登陆21世纪教育 助您教考全无忧
17.1《一元二次方程》导学案
班级________ 姓名_____________ 组别_________
学习目标
1.掌握一元二次方程的概念，会判别某些方程是否是一元二次方程，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式（≠0）.21教育网
2.弄清一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.
3.在分析、揭示实际问题的数量关系并把实 ( http: / / www.21cnjy.com )际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识.
学习重点与难点：
重点：把一元二次方程整理成一般形式，会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.
难点：把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）.
学习过程
课前预习：
问题1：某蔬菜队2009年全年无公害蔬菜产 ( http: / / www.21cnjy.com )量为100t，计划2011年无公害蔬菜的产量比2009年翻一番（即为200t）要实现这一目标，2010年和2011年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？21·cn·jy·com
分析：如果设这个队2010～2011年无公 ( http: / / www.21cnjy.com )害蔬菜产量的年平均增长率为x，那么：2010年无公害蔬菜产量为100+100x＝100(1+x)(t)；2011年无公害蔬菜产量为:
100(1+x)+100(1+x) ﹒x=100(1+x)2(t).
根据题意，2011年无公害蔬菜产量为200t，得：100(1+x)2＝200，
即 (1+x)2＝2
整理，得：x2+2x+1＝0
问题2：用一块长80cm， ( http: / / www.21cnjy.com )宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖长方形盒子．试求出截去的小正方形的边长.
( http: / / www.21cnjy.com )
生：如图，设小正方形边长为xcm，则盒子底面的长、宽分别为(80－2x)cm、(60－2x)cm，
根据题意，可列出方程： ，整理得____________________.
( http: / / www.21cnjy.com )
问题3：剪一块面积是150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，这块铁片应怎样剪？
生：解：设这块铁片宽xcm，则长是(x+5)cm．
根据题意，可列出方程： .
整理得______________________.
课内探究学习：
探究1：x2－70x+825＝0，x2+5x－150＝0这两个方程和以前学过的一元一次方程有什么异同？它们有什么特点？www.21-cn-jy.com
师：方程中未知数的个数、次数各是多少？
2．总结归纳：一元二次方程的概念
像这样的等号两边都是 ，只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.21cnjy.com
例题解答：
例1 :下列方程中哪些是一元二次方程？
（1）x－2x2+ （2）4x2－3x－1＝0 （3）ax2+bx+c＝0
（4）x(x+1)－2＝0 （5）a2+＝0 （6）(m－2)2＝1
2.归纳：一元二次方程的一般形式___________________________________ .
想一想：为什么要限制a≠0，可以为0吗？
思考：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数，a≠0）中的二次项系数、一次项系数、常数项分别是多少？2·1·c·n·j·y
例2：将方程（3x－2）(x+1)=8x－3 化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项。【来源：21·世纪·教育·网】
解：一般形式：3x2－7x+1=0；
二次项系数为3；一次项系数为－7；常数项为1.
例3：方程(2a—4)x2 —2bx+a=0，在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？21世纪教育网版权所有
解：当a≠2时是一元二次方程；
当a＝2，b≠0时是一元一次方程；
随堂练习
1.将方程（3x－2）(x+1)＝8x－3 化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项.21·世纪*教育网
2.方程（2a—4）x2—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？ www-2-1-cnjy-com
3.下列方程中,无论a为何值,总是关于x的一元二次方程的是( )
A.(2x－1)(x2+3)＝2x2－a B.ax2+2x+4＝0
C.ax2+x＝x2－1 D.(a2+1)x2＝0
小结与思考
1.一元二次方程的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式
一般地，任何一个关于x的一元二次方程都 ( http: / / www.21cnjy.com )可以化为ax2+bx+c＝0的形式，我们把ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.
巩固练习
1.一元二次方程3y（y+1）＝7 ( http: / / www.21cnjy.com )（y+2）－5化为一般形式为______________________；其中二次项系数为_______；一次项系数为________；常数项为_______.
2.已知关于x的议程（k2－1）x2+kx－1＝0为一元二次方程，则k_______________.
学习反思
通过本节课的学习你有哪些收获？还有哪些困惑？
导学案参考答案
问题1：（1）（4）（6）
随堂练习
1.3x2－7x+1＝0
a＝3 b＝7 c＝1
2.当a≠2时是一元二次方程；当a＝2，b≠0时是一元一次方程
3.D
巩固练习
1.一般形式：3y2－4y－9＝0；二次项系数3；一次项系数－4；常数项－9.
2. k±1
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 4 页 （共 5 页） 版权所有@21世纪教育网(共22张PPT)
问题情境1:
某蔬菜队2009年全年无公害蔬菜产量为100t，
计划2011年无公害蔬菜的产量比2009年翻一番
（即为200t）要实现这一目标，2010年和2011
年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？
分析：如果设这个队2010～2011年无公害蔬
菜产量的年平均增长率为x，那么：2010年无公
害蔬菜产量为100+100x＝100(1+x)(t)；2011年
无公害蔬菜产量为:
100(1+x)+100(1+x) ﹒x=100(1+x)2(t).
根据题意，2011年无公害蔬菜产量为200t，得
100(1+x)2＝200
即 (1+x)2＝2
整理，得：x2+2x+1＝0
用一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖长方形盒子,试求出截去的小正方形的边长.
由题意可知截取后的底面积.故应根据面积找相等关系解题.
问题情境2:
即 x2-70x+825＝0
解：设小正方形边长为xcm，则盒子底面的长、宽分别为(80－2x)cm、(60－2x)cm，则有(80－2x)(60－2x)＝1500.
x
x
x
x
80-2x
60-2x
这个方程和以前学过的方程有什么异同？
分析：要解决此问题，需求出铁片的长和宽，由于长比宽多5cm，可设宽为未知数来列方程．
剪一块面积是150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，这块铁片应怎样剪？
问题情境3：
解：设这块铁片宽xcm，则长是(x+5)cm．根据题意，可得x(x+5)＝150.
即 x2+5x－150＝0．
这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
x2-70x+825＝0．
x2+5x-150＝0．
方程中未知数的个数、次数各是多少？
（1）都是整式方程;
（2）只含一个未知数;
（3）未知数的最高次数是2.
总结归纳:
讨论:什么叫做一元二次方程？
一元二次方程的概念
像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程
是一元二次方程吗？
探究新知：
下列方程中哪些是一元二次方程？
是一元二次方程的有：
例题1
一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为 的形式,我们把 (a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
想一想
一元二次方程的一般形式
结构认识
a x 2 + b x + c = 0
(a ≠ 0)
二次项系数
一次项系数
常数项
二次项
一次项
例题2
将方程（3x-2）(x+1)=8x-3 化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项。
解：去括号，得
3x2+3x-2x-2=8x-3
移项，合并同类项得
3x2-7x+1=0
二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的
例题讲解
解：当a≠2时是一元二次方程； 当a＝2，b≠0时是一元一次方程；
例题3
方程(2a—4)x2 —2bx+a=0, 在什么条件下
此方程为一元二次方程？在什么条件下此方
程为一元一次方程？
1.下列方程中,无论a为何值,总是关于x的一元二次方程的是( )
A.(2x-1)(x2+3)=2x2-a B.ax2+2x+4=0
C.ax2+x=x2-1 D.(a2+1)x2=0
D
随堂练习
2.当m为何值时,方程
是关于x的一元二次方程.
解：由题意，得：︱4m︱-2=2
解得：4m=±4
m=±1
又∵m+1≠0 m ≠-1
∴m=1
3.将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
解：方程(1)整理为5x2-4x-1=0；其中二次项系数为5，一次项系数为-4，常数项为-1.
方程(2)整理为4x2-81=0；其中二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为-81.
1.一元二次方程的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2.一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x的一元二次方程都可以化为 的形式,我们把
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。
巩固练习
1.一元二次方程3y(y＋1)=7(y＋2)－5化为一般形式为 ；其中二次项系数为____ ；一次项系数为 ；常数项为 。
3y2-4y-9=0
3
-4
-9
2.已知关于x的方程(k2-1)x2+kx-1=0为一元二次方程，则k .
≠±1
