河南省南阳六校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含解析）

南阳六校2023-2024学年高二上学期期中考试
数 学
考生注意：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知直线l过点和，则直线l在y轴上的截距为（ ）
A. －1 B. 0 C. 2 D. 4
2. 已知椭圆C：的左、右焦点分别是，，P为C上一点，且，Q是线段的中点，O为坐标原点，则（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
3. 已知双曲线C：的渐近线方程为，且C过点，则C的方程为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知直线l：，圆C：，若过l上一点A向圆C引切线，则切线长的最小值为（ ）
A. 1 B. C. D.
5. 已知直线l过点，且在x轴上的截距为y轴上截距的3倍，则直线l的方程为（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
6. 已知直线l：与抛物线C：交于A，B两点，且，则C的方程为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，直线l：，椭圆C：的离心率，过C的右焦点且与x轴垂直的直线与l交于点P，若（k表示斜率，O为坐标原点），则实数m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线l与C的左支交于A，B两点，，且，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 经过点，且倾斜角为的直线方程为
B. 方程表示过点且斜率为k的直线
C. 直线必过定点
D. 方程为的直线与x轴的交点到原点的距离为a
10. 已知圆：，圆：，且与交于P，Q两点，则下列结论正确的是（ ）
A. 圆与圆关于直线PQ对称
B. 线段PQ所在直线的方程为
C. 圆与圆的公切线方程为或
D. 若A，B分别是与上的动点，则的最大值为11
11. 已知点A是椭圆C：上一点，B是圆P：上一点，则（ ）
A. 椭圆C的离心率为 B. 圆P的圆心坐标为
C. 圆P上所有的点都在椭圆C的内部 D. 的最小值为
12. 已知抛物线C：过点，C的焦点为F，.直线l与抛物线C交于A，B两点（均不与坐标原点O重合），且，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. A，B两点的纵坐标之积为－64 D. 直线l恒过点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知抛物线上的点P到准线的距离为4，则点P的横坐标为______.
14. 已知直线：与：平行，且两条直线均不与坐标轴平行，则与之间的距离为______.
15. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点，点P在x轴上，，且为线段的中点，则C的离心率为______.
16. 已知圆：，圆：，过圆上的一点P作圆的一条切线，切点为A，且，则实数m的取值范围是______.
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知直线l：.
（Ⅰ）若l不经过第三象限，求a的取值范围；
（Ⅱ）求坐标原点O到直线l距离的最小值，并求此时直线l的方程.
18.（12分）
已知直线过椭圆C：的一个顶点和一个焦点.
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）若过点的直线l与C交于，两点，且，求直线l的方程.
19.（12分）
在平面直角坐标系xOy中，点，，，圆M为的外接圆.
（Ⅰ）求圆M的标准方程；
（Ⅱ）过点作直线l，被圆M截得的弦长为，求直线l的方程.
20.（12分）
已知抛物线C的顶点为坐标原点，关于x轴对称且过点.
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）若直线l与C交于，两点，，且，求直线l的方程.
21.（12分）
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，E为C上一点，的面积最大值为2.
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）在直线上任取一点，直线l：与直线OP交于点Q，与椭圆C交于A，B两点，若对任意，恒成立，求m的值.
22.（12分）
已知双曲线C：的右焦点为，离心率.
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）若直线l过点且与C的右支交于M，N两点，记C的左、右顶点分别为，，直线，的斜率分别为，，证明：为定值.
南阳六校2023-2024学年高二上学期期中考试
数学·答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1. 答案 C
命题意图 本题考查直线的方程与性质.
解析 直线l的斜率为，∴直线l的方程为，即，故直线l在y轴上的截距为2.
2. 答案 A
命题意图 本题考查椭圆的方程与性质.
解析 ∵，而，∴，又Q是的中点，O是的中点，∴OQ为的中位线，∴.
3. 答案 B
命题意图 本题考查双曲线的基本性质.
解析 ∵双曲线C的渐近线方程为，∴可设C的方程为，把点的坐标代入得，故C的方程为.
4. 答案 D
命题意图 本题考查直线与圆的位置关系.
解析 直线l上的点A到圆心C的距离最小时，切线长最小，，∴切线长的最小值为.
5. 答案 C
命题意图 本题考查直线的方程与性质.
解析 分两种情况：①当l过原点时，由直线经过点，可得直线方程为，即；②当l不过原点时，设l的方程为，将点的坐标代入得，解得，此时l的方程为，即.
6. 答案 C
命题意图 本题考查直线与抛物线的位置关系.
解析 设，，把l与C的方程联立，得，消去y并整理，得，可得.观察可知l经过C的焦点，
∴，∴，∴C的方程为.
7. 答案 D
命题意图 本题考查直线与椭圆的位置关系.
解析 设椭圆的半焦距为.由题意设点，则，即，∴，又，，即，整理得，而，∴.
8. 答案 A
命题意图 本题考查双曲线的性质.
解析 ∵，∴可设，，而，，∴，.∵，∴，即，解得，又，即，∴，双曲线C的离心率为.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.每小题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 答案 BC
命题意图 本题考查直线的方程与性质.
解析 对于A，倾斜角为时不成立，故A错误；
对于B，根据直线方程的点斜式的定义可知B正确；
对于C，化简得直线，过定点，故C正确；
对于D，直线与x轴的交点为，到原点的距离为，故D错误.
10. 答案 AD
命题意图 本题考查圆与圆的位置关系.
解析 对于A，两圆的半径均为3，则PQ为线段的垂直平分线，故圆与圆关于直线PQ对称，A正确；
对于B，因为圆与圆相交，所以两个方程相减可得直线PQ的方程为，B错误；
对于C，因为圆与圆相交，所以有两条公切线，又两圆的半径相等，所以公切线与平行，即公切线的斜率，设公切线方程为，即，所以，解得，所以与的公切线方程为或，C错误；
对于D，的最大值为，D正确.
11. 答案 BCD
命题意图 本题考查圆与椭圆的方程及位置关系.
解析 对于A，椭圆C的方程可化为，∴半焦距，∴离心率，故A错误；
对于B，圆P的方程可化为，∴圆心为，故B正确；
对于C，圆P上的点显然在椭圆C内，由，可得，而，∴椭圆C与圆P无公共点，∴.圆P在椭圆C内部，故C正确；
对于D，设，则，∴时，取得最小值，∴的最小值为，故D正确.
12. 答案 ACD
命题意图 本题考查抛物线与直线的位置关系.
解析 ∵，∴，∴，C的方程为，故A正确；将点的坐标代入C的方程得，故，故B错误；设，，∵，∴，∴，∴，故C正确；设l：，l的方程与联立可得，∴，∴，∴直线l恒过点，故D正确.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 答案 3
命题意图 本题考查抛物线的性质.
解析 设点P的横坐标为，由抛物线上的点P到准线的距离为4，可得，解得.
14. 答案
命题意图 本题考查直线与直线的平行.
解析 ∵与平行，∴，即，解得（舍去）或.当时，直线：，：，此时两平行直线之间的距离为.
15. 答案
命题意图 本题考查椭圆的性质.
解析 设椭圆的半焦距为，，∵，，∴，.又，∴，∴，故，又为线段的中点，∴，即，∴.
16. 答案
命题意图 本题考查圆与圆的位置关系.
解析 ∵，，，∴，∴点P在以为圆心，4为半径的圆上，可设其轨迹方程为C：.由于点P在圆C，上，∴圆C，相切或相交，∴，又，解得，∴.实数m的取值范围是.
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 命题意图 本题考查直线的性质，点到直线的距离.
解析 （Ⅰ）直线l的方程可化为，
要使直线l不经过第三象限，则必须有，……（2分）
解得，故a的取值范围是.……（4分）
（Ⅱ）设原点O到直线l的距离为d，
则，……（7分）
当且仅当，即时，等号成立，……（8分）
此时直线l的方程为或.……（10分）
18. 命题意图 本题考查椭圆的方程，椭圆与直线的位置关系.
解析 （Ⅰ）设椭圆C的半焦距为.
∵直线过点和，……（2分）
∴，，∴，……（4分）
故C的方程为.……（5分）
（Ⅱ）由题可设直线l的方程为，
由，可得，……（6分）
∴，，……（7分）
又，∴，……（9分）
整理可得，解得（负值舍去），∴，……（11分）
故直线l的方程为或.……（12分）
19. 命题意图 本题考查圆的方程及直线与圆的位置关系.
解析 （Ⅰ）设圆M的方程为，……（1分）
因为圆M为的外接圆，
所以，解得，
所以圆M的方程为，……（4分）
故圆M的标准方程为.……（5分）
（Ⅱ）因为过点作直线l，被圆M截得的弦长为，
所以可得圆心到直线l的距离为.……（7分）
当l的斜率不存在时，方程为，满足题意；……（8分）
当l的斜率存在时，设方程为，即，
由，解得，……（10分）
所以直线l的方程为，即.……（11分）
综上所述，所求直线l的方程为或.……（12分）
20. 命题意图 本题考查抛物线的方程，抛物线与直线的位置关系.
解析 （Ⅰ）由题意可设C：，……（1分）
将点的坐标代入，可得，∴，……（3分）
故C的方程为.……（4分）
（Ⅱ）设线段AB的中点为，
则，，即.
当时，l：，此时，不成立；……（6分）
当时，，，
∴直线l：，即，①……（7分）
①与C的方程联立，消去x，整理得，
∴，，……（8分）
而
，……（10分）
解得（舍去）或，∴，
故直线l的方程为或.……（12分）
21. 命题意图 本题考查椭圆的方程，椭圆与直线的位置关系.
解析 （Ⅰ）由题意知的面积最大值为，解得，……（2分）
又椭圆的左、右焦点分别为，，∴半焦距，……（3分）
∴，……（4分）
故C的方程为.……（5分）
（Ⅱ）当时，恒成立.当时，由题意知直线OP的方程为，
联立，得，即Q点的横坐标为.……（7分）
联立，消去y并整理可得，
设，，则.……（9分）
由已知可得Q是AB的中点，∴，
即，该式对任意且恒成立，……（11分）
∴.
综上可知.……（12分）
22. 命题意图 本题考查双曲线的性质，双曲线与直线的位置关系.
解析 （Ⅰ）∵C的右焦点为，∴C的半焦距，……（1分）
又离心率为，∴，∴，……（3分）
∴，
故C的方程为.……（5分）
（Ⅱ）易知，.
设，，直线l的方程为，
由，消去x可得，……（6分）
由题意知，且.……（7分）
∴……（8分）
……（9分）
……（11分）
，
即为定值.……（12分）