四川省成都市蓉城名校联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 四川省成都市蓉城名校联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 773.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-04 11:29:29 | ||
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文档简介
成都市蓉城名校联盟2023-2024学年高二上学期期中联考
数学
考试时间120分钟，满分150分
注意事项：
1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”。
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。
3．考试结束后由监考老师将答题卡收回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．袋中装有4个大小、质地完全相同的带有不同标号的小球，其中2个红球，2个绿球，甲摸一个后不放回，乙再摸一个，试验所有可能的结果数为（ ）
A．8 B．9 C．12 D．16
2．某大型联考有16000名学生参加，已知所有学生成绩的第60百分位数是515分，则成绩在515分以上的人数至少有（ ）
A．6000人 B．6240人 C．6300人 D．6400人
3．给出下列命题：
①若空间向量，满足，则与的夹角为钝角；
②空间任意两个单位向量必相等；
③对于非零向量，若，则；
④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底．其中说法正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．某地高校有100人参加2023数学建模竞赛，成绩频数分布表如下，根据该表估计该校大学生数学建模竞赛成绩的平均分为（ ）
成绩分组/分
人数/人 4 25 50 15 6
A．59 B．59.4 C．69 D．69.4
5．若，则事件与的关系为（ ）
A．相互独立 B．互为对立 C．互斥 D．无法判断
6．把边长为的正方形沿对角线折起，使得平面与平面所成二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．某校2023年秋季入学考试，某班数学平均分为125分，方差为．成绩分析时发现有三名同学的成绩录入有误，同学实际成绩137分，被错录为118分；同学实际成绩115分，被错录为103分；同学实际成绩98分，被错录为129分，更正后重新统计，得到方差为，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
8．如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，其中，则中点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
9．一组数据的平均数为，方差为，新数据的平均值为，方差为．下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．下面结论正确的是（ ）
A．若事件与相互独立，则与也相互独立
B．若事件与是互斥事件，则与也是互斥事件
C．若与相互独立，则
D．若，则与互为对立事件
11．某单位健康体测，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数之比为，该单位全体工作人员平均体重和方差分别为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，点是中点，点是棱上的动点（与端点不重合）．下列说法正确的是（ ）
A．从六个点中任取三点恰能确定一个平面的概率为
B．从六个点中任取四点恰能构成三棱锥的概率为
C．存在点，使直线与所成的角为
D．不存在点，使平面
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某射击运动员每次击中靶心的概率均为0.6．现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次至少击中2次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，2，3表示没有击中靶心，4，5，6，7，8，9表示击中靶心；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
8636 0293 7140 9857 5727 0347 4373 9647 4698 3312
6710 0371 6233 2616 9597 8045 6011 3661 4281 7424
据此估计，该射击运动员射击4次至少击中2次靶心的概率为________．
14．某区从11000名小学生、10000名初中生和4000名高中生中采用分层抽样方法抽取n名学生进行视力测试，若初中生比高中生多抽取60人，则________．
15．某高中的独孤与无极两支排球队在校运会中采用五局三胜制（有球队先胜三局则比赛结束）．第一局独孤队获胜概率为0.4，独孤队发挥受情绪影响较大，若前一局获胜，下一局获胜概率增加0.1，反之降低0.1．则独孤队不超过四局获胜的概率为________．
16．已知空间向量两两之间的夹角均为，且，若向量分别满足与，则的最小值为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
某稻谷试验田试种了两个品种的水稻各10亩，并在稻谷成熟后统计了这20亩地的稻谷产量如下表，记两个品种各10亩产量的平均数分别为和，方差分别为和．
（单位：） 60 63 50 76 71 85 75 63 63 64
（单位：） 56 62 60 68 78 75 76 62 63 70
（1）分别求这两个品种产量的极差和中位数；
（2）求；
（3）依据以上计算结果进行分析，推广种植品种还是品种水稻更合适．
18．（12分）
如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，点为的中点，点在线段上且．
（1）用向量表示向量；
（2）求的长．
19．（12分）
药品监督局检测某种产品的两个质量指标，用综合指标核定该产品的等级．若，则核定该产品为一等品．现从一批该产品中随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
产品编号
质量指标
产品编号
质量指标
（1）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
（2）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，设事件为“在抽取的2件产品中，每件产品的综合指标均满足”，求事件的概率．
20．（12分）
如图四边形是平行四边形，，四边形是梯形，，且，沿将四边形翻折后使得平面平面．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值．
21．（12分）
某中学参加成都市数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：，并绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）补全频率分布直方图，若只有20%的人能进决赛，入围分数应设为多少分（保留两位小数）；
（2）采用分层随机抽样的方法从成绩为80~100的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取3名学生进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90的概率；
（3）进入决赛的同学需要再经过考试才能参加冬令营活动．考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考2门学科，每科笔试成绩从高到低依次有五个等级．若两科笔试成绩均为，则直接参加；若一科笔试成绩为，另一科笔试成绩不低于，则要参加第二轮面试，面试通过也将参加，否则均不能参加．现有甲、乙、丙三人报名参加，三人互不影响．甲在每科笔试中取得的概率分别为；乙在每科笔试中取得的概率分别为；丙在每科笔试中取得的概率分别为；甲、乙、丙在面试中通过的概率分别为．求甲、乙、丙能同时参加冬令营的概率．
22．（12分）
如图，已知平行六面体的侧棱长为3，底面是边长为4的菱形，且，点分别在和上．
（1）若，求证：四点共面；
（2）求；
（3）若，点为线段上（包括端点）的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
成都市蓉城名校联盟2023-2024学年高二上学期期中联考
数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
C D B D A D C D
1．解：设4个小球分别为，则试验结果为．
2．解：．
4．解：．
5．解：，得，
又．
6解：取中点，连接，以分别为轴建立空间直角坐标系，则，，用余弦定理可求出结果为．
7．解：设班级人数为，因为，所以更正前后平均分不变，且，所以．
8．解：以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，
设为平面的法向量，，
由，得，令
所以，又，
点到平面的距离为．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
9 10 11 12
CD AC AD ABC
9．解：方差只与系数有关．
11．解：依题意，设男性人数为，女性人数为，该单位全体人员体重的平均数为：
，
所以该单位全体人员体重的方差为：．
12．解：任取3点，有20个样本点，除开和分别共线，其余18种均不共线，故概率为；任取4点，共有15个样本点；每条直线上任取2个点，则共有9个样本点，故概率为．故A、B正确．
以为空间原点建立空间直角坐标系，设，则，，解得，方程有解，故C正确．
设平面的法向量，由，可得，故D错误．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 14．250 15．0.236 16．
13．解：恰好0次击中包含3321一个样本点，恰好1次击中包含6233，0293，0371，6011四个样本点，故至多击中一次包含五个样本点，对立事件至少2次击中则包含15个样本点，故概率为．
14．解：，解得，从而求出．
15．解：由题意，甲取胜的可能结果为四个互斥事件：，
．
16．解：，
因为，所以，
，所以，
令，则，且，
由，得，所以，
所以，当且仅当共线时等号成立，故答案为．
几何法：令，设，令，则；
令，则，过点作平面，使得；
过点作平面，使得；
，即点在平面上；，即点在平面上；
由，即点在以点为球心的球面上；
故，此时三点共线，且，
即共线．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
解：（1）由题意可知，极差：产品为35，产品为22，
中位数：产品为63.5，产品为65.5；
（2）由题意：，
，
；
（3）结合第（2）问可知两个品种水稻的产量平均数一样，但是的方差较小，较稳定，所以推广品种水稻更合适．
18．（12分）
解：（1）；
（2），
，
．
19．（12分）
解：（1）一等品率为0.6；
（2），
．
20．（12分）
解：（1），
，连接，
，
平面平面，平面平面，
平面，
平面；
（2）以为原点建立空间直角坐标系，，
，
设平面和平面的法向量分别为，
，取，
，取，
，
，即二面角的正弦值为．
21．（12分）
解：（1）的频率为，
；
（2）抽取4人，抽取2人，设事件：“至少有1名学生成绩不低于90”，
；
（3），
，
，
所以．
22．（12分）
解：（1），
，所以四点共面；
（2）平面，
上的所有的点到平面的距离都相等，同理上所有的点到的距离也相等，
，
，
点在平面的射影落在上，过点作，过点作，
底面是边长为4的菱形，侧棱长为3，，
；
（3）建立如图所示空间直角坐标系，由（2）可知，
，
，
设为平面的法向量，，
取，
，
，，
，
．
数学
考试时间120分钟，满分150分
注意事项：
1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”。
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。
3．考试结束后由监考老师将答题卡收回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．袋中装有4个大小、质地完全相同的带有不同标号的小球，其中2个红球，2个绿球，甲摸一个后不放回，乙再摸一个，试验所有可能的结果数为（ ）
A．8 B．9 C．12 D．16
2．某大型联考有16000名学生参加，已知所有学生成绩的第60百分位数是515分，则成绩在515分以上的人数至少有（ ）
A．6000人 B．6240人 C．6300人 D．6400人
3．给出下列命题：
①若空间向量，满足，则与的夹角为钝角；
②空间任意两个单位向量必相等；
③对于非零向量，若，则；
④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底．其中说法正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．某地高校有100人参加2023数学建模竞赛，成绩频数分布表如下，根据该表估计该校大学生数学建模竞赛成绩的平均分为（ ）
成绩分组/分
人数/人 4 25 50 15 6
A．59 B．59.4 C．69 D．69.4
5．若，则事件与的关系为（ ）
A．相互独立 B．互为对立 C．互斥 D．无法判断
6．把边长为的正方形沿对角线折起，使得平面与平面所成二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．某校2023年秋季入学考试，某班数学平均分为125分，方差为．成绩分析时发现有三名同学的成绩录入有误，同学实际成绩137分，被错录为118分；同学实际成绩115分，被错录为103分；同学实际成绩98分，被错录为129分，更正后重新统计，得到方差为，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
8．如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，其中，则中点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
9．一组数据的平均数为，方差为，新数据的平均值为，方差为．下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．下面结论正确的是（ ）
A．若事件与相互独立，则与也相互独立
B．若事件与是互斥事件，则与也是互斥事件
C．若与相互独立，则
D．若，则与互为对立事件
11．某单位健康体测，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数之比为，该单位全体工作人员平均体重和方差分别为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，点是中点，点是棱上的动点（与端点不重合）．下列说法正确的是（ ）
A．从六个点中任取三点恰能确定一个平面的概率为
B．从六个点中任取四点恰能构成三棱锥的概率为
C．存在点，使直线与所成的角为
D．不存在点，使平面
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某射击运动员每次击中靶心的概率均为0.6．现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次至少击中2次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，2，3表示没有击中靶心，4，5，6，7，8，9表示击中靶心；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
8636 0293 7140 9857 5727 0347 4373 9647 4698 3312
6710 0371 6233 2616 9597 8045 6011 3661 4281 7424
据此估计，该射击运动员射击4次至少击中2次靶心的概率为________．
14．某区从11000名小学生、10000名初中生和4000名高中生中采用分层抽样方法抽取n名学生进行视力测试，若初中生比高中生多抽取60人，则________．
15．某高中的独孤与无极两支排球队在校运会中采用五局三胜制（有球队先胜三局则比赛结束）．第一局独孤队获胜概率为0.4，独孤队发挥受情绪影响较大，若前一局获胜，下一局获胜概率增加0.1，反之降低0.1．则独孤队不超过四局获胜的概率为________．
16．已知空间向量两两之间的夹角均为，且，若向量分别满足与，则的最小值为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
某稻谷试验田试种了两个品种的水稻各10亩，并在稻谷成熟后统计了这20亩地的稻谷产量如下表，记两个品种各10亩产量的平均数分别为和，方差分别为和．
（单位：） 60 63 50 76 71 85 75 63 63 64
（单位：） 56 62 60 68 78 75 76 62 63 70
（1）分别求这两个品种产量的极差和中位数；
（2）求；
（3）依据以上计算结果进行分析，推广种植品种还是品种水稻更合适．
18．（12分）
如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，点为的中点，点在线段上且．
（1）用向量表示向量；
（2）求的长．
19．（12分）
药品监督局检测某种产品的两个质量指标，用综合指标核定该产品的等级．若，则核定该产品为一等品．现从一批该产品中随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
产品编号
质量指标
产品编号
质量指标
（1）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
（2）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，设事件为“在抽取的2件产品中，每件产品的综合指标均满足”，求事件的概率．
20．（12分）
如图四边形是平行四边形，，四边形是梯形，，且，沿将四边形翻折后使得平面平面．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值．
21．（12分）
某中学参加成都市数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：，并绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）补全频率分布直方图，若只有20%的人能进决赛，入围分数应设为多少分（保留两位小数）；
（2）采用分层随机抽样的方法从成绩为80~100的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取3名学生进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90的概率；
（3）进入决赛的同学需要再经过考试才能参加冬令营活动．考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考2门学科，每科笔试成绩从高到低依次有五个等级．若两科笔试成绩均为，则直接参加；若一科笔试成绩为，另一科笔试成绩不低于，则要参加第二轮面试，面试通过也将参加，否则均不能参加．现有甲、乙、丙三人报名参加，三人互不影响．甲在每科笔试中取得的概率分别为；乙在每科笔试中取得的概率分别为；丙在每科笔试中取得的概率分别为；甲、乙、丙在面试中通过的概率分别为．求甲、乙、丙能同时参加冬令营的概率．
22．（12分）
如图，已知平行六面体的侧棱长为3，底面是边长为4的菱形，且，点分别在和上．
（1）若，求证：四点共面；
（2）求；
（3）若，点为线段上（包括端点）的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
成都市蓉城名校联盟2023-2024学年高二上学期期中联考
数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
C D B D A D C D
1．解：设4个小球分别为，则试验结果为．
2．解：．
4．解：．
5．解：，得，
又．
6解：取中点，连接，以分别为轴建立空间直角坐标系，则，，用余弦定理可求出结果为．
7．解：设班级人数为，因为，所以更正前后平均分不变，且，所以．
8．解：以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，
设为平面的法向量，，
由，得，令
所以，又，
点到平面的距离为．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
9 10 11 12
CD AC AD ABC
9．解：方差只与系数有关．
11．解：依题意，设男性人数为，女性人数为，该单位全体人员体重的平均数为：
，
所以该单位全体人员体重的方差为：．
12．解：任取3点，有20个样本点，除开和分别共线，其余18种均不共线，故概率为；任取4点，共有15个样本点；每条直线上任取2个点，则共有9个样本点，故概率为．故A、B正确．
以为空间原点建立空间直角坐标系，设，则，，解得，方程有解，故C正确．
设平面的法向量，由，可得，故D错误．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 14．250 15．0.236 16．
13．解：恰好0次击中包含3321一个样本点，恰好1次击中包含6233，0293，0371，6011四个样本点，故至多击中一次包含五个样本点，对立事件至少2次击中则包含15个样本点，故概率为．
14．解：，解得，从而求出．
15．解：由题意，甲取胜的可能结果为四个互斥事件：，
．
16．解：，
因为，所以，
，所以，
令，则，且，
由，得，所以，
所以，当且仅当共线时等号成立，故答案为．
几何法：令，设，令，则；
令，则，过点作平面，使得；
过点作平面，使得；
，即点在平面上；，即点在平面上；
由，即点在以点为球心的球面上；
故，此时三点共线，且，
即共线．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
解：（1）由题意可知，极差：产品为35，产品为22，
中位数：产品为63.5，产品为65.5；
（2）由题意：，
，
；
（3）结合第（2）问可知两个品种水稻的产量平均数一样，但是的方差较小，较稳定，所以推广品种水稻更合适．
18．（12分）
解：（1）；
（2），
，
．
19．（12分）
解：（1）一等品率为0.6；
（2），
．
20．（12分）
解：（1），
，连接，
，
平面平面，平面平面，
平面，
平面；
（2）以为原点建立空间直角坐标系，，
，
设平面和平面的法向量分别为，
，取，
，取，
，
，即二面角的正弦值为．
21．（12分）
解：（1）的频率为，
；
（2）抽取4人，抽取2人，设事件：“至少有1名学生成绩不低于90”，
；
（3），
，
，
所以．
22．（12分）
解：（1），
，所以四点共面；
（2）平面，
上的所有的点到平面的距离都相等，同理上所有的点到的距离也相等，
，
，
点在平面的射影落在上，过点作，过点作，
底面是边长为4的菱形，侧棱长为3，，
；
（3）建立如图所示空间直角坐标系，由（2）可知，
，
，
设为平面的法向量，，
取，
，
，，
，
．
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