黑龙江省齐齐哈尔市五校联考2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题（含解析）

齐齐哈尔市五校联考2023-2024学年高三上学期期中考试
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．选择题用铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．
5．本卷主要考查内容：集合，函数，导数，三角函数，平面向量，数列，复数．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知为虚数单位，则复数的模为（ ）
A． B． C． D．
3．已知是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
4．在中，，则边上的高的长度为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数则“”是“在上单调递增”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知函数在上单调递增，且，则（ ）
A． B． C． D．1
7．已知函数存在减区间，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知，则函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．当时，；当时，
B．函数的减区间为，增区间为
C．函数的值域为
D．恒成立
11．已知为锐角，且，则（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
12．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．对于数列及数列，若，下列说法正确的是（ ）
A．存在数列，使得与都为等比数列
B．存在数列，使得与都为等差数列
C．存在数列，使得为等比数列，且为等差数列
D．存在数列，使得为等差数列，且为等比数列
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，则向量的夹角的余弦值为______．
14．设等差数列的前项和为，若，则______．
15．已知函数的定义域为，满足，当时，，则______．
16．已知函数是定义在上的奇函数，且对于任意非零实数，均有．当时，．若的值域为，则的取值范围为______．（可参考的不等式结论：恒成立）
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知为锐角，且满足．
（1）求的值；
（2）求的值．
18．（本小题满分12分）
在中，内角所对的边分别为，且．
（1）求；
（2）若的面积为，求的值．
19．（本小题满分12分）
已知函数（且）．
（1）当时，求的值域；
（2）若在上的最大值大于2，求的取值范围．
20．（本小题满分12分）
在数列中，已知，且．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的前项的和．
21．（本小题满分12分）
已知函数，其中是自然对数的底数．
（1）若，证明：函数的极小值为0；
（2）若存在两条直线与曲线和曲线均相切，求的取值范围．
22．（本小题满分12分）
已知函数，其中．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有且仅有两个零点，求实数的取值范围．
齐齐哈尔市五校联考2023-2024学年高三上学期期中考试
数学
参考答案、提示及评分细则
1．B因为，所以．
2．C．
3．B．
4．A边上的高的长度为．
5．C在上单调递增，且，又因为的对称轴为，所以，故选C．
6．C当时，，则，
解得，故，
又，所以，解得．
7．D由题意，有解，令，解得，
易知，所以，解得．
8．B易知，
设，则，所以单调递增，
所以，即，
设，则，所以单调递减，
所以，即，
综上，．
9．AD当时，单调递增，且，所以A选项正确，B选项错误；因为时，，故C选项错误；当时，单调递减，故D选项正确．故选AD．
10．ACD对于选项A，当时，；当时，，故选项A正确；
对于选项B，，令可得，有，可知函数的减区间为，增区间为，故选项B错误；
对于选项C，由上可知，故选项C正确；
对于选项D，，令，有，令可得，故函数的增区间为，减区间为，可得，故选项D正确．
11．BC因为，
所以，所以，即A错误；
因为，所以，即B正确；
因为，若，所以，
所以，即，解得，即C正确；
因为，所以，所以，
解得，所以，所以，即D错误．
12．BCD若为等比数列，由，可知公比，
因为为奇函数，不妨设，则，
所以不为定值，且为定值，即A错误，C正确；若为等差数列，由，可知公差，
因为为奇函数，所以可取，即，
此时令，则，即，满足为等差数列，即B正确；
令，则，即，满足为等比数列，即D正确．
13．设夹角为，则．
14．当时，，则；
当时，，两式相减，整理得，
设公差为，则，即，所以，
所以．
15．
，．
16．因为，所以，
所以，
易知当时，，
若当时，，则当时，，
此时显然的值域不为，不符题意，
又，
所以不等式在内有解，且恒成立，
即在内有解，且恒成立，
设，则，
综上，当时，单调递增，所以，
设，则，
易知，即，
综上，．
17．解：（1）因为为锐角，所以，
所以，
所以；
（2）由（1）知，
，
所以．
18．解：（1）由正弦定理，有，
可化为，
有，
又由，可得；
（2）由的面积为，有，可得，
又由，有，可得．
19．解：（1）当时，的定义域为，
由（当且仅当时取等号），
有，可得，
故函数的值域为；
（2）由（1）知，，
所以在在上单调递减，在上单调递增，
又，
所以函数在上的值域为．
①当时，在上的最大值为，
即，解得，舍去；
当时，在上的最大值为，
即，解得．
综上，的取值范围为．
20．（1）证明：由题意可知，，
则，且，
所以数列是以8为首项，2为公比的等比数列；
（2）解：由（1）可知，，所以，
又，所以，
又，所以，即，
所以，
即．
21．（1）证明：由题意可知，，则，
，令，解得，
列表可知，，
又，则存在，使得，
列表可知，的极小值为，命题得证；
（2）解：设曲线上的切点为，
因为，则切线方程为，
令直线与曲线联立，得，
整理得，
则，整理得，
设，则由题意可知，有两个不同的零点，
，令，解得，
列表可知，，即，
又当时，，所以存在，
使得，即符合题意，
综上，的取值范围为．
22．解：（1）函数的定义域为，
，
①当时，，可得，此时函数为增函数，增区间为，没有减区间；
②当时，令，可得或，此时函数的增区间为，，减区间为；
（2）①当时，由，
当时，有，可得，
令，有，令，可得函数的增区间为，减区间为，
有，
可得，得，有，可知当时，．
由上知当时，函数没有零点，不合题意；
②当时，方程可化为，两边取对数可得，整理为，
令，有，
令，有，可得函数单调递增，
可得，
当且时，，可得此时，
当时，，
故存在唯一的正数使得，可得函数的增区间为，减区间为
若函数有且仅有两个零点，必须，可得，
又由函数为增函数，且，可得不等式的解为，可得，
当且时，，
令，有，可得函数的增区间为，减区间为，可得，可得，
当时，，
由上知，若函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围为．