即可求得不等式的解集.
【详解】由一元二次方程的根是和，
根据函数零点的定义，可得二次函数的零点是和，
结合一元二次函数与一元二次不等式的关系，
可得不等式的解集为.
故答案为：和；.
15. 已知，，若，则的最大值是______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用配凑法，结合基本不等式，求得的最大值.
【详解】依题意，
当且仅当时等号成立.
故的最大值为.
故答案为：.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
16. 已知是的充分条件，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据充分条件的定义得到，从而得到不等式，求出实数的取值范围.
【详解】由题意得：，故，解得：,
故实数的取值范围是.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知全集，集合，.
（1）求；
（2）求.
【答案】（1）或
（2）或
【解析】
【分析】（1）直接利用补集的运算求解即可；
（2）结合（1），利用并集的运算求解即可.
【小问1详解】
因集合，
所以或；
小问2详解】
因为，
由（1）可知或，
所以或.
18. 已知命题：存在，.
（1）命题的否定为________；
（2）若命题是真命题，则实数的取值范围.
【答案】（1），.
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由特称命题的否定为全称命题，即可得到结果；
（2）根据题意，由命题为真命题，列出不等式，即可得到结果.
【小问1详解】
命题：存在，是特称命题，其否定为全称命题，即，.
【小问2详解】
若命题：存在，为真命题，则，解得，所以实数的取值范围为
19. 回答下列问题
（1）若，求的最小值.
（2）已知关于的不等式的解集是或，求的解集.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可知，利用基本不等式求和的最小值即可；
（2）先利用一元二次不等式的解集和根与系数的关系求出，，再将原不等式转化为，代入即可求解.
【小问1详解】
因为，所以，
则由基本不等式可得，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
【小问2详解】
因为关于的不等式的解集是或，
所以开口向下，即，且一元二次方程的两个根为，，
所以由韦达定理可得，
则不等式两边同时除以可得，
即，解得.
20. 当取什么值时，不等式对一切实数恒成立.
【答案】
【解析】
【分析】对分类讨论，再利用判别式解不等式即可.
【详解】时，原式等价于，符合题意；
时，原式除以后等价于恒成立，
对应抛物线开口向上，不可能恒成立，不合题意；
时，原式等价于恒成立，
有，解得，故；
综上：.
21. 如图所示，某学校要在长为8，宽为6的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为x，中间植草坪.
（1）若中间草坪面积为矩形土地面积的一半，则花卉带的宽度x是多少？
（2）为了美观，要求草坪的面积大于矩形土地面积的一半，则花卉带的宽度x的取值范围是多少？
【答案】（1）1；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先用表示出中间草坪的长，宽，中间草坪的面积，矩形土地的面积，再由题意建立限制条件求解出花卉带的宽度x即可；
（2）先用表示出中间草坪的长，宽，中间草坪的面积，矩形土地的面积，再由题意建立不等式组求解出花卉带的宽度x的取值范围即可.
【详解】解：由题意：中间草坪的长为，宽为，且
中间草坪面积为，矩形土地的面积，
（1）因为中间草坪面积为矩形土地面积的一半，所以解得：，
所以若中间草坪面积为矩形土地面积的一半，则花卉带的宽度x是1
（2）因为草坪的面积大于矩形土地面积的一半，所以，解得：
所以草坪的面积大于矩形土地面积的一半，则花卉带的宽度x的取值范围是.
【点睛】本题考查一元二次不等式的实际应用、求解一元二次不等式，是基础题.
22. 设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点.设，求的最大面积及相应的值.
【答案】时的最大面积为
【解析】
【分析】由题意可知，，即，设，则，，再根据为直角三角形，得出关于的表达式，再用三角形面积计算公式，得出的面积关于的表达式，再利用基本不等式可得面积的最大值及相应的的值.
【详解】由题意可知，矩形的周长为，，即，
设，则，，而为直角三角形，
∴，∴，∴，
∴.
当且仅当，即，此时满足，
即时的最大面积为.
(
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)省实金湾学校2023级高一10月月考
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列表述中正确的是
A. B. C. D.
2. 命题“，”的否定形式是（）
A. ，或 B. ，且
C. ，或 D. ，且
3. 命题p：“”，命题q：“”，则p是q的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
4. 若y1＝3x2－x＋1，y2＝2x2＋x－1，则y1与y2的大小关系是（ ）
Ay1C. y1>y2 D. 随x值变化而变化
5. 设,且,则的最小值为（）
A. B.
C. D.
6. 设，，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
7. 正确表示图中阴影部分的是（）
A. B.
C. D.
8. 已知关于的不等式的解集为，则的最大值是（）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列命题为真命题的是（）
A. ，使得
B. ，都有
C. 已知集合，，则对于，都有
D. ，使得方程成立．
10. 若，则下列不等式成立的是（）
A. B. C. D.
11. 给出下列四个结论，其中正确的有（）
A.
B. 若，则
C. 集合是无限集
D. 集合的子集共有4个
12. 已知实系数一元二次方程，下列结论正确的是（）
A. 是这个方程有实根的充要条件
B. 是这个方程有实根的充分条件
C. 是这个方程有实根的必要条件
D. 是这个方程没有实根的充要条件
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 设集合，，则________.
14. 已知一元二次方程的根是和2，则对应二次函数的零点是________，对应一元二次不等式的解集是________.
15. 已知，，若，则的最大值是______．
16. 已知是的充分条件，则实数的取值范围是__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知全集，集合，.
（1）求；
（2）求.
18. 已知命题：存，.
（1）命题的否定为________；
（2）若命题是真命题，则实数的取值范围.
19. 回答下列问题
（1）若，求的最小值.
（2）已知关于的不等式的解集是或，求的解集.
20. 当取什么值时，不等式对一切实数恒成立.
21. 如图所示，某学校要在长为8，宽为6的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为x，中间植草坪.
（1）若中间草坪面积为矩形土地面积一半，则花卉带的宽度x是多少？
（2）为了美观，要求草坪的面积大于矩形土地面积的一半，则花卉带的宽度x的取值范围是多少？
22. 设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点.设，求的最大面积及相应的值.
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